源代码：
1. GUI模块
screen=get(0,'Screensize');
w=screen(3);h=screen(4);
figure('color',[1,1,1],'position',[0.2*h,0.2*h,0.5*w,0.3*h],'Name','单变量函数','NumberTitle','off','MenuBar','none');
hcount=uimenu(gcf,'label','&count');
hmenu1=uimenu(hcount,'label','全局搜索','Callback','six');
hmenu2=uimenu(hcount,'label','二分法','Callback','five');
hmenu3=uimenu(hcount,'label','黄金分割','Callback','golden'); hmenu4=uimenu(hcount,'label','FABONONACI','Callback','four');
hplot=uimenu(gcf,'label','&plot');
hmenu1=uimenu(hplot,'label','误差');
hmenu1=uimenu(hplot,'label','时间');
uimenu(gcf,'label','&quit','call','close(gcf)');
2. 黄金分割函数模块
tic;
a=0;b=1;e=1e-10;
a1=b-0.618*(b-a);
a2=a+0.618*(b-a);
while b-a>e
y1=8*a1^3-2*a1^2-7*a1+3;
y2=8*a2^3-2*a2^2-7*a2+3;
if y1>y2
a=a1;
a1=a2;
y1=y2;
a2=a+0.618*(b-a);
plot(a2,y1,'bh')
axis([0.6 0.65 -0.25 0.18]);
title('黄金分割法');
else
b=a2;
a2=a1;
y2=y1;
a1=b-0.618*(b-a);
plot(a1,y2,'bh')
axis([0.6 0.65 -0.25 0.18]);
title('黄金分割法');
end
end
xmin=(a+b)/2
ymin=8*xmin^3-2*xmin^2-7*xmin+3 t=toc;
disp('t=');
disp(t);
per=(xmin-0.6298)/0.6298
3.fabonnaci法模块
tic;
f0=1;f1=1;
f=f0+f1;
n=2;a=0;b=1;
while 1/f>1e-10
f0=f1;f1=f;f=f0+f1;
n=n+1;
end
fun=inline('8*x^3-2*x^2-7*x+3','x'); for k=1:n-2
t1=b+f1/f*(a-b);t2=a+f1/f*(b-a);
if fun(t1) b=t2; else a=t1; end f=f1;f1=f0;f0=f-f1; end if fun(t1) t=t1,y=fun(t1) else t=t2,y=fun(t2) end plot(t,y,'r*') axis([0.6 0.65 -0.25 0.18]); title('fabonnaci法'); t=toc; disp('用时t='); disp(t); per=(t-0.6298)/0.6298 4.二分法 tic; a=0;b=1;e=1e-10; x0=(a+b)/2; fun=inline('8*x^3-2*x^2-7*x+3','x'); f=[8,-2,-7,3]; y=polyval(polyder(f),x0); while b-a>e if y>0 b=x0; x0=(a+b)/2; y=polyval(polyder(f),x0); elseif y<0 a=x0; x0=(a+b)/2; y=polyval(polyder(f),x0); else x0=(a+b)/2 end end x0 y=fun(x0) plot(x0,y,'g*') axis([0.6 0.65 -0.25 0.18]); title('二分法'); t=toc; disp('t='); disp(t); per=(x0-0.6298)/0.6298 5.全局搜索法模块 tic; h=0.000001; x=0:h:1; f=8*x.^3-2*x.^2-7*x+3; [y,i]=min(f); x=x(i),y plot(x,y,'b*') axis([0.6 0.65 -0.25 0.18]); title('全局搜索法'); t=toc per=(x-0.6298)/0.6298 §3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。 一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ， 则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞； （２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。 对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有()0P X a ==． 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】 设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为 其中λ为正常数． 试 确定常数A ． 一、单项选择题 1 则c =A. 81 B. 41 C. 31 D. 2 1 2．某学习小组有4名男生2名女生共6个同学，从中任选2人作为学习小组长，设随机变 A B C D 3．