空间图形的基本关系与公理 PPT
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空间图形的公理(公理1,2,3)
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
2. 下列命题中正确的是（ B ） A ．空间三点可以确定一个平面 B ．三角形一定是平面图形 C ．若 A ， B ， C ， D 既在平面 α 内，又在平面 β 内， 则平面 α 和平面 β 重合 D ．四条边都相等的四边形是平面图形
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有
什么位置关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
提示：不只相交于一点B，如下图所示：
B
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那
么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且 P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB； （3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？ 【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错，B错.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是
空间图形的基本关系与公理
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，
则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是
.
解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，
则MN AD，
∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.
连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a， DN＝ a，B1N＝ a，
∴cos∠B1DN＝
＝
.
如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD,BE FA，
G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
[思路点拨]
(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，
们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上； (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的
公共点.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题．
热 点 提 示
1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.
2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题. 4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.
空间图形的基本关系与公理(1)
分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.
变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
B α
A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何 一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、 和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件
目标导航
预习引导
2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
目标导航
预习引导
3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
目标导航
预习引导
学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5
空间图形的基本关系与公理(2)
符号语言 公理作用
P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10
25
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
5
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的 三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
8
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面
P
a
9
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P 且P
23
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1.
P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 10
25
4
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
A
C
B
5
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的 三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
8
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面
P
a
9
知识探究：平面的基本性质3 文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言
P 且P
23
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
24
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1.
空间图形基本位置关系的认识 PPT
(2)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在 α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′， AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直 线．
解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的 相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地 用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换 为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所 代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
置关系
点 B 在平面 α 外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 异面 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a∩_b_＝_O____ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩_α_＝_A____
__a_∥_α _
平面与平面的 位置关系
【例】 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直 线 AB 上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
(1)直线l在平面α内 [如图，l上有两点A，B在 α内，根据公理2，l α.]
(2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′， AD，A′D′所在的直线与直线BC′是异面直 线．
解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的 相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地 用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换 为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所 代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
置关系
点 B 在平面 α 外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 异面 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a∩_b_＝_O____ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩_α_＝_A____
__a_∥_α _
平面与平面的 位置关系
【例】 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B； (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直 线 AB 上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
高中数学-8.3 空间图形的基本关系与公理
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可 以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正 确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只 有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交 且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
考纲要求
-3-
1.空间图形的公理 (1)公理1:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(即可 以确定一个平面). 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (2)公理2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过这个点的公共直线. (4)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
考点1 考点2 考点3
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-18-
知识方法
易错易混
对点训练2 (1)如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的 中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正 确答案的序号)
关闭
题图①中,直线GH∥MN; 题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面; 题图③中,连接MG,GM∥HN, 因此GH与MN共面; 题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.
解析
答案
第八章 1 2 3 4 5
8.3
空间图形的基本关系与公理
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-11-
自测点评 1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只 有”“只能”“最多”等. 2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交 且得到的是一条直线. 3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
1.4.1__空间图形基本关系的认识__1.4.2__空间图形的公理(公理1、2、3)
D A B
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间 的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是 否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘 就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．
A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个
C 共点B′，经过点B有且只有一条过该点的
公共直线B′C′.
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
P l , 且P l
P
l
作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间 的位置关系．
（5）空间平面与平面的位置关系有两种： I 如图②中，平面α和平面β没有公共点，这样
的两个平面叫作平行平面，记作:α∥β； II 如图③中，平面α和平面β不重合，但有公共点，
这样的两个平面叫作相交平面.
思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、线、面
的位置关系的例子.
2.
观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面的位置
关系.
课堂探究2
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是 否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否在
平面α 内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘 就落在了桌面上．
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．
A
l B
A l ,B l ,A ,B l
作用：
在生产、生活中， 人们经过长期观察与实 践，总结出关于平面的 一些基本性质，我们把 它作为公理．这些公理 是进一步推理的基础．
判定直线是否在平面内．
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样确定一个
空间图形的基本关系与公理课件
工具
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条． 答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也 与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】 3.下列四个命题：
①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数是( A．4 C．2 ) B．3 D．1
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：
连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过
点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD， AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条． 答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．(2009·湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也 与CC1共面的棱的条数为( A．3 C．5 ) B．4 D．6
∴EF∥CD1.
