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信号系统函数的定义

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1 §6-1 引 言 一、 系统函数的定义 系统函数H(s)定义为系统的零状态响应R(s)与激励E(s)之间的比值：

)()()(sEsRsH

二、电网络系统的系统函数的分类 激励 响应 系统函数 策动点函数 输入函数 电压)(1sU 电流)(1sI 输入导纳：

)()()(1111sUsIsY

电流)(1sI 电压)(1sU 输入阻抗： )()()(1111sIsUsZ

转移函数 传输函数

电流)(1sI 电压)(2sU 转移阻抗函数： )()()(1221sIsUsZ

电压)(1sU 电流)(2sI 转移导纳函数： )()()(1221sUsIsY

电流)(1sI 电流)(2sI 电流传输函数： )()()(1221sIsIsTi

电压)(1sU 电压)(2sU 电压传输函数： )()()(1221sUsUsTu

三、 )(sH、)(pH、)(jH、)(th之间关系 1、)(pH与)(sH形式相同，含义不同； 2、)(sH中当js时，就得到了系统特性在频域中的表达形式)(jH； 3、H(s)是)(th的像函数，)(th是H(s)的原函数。 所以，得到了H(s)以后，就可以得到)(pH、)(jH和)(th。 通过H(s) 可以对系统进行综合和分析。 §6-2 系统函数的表示法

系统函数可以用数学表达式表达，也可以用图示的方法表达。前 2

者比较简单，但是无法直接看出系统的特性。后者可以直接表示出系统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。 常用的图示法有三种：频率特性，复轨迹，极零图。 一、频率特性

 正如第四章中所见，系统特性可以用反映幅度特性随频率变化规律的幅频特性曲线和反映相位特性随频率变化规律的相频特性曲线描述。  频率特性主要用于研究系统的频率特性分析。

 对于)(sH，没有必要研究其随任意复频率变化的规律，只需要令

js

，得到)(jH，研究沿s平面虚轴变化的规律。

 对于一般的（电）系统，)(sH为s的有理函数，其幅频特性为的

偶函数，相频特性为的奇函数。所以，只要画出0部分即可。  频率特性曲线有时也在对数尺度的坐标系中作出，称为波特图。见§6-4。  对于因果系统而言，)(jH的实部和虚部相互联系，知道其中一个，

就可以推导出另一个。 证明：对于因果系统，有： )()()(tthth



1*)(21)(211*)(21)(*)(21

1)(*)(21)(jHjjHjjHjHjjHjH

1*)(21)(21jHjjH





1*)(11*)(1

1*)()(1)()(jRjjXjjXjRjjjXjR





djRjRjXdjXjXjR)(11*)(1)(

)(11*)(1)(

根据上面两个的公式，可以从)(jR计算出)(jX或反之。 二、 复轨迹

定义： 对于每一个值，函数)(jH都是一个复数，都可以用复平面上的一个点表示。令从变化到，)(jH在复平面上的点将随之运动，其在复平面上所产生的轨迹称为复轨迹。

例：2451)(23ssssH的根轨迹和频率特性曲线。见e6_2.m  由于相频特性为的奇函数。)(jH在0处的相位一定为零，

)0(jH一定是实数,落在实轴上。

 *)()(jHjH

，或)()(jHjH，)()(——>复

轨迹一定是关于实轴对称。 3

 复轨迹主要用于系统稳定性分析。 三、 极零图

将)(sH的极点和零点在复平面上表示出来，构成了极零图。

例如：))(()()(211pspszssH的极零图： )Im(s

)Re(ss平面

1z1p

2p  )(sH与s之间的关系如果直接用图形方法表示的话，应该用两个

三维图形（)(sH的幅度与相位，或者实部与虚部）表示，不太方便。 例如：并联LC谐振电路的系统函数为



2202201)(jsjs

sCsH

其)(sH随s变化的三维图形为：

而其极零图为： 4

显然极零图比原来的三维图形要简单得多。  如果系统的全部极点和零点都确定了以后，系统函数基本上就确定

了（可能相差一个常数）。可以认为，极零图是是)(sH的一种图像化表示方法。 例6－2－1 例6－2－1： 已知一阶线性连续系统的系统函数H(s)的零、极点分布如下图所示，“x”表示极点，“0”表示零点，且H0＝1。求系统的阶跃响应 u(t)。

