北师大版数学高一-课堂新坐标必修2试题 1.4.1空间图形基本关系

最新（新课标）北师大版高中数学必修二第一章《空间图形的基本关系与公理》单元测试题班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．下列命题中，正确命题的个数为( )①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线；④平行四边形是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．1个或3个3．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中( ) A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线4．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．相似C．有一个角相等D．全等或相似5．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A．异面B．相交C．平行D．异面或相交6．如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ，则下列结论中不正确的为( )A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形C．当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形D．当λ＝μ时，四边形EFGH是梯形7．a、b、c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系( )A．异面B．平行C．相交D．都有可能8．在空间中有下列四个命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④连接空间四边形各边中点的四边形一定是梯形．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知a、b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线10．下列说法中正确的是( )A．空间中没有交点的两条直线是平行直线B．一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交C．空间四条直线a、b、c、d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b ∥cD．分别在两个平面内的直线是平行直线二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P、Q分别是AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面的形状是______．12．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，与AB异面的棱有_______________．13．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为_________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为________________________________．14．如下图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于点O，O在平面ABC和平面A′B′C′之间，且AOOA′＝BOOB′＝COOC′＝23，则S△ABCS△A′B′C＝_____.15．如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)．16．（12分）求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．17．（12分）如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线，并说明理由．18．（12分）如图所示，在长方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱A1A和棱C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．19．（12分）如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1，M，A三点共线．20．（13分）梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面CDEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：EFGH为平行四边形．21.（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.北师大版必修2第一章《空间图形的基本关系与公理》单元测试题答案一、选择题：1．[答案]A[解析] ①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线；④平行四边形是平面图形(原理：两条平行直线确定一个平面)，故只有④正确．2．[答案]D[解析] 如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．3．[答案]B[解析] 四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB与CD相交于点A时，D错．4．[答案]D5．[答案]D[解析]a，b为异面直线，c，d分别与a，b都相交．图(1)中c，d异面，图(2)中c，d相交．6．[答案]D[解析] 由AEAB＝AHAD＝λ，得EH∥BD，且EHBD＝λ，同理得FG∥BD且FGBD＝μ，当λ＝μ时，EF綊FG.当λ≠μ时，EF∥FG，但EH ≠FG，故A、B、C都对，只有D错误．7．[答案]D[解析] 直线a与c的位置关系有以下三种情形(如下图)：∴直线a与c的位置关系可能平行(如图(1))；可能相交(如图(2))；可能异面(如图(3))，故选D.8．[答案] A[解析] 四边相等或两组对边相等的四边形可以是空间四边形，故①②错误，连接空间四边形的各边中点构成的四边形是平行四边形，故④错，易知③对，由此选A.9．[答案]C[解析] 如图所示，图(1)中，b与c相交，图(2)中b与c异面，假如b∥c，∵a∥c，∴a∥b这与a，b异面矛盾，∴b与c不可能为平行直线．10．[答案]C[解析] A、B中，两直线可能异面，D中两直线可能相交，也可能异面．二、填空题：11．[答案]菱形[解析] 先证截面BPD1Q是平行四边形，再证是菱形．12．[答案]A1D1、DD1、CC1、C1B113．[答案] (1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l(2) α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B14．[答案]49[解析] 由题设条件知ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝23，∴△ABC∽△A′B′C′.∴S△ABCS△A′B′C＝49.15．[答案] ②④[解析] 观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.三、解答题16．已知：点P∉直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．[解析] ∵P∉a，∴点P和直线a确定一个平面α，在平面α内过点P作直线b与直线a平行(由平面几何知识)，故存在．假设过点P，还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与b、c共点P矛盾，故假设不成立，因此直线b惟一．即过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．17．[解析] 如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线．18．[解析] 设Q是D1D的中点，连结EQ、QC1，∵E是A1A的中点，∴EQ//=A1D1.在矩形A1B1C1D1中，有A1D1//=B1C1.由基本性质4，得EQ//B1C1.∴四边形EQC1B1是平行四边形．∴B1E//C1Q.又由F、Q分别是矩形C1CDD1中CC1、D1D两边的中点．得QD//C1F.∴四边形DQC1F是平行四边形，从而C1Q//=FD.由基本性质4，得B1E//=FD，所以四边形B1EDF是平行四边形．19．证明：因为上底面中A1C1∩B1D1＝O1，A1C1平面A1C1CA，B1D1平面AB1D1，所以，O1是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A1C∩平面AB1D1＝M，A1C平面A1C1CA，所以，M是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．又因为A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，所以，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．所以，O1，M，A都是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点，由公理3可知，O1，M，A三点共线．20．[解析] ∵梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC、AD的中点，∴EF∥AB且EF＝12(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.∵G、H分别为AD′、BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝12(AB＋C′D′)＝12(AB＋CD)，∴GH綊EF，∴EFGH为平行四边形．21.证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1＝AA1，MM1∥AA1.又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)方法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.方法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.。