下列各函数可作为随机变量分布函数的是 （ ） A .???≤≤=其他0102)(1x x x F B .?????≥<≤<=111000)(2x x x x x F C .?????≥<≤--<-=111111)(3x x x x x F D .?? ? ??≥<≤<=121020 0)(4x x x x x F 4．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量21X X 与的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是 某一个随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （ ） A .52,53-== b a B .32,32==b a C .23,21=-=b a D .2 3 ,21-==b a 5．设随机变量X 具有对称的概率密度，即)()(x f x f =-，则对任意0>a ，=>)|(|a X P （ ） A .)(21a F - B .1)(2-a F C .)(2a F - D .)](1[2a F - 6．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2 μN X ，)5,(~2 μN Y ，记 }2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ） A .对任何实数μ，都有21p p = B .对任何实数μ，都有21p p < C .只对μ的个别值才有21p p = D .对任何实数μ，都有21p p > .7 设随机变量X 的密度函数为4,01, ()0,cx x f x ?<<=??其它 ，则常数c =（ ）. A. 51 B. 4 1 C. 4 D. 5 8 设2 ~(1,)X N σ-且(31)0.4P X -<<-=，则(1)P X ≥= （ ）. A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.5 二、填空题 1．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布)(λπ，1 }0{-==e X P ，则=λ 2．设随机变量X 的密度函数为??? ??<<--=其他 111)(2 x x C x f ，则常数=C 8.随机变量的函数的分布 【教学容】：高等教育大学盛骤，式千，承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第五节的随机变量的函数的分布 【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。 【教学重点、难点】： 重点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。 难点：连续型随机变量的函数的分布。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。 二分法求解单变量方程matlab 1、问题：用二分法求解单变量连续函数f(x)在连续区间[a, b]间的零点。 2、Matlab程序2.1、Matlab脚本文件% 调用二分法函数求解[x, iteration] = Erfen(@myfun, -1, 3)2.2、Matlab函数文件function y = myfun(x)%目标求解函数y = x^2-5; %测试二分法2.3、Matlab函数文件function [x, iteration] = Erfen(f, a, b, tol)% 二分法求解单变量连续函数f(x)在连续区间[a, b]间的零点% 要求f(a)f(b)% iteration = [n x fx a fa b fb]if nargin tol = 1e-4; %设置精度要求endfa = feval_r(f, a); %f(a)的值fb = feval_r(f, b); %f(b)的值iteration = []; %迭代过程记录n = 0; %迭代步数if abs(fa) x = a;return;elseif abs(fb) x = b;return;elseif sign(fa) == sign(fb)error('fa has the same sign with fb'); %a,b同号endwhile abs(b-a) > toln = n + 1; %迭代步数x = a/2 + b/2; %二等分fx = feval_r(f, x);iteration = [iteration; n x fx a fa b fb];if abs(fx) return;elseif sign(fx) == sign(fa)a = x;elseif sign(fx) == sign(fb)b = x;endendend3、运行结果x =2.2361iteration =1.0000 1.0000 -4.0000 -1.0000 -4.0000 3.0000 4.00002.0000 2.0000 -1.0000 1.0000 -4.0000 3.0000 4.00003.0000 2.5000 1.2500 2.0000 -4.0000 3.0000 4.00004.0000 2.2500 0.0625 2.0000 -4.0000 2.5000 4.0000 5.0000 2.1250 -0.4844 2.0000 -4.0000 2.2500 9.2.1.2 相关函数介绍 fminbnd 功能：找到固定区间内单变量函数的最小值。 