X0-2

o

j

解：根据极零图和H0可以写出系统函数 sssH2)(

系统得阶跃响应： )()()(sEsHsR•

22ss

ss122

反变换得： )()21()(tttr

例6－2－2

例6－2－2： 已知一LTI的输入是)()(3tetxt 那么零状态响应是)(][)(2teetytt 试求系统函数及此系统的微分方程。 分析：系统零状态响应 Rzs(s)=H(s)E(s) 解：

2111)(][)(31)()(23ssteetystetx

ttt



Rzs(s)=H(s)E(s) )(3)('2)(3)(''233)31/()2111()(2tetetytysssssssH

§6-3 系统函数的极零点分布及其与系统时域特性的关系 一、 极零点分布的对称性 一般在实际应用中，)(sH是一个实系数的有理分式，其极零点 5

要么是实数，要么是共扼复数。所以，极零点一定关于实轴对称。 二、 极零点的个数

如果将s处的极零点都考虑在内，则系统的极点的个数与零点的个数相等。 三、 极零点与系统自然响应信号模式之间的关系

系统的极点就是系统的特征根，它决定了系统自然响应或者零输入响应中可能含有的各个信号的模式。假设系统的极

点是1p、2p，…，Np tpNtptpziNeCeCeCtr......)(2121

四、 极零点与系统的稳定性 系统的极零点分布与系统稳定性有很大关系。具体讨论见下面§6-6节。 例6－3－1 例6－3－1： 一线性时不变系统的系统函数为：

1)Re(1)(ssesHs

求此系统的冲激响应，并分析此系统的因果、稳定性。 分析：系统函数与冲激响应为一对拉普拉斯的象函数和原函数。 解

)1(1)(11)(1)Re(1tes

e

tes

thstst）（时性质：根据拉普拉斯变换的延是右边函数

因为在-10,所以是非因果系统 dtth)( 所以是稳定系统。

总结：理解系统函数和冲激响应的关系。我们在讨论收敛域：因果系统的收敛域是最右边极点的右边区域；但收敛域是右边的区域，并不意味着是因果系统，除非系统函数是有理的。 6

§6-4 极零点与系统频率特性 一、 通过极零点求系统频率特性 一般系统可以表示为：



niimiipszsHsH110

)(

)()(

假设：ijiiieBzsb，ijiiieApsa )Im(s

)Re(ss平面

1z1p

2p1a

2a1b11

2

则：niimiijniimiieABHsH11110)( 所以：niimiiABHjH110)(，niimii11)( 如果在极零图上确定了iiiiBA，不难得到频率特性。

例：))(()(21pspsssH  根据极零图，可以粗略地确定系统频率特性。

 当j

靠近极点时，幅频特性会产生一个峰；

 当j

靠近零点时，幅频特性会产生一个谷。

 极零点靠虚轴越近，相应的峰或谷越尖锐。当极点（或零点）正好落在虚轴上时，幅频特性会出现一个无穷大（或零）点。 二、 两种重要的系统函数

1、 全通系统 系统的零点和极点关于虚轴对称分布的系统称为全通系统。

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数字信号处理复习 (3)

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式。
4、正弦型序列
x(n) sin(n )
要求：会判断正弦型序列的周期性
四、正弦序列的周期性
x(n) sin(n ) 的周期有三种情况：
2 1 、 N 是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；
2 P 2、 是有理数，（其中P、Q为互质整数)， Q
则x(n)是周期序列，周期为P；
m
x ( m) h ( n m)

上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,
则y(n)的长度为L+M-1。
三、几种常用序列 1、单位抽样序列δ(n) （1）定义式
1 (n 0) ( n) 0 (n 0)
1 (n m) ( n m) 0 (n m)
n
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)]
例：判断下列系统是否线性系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
二、移不变系统：
当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。
例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统? A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n) B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)
五、稳定系统 1、稳定系统的定义： 稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。 例：判断下列系统是否稳定系统。 y(n)=x(n-2)
二、掌握用留数法求Z反变换的方法
例：已知
X( z) 1 (1 2 z 1 )(1 1.2 z 1 )
信号与系统

信号与系统

第一章信号与系统的基本概念一、信号的定义①广义地说，信号就是随时间和空间变化的某种物理量或物理现象.②在通信工程中，一般将语言、文字、图像、数据等统称为消息，在消息中包含着一定的信息③信号是消息的载体，是消息的表现形式，是通信的客观对象，而消息则是信号的内容④应当注意，信号与函数在概念的内涵与外延上是有区别的。