故E、F、D1、C四点共面．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，
【阅后报告】
该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，
而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用
思路．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l 与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )
高中数学-北师大版必修二 空间图形的公理4及等角定理 课件
图 1-4-16
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
提示：如图，在空间中任取一点 O，作直线 a′∥a，b′∥b，则两条相交直 线 a′，b′所成的锐角或直角 θ 即两条异面直线 a，b 所成的角．
2．a′与 b′所成角的大小与什么有关，与点 O 的位置有关吗？通常点 O 取 在什么位置？
提示：a′与 b′所成角的大小只由 a，b 的相互位置确定，与点 O 的选择无 关，一般情况下为了简便，点 O 选取在两条直线中的一条直线上．
又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
求异面直线所成的角 [探究问题] 1．已知直线 a，b 是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
如图 1-4-17，在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC
＝2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，若 EF＝ 3，求异面直线
AD，BC 所成角的大小.
【导学号：64442028】
图 1-4-17
[思路探究] 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线 AD，BC 平移到 同一平面内解决．
[解] 如图，取 BD 的中点 M，连接 EM，FM. 因为 E，F 分别是 AB，CD 的中点， 所以 EM 12AD，FM 12BC， 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD，BC 所成的角． 因为 AD＝BC＝2，所以 EM＝MF＝1， 在等腰△MEF 中，过点 M，作 MH⊥EF 于 H，
公理4的应用
如图 1-4-12，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边
AB，BC，CD，DA 的中点.
【导学号：64442027】
高考理科第一轮课件(7.2空间图形的基本关系与公理)
(0, ］ (2)范围:______. 2
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果两个不重合的平面α ,β 有一条公共直线a,就说平面 α ,β 相交,个公共点A,就说α ,β 相交于过A点的任
意一条直线.( )
(3)两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于A点,并记 作α ∩β =A.( ) ) )
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线
上,从而得三点共线.
2.证明三线共点的思路
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化
归到证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两 个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.
【变式备选】如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是AB的中点,F
②C,D,F,E四点共面.理由如下:
由BE∥AF且BE=
1 AF,G是FA的中点知, 2
BE∥GF且BE=GF, 所以四边形EFGB是平行四边形, 所以EF∥BG. 由①知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.
【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“FE,AB,DC交 于一点”? 【证明】由例题可知,四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边 形,故可得四边形ECHF为平行四边形, ∴EC∥HF,且EC= 1 DF,∴四边形ECDF为梯形,
【解析】选B.若平面α与平面β相交,则它们有无数个公共点, 结合公理可知②③④均正确.
2.若三条不同的直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c( (A)一定是异面直线 (C)不可能是平行直线 (B)一定是相交直线 (D)不可能是相交直线
)
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果两个不重合的平面α ,β 有一条公共直线a,就说平面 α ,β 相交,个公共点A,就说α ,β 相交于过A点的任
意一条直线.( )
(3)两个平面α ,β 有一个公共点A,就说α ,β 相交于A点,并记 作α ∩β =A.( ) ) )
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线
上,从而得三点共线.
2.证明三线共点的思路
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化
归到证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两 个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.
【变式备选】如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是AB的中点,F
②C,D,F,E四点共面.理由如下:
由BE∥AF且BE=
1 AF,G是FA的中点知, 2
BE∥GF且BE=GF, 所以四边形EFGB是平行四边形, 所以EF∥BG. 由①知BG∥CH,所以EF∥CH, 故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.
【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“FE,AB,DC交 于一点”? 【证明】由例题可知,四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边 形,故可得四边形ECHF为平行四边形, ∴EC∥HF,且EC= 1 DF,∴四边形ECDF为梯形,
【解析】选B.若平面α与平面β相交,则它们有无数个公共点, 结合公理可知②③④均正确.
2.若三条不同的直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c( (A)一定是异面直线 (C)不可能是平行直线 (B)一定是相交直线 (D)不可能是相交直线
)
空间图形基本关系的认识及公理123
【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？ 提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重 合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个 平面可知两平面重合.
【即时练】 (2014·南昌高一检测)下列说法： ①空间不同的三点可以确定一个平面； ②如果线段AB在平面α内，那么直线AB一定在平面α内； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是________(填序号).
A.AB∩α=C
B.AB α
C.C∈α
D.C∉α
(2)已知如图，直线a∥b，直线l∩a=A，直线l∩b=B，求证：直
线a，b，l共面.
【解题探究】1.题(1)中A∈平面α，B∈平面α，说明什么 问题？ 2.题(2)中，由a∥b可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A∈平面α，B∈平面α，说明AB 平面α.