语法： x = fminbnd(fun,x1,x2) x = fminbnd(fun,x1,x2,options) x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...) [x,fval] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag] = fminbnd(...) [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...) 描述： fminbnd求取固定区间内单变量函数的最小值。 x = fminbnd(fun,x1,x2)返回区间{x1，x2}上fun参数描述的标量函数的最小值x。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options)用options参数指定的优化参数进行最小化。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options,P1,P2,...)提供另外的参数P1,P2等,传输给目标函数 fun。如果没有设置options选项，则令options=[]。 [x,fval] = fminbnd(...)返回解x处目标函数的值。 [x,fval,exitflag] = fminbnd(...)返回exitflag值描述fminbnd函数的退出条件。 [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)返回包含优化信息的结构输出。 变量： 函数的输入变量在表9-7中进行描述，输出变量在表9-8中描述。与fminbnd函 数相关的细节内容包含在fun,options,exitflag和output等参数中，如表9-10所示。 表9-10 参数描述表 参数描述 fun 需要最小化的目标函数。fun函数需要输入标量参数x，返回x处的目标函数标量值f。可以将fun函数指定为命令行，如 x = fminbnd(inline('sin(x*x)'),x0) 同样，fun参数可以是一个包含函数名的字符串。对应的函数可以是M文件、内部函数或MEX 文件。若fun='myfun'，则M文件函数myfun.m必须右下面的形式。 function f = myfun(x) f = ... %计算x处的函数值。 options 优化参数选项。你可以用optimset函数设置或改变这些参数的值。options参数有以下几个选项： ● Display –显示的水平。选择'off'，不显示输出；选择'iter'，显示每一步迭代过程 的输出；选择'final'，显示最终结果。 ●MaxFunEvals –函数评价的最大允许次数。 ●MaxIter –最大允许迭代次数。 ●TolX –x处的终止容限。 §3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2 ,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y （3.51） 其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明 略) 例3.11（略） 例3.12（略） 2χ—分布 我们先给出下述一个式子： p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2 n χ，它是数理统计中一个重要的分布。 （一）和的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为 F ζ(y)= P (ζ F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54） 如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55） 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57） （其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略） （二）商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分 第七讲 连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X 具有概率密度 )5.4(,, 0,,1 )(??? ??<<-=其它b x a a b x f 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). X 的分布函数为 )6.4(. , 1,, ,,0)(???? ???≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F （2）指数分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 )7.4(, , 0,0,e 1)(/?????>=-其它x x f x θ θ 其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布. 容易得到X 的分布函数为 )8.4(. , 0,0,1)(/?? ?>-=-其它x e x F x θ 如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度 1 =2 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 }. {e e e )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>= >>?