高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件

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系与公理第二课时公理4与等角定理高效测评北师大版必修2一、选择题（每小题5分，共20分）1．下列结论正确的是( ）①在空间中,若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析: ①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．答案：B2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ）A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．无法判断解析：由题意知,这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似．答案：B3．如图，α∩β＝l，aα，bβ,且a,b为异面直线，则以下结论正确的是( )A．a,b都与l平行B．a,b中至多有一条与l平行C．a,b都与l相交D．a,b中至多有一条与l相交解析：如果，a，b都与l平行，根据公理4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾,故a，b中至多有一条与l平行．答案：B4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点,则下列判断正确的是( ) A．MN≥错误!（AC＋BD）B．MN≤错误!(AC＋BD）C．MN＝错误!(AC＋BD）D．MN＜错误!（AC＋BD）解析：如图，取BC的中点H,据题意有MH＝错误!AC，MH∥AC，HN＝错误!BD，HN∥BD。

第2课时 空间图形的公理4及等角定理1.掌握公理4和“等角定理”.(重点)2.理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义.(重点、易错点)3.会求异面直线所成的角.(难点)[基础·初探]教材整理1 公理4阅读教材P 25“公理4”部分，完成下列问题. 1.条件：两条直线平行于同一条直线. 2.结论：这两条直线平行. 3.符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .已知a ，b 是平行直线，直线c ∥直线a ，则c 与b ( ) A.不平行 B.相交 C.平行D.垂直【解析】 若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不与b 平行. 【答案】 C教材整理2 等角定理阅读教材P 26“等角定理”部分内容，完成下列问题. 1.条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行. 2.结论：这两个角相等或互补.空间中一个角A 的两边分别与另一个角B 的两边对应平行，若A ＝70°，则B ＝______. 【解析】 若A 的两边与B 的两边方向均相同或均相反，则B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则B ＝110°.【答案】 70°或110° 教材整理3 异面直线所成的角阅读教材P 26有关部分，完成下列问题.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与BC 1所成的角的大小为________. 【解析】 ∵BB 1∥AA 1，∴∠B 1BC 1为直线AA 1与BC 1所成的角，其大小为45°. 【答案】 45°[小组合作型]如图的边AB ，BC ，CD ，DA的中点.图1­4­11(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD .【导学号：39292020】【精彩点拨】 (1)先证明它是一个平面四边形，再用平行四边形的判定定理证明. (2)若四边形EFGH 是矩形，则EH ⊥GH ，从而推知AC ⊥BD . 【自主解答】 (1)如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .又FG 是△CBD 的中位线， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，∴四边形EFGH是平行四边形.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空间中证明两直线平行的方法：借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.[再练一题]1.已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点.图1­4­12求证：四边形MNA′C′是梯形.【证明】连接AC(图略).∵M，N为CD，AD的中点，∴MN═∥12 AC.由正方体性质可知AC═∥A′C′，∴MN═∥12A′C′，∴四边形MNA′C′是梯形.如图1­4­13，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.图1­4­13(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)利用公理4进行平行之间的转化，得到平行关系.(2)利用等角定理证明两角相等.【自主解答】(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体，∴AD═∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM═∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1═∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1═∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.2.证明角相等，一般采用以下途径(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.[再练一题]2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.图1­4­14【证明】取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，∴CM∥BK.又∵A1K∥BQ且A1K＝BQ，∴四边形A1KBQ为平行四边形，∴A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可证A1P∥CN，由于∠PA1Q与∠MCN对应边分别平行，且方向相反，∴∠PA1Q＝∠MCN.[探究共研型]探究1图1­4­15【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角.探究2 a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上.如图1­4­16，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD，BC所成角的大小.图1­4­16【精彩点拨】 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD ，BC 平移到同一平面内解决.【自主解答】 如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM . 因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点， 所以EM ═∥12AD ，FM ═∥12BC ， 则∠EMF 或其补角就是异面直线AD ，BC 所成的角. 因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1， 在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ， 在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32，则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD ，BC 所成的角为60°.求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角度，常放在三角形内求解.(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.[再练一题]3.如图1­4­17，已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝AB ，E ，F 分别是BD 1和AD 的中点，则异面直线CD 1，EF 所成的角的大小为________.图1­4­17【解析】 取CD 1的中点G ，连接EG ，DG ， ∵E 是BD 1的中点， ∴EG ∥BC ，EG ＝12BC .∵F 是AD 的中点，且AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DF ∥BC ，DF ＝12BC ，∴EG ∥DF ，EG ＝DF ，∴四边形EFDG 是平行四边形，∴EF ∥DG ，∴∠DGD 1(或其补角)是异面直线CD 1与EF 所成的角.又∵A 1A ＝AB ，∴四边形ABB 1A 1，四边形CDD 1C 1都是正方形，且G 为CD 1的中点，∴DG ⊥CD 1，∴∠D 1GD ＝90°，∴异面直线CD 1，EF 所成的角为90°. 【答案】 90°1.下列结论中正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A.①②③B.②④C.③④D.②③【解析】 ①错，可以异面.②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面.④正确，由平行直线的传递性可知.【答案】 B2.如图1­4­18所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，B 1B ，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )【导学号：39292021】图1­4­18A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，A1B∥EF，BC1∥GH，所以A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】 B3.已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，命题正确的是________.【解析】①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面.【答案】①4.已知点P在直线l外，则过点P且与l成30°角的异面直线有________条.【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的所有直线都与l成30°角，其中只有两条直线与l共面，其余的异面.因此，这样的异面直线有无数条.【答案】无数5.如图1­4­19，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.图1­4­19(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？【解】(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角.在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。