空间图形基本关系的认识-课件ppt

∴B、Q、D1三点共线.
忽视平面的确定性致误 已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B， C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一 定共面吗？
【错解】 ∵A，B，C，D共面， ∴点A在点B，C，D所确定的平面内． ∵点B，C，D，E四点共面， ∴点E也在点B，C，D所确定的平面内， ∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内， 即点A，B，C，D，E一定共面．
【提示】 1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在 棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
2．相交，平行，既不平行也不相交． 3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线 与平面相交． 4．平行和相交．
2．异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线．
空间图形的公理
【问题导思】 1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？ 2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规 律？ 3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？ 【提示】 1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线 上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
【解】 AC在平面α内． ∵AB在平面α内． ∴A∈α. 又BC在平面α内． ∴C∈α， ∴AC在平面α内．
图1－4－5
如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点． 【思路探究】 解答本题可先证明两条直线相交于一 点，再证明该交点也在另外一条直线上．
【自主解答】 ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ. 由于直线 a 和 b 不平行，∴a、b 必相交． 设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点．
1．证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共 面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这 两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此 点，从而得到三线共点．
本例中若l1∥l2，其它条件不变．求证：l1、l2、l3在同 一平面内．
【证明】 ∵l1∥l2，
∴l1、l2 确定一个平面记为 α. ∵l1∩l3＝C，∴C∈l1. ∵l1⊂α，∴C∈α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. ∵l2⊂α，∴B∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α， 即 l1、l2、l3 在同一平面内.
文字语言、图形语言、符号语言的互译
根据图形，写出图形中的点、直线和平面之间 的关系．
图1－4－1 (1)图(1)可以用符号语言表示为：_______________. (2)图(2)可以用符号语言表示为：______________.
【思路探究】 (1)图中平面α、平面β是什么关系？ (2)图(1)中直线a与平面α，直线b与平面β，直线a、b与 交线AB是什么关系？ (3)图(2)中△ABC的三个顶点满足什么条件？ 【自主解答】 (1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB.
3．情感、态度与价值观 培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度，体会推 理论证中反映出的辨证思维的价值观．
●重点难点 重点：空间图形的基本关系及3个公理． 难点：三种语言：文字语言、图形语言和符号语言的 转化． 教学时要注意图形语言、文字语言、符号语言的综合 描述，在用文字和符号描述对象时，要紧密联系图形，使 抽象与直观结合起来，以帮助学生在图形的基础上发展数 学语言．
点、线共面问题 已知：如图1－4－2所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝
B，l1∩l3＝C.
图1－4－2 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
【思路探究】 先选取两条直线构造一个平面，然后 证明另一条直线在这个平面上或构造两个平面，证明这两 个平面重合．
【自主解答】 法一 (同一法) ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
●教学建议 本节知识与学生的生活联系密切，如直线与直线的位 置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系 等都可以在学生的生活世界中找到模型．因此教学时，既 要引导学生多从生活中的实际出发，把所学到的知识同周 围的现象联系起来，同时还要注意让学生经历从实际背景 中抽象出空间图形的过程．另外，还应注意引导学生通过 对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符 号语言．
综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一 定共面．
1．空间中点、线、面的位置关系，异面直线的画法及 判定．
2．文字语言、图形语言、符号语言三种语言的转化．
3．公理1，公理2，公理3都是判定点、线、面位置关 系的依据．公理1的作用是证明直线在平面内，公理2是确 定平面的依据，由公理1和公理2可解决点、线共面的证明 问题，公理3是判定两个平面相交的依据，同时也可用来证 明点共线或三条线交于一点的问题.
1．法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是 这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法 二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其 上．
2．证明此类问题的关键是证明这些点是两个相交平面 的公共点．
如图1－4－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段 A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．
空间图形的基本关系与公理 空间图形基本关系的认识、 空间图形的公理(公理 1,2,3)
●三维目标 1．知识与技能 (1)通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、 平面之间的位置关系；(2)理解异面直线的概念，以及空间 图形基本关系；(3)掌握空间图形的三个公理．
2．过程与方法 培养和发展学生的空间想象能力，运用图形语言进行 交流的能力，通过典例的学习和自主探索让学生体会蕴涵 在其中的数学思想方法．
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确 的是( )
【解析】 点A在直线上用“∈”，直线在平面外用 “ ”．
【答案】 A
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有
()
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
【解析】 画出图形，观察图形可知与AB异面的棱有 CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．
(2)α∩β＝MN，A∈MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN.
1．分析好图形的位置关系是本题的解题关键． 2．三种语言之间转化的基本思路是，观察图形、分析 位置关系、符号表示．
满足下列条件，平面α∩平面பைடு நூலகம்＝AB，直线a α，直线 b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确． 【答案】 D
点共线问题 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝
R，BC∩α＝Q，如图1－4－3，求证：P、Q、R三点共线．
图1－4－3
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 关系？
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 系？
【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面 α.又 AB⊂平面 ABC，
【错因分析】 在证明共面问题时，必须注意平面是 确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一 定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出 错．
【防范措施】 证明共面问题的理论依据是公理2，注 意平面的确定可以免避上述错误的出现．
【正解】 A，B，C，D，E五点不一定共面． (1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三 点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A，B，C， D，E五点共面于α； (2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈ l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l 上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则 A，B，C，D，E五点可能不共面．
法二 (重合法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内．∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
图1－4－4
【证明】 ∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB， B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， 且A1C在平面A1D1CB内， ∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1， ∴Q在两平面的交线BD1上，
2．此类问题的本质是要利用公理3证明点在直线上．
如图所示，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB， B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：直线AA1、BB1、CC1交于一 点．
【证明】 ∵A1B1∥AB，
∴直线 A1B1 与 AB 确定一平面 α. 同理，直线 B1C1 与 BC 确定一平面 β，直线 C1A1 与 CA 确 定一平面 γ.易知 β∩γ＝C1C. 又△ABC 与△A1B1C1 不全等，∴AA1 与 BB1 相交， 设交点为 P，P∈AA1，P∈BB1. 而 AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β， ∴P 在平面 β 与平面 γ 的交线上．又 β∩γ＝C1C， 根据公理 2 知，P∈C1C，∴直线 AA1、BB1、CC1 交于一点．
∴P∈平面 ABC.
∴由公理3可知： 点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P、Q、R三点共线．
法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR， 又 Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R 三点共线．