4．1 空间图形基本关系的认识时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法错误的是( )A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交答案：C2．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是( ) A．l⊂α B．l∉αC．l∩α＝A D．l∩α＝B答案：A解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α. 3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.4．下面空间图形画法错误的是( )A BC D答案：D解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线答案：C解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( ) A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面答案：D解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．答案：A∈l AB⊂βα∩β＝l8．设平面α与平面β相交于直线l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则点M与l 的位置关系为________．答案：M∈l解析：因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案：②解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．解：11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN 不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．12.如图，已知P∉平面ABC，PA≠PN⊥AB与N，求证：CM和PN是异面直线．解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：(1)若M、N重合，可得AN＝BN，∴PN是线段AB的中垂线，∴PA＝PB，与题设PA≠PB矛盾．(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P∉平面ABC矛盾．所以CM和PN是异面直线．证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM⊂平面ABC.又∵PN⊥AB于N，∴N∈平面ABC.∵PA≠PB，∴AN≠BN.∴N与M不重合，即N∉CM.又∵P∉平面ABC，∴CM和PN是异面直线．。

第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3[核心必知]1．空间图形的基本位置关系点⎩⎨⎧点与直线⎩⎪⎨⎪⎧ 点在直线上点在直线外点与平面⎩⎪⎨⎪⎧点在平面内点在平面外2．空间图形的3条公理表，则[问题思考]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[尝试解答] 证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.讲一讲2.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[尝试解答] 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．练一练2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.讲一讲3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[尝试解答] 证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．练一练3．已知在正方体ABCD­A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解] ∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因] 在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．[正解] A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．下列图形中不一定是平面图形的是( ) A ．三角形 B ．菱形 C ．梯形 D ．四边相等的四边形解析：选D 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，显然A 、B 、E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. 3．下列四个命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．4．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．答案：平行、相交或异面6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如图所示)．∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行解析：选B 若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD 相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作( )A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβ D．A b，b∈β解析：选B ∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：选C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选C 与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A 因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M 一定在直线AC上．二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2课时空间图形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．4．异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．[问题思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．讲一讲1.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为线段A 1B ，B 1D 1，A 1B 1上的点，若B 1N B 1D 1＝BM BA 1＝13，且PN ∥A 1D 1.求证：PM ∥AA 1.[尝试解答] 证明：∵PN ∥A 1D 1，B 1N B 1D 1＝13，得B 1P B 1A 1＝13， 又BM BA 1＝13，∴PM ∥BB 1. 而BB 1∥AA 1，∴PM ∥AA 1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行． (2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行． 练一练1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为BC 和AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 与C ′D ′的位置重合，G ，H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明：在梯形ABCD 中，EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．在梯形ABC ′D ′中，G ，H 分别是AD ′，BC ′的中点， ∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)．又CD ＝C ′D ′，∴EFGH ，∴四边形EFGH 为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E ，E 1分别是正方体AC 1的棱AD ，A 1D 1的中点， 求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB .[尝试解答] 证明：连接EE 1，∵E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点， ∴A 1E 1AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又A 1AB 1B ，由基本性质4知B 1BE 1E ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形， ∴E 1B 1∥EB . 同理E 1C 1∥EC .又∠C 1E 1B 1与∠CEB 的对应边方向相同， ∴∠C 1E 1B 1＝∠CEB .1．证明两角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．练一练2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD B1D1，又EF 12BD，E1F112B1D1，所以EF E1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1M BE，∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，∴A1E∥BM∥CF1.同理可证A1F∥DN∥CE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解] 如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因] 错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．[正解] 构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案] D1．下列结论正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③解析：选B ①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．2．已知直线a ，b ，c ，下列三个命题： ①若a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；②若a ∥b ，a 和c 相交，则b 和c 也相交； ③若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c . 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B ①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面 D ．平行解析：选C 如图所示的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB ，CD 交于点O ，已知AO ＝4，BO ＝2，CD ＝9.则线段CO ，DO 的长分别为________，________.解析：∵AB ，CD 相交于O 点，∴AC ，BD 共面． 又AC 与BD 不相交，∴AC ∥BD .∴CO DO ＝AO BO，又DC ＝9，AO ＝4，BO ＝2.∴CO ＝6，DO ＝3. 答案：6 35．已知E ，F ，G ，H 为空间中的四个点，且E ，F ，G ，H 不共面，则直线EF 和GH 的位置关系是________．解析：假设共面，则E ，F ，G ，H 共面，与已知矛盾， ∴EF 与GH 不共面，即异面． 答案：异面6．如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC . 证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB，∴A 1B 1∥AB . 同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .∴△A 1B 1C 1∽△ABC .一、选择题1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交解析：选D a 与c 不可能平行，若a ∥c ，又因为a ∥b ，所以b ∥c ，这与b ∩c ＝A 矛盾，而a 与c 异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P ­ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP 与BC ，CP 与AB ，BP 与AC . 3．如图所示，在长方体木块AC 1中，E ，F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有( )A．3条B．4条C．5条 D．6条解析：选B 由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )A．5 B．10C．12 D．不能确定解析：选B 如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D 若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④三、解答题9．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EM C 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD＝λ，故EHλBD .同理FG μBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。