2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 ①经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； ②任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同 时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理 1强调的是存在和唯一两个方面.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确Байду номын сангаас一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共 点.( )
【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三 个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面α与平面β相交有无数个公共点. 答案：(1)× (2)× (3)×
高一数学：1.4空间图形的基本关系与公理 课件 (北师大必修2)
提出问题： 1.用两个合页和一把锁就可以将一扇 门固定，Why? 2.将一把直尺置于桌面，通过是否漏 光就能检测桌面是否平整，Why? 3.椅子放不稳，是底面不平还是椅子 本身的问题？ 4.为什么自行车后轮旁只安装一只撑 脚？
公理1 如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上所有的点都 在这个平面内（即直线在平面内）。 注意：其研究的是直线和平面的关系。
2.两个平面指的是不重合的两个平面； 3.两个不重合的平面相交，交线是一条直 线。
公理4 平行于同一条直线的两条直 线平行。 注意：1.公理4是初中平面几何中的平 行公理在空间中的推广，它表示在空 间平行性具有传递性； 2.三条直线平行，它们既可以在同一 平面内，也可以两两共面；
3.公理4既是证明“等角定理”的基础， 也是以后证明平行关系的主要依据之一。
只有一个平面”吗？
（2）经过一条直线和这条直线外一 点，可以确定一个平面吗？
（3）经过两条相交直线，可以确定 一个平面吗？ （4）经过两条平行直线，可以确定 一个平面吗？
公理3 如果两个平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条通过这个点的 公共直线。 注意：1.公理3是 点，有且只有一个平面（即可以确定 一个平面）。 注意：公理2研究的是确定平面的条件。 （1）条件：不在同一直线上的三点 （反之，经过一点，两点或同一直线
上的三点可有无数个平面）
（2）“有且只有一个”中的“有” 指平面存在，“只有”是指平面唯一， 二者缺一不可。
？（1）“只有一个平面”＝“有且
立体几何-空间图形的基本关系与公理1
空间图形的基本关系与公理研究对象：点、线、面的关系 三种语言：文字语言、符合语言、图形语言（看图说话）点线关系：点在线上、点在线外 点面关系：点在面上、点在面外 线线关系：平行、相交、异面线面关系：线面平行、线面相交、线在面内 面面关系：面面平行、面面相交公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：不共线的三点，可以确定一个平面。
推论1：直线和直线外的一点可以确定一个平面 推论2：两条平行直线可以确定一个平面。
推论3：两条相交直线可以确定一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行（平行的传递性）。
等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所组成的锐角（或直角）相等。
异面直线a 、b 所成角：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a 、b 的平行线1l 、2l ()12//,//a l b l ，这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a 、b 所成角。
如果两条异面直线所成的角是直角，我们称这两条直线互相垂直，记作a b ⊥。
论证点、线共面的通法之一，即证部分元素确定一个平面，再证余下元素也在平面内。
论证点、线共面的通法之二，即根据确定平面的条件，先证各部分元素分别确定平面，再证这些平面有相同的确定平面的条件，即重合。
点共线、线共点：依据是公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线（两个平面的交线）。
证明多点共线：通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上。
证明多线共点：可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上。
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ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. 会进行三角形的运算求解．
解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面 直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平 面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1， B M= B11C12 MC12 2，
故tanMA1B1
B1M A1B1
2,
即异面直线A1M与C1D1所成的角的正切值为 2.
(4)异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 a′∥a，b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的____叫做异面直线a、 b所成的角(或夹角)． ②范围：θ∈(0,π/2].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们 就称这两条直线______，记作a⊥b.
3. 空间中的直线与平面的位置关系
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称 推论1 推论2 推论3
图形
文字语言
公理2的推论
符号语言
若点A∉直线a， 则A和a确定一
个平面α
两条相交直线确 定一个平面
两条平行直线确 定一个平面
2. 空间直线与直线的位置关系
②公共点个数 (2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线________． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角__________．
接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形) 各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图 所示．求证：点B、D、P在同一条直线上．
证明：∵直线EF和GH交于点P， ∴P∈EF，又∵EF⊂平面ABD，∴P∈平 面ABD.同理，P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD
③如果a⊥c，b⊥c，那么a，b能确定一个平面；
④直线a过平面α内一点与平面α外一点，直线b在平面α内且不过
该点，那么a和b是异面直线．
上述命题中，真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
答案： 1. B 2. D 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确．
解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点，
∴GH / / 1AD，
∵BC / / A12 D，BC / G/ 1 H，
2
2
∴四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面． ∵G为AF中点，且BE / / 1 FA， ∴BE / G/ 1 F，∴四边形BE2 FG为平行四边形，
2
∴EF∥BG，∵BG∥CH，∴EF∥CH.