+>= >+>--+-θ θθ 性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 ) 10.4(,,e 21)(2 22)(∞<<-∞= -- x x f x σ μσ π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ). 显然f(x)≥0, 下面来证明 1d )(=? +∞ ∞ -x x f 令t x =-σμ/)(, 得到 dx e dx e t x 2 2)(2 2 22121- ∞ +∞ --- ∞ +∞ -? ? = π σ πσ μ . 1d 21d 21 ) 11.4(π 2d d e ,, d d ,d e 2 2)(20 2 22 /)(22 /2 2 2222 2 == ====? ??? ? ? ?∞ ∞ -- ∞ ∞ ---∞ - +∞∞-+∞ ∞ -+-∞ ∞--x e x e r r I u t e I t I t x r u t t π σ πθσμπ 于是 得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质: （1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意 f (x )的图形: 1.5 0.5 函数中的双变量 1、已知函数()sin f x x =，对,46ππα???∈-- ??? ，都存在唯一的实数()0,m β∈，使得()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值为 2、对于[]1,x e ?∈，总存在三个不同的实数y ，使得ln 0y e xy x ay y --=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A 、2,4e ??-∞- ??? B 、2,04e ??- ??? C 、2,4e ??-+∞???? D 、2,4e ??-+∞ ??? 3、设1a >，对于[],2x a a ?∈，都有2,y a a ??∈??，满足方程log log 3a a x y +=，则实数a 的取值集合是（ ） A 、{}12a a <≤ B 、{}2a a ≥ C 、{} 23a a <≤ D 、{}2,3 4、设1a >，若仅有一个常数c ，使得对于[],2x a a ?∈，都有2,y a a ??∈??，满足方程log log 3a a x y +=，则实数a 的取值集合是 5、定义函数(),y f x x D =∈，若存在常数c ，对于x D ?∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12()()2 f x f x c +=，则称函数()f x 在D 上的算术平均数为c 。已知函数[]()ln , 2,8f x x x =∈，则[]()ln 2,8f x x =在上的算术平均数为 （ ） A 、ln 2 B 、ln 2 C 、ln 5 D 、ln 8 6、若存在两个正实数,x y 使等式()()22ln ln 0x m y ex y x +--=成立，（其中2.71828...e =）则实数m 取值范围是________. Excel 相关技巧 目录 ●“单变量求解” ●如何把冻结某一行或者某一列- 这叫“冻结窗格” ●Excel表中如何同时冻结多行和多列 ●Excel中冻结第一行、第一列的技巧 ●Excel中CountIf函数的用法 ●Excel表中如何交换两列 ●“单变量求解”概念、例题 “单变量求解”是一组命令的组成部分，这些命令有时也称作假设分析工具。如果已知单个公式的预期结果，而用于确定此公式结果的输入值未知，则可使用“单变量求解”功能，通过单击“工具”菜单上的“单变量求解”即可使用“单变量求解”功能。当进行单变量求解时，Microsoft Excel 会不断改变特定单元格中的值，直到依赖于此单元格的公式返回所需的结果为止。例如，使用“单变量求解”逐渐增加单元格B3 中的利率，直到B4 中的付款额等于$900.00。 单变量求解是解决假定一个公式要取的某一结果值，其中变量的引用单元格应取值为多少的问题。ECCEL 2000根据所提供的目标值，将引用单元格的值不断调整，直至达到所需要求的公式的目标值时，变量的值才确定。 [例1] 举个简单的例子来说明单变量求解。例如，一个职工的年终奖金是全年销售额的0.2%，前三个季度的销售额已经知道了，该职工想知道第四季度的销售额为多少时，才能保证年终奖金为1000元。我们可以建立一个表格。 其中，单元B5中的公式为“=（B1+B2+B3+B4）*0.2%” 用单变量求解的具体操作步骤如下： 1.选定包含想产生特定数值的公式的目标单元格。例如，单击单元格B5。 2.选择“工具”菜单中的“单变量求解”命令，出现如图所示的“单变量求解”对话框。此时，“目标单元格”框中含有的刚才选定的单元格。 3.在“目标值”框中输入想要的解。例如，输入“1000” 4.在“可变单元格”框中输入B4。 5.单击“确定”按钮，出现如图所示的“单变量求解状态”对话框。在这个例子中，计算结果145600显示在单元格B4内。要保留这个值，单击“单变量求解状态”对话框中的“确定”按钮。 默认的情况下，“单变量求解”命令在它执行100次求解与指定目标值的差在0.001之内时停止计算。如果不需要这么高的精度，可以选择“工具”菜单中的“选项”命令，单击“重新计算”修改“最多次数”和“最大误差”框中的值。 [例2] 1 一维随机变量及其分布 本章重点是：离散型随机变量的分布律、分布函数；连续型随机变量的分布律、分布函数；随机变量函数的密度函数 1.口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,.