信号一般是时间变量t的函数，但函数并不一定都是信号，信号是实际的物理量或物理现象，而函数则可能只是一种抽象的数学定义。

二、信号的分类(1) 确定信号与随机信号。

按信号随时间变化的规律来分，信号可分为确定信号与随机信号。

实际传输的信号几乎都是随机信号。

因为若传输的是确定信号，则对接收者来说，就不可能由它得知任何新的信息，从而失去了传送消息的本意。

但是，在一定条件下，随机信号也会表现出某种确定性，例如在一个较长的时间内随时间变化的规律比较确定，即可近似地看成是确定信号。

随机信号是统计无线电理论研究的对象。

本书中只研究确定信号。

(2)连续时间信号与离散时间信号。

按自变量t取值的连续与否来分，信号有连续时间信号与离散时间信号之分，分别简称为连续信号与离散信号。

(3)周期信号与非周期信号。

设信号f(t)，t∈R，若存在一个常数T，使得f(t-nT)=f(t) n∈Z (1-1)则称f(t)是以T为周期的周期信号。

从此定义看出，周期信号有三个特点：1) 周期信号必须在时间上是无始无终的，即自变量时间t的定义域为t∈R。

2) 随时间变化的规律必须具有周期性，其周期为T。

3) 在各周期内信号的波形完全一样。

(4) 正弦信号与非正弦信号。

(5) 功率信号与能量信号。

三、信号的相关名词1. 有时限信号与无时限信号若在有限时间区间(t1＜t＜t2)内信号f(t)存在，而在此时间区间以外，信号f(t)=0，则此信号即为有时限信号，简称时限信号，否则即为无时限信号。

2. 有始信号与有终信号设t1为实常数。

若t＜t1时f(t)=0， t＞t1时f(t)≠0，则f(t)即为有始信号，其起始时刻为t1。

信号与系统概念公式总结

信号与系统概念公式总结

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

信号与系统总结

信号与系统总结

第一章 信号与系统分析导论一．信号的描述及分类信号是消息的表现形式与传送载体，消息则是信号的具体内容。

1. 信号的分类：（1）从信号的确定性划分：确定信号 与 随机信号（2）从信号在时间轴上取值是否连续划分：连续信号 与 离散信号 （3）从信号的周期性划分：周期信号 与 非周期信号 （4）从信号的可积性划分：能量信号 与 功率信号 重点讨论：确定信号 特别注意：离散信号 的自变量 要求取整数 2. 能量信号定义： 0 < W < ∞，P = 0。

功率信号定义： W → ∞，0 < P < ∞。

直流信号与周期信号都是功率信号。

二．系统的描述及其分类 1. 描述：（1）数学模型输入输出描述：N 阶微分方程或N 阶差分方程状态空间描述：N 个一阶微分方程组或N 个一阶差分方程组 （2）方框图表示 2. 分类：（一）连续时间系统 与 离散时间系统 （二）线性系统 与 非线性系统 无初始状态：线性：均匀特性 与 叠加特性 见教案例1-3 若： 有：其中 α 、β 为任意常数-------线性系统线性系统的数学模型是线性微分方程式或线性差分方程式 含有初始状态：见教案例1-4完全响应、零输入响应、零状态响应定义从三方面判别：1、具有可分解性： 2、零输入线性3、零状态线性（三）时不变系统 与 时变系统 见教案例1-5 时不变特性：[]k f k )()(),()(2211t y t f t y t f −→−−→−)()()()(2121t y t y t f t f ⋅+⋅−→−⋅+⋅βαβα)()()(t y t y t y f x +=)()(t y t f f −→−)()(00t t y t t f f -−→−-线性时不变系统数学模型：定常系数的线性微分方程式或差分方程式 线性时不变性的判别见教案总结 （四）因果系统 与 非因果系统 -----为因果系统----------非因果系统 （五）稳定系统 与 不稳定系统 本课程重点讨论线性时不变系统 三：信号与系统分析概述1. 信号分析：核心是信号分解2. 系统分析：主要任务是建立系统的数学模型，求线性时不变系统的输出响应学习要求：1. 掌握信号的定义及分类；2. 掌握系统的描述、分类及特性；3. 重点掌握确定信号及线性时不变系统的特性。