间的关系可表示为
()
A. M∈b∈β
B. 2. (教材改编题)下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内
D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、
又∵ BG =D2H，
∴GHG∥CBD且H CGH=BD/3， ∴EF∥GH且EF>GH， ∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必 相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点 P， ∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC， 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
3. A 解析：∵M∈EF，EF⊂平面ABC. ∴M∈平面ABC，同理M∈平面ACD， ∴M∈AC. 4. B 解析：①中，由公理4知，a∥b，故①正确；②中，a， b可能异面，故②错误；③中，a，b可能异面，故③错误；④
正确．
经典例题
题型一 证明三点共线 【例1】 已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、 BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在 同一条直线上．
a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 相交 异面 ②一个公共点 无公共点 (2)互相平行 (3)相等或互补 (4)①角 ②垂直
3. 无数 有且只有一个 无 4. 无公共点 有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之
上，
即B、D、P三点在同一条直线上．
题型二 证明点线共面
【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，/ / 12BC AD，/ / 12BE FA，G，H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么( )
A. M一定在直线AC上
B. M一定在直线BD上
C. M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D. M既不在直线AC上，也不在直线BD上
4. 给出下面四个命题：
①如果直线a∥c，b∥c，那么a，b能确定一个平面；
②如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；
证明：由已知条件易知，
平面a与平面ABC相交． 设交线为l，即l=a∩面ABC. ∵P∈AB，∴P∈面ABC. 又P∈(AB∩a)，∴P∈a，即P为平面a与面ABC的公共点， ∴P∈l.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线 于l.
变式1－1 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. 会进行三角形的运算求解．
解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面 直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平 面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1， B M= B11C12 MC12 2，
故tanMA1B1
B1M A1B1
2,
即异面直线A1M与C1D1所成的角的正切值为 2.
(4)异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 a′∥a，b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的____叫做异面直线a、 b所成的角(或夹角)． ②范围：θ∈(0,π/2].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们 就称这两条直线______，记作a⊥b.
3. 空间中的直线与平面的位置关系
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称 推论1 推论2 推论3
图形
文字语言
公理2的推论
符号语言
若点A∉直线a， 则A和a确定一
个平面α
两条相交直线确 定一个平面
两条平行直线确 定一个平面
2. 空间直线与直线的位置关系
②公共点个数 (2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线________． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角__________．
接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形) 各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图 所示．求证：点B、D、P在同一条直线上．
证明：∵直线EF和GH交于点P， ∴P∈EF，又∵EF⊂平面ABD，∴P∈平 面ABD.同理，P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD
③如果a⊥c，b⊥c，那么a，b能确定一个平面；
④直线a过平面α内一点与平面α外一点，直线b在平面α内且不过
该点，那么a和b是异面直线．
上述命题中，真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
答案： 1. B 2. D 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确．
解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点，
∴GH / / 1AD，
∵BC / / A12 D，BC / G/ 1 H，
2
2
∴四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面． ∵G为AF中点，且BE / / 1 FA， ∴BE / G/ 1 F，∴四边形BE2 FG为平行四边形，
2
∴EF∥BG，∵BG∥CH，∴EF∥CH.
间的关系可表示为
()
A. M∈b∈β
B. 2. (教材改编题)下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内
D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、
又∵ BG =D2H，
∴GHG∥CBD且H CGH=BD/3， ∴EF∥GH且EF>GH， ∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必 相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点 P， ∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC， 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
3. A 解析：∵M∈EF，EF⊂平面ABC. ∴M∈平面ABC，同理M∈平面ACD， ∴M∈AC. 4. B 解析：①中，由公理4知，a∥b，故①正确；②中，a， b可能异面，故②错误；③中，a，b可能异面，故③错误；④
正确．
经典例题
题型一 证明三点共线 【例1】 已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、 BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在 同一条直线上．
a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 相交 异面 ②一个公共点 无公共点 (2)互相平行 (3)相等或互补 (4)①角 ②垂直
3. 无数 有且只有一个 无 4. 无公共点 有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之
上，
即B、D、P三点在同一条直线上．
题型二 证明点线共面
【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，/ / 12BC AD，/ / 12BE FA，G，H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么( )
A. M一定在直线AC上
B. M一定在直线BD上
C. M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D. M既不在直线AC上，也不在直线BD上
4. 给出下面四个命题：
①如果直线a∥c，b∥c，那么a，b能确定一个平面；
②如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；
证明：由已知条件易知，
平面a与平面ABC相交． 设交线为l，即l=a∩面ABC. ∵P∈AB，∴P∈面ABC. 又P∈(AB∩a)，∴P∈a，即P为平面a与面ABC的公共点， ∴P∈l.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线 于l.
变式1－1 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相