从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码. （1）试求X 的分布列；（2）写出X 的分布函数，并作图.（2）X 的分布函数为 2.有3个盒子，第一个和装有1个白球，4个黑球，第二个和装有2个白球，3个黑球，第三个和装有3个白球，2个黑球，现任取一个盒子，从中任取3个球.以X 表示所取到的白球数. （1）求X 的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？ 3设随机变量的分布函数为 求X 的概率分布列及 ()()()()3,3,1,1P X P X P X P X <≤>≥.. 4.随机变量X 的密度函数为1, 11,()0,.x x p x ?--≤≤=??其它求X 的分布函数. 5.学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，（单位h ）密度函数为 （1）确定常数c ；（2）X 的分布函数；（3）求在20min 内完成一道作业的概率； （4）求在10min 以上完成一道作业的概率. 6.已知随机变量X 的密度函数为()21,x x p x x e e π-=-∞<<+∞+试求随机变量 ()Y g X =的概率分布，其中()1,0;1, 0. x g x x - 变量与函数知识点 【篇一：变量与函数知识点】 Ⅱ.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的 方法叫做图象法．它的优点是能够形象直观地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确． 例如：长春市某天气温随时间变化的图象如图11－1所示，从图象 上能看出温度随时间变化的情况，时间是自变量． Ⅲ.解析法：用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方 法叫做解析法．它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的 性质，但并非适用于所有函数． 例如：正方形的面积用s表示，正方形的边长用a表示，则正方形 的面积公式为s=a2；若周长用p表示，则周长的公式为p=4a，这 就是表示正方形的边长与面积和周长的函数关系，其中正方形的边 长a是自变量，面积s和周长p是因变量． 知识点4 函数关系式 Ⅰ.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式. Ⅱ.我们应从以下几个方面来理解函数关系式的概念： （1）函数关系式是等式．例如：y=2x+3就是一个函数关系式，我 们可以说代数式2x+3是x的函数，但不能说2x+3是函数关系式．（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右 边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个变量表示函数．例如：y=2x2+3中，y是x的函数，x是自变量． （3）书写函数关系式是有顺序的．例如：y=x-3表示y是x的函数；若x=y+3，则表示x是y的函数．也就是说，求y关于x的函数关 系式，必须用自变量x的代数式表示y，即得到的等式的左边是一个 变量y，右边是一个含x的代数式． 知识点5 自变量的取值范围的确定 Ⅰ.函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：首先，自变量 的取值必须使含自变量的代数式有意义；其次，自变量的取值应使 实际问题有意义．这两个方面缺一不可，尤其是后者，同学们在学 习过程中特别容易忽略．因此，在分析具体问题时，一定要细致周 到地从多方面考虑． Excel数据管理与图表分析单变量求解 单变量求解即通过调整另一个单元格中的值，来求得指定单元格中特定值的方法。如果知道要从公式获得的结果，但不知道公式获得该结果所需的输入值，那么可以使用单变量求解功能。 例如，假设需要借入一定金额的款项，并且已知所需的金额、还款期限和月还款金额，则可使用单变量求解确定需要偿还的利率。 由于需要计算符合目标的贷款利率，可以使用PMT函数，PMT函数可计算月还款金额。在本例中，月还款金额为求解的目标。 新建一个空白工作表，创建如图11-1所示的“还款利率”表格。在该表格中，尽管月还款金额已知（￥900），但是，在这里不将其作为值输入。因为月还款金额是公式的结果，需要使用单变量求解确定利率，而单变量求解需要以公式开头。 创建 表格 图11-1 创建“还款利率”表格 在B4单元格中，输入“=PMT(B4/12,B3,B2)”公式，此公式可计算月还款金额，如图11-2所示。 输入 公式 结果 图11-2 计算月还款额 该公式中将B4单元格中的值除以12（因为指定了按月还款，且PMT函数假设利率为年利率，故使用B4/12），由于B4单元格中不含数值，Excel会假设利率为0%，并使用本例中的值返回月还款金额￥555.56。此时，用户可以忽略该值，在使用假设分析工具时仍使用月还款额为￥900。 其中，在计算“月还款额”的数值时，使用了一个PMT函数，下面具体介绍该函数的功能。 Excel中提供的PMT函数是基于固定利率及等额分期付款方式，返回投资或贷款的每期付款额。利用PMT函数可以计算出每月偿还的款额，其语法为：PMT(rate,nper,pv,fv,type)。 其中，PMT函数中共包含5个参数，各参数功能如下： ●Rate 为各期利率，是一固定值。 ●Nper 为总投资（或贷款）期，即该项投资（或贷款）的付款期总数。 ●Pv 为现值，即从该项投资（或贷款）开始计算时已经入账的款项，或一系列未来付款当前值 的累积和，也称为本金。 ●Fv 为未来值，或在最后一次付款后希望得到的现金余额，如果省略fv，则假设其值为0（例如， 一笔贷款的未来值即为0）。 （1） 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： L L ,,,,|)(21k k p p p x X P =L L ,,,,21k x x x X 。 显然分布律应满足下列条件： （1），0≥k p L ,2,1=k ， （2）。 ∑==1 1k k p ∞ )(x F （2）连续型随机变量的密度 X 的分布函数，若存在非负函数，对任意实数)(x f 设是随机变量x ，有 ∫∞?=dx x f x F )()(x ， X 为连续型随机变量。称为)(x f 则称X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° 。 0)(≥x f +∞2° 。 ∫∞?=1)(dx x f （2） 离散与连续型随机变量的关系 dx x f dx x X x P x X P )()()(≈+≤<≈= 积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 dx x f )(k k p x X P ==)(（3） 分布函数 设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数 )()(x X P x F ≤= 称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。 )()()(a F b F b X a P ?=≤< 可以得到X 落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 ],(b a )(x F 分布函数具有如下性质： 1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞?x ； 2° 是单调不减的函数，即)(x F 21x x <时，有 ； ≤)(1x F )(2x F 3° ， 0)(lim )(==?∞?∞→x F F x 1)(lim )(==+∞+∞ →x F F x ； 关于一维随机变量分布函数的讨论 The disscussion for distribution function of One random variable 分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法． 在学习过程中我们却发现，不同的教学参考书对分布函数的定义有所不同，这两个定义有何异同之处？对随机变量落在某区间的概率有何影响？本文主要从这两个方面展开讨论． 一、两个定义下分布函数的异同 1、 两个定义 设X 是随机变量，x 为任意实数， 定义1 称函数()(F x P X =≤),x x -∞<<+∞为X 的分布函数[1]45． 定义2 称函数+∞<<∞-<=x x X P x F ,)()(为X 的分布函数[3]119． 2、 离散型随机变量的分布函数 从一个例子来看两个定义下分布函数的异同之处． 例1 [1]45 随机变量X 的分布律如下表： 求其分布函数． 解：用定义1和定义2求得的分布函数分别如下： 0,0x < 0,x ≤0 1,08 ≤1x < 1,08x <≤1 1()F x = 1,12≤2x < 2()F x = 1,12 x <≤2 7,28 ≤3x < 7,28x <≤3 1,x ≥3 1,3x > 需要指出的是：用两个定义求得的分布函数)(1x F 和)(2x F 均唯一．即用定义1求分布函数 时，)(2x F 中的分段方法是不可取的，如：当10< 第2章一维随机变量 习题2 一. 填空题： 1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 { }0x P =ξ = __________。 解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+= x arctgx x F π 1 21 则 P{ 0<ξ 3.设 ξ 服则 P{ 4.设 某 ， 常 数 λ-e 5 设 随 则 解： k 4 =令 16 1A = 得 A =15 ()()21252 1 =+==??? ??<<ξξξp p P 8.041211516=??????+= 6.若 定 义 分 布 函 数 (){ }x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 1 7. 随机变量) ,a (N ~ 2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ， 则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。 8. 设 ξ ~ N ( 1， 1 )，记ξ 的概率密度为 ?( x ) ，分布函数为 F ( x )，则 {}{}=≥=≤11ξξP P 0.5 。 9、分别用随机变量表示下列事件 (1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件 .“收到呼唤3次”} {3=X ， “收到呼唤次数不多于6次”}{}{k X X k ==≤=6 06 (2) (3) B ,A 解}{}2<=X }{}1≥=X 10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x 表示取出的3只球中的最 大号码，则X 的分布律为: 单变量正态密度函数的均值学习 设一个模式样本集，其类概率密度函数是单变量正态分布N(θ,σ2)，均值θ待求，即 ??? ???????? ??