【志鸿全优设计】2013—2014学年高中数学 1、4 空间图形的基本关系与公理第1课时课后训练北师大版必修21.下列叙述中错误的是( ）。

A。

若P∈α,P∈β且α∩β＝l,则P∈lB.三点A，B,C只能确定一个平面C。

若直线a∩b＝A,则直线a与b能够确定一个平面D。

若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则lα2.下列说法正确的个数有（)。

(1)三角形、梯形一定是平面图形;（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；(3)三条平行线最多可确定三个平面;(4）平面α和β相交,它们只有有限个公共点;(5)若A，B，C，D四个点既在平面α内,又在平面β内，则这两平面重合。

A.2B.3C.4D.53.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD,DA上分别取E，F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,则（)。

A.M一定在直线AC上B。

M一定在直线BD上C。

M可能在直线AC上，也可能在BD上D。

M不在AC上，也不在BD上4.如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α,且点C∈β,点C l、又AB∩l＝R,设A,B，C三点确定的平面为γ,则β∩γ是( ）.A。

直线AC B.直线BCC.直线CR D。

以上均错5。

平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ）.A.3B.4C.5D.66。

若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )。

A.5部分 B。

6部分C.7部分D.8部分7.四条线段顺次首尾相接,最多可以确定平面的个数是__________.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,下列叙述正确的是________.(填序号)(1）直线AC1平面CC1B1B;(2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1,则平面AA1C1C∩平面BB1D1D＝O O1;(3）点A,O,C只能确定一个平面;(4）由点A，C1,B1确定的平面是ADC1B1；（5)由点A,C1，B1确定的平面和由点A,C1,D确定的平面是同一平面。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.4 空间图形的基本关系与公理基础巩固北师大版必修2一、选择题1．已知点A，直线a，平面α：①A∈a，a⃘α⇒A∉α②A∈a，a∈α⇒A∈α③A∉a，aα⇒A∉α④A∈a，aα⇒Aα以上命题表述正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] ①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“Aα”错．2．在空间中，下列命题成立的有________个( )①两组对边都平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析] ②错误．3．在空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点[答案] D[解析] A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面．4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是( )A．4 B．6C．8 D．10[答案] C[解析] AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC与直线EF都是异面直线．5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③[答案] C[解析] ①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误．故选C.6．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合[答案] C[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线CC1平行的棱的条数是________．[答案] 3[解析] 与CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．[答案] 1或4[解析] 四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面．三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．[解析] 如图(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．(2)正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，故R∈PQ.所以P、Q、R三点共线．一、选择题1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案] B[解析] 对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m 有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )A．45° B．60°C．90° D．120°[答案] B[解析] 取A1B1的中点M，连接GM，HM.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，∴△GMH为正三角形，EF∥MG.于是∠MGH为异面直线EF与GH所成的角，即为60°角．二、填空题3．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．[答案] 3[解析] 将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直线．4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．[答案] ③④三、解答题5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线．[解析] 因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上．同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上．因此，PA1就是平面α与平面AB1的交线．同理可得：交线A1C1与交线PC1.所以由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示．6．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．[解析] ∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与平面β的一个公共点．同理可证，F，G，H为平面α与平面β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．7．如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且OAOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．[解析] (1)证明：∵AA′与BB′交于点O，且AOOA′＝BOOB′＝23，∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.∴同理∠ABC＝∠A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′，且ABA′B′＝AOOA′＝23.∴S△ABCS△A′B′C′＝(23)2＝49.。

