17-18版：4.1 空间图形基本关系的认识-4.2 空间图形的公理(一)

图1－4－4
【证明】 ∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB， B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， 且A1C在平面A1D1CB内， ∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1， ∴Q在两平面的交线BD1上，
本例中若l1∥l2，其它条件不变．求证：l1、l2、l3在同 一平面内．
【证明】 ∵l1∥l2，
∴l1、l2 确定一个平面记为 α. ∵l1∩l3＝C，∴C∈l1. ∵l1⊂α，∴C∈α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. ∵l2⊂α，∴B∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α， 即 l1、l2、l3 在同一平面内.
●教学流程
演示结束
1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直 线、平面之间的位置关系(重点)． 课标解读 2．理解异面直线的概念，以及空间图形基本关 系(难点)． 3．掌握空间图形的三个公理(重点).
空间图形的基本位置关系
【问题导思】 1．长方体的一个顶点与12条棱和6个面有12种位置关 系？ 2．12条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 3．棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 4．六个面之间有哪几种位置关系．
2．此类问题的本质是要利用公理3证明点在直线上．
如图所示，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB， B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：直线AA1、BB1、CC1交于一 点．
【证明】 ∵A1B1∥AB，
∴直线 A1B1 与 AB 确定一平面 α. 同理，直线 B1C1 与 BC 确定一平面 β，直线 C1A1 与 CA 确 定一平面 γ.易知 β∩γ＝C1C. 又△ABC 与△A1B1C1 不全等，∴AA1 与 BB1 相交， 设交点为 P，P∈AA1，P∈BB1. 而 AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β， ∴P 在平面 β 与平面 γ 的交线上．又 β∩γ＝C1C， 根据公理 2 知，P∈C1C，∴直线 AA1、BB1、CC1 交于一点．

§4、空间图形的基本关系 与公理
江西师大附中 郑永盛
4.1空间图形的基 本关系的认识
一、情景创设
1.空间图形包括平面图形和立体图形， 都看作点集。
平面图形是指各点都在同一个平面内的图形。
立体图形是指各点不都在同一个平面内的图形。
二、新课讲授 2.平面的概念、特征及表示：
（1）平面的概念 象这些桌面、平静的湖面、 镜面、黑板面等都给我们以平面 ____的印象 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.
（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß
a
一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放 置的平面的直观图
3.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系（以
点作为元素，直线，平面作为点集）
(1)空间点与直线的位置关系： 点A在直线a上： 记为：A∈a
点B在直线a外： 记为：B∈a
A
a
B
(2)空间点与平面的位置关系： 点A在平面α内： 记为：A∈α 点B在平面α外：记为：B∈ α
(A)最多4条最少3条 (B)最多3条最少1条 (C)最多3条最少2条 (D)最多2条最少1条
例3. 将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A在平面 内，但不在平面 内 (2)直线a经过平面 外一点M (3)直线 l 在平面 内,又在平面 内 （即平面和平面相交于直线）
解：（1）A ， A (2) M , M a


五. 思考交流:
两个平面能将空间分成几部分? 3或4 1 2 3 两个平面相交

两个平面平行
1

2
3
4
三个平面能将空间分成几部分?
1
4
3 4
2

内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
点评证∴明P证∈A明∵B，A多BP∩点∈α平共＝面P线，α的. 方法：利用公理 3，只需说 明这又些A点B 都 平是面两A个BC平，∴面P的∈平公面共A点BC，. 则必在这两个面
∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
PPT课件
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题
例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
PPT课件
7
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面 P 墙面

P
a
PPT课件
8
知识探究：平面的基本性质3
文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
的交线上． 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上．
∴P、Q、R 三点共线．PPT课件
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空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所构成的图形，叫做空间四边形；
（2）四个点中的各个点叫做空间四边形
的顶点；
（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空
间四边形的边；
（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间
符号语言 公理作用

条直线叫作相交直线，记作 a∩b＝P.
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
课后课时精练
提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
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课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.