--= 22x 21ex p 21 )|x (p σθσπθ 给出N 个训练样本{x 1, x 2,…, x N }，用贝叶斯学习计算其均值估计量。 设最初的先验概率密度p(θ)为),(N 200σθ，这里θ0是凭先验知识对未知量θ的“最好”推测，20σ表示上述推测的不确定性度量。这里可以假定p(θ)是正态的，因为均值的估计量是样本的线性函数，因样本x 是正态分布的，因此p(θ)取为正态分布是合理的，这样计算起来可比较简单。 初始条件已知，即p(θ)为),(N 200σθ，p( x 1|θ)为N(θ,σ2)，由贝叶斯公式p(θ| x 1)=a p( x 1|θ) p(θ)，可得： ??? ? ???????? ??--???????????? ??--?=22000221121exp 21x 21exp 21a )x |(p σθθσπσθσπθ 其中a 是一定值。由贝叶斯法则有： θθθθθθφ d )(p )|x ,,x (p ) (p )|x ,,x (p )x ,,x |(p N 1 N 1N 1?= ΛΛΛ 这里φ表示整个模式空间。由于每一次迭代是从样本子集中逐个抽取一个变量，所以N 次运算是独立地抽取N 个变量，因此上式可写成： )(p )|x (p a )x ,,x |(p N 1k k N 1θθθ? ?? ???=∏=Λ 代入p( x k |θ) 和p(θ)的值，得： ??? ? ?????????????? ??+-???? ??+-''=??? ? ???????? ??-+????????????? ??--'=??? ????????? ??--?????????????????????? ??--=∑∑∏===θσθσθσσσθθσθσθθσπσθσπθ200N 1k k 22202200N 1k 2k 2000N 1k 2k N 1x 121N 21exp a x 21exp a 21exp 21x 21exp 21a )x ,,x |(p Λ上式每一步中与θ无关的项都并入常数项a '和a ''，这样p(θ| x 1, …, x N )是θ平方函数的指数集合，仍是一正态密度函数。将它写成 ),(N 2 N N σθ的形式，即： ??? ? ???????? ??--'''=??? ? ???????? ??--= 2 2N N 2N 2 2 N N N N 1221exp a 21exp 21)x ,,x |(p σθθσθσθθσπθΛ 将上述两式相比较，得： 20 0N 2200N 1k k 22 N N 2 02 2 N m ?N x 11 N 1 σθσσθσσθσσσ+=+=+ = ∑= 解出θN 和σN ，得： 2 2 02202 N 0 2202 N 2202 0N N N m ?N N σσσσσθσ σσσσσθ+=+++= 即根据对训练样本集{x i }i=1,2,…,N 的观察，求得均值θ的后验概率密度 p(θ| x i )为),(N 2 N N σθ，其中θN 是经过N 个样本观察之后对均值的最好估计，它是先验信息（即θ0，20σ和σ2）与训练样本所给信息（即N 一.常量与变量 常量与变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量、在问题的研究过程中,有一种量的取值始终保持不变,我们称之为常量、 例1. 在 中,它的底边长就是a ,底边上的高就是h ,则三角形面积 ,当a 为定长时,在此 式子中( ) （A ）S 、h 就是变量,a 就是常量 (B)S 、h 、a 就是变量, 就是常量 （B ）(C)a 、h 就是变量, 、S 就是常量 (D)S 就是变量, 、a 、h 就是常量 例2 写出下列各问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C 与半径r 的函数关系式; (2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s (千米)与所用时间t (时)的函数关系式; (3)n 边形的内角与的度数S 与边数n 的函数关系式. 二.函数的意义 自变量与因变量:一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一值与之对应,那么把y 叫做x 的函数、其中x 叫做自变量,y 叫做因变量、 注意:(1)在理解函数的意义时要抓住三点:①有一个反映变化的过程.②有两个变量x 与y .③变量x 一旦变化,变量y 都有唯一值与它对应.. (2)在表示函数时,如果要把y 表示成x 的函数,其实就就是用含x 的代数式表示y 。 例1.下列关于变量x 、y 的关系:①3x -2y =5;②y =|x |;③2x -y 2=10、其中表示y 就是x 的函数关系的就是( ) A 、①②③ B 、①② C 、①③ D 、②③ 例2.下列图形中的曲线不表示y 就是x 的函数的就是( ) 例3、已知函数 ,当 时函数值为1,则m 值为( ) (A)1 (B)3 (C)-3 (D)-1 例4、已知 。 (1)用含 的代数式表示 ,并指出 的取值范围; (2)求当 时, 的值;当 时, 的值。 三.函数中自变量的取值范围及函数值 在一个变化过程中,自变量的取值通常有一定的范围,这个范围我们叫它为自变量的取值范围.确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑:①使含自变量的代数式有意义.②结合实际意义,使函数在实际情况下有意义. 即:使函数有意义的自变量的全体取值 函数表达式(右边) 自变量x 取值范围的要求 整式 x 取全体实数 分式 令分母不等于零,求x 的取值 (B) y x 0 (D) y x 0 (A) y x 0 (C) y O x连续型随机变量
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