空间图形的基本关系与公理题型整理题组一共面问题1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ( )A．3 B．4 C．5 D．62．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．题组二共线问题3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ( )A．A、M、O三点共线 B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面 D．B、B1、O、M共面4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．题组三(文)点线、平面之间的位置关系5.l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是( )A．异面或平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．47．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的序号有________．题组三异面直线及其所成角5.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是( )A．相交直线 B．平行直线C. 不垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线6．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直7．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．8.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．参考答案题组一共面问题1．(2020·湖南高考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：C2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④题组二共线问题3ABCD A1B1C1D1O B1D1A1C面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ( )A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1CÔ平面ACC1A1，∵M在A1C上，∴M在平面ACC1A1内，又M在平面AB1D1内，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．答案：A4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．证明：∵AB∥CD，∴AB、CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，ABβ，∴E在α内，E在β内，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F、G、H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E、F、G、H四点必定共线．题组三(文)点线、平面之间的位置关系5.l1、l2121212( )A．异面或平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面答案：D6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4答案：A7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的序号有________．解析：①∵E、F分别是PA、PD的中点，∴EF∥AD.又∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴BE与CF共面，故①不正确．②∵BE是平面APD的斜线，AF是平面APD内与BE不相交的直线，∴BE与AF不共面，故②正确．③由①知EF∥BC，∴EF∥平面PBC.故③正确．④条件不足，无法判断两平面垂直．答案：②③题组三(理)异面直线及其所成角5.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是( )A．相交直线 B．平行直线C. 不垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此DD1与BB1所在直线是相交的．答案：A6．(2020·辽宁模拟)正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是 ( )A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EFÔ平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：A7．(2020·淮南模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．解析：取A1C1的中点D1，连结B1D1，由于D是AC的中点，∴B1D1∥BD，∴∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连结AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，∴AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.∴cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，∴∠AB1D1＝60°.答案：60°8.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．解：连结B1G，EG，由于E、G分别是DD1和CC1的中点，∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连结B1F，则FG ＝3，B1G＝2，B1F＝5，由FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.题组四综合问题9.(理)(文8)(2020·淄博模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 ( )解析：到定点B的距离等于到直线A1B1的距离，所以动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．答案：C9．(文)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O 为面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长．解：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q，连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，∴OQ是α与β的交线．故直线OPQ即为所求作的直线．(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ=CB=1，又∵△OPN∽△QPA，ON=12BC=12AQ.∴PN∶PA=1∶2.AP=23AN=53．解Rt△APQ可得PQ=143．10．(理)(2020·大连模拟)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC ＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．解：(1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，∴AF=3，AE=2，EF=2；cos∠AEF=14222=⨯⨯，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为14．(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA=1，VA-EBC=VE-ABC=13×(12×2×2×32)×1=33．。

