3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1 x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝C f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x u f′(x)＝ux u－1(x＞0，u≠0) f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a＞0，a≠1) f(x)＝e x f′(x)＝e xf (x )＝log a x f′(x )＝1x ln a (a ＞0，a ≠1，x ＞0)f (x )＝ln xf′(x )＝1x1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.] 2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12 C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x12)′＝12x 12－1＝12x，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________．42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x . [思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11. (2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x 的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.所以所求切线方程为 y －14＝(－1)()x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1， 而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 所以所求切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.2．(变条件)若函数改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1， 则由f′(a )＝1a ＝1，得a ＝1， 故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x ，则f′(x )＝x ·3x －1.( ) (3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x 2.( ) [提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3x ln 3. (3)× f′(x )＝－4x 2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36 B ．0 C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.]3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6. (3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x . (4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．课时分层作业(十七) 常数与幂函数的导数导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C ．19D ．13B [∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.] 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．0 B ．1e C ．1D ．eB [∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，则f ′(e)＝1e ，故选B.] 3．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4. ∴α＝－4.]4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A ．1e B ．－1e C ．－eD ．eD [y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝k x 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.]5．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0C [因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0.]6．已知函数f (x )＝x m －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 12 [∵f (x )＝x m －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎨⎧m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.] 7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(1,1) [因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率为k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1·k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．]8．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．21 [∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.]9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解] (1)因为y ′＝3x 2， 所以切线斜率k ＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3， 所以(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 所以x 1＝1，x 2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)． 10．若曲线y ＝x－12在点(a ，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a 的值．[解] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a－12)处的切线的斜率为k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a－12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0， 得x ＝3a .由题意知，a >0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝9，∴a ＝16.[能力提升练]1．设曲线y ＝x 在点(2，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．22B ．24C ．－2 2D ．2 2D [∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12＝12x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝122，由已知，得－a ＝－22，即a ＝22，故选D.]2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 020(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xA [f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，所以f 2 020(x )＝f 505×4(x )＝sin x ．]3．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．12log 2e [y ′＝1x ln 2＝1x ·log 2e ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝log 2e ，切线方程为y ＝(x －1)log 2e ，令x ＝0，得y ＝－log 2e ，令y ＝0，得x ＝1，因此所求三角形的面积S ＝12×1×log 2e ＝12log 2e.]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln x ，0＜x ＜1，，f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．112或－2 [由题意得 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x ≤0，1x ，0＜x ＜1，若 f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1a＝12或⎩⎨⎧a ≤0，3a 2＝12，解得a ＝112或a ＝－2.]5．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]如图，当曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P 到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e x)′＝e x，所以e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．由点到直线的距离公式，得最小距离为d＝|－1|2＝22.11/11。
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -，所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )， 易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。