4．1 空间图形基本关系的认识时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法错误的是( )A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交答案：C2．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是( ) A．l⊂α B．l∉αC．l∩α＝A D．l∩α＝B答案：A解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α. 3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.4．下面空间图形画法错误的是( )A BC D答案：D解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线答案：C解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( ) A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面答案：D解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．答案：A∈l AB⊂βα∩β＝l8．设平面α与平面β相交于直线l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则点M与l 的位置关系为________．答案：M∈l解析：因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案：②解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．解：11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN 不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C ∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．12.如图，已知P∉平面ABC，PA≠PN⊥AB与N，求证：CM和PN 是异面直线．解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：(1)若M、N重合，可得AN＝BN，∴PN是线段AB的中垂线，∴PA＝PB，与题设PA≠PB矛盾．(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P∉平面ABC矛盾．所以CM和PN是异面直线．证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM⊂平面ABC.又∵PN⊥AB于N，∴N∈平面ABC.∵PA≠PB，∴AN≠BN.∴N与M不重合，即N∉CM.又∵P∉平面ABC，∴CM和PN是异面直线．。

第1课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3[核心必知]1．空间图形的基本位置关系点⎩⎨⎧点与直线⎩⎪⎨⎪⎧ 点在直线上点在直线外点与平面⎩⎪⎨⎪⎧点在平面内点在平面外2．空间图形的3条公理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A 、B 、C 三点不共线，则存在唯一一个平面α使A∈α，B ∈α，C ∈α续表文字语言图形语言 符号语言公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B∈α，则公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A ∈α，A ∈β，且α与β不重合，则α∩β＝l ，且A ∈l[问题思考]1．三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面．2．三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面．讲一讲1．如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．[尝试解答]证明：∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面α.如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三线共面．证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．练一练1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证：直线a，b，c和l共面．证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，如图．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直线b与l，且l∩b＝B，又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面.讲一讲2.已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线．[尝试解答]证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上．练一练2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1CB内，∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在两平面的交线BD1上，∴B，Q，D1三点共线.讲一讲3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．[尝试解答]证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．练一练3．已知在正方体ABCD­A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P.证明：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面．因为E，F不与A′，B重合，所以EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形．设D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]∵A，B，C，D共面，∴点A在点B，C，D所确定的平面内．∵点B，C，D，E四点共面，∴点E也在点B，C，D所确定的平面内，∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面．[错因]在证明共面问题时，必须注意平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础．[正解]A，B，C，D，E五点不一定共面．(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面α，由题设知A ∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五点共面于α；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面．1．下列图形中不一定是平面图形的是( ) A ．三角形 B ．菱形C ．梯形D ．四边相等的四边形解析：选D 四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形． 2．(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：选A 如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a >0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE ⊥CD ，BE ⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，显然A 、B 、E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a < 2. ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面 ③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，①错；两条直线异面时不能确定一个平面，②错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，④错．∴只有③对．4．如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是__________；(2)直线A1B与B1C的位置关系是__________；(3)直线D1D与D1C的位置关系是__________；(4)直线AB与B1C的位置关系是__________．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．答案：平行、相交或异面6．证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如图所示)．∵l1与l2相交，∴l1与l2确定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3α，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．一、选择题1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．2．若点A在直线b上，b在平面β内，则A，b，β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．A b，bβD．A b，b∈β解析：选B∵点A在直线b上，∴A∈b，又∵直线b在平面β内，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR解析：选C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.4．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．6解析：选C与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．二、填空题6．空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为________．解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面．答案：1或47．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．解析：观察图形可知①③错误，②④正确．答案：②④8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④三、解答题9．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．10．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．证明：①无三线共点情况，如图所示，设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K∉a，∵K∉a，∴K与a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2课时空间图形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一条直线的两条直线平行．2．定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形．4．异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直．[问题思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性．作用主要是证明两条直线平行．等角定理的主要作用是证明空间两个角相等．2．两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定．只要两直线所成的角是90°，这两直线就垂直，因此，两直线也可能异面．讲一讲1.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别为线段A1B，B1D1，A1B1上的点，若B1NB1D1＝BMBA1＝13，且PN∥A1D1.求证：PM∥AA1.[尝试解答]证明：∵PN∥A1D1，B1NB1D1＝13，得B1PB1A1＝13，又BMBA1＝13，∴PM∥BB1.而BB1∥AA1，∴PM∥AA1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．练一练1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与C′D′的位置重合，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：在梯形ABCD 中，EF ∥AB 且EF ＝12(AB ＋CD )．在梯形ABC ′D ′中，G ，H 分别是AD ′，BC ′的中点， ∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′)．又CD ＝C ′D ′，∴EFGH ，∴四边形EFGH 为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E ，E 1分别是正方体AC 1的棱AD ，A 1D 1的中点， 求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB .[尝试解答] 证明：连接EE 1，∵E ，E 1分别是AD ，A 1D 1的中点， ∴A 1E 1AE ，∴四边形A 1E 1EA 为平行四边形， ∴A 1A E 1E . 又A 1AB 1B ，由基本性质4知B 1BE 1E ，∴四边形E 1EBB 1为平行四边形， ∴E 1B 1∥EB . 同理E 1C 1∥EC .又∠C 1E 1B 1与∠CEB 的对应边方向相同， ∴∠C 1E 1B 1＝∠CEB .1．证明两角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性．练一练2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证：(1)EF E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF12BD.同理，E1F112B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD B1D1，又EF 12BD，E1F112B1D1，所以EF E1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1M BE，∴四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，∴A1E∥BM∥CF1.同理可证A1F∥DN∥CE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为∠EA1F、∠E1CF1的对应两边，且方向相反，∴∠EA1F ＝∠E1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD是异面直线C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[错解]如图，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故选A.[错因]错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内．[正解]构造图形：(1)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(1))；(2)在同一个平面内∠ABC＝∠BCD(如图(2))；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线．[答案]D1．下列结论正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，可以异面．②正确，公理4.③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确．可能平行，可能相交也可能异面．3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．4．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB，CD交于点O，已知AO＝4，BO＝2，CD ＝9.则线段CO，DO的长分别为________，________.解析：∵AB，CD相交于O点，∴AC，BD共面．又AC与BD不相交，∴AC∥BD.∴CODO＝AOBO，又DC＝9，AO＝4，BO＝2.∴CO＝6，DO＝3.答案：635．已知E，F，G，H为空间中的四个点，且E，F，G，H不共面，则直线EF和GH 的位置关系是________．解析：假设共面，则E，F，G，H共面，与已知矛盾，∴EF与GH不共面，即异面．答案：异面6．如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC成立．求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .证明：在△OAB 中，∵OA 1OA ＝OB 1OB ，∴A 1B 1∥AB .同理可证A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC .∴∠C 1A 1B 1＝∠CAB ，∠A 1B 1C 1＝∠ABC .∴△A 1B 1C 1∽△ABC .一、选择题1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面或相交解析：选D a 与c 不可能平行，若a ∥c ，又因为a ∥b ，所以b ∥c ，这与b ∩c ＝A 矛盾，而a 与c 异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P ­ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对解析：选B 据异面直线的定义可知共有3对．AP 与BC ，CP 与AB ，BP 与AC . 3．如图所示，在长方体木块AC 1中，E ，F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．3条B ．4条C．5条D．6条解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 12BD，FG12BD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．解析：如图，可借助长方体理解，令a＝CC1，b＝A1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④三、解答题9．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.证明：(1)取BB 1的中点M ，连接EM ，C 1M .在矩形ABB 1A 1中，易得EM A 1B 1，∵A 1B 1C 1D 1，∴EMC 1D 1，∴四边形EMC 1D 1为平行四边形， ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中，易得MBC 1F ，∴四边形BFC 1M 为平行四边形， ∴BF ∥C 1M ，∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF ，BB 1∥EA 1，又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同， ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点． 证明：在△ABD 中，AE AB ＝AHAD ＝λ，故EHλBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交． 设EF ∩HG ＝O ，则由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .。