复习：一维随机变量函数的分布
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一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数是指在实数轴上，对于任意实数x，随机变量X小于等于x的概率，即F(x)=P(X<=x)，其中P为概率。
分布函数具有以下性质：
1. F(x)是一个单调不减的函数，即随着x的增大，F(x)也会增大或不变。
2. F(x)的取值范围是[0,1]，因为概率的取值范围也是[0,1]。
3. F(x)是右连续的，即对于任意x，F(x)的左右极限相等，且F(x)在x处连续。
4. 若X是一个连续型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率密度函数f(x)的积分，即F(x)=∫f(t)dt，其中积分下限为负无穷，上限为x。
5. 若X是一个离散型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率质量函数p(x)的累加和，即F(x)=∑p(t)，其中t取遍所有小于等于x 的离散值。
分布函数是描述随机变量的一个重要工具，可以用来求解各种概率问题，例如求解随机变量X落在某个区间内的概率，或者求解X的统计特征值等。
- 1 -。
§3.5 随机变量函数的分布
( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数
一维随机变量函数的分布(PPT课件)
y}
①
1 2π
y
y
e
x2 2
dx
2 2π
y
0
e
x2 2
dx
所以 当y 0时, fY ( y ) FY ( y )
y0 0, y 即 fY ( y ) 1 2 e ,y0 2 πy
概率统计（ZYH）
y 1 e 2 2πy
②
y =0时可任 意规定其值
概率统计（ZYH）
例2 设随机变量X的分布律为
1 P{ X k } k , k 1, 2, 2
求随机变量函数 Y sin X 的分布律． 解
2 1 2 P{Y 1} P{ X 4k 1} 4 k 1 15 k 1 k 1 2 1 1 P{Y 0} P{ X 2k } 2 k 3 k 1 k 1 2 1 8 P{Y 1} P{ X 4k 3} 4 k 3 15 k 1 k 1 2
yb a
e
( x ) 2 2
dx
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
所以 fY ( y ) FY ( y )
1 e 2π a
定理1 的推论
亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
定理2 X ~ N ( , )
2
Y
X
本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法
定理1 设 X 服从正态分布N( , 2), 则随机变
量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
证 （以a >0为例证明）
一维连续型随机变量函数的分布
解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
一维随机变量函数及其分布
P (Y 5 )P (X 1 2 )
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分 布
pij P(Xxi,Yyj)
设Z为X、Y的函 Zg(X,Y) 数
如何确定Z的分布？
分析： 由于X，Y的取值是有限的或可数的 而Z为X，Y的函数 因此，Z的取值是有限的或可数的
ex, x0
fX (x) 0,
x0
第四步，代公式求Y的密度函数
fY(y)fX(h (y))|h (y)|
e
ln
y
|
1 y
|,
y 1
0,
y 1
1 y2
,
0 ,
y 1 y 1
h(y) ln y h ( y ) 1
y
例5 设
X~N(11,1)
Y~05.2
7 0.5
13 0.3
一般地，若离散型 r.v ，X 的分布律
X
～
x1
p1
x2 xn
p2
pn
则 Y=g(X) ～ g(xp11) g(px22) gp(nxn)
如果g(xk)中有一些相同的值，把它们做适 当的并项即可
例
1 0 1 如果, X ～ 0.3 0.6 0.1
关
键
fZ(z) FZ(z)
P(Z z) P(g(X,Y)z)
分
布
P((X,Y)Dg)
函 数
f (x, y)dxdy
的 定
Dg
义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分 布
pij P(Xxi,Yyj)
设Z为X、Y的函 Zg(X,Y) 数
如何确定Z的分布？
分析： 由于X，Y的取值是有限的或可数的 而Z为X，Y的函数 因此，Z的取值是有限的或可数的
ex, x0
fX (x) 0,
x0
第四步，代公式求Y的密度函数
fY(y)fX(h (y))|h (y)|
e
ln
y
|
1 y
|,
y 1
0,
y 1
1 y2
,
0 ,
y 1 y 1
h(y) ln y h ( y ) 1
y
例5 设
X~N(11,1)
Y~05.2
7 0.5
13 0.3
一般地，若离散型 r.v ，X 的分布律
X
～
x1
p1
x2 xn
p2
pn
则 Y=g(X) ～ g(xp11) g(px22) gp(nxn)
如果g(xk)中有一些相同的值，把它们做适 当的并项即可
例
1 0 1 如果, X ～ 0.3 0.6 0.1
关
键
fZ(z) FZ(z)
P(Z z) P(g(X,Y)z)
分
布
P((X,Y)Dg)
函 数
f (x, y)dxdy
的 定
Dg
义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一维随机变量函数及其分布
z
1
v2
e22(
1
u2
e2du)dv
22
2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
第三步 计算Z的密度函数
fZ(z) FZ(z)
1
z2
e 22
2 2
结论：
X ~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ N ( 0 , 1 ) ,X ,Y 独 立
计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布
Z 概率
z1 z2 … p1 p2 …
方法： 列出（X，Y）的所有取值点 计算这些点对应的Z值 （如：Z=X+Y） 利用联合分布律确定相应的概率
将相同的z值进行合并，其概率值作相应合并
概率
p11 p12 … p21 p22 … pi1 pi2 …
（X,Y） （x1,y1）（x1,y2) … (x2,y1) (x2,y2) … (xi,y1) (xi,y2) …
z
(
1
(x2(vx)2)
e 2 dv)dx
2
1 z
x2(vx)2
(
e 2 dx)dv
2
FZ (z)
z
1
(
2xv )2 2
v2
(
e 2 e22dx)dv
2
令 u 2x v
2
P (Y 5 )P (X 1 2 )
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
一维随机变量函数的分布
fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)
FY
(
y
)
y
FX
y FX
y
y
.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)
2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y
1 4
e
(
y3 4
)
,
0
一维随机变量函数的分布
连续随机变量
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
如果随机变量的取值范围是某个区间上的所有实 数，则称该随机变量为连续随机变量。
随机变量的分类
离散型随机变量
根据其取值特点，可以分为二项 式、泊松、几何、超几何等类型 。
连续型随机变量
根据其概率密度函数的特点，可 以分为均匀、指数、正态等类型 。
随机变量的分布函数
分布函数
对于任意实数x，分布函数F(x)表示随机变量 X小于或等于x的概率。
性质的应用
这些性质在概率论和统计学中有着广泛的应用，如概率密度函数的计算、随机变量的期望和方差的计 算等。
05
CATALOGUE
随机变量的运算性质
随机变量的和与积
要点一
随机变量的和
若X和Y是两个随机变量，则X+Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
要点二
随机变量的积
若X和Y是两个随机变量，则X×Y也是一个随机变量。其分 布依赖于X和Y的联合概率分布。
均匀分布
均匀分布是一种特殊的连续随机 变量，其概率密度函数在一定区 间内保持恒定，常用于描述某些 物理量在一定范围内的均匀分布 情况。
04
CATALOGUE
随机变量的函数
随机变量函数的定义
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个或多个随机 变量作为输入，经过某种运算或变换 后得到另一个随机变量。
离散随机变量的所有可能取 值的集合。
离散随机变量的值域
离散随机变量取到的所有可 能值的集合。
离散随机变量的分布律
01
分布律
描述离散随机变量取各个可能值 的概率的表格。
02
分布律的性质
分布律中的概率值总和为1，即 所有概率值的和等于1。
一维随机变量函数的分布
1 又 X 的概率密度 f X ( x) e 2 ( x )2 2 2
， x ．
由定理 4.1， Y 的概率密度为
y b 1 1 1 fY ( y) f X ( ) e a a a 2
其中 y ．
y b 2 ) a 2 2 (
1 1 4
0 1 6 0
1
1 1 4 1 1
2 1 3 4 2
1 1
②适当合并，得 0 1 4 Y ~ 1 1 1， 6 2 3 1 2 Z ~ 2 1． 3 3
3
1 例 4.2 随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k , k 1, 2,3, ． 2
第二步： 对其中 Y 取值相同的项适当进行概率合并， 即得Y 的分布律．
2
1 0 1 2 例 4.1 设随机变量 X ~ 1 1 1 1 ， 分别求出 4 6 4 3
Y X 2 和 Z max{X ,1} 的概率分布．
解 ①作下列列表计算
X
P Y Z
解 由于 Y 的取值为 1, 0 和 1 ， 所以 Y 为离散型随机变量， 求Y 的概率分布就是要求 Y 的分布律．因为
1 P{Y 1} P{ X 0} ， P{Y 0} P{ X 0} 0 ， 3 1 0 1 2 ． P{Y 1} P{ X 0} ，故 Y 的分布律为 Y ~ 1 2 3 0 9 3 3
2
解
X S 的分布函数为 FS (s) P{S s } P{
当 s 4 时， FS (s) 0 ；
2
s } ．
当 s 9 时， FS ( s) 1 ；当 4 s 9 时，
， x ．
由定理 4.1， Y 的概率密度为
y b 1 1 1 fY ( y) f X ( ) e a a a 2
其中 y ．
y b 2 ) a 2 2 (
1 1 4
0 1 6 0
1
1 1 4 1 1
2 1 3 4 2
1 1
②适当合并，得 0 1 4 Y ~ 1 1 1， 6 2 3 1 2 Z ~ 2 1． 3 3
3
1 例 4.2 随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k , k 1, 2,3, ． 2
第二步： 对其中 Y 取值相同的项适当进行概率合并， 即得Y 的分布律．
2
1 0 1 2 例 4.1 设随机变量 X ~ 1 1 1 1 ， 分别求出 4 6 4 3
Y X 2 和 Z max{X ,1} 的概率分布．
解 ①作下列列表计算
X
P Y Z
解 由于 Y 的取值为 1, 0 和 1 ， 所以 Y 为离散型随机变量， 求Y 的概率分布就是要求 Y 的分布律．因为
1 P{Y 1} P{ X 0} ， P{Y 0} P{ X 0} 0 ， 3 1 0 1 2 ． P{Y 1} P{ X 0} ，故 Y 的分布律为 Y ~ 1 2 3 0 9 3 3
2
解
X S 的分布函数为 FS (s) P{S s } P{
当 s 4 时， FS (s) 0 ；
2
s } ．
当 s 9 时， FS ( s) 1 ；当 4 s 9 时，
一维随机变量及其分布知识点
一维随机变量及其分布知识点 一、 随机变量的分类：二、 分布函数定义 设X 是随机变量,对任意实数x,事件{}X x ≤的概率{}P X x ≤称为随机变量X 的分布函数.记为F(x),即(){},F x P X x x =≤-∞<<∞。
性质 单调不减性：若x 1<x 2, 则 12()();F x F x ≤ 归一性：对任意实数x ，0()1F x ≤≤ ，且()lim ()0,()lim ()1;x x F F x F F x →-∞→+∞-∞==+∞==右连续性：000(0)lim ()()x x F x F x F x +→+==.运算 P {a<X ≤b}＝P{X ≤b}－P{X ≤a}＝ F(b)－F(a). 三、 离散型随机变量定义 若随机变量X 取值12,,...x x ，且取这些值的概率依次为12,,...p p , 则称X 为离散型随机变量,而称{},1,2,...k k P X x p k === 为X 的分布律. 性质 非负性：0,1,2,...k p k ≥=归一性：11k k p +∞==∑.常见问题1．通过分布律求事件的概率若随机变量X 的分布律为{},1,2,...k k P X x p k ===，则{}k kx DP X D p∈∈=∑,即随机变量落在区域D 的概率等于所有的⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩离散型随机变量随机变量连续型非离散型奇异型（混合型）{},1,2,...k X x k ==的概率之和.2. 通过分布律求分布函数例1 设随机变量X 具有分布律如表试求出X 的分布函数及P{X ≤1},P{0.5<X ≤1.5}, P{1≤X ≤2}. 解：P{X ≤1}=F(1)=0.7,P{0.5<X ≤1.5}=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6, P{1≤X ≤2}=P{X=1}+P{X=2}=0.6+0.3=0.9. 三类重要离散型随机变量 1.(0-1)分布若以X 表示进行一次试验事件A 发生的次数,X 只取0和1,其分布律为P{X ＝k}＝p k (1－p)1－k , (0<p<1, k ＝0,1,)则称X 服从(0－1)分布(两点分布) .2. n 重伯努利试验, 二项分布设将试验独立重复进行n 次,每次试验都只有两种可能的结果A 和A,设事件A 发生的概率为p ,则称这n 次试验构成的试验为n 重伯(){}F x P X x ≤＝0,00.1,010.7,121,2x x x x <⎧⎪≤<⎪⎨≤<⎪⎪≥⎩＝0,0{0},01{0}{1},12{0}{1}{2},2x P X x P X P X x P X P X P X x <⎧⎪=≤<⎪⎨=+=≤<⎪⎪=+=++≥⎩＝努利试验.若以X 表示n 重伯努利试验事件A 发生的次数，则称X 服从参数为n,p 的二项分布.记作X 〜b （n,p),其分布律为：{}(1),(0,1,...,)kk n k n P X k p p k n C -==-=.3. 泊松(Poisson)分布若随机变量X 的分布律为{}!kP X k e k λλ-==，k ＝0, 1, 2, … (λ>0),则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为~()X πλ.四、连续型随机变量定义 对于随机变量X ，若存在非负函数f(x)，(-∞<x<+∞)，使对任意实数x ，都有()()xF x f u du -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量, f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度或密度函数. 性质 非负性： f(x)≥0，(-∞<x<∞)；归一性：()1f x dx +∞-∞=⎰;若x 是f(x )的连续点，则()()dF x f x dx=. 运算 {}{}{}{}()baP a X b P a X b P a X b P a X b f x <≤=≤≤=<<=≤<=⎰常见问题 1.确定未知参数 2.求分布函数 3.求事件的概率例2 已知随机变量X 的概率密度为01()2120kx x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，求1) 常数k;2) X 的分布函数F(x); 3)求P{X ∈(0.5,1.5)}. 解：1)由概率密度函数的归一性可知，12131()1(2)(2)112222k k f x dx kxdx x dx k ∞-∞=⇒+-=+-=+=⇒=⎰⎰⎰. 2) ()()xF x f u du -∞=⎰000101012012(),0()(),01()()(),12()()()(),2xxxxf u du x f u du f u du x f u du f u du f u du x f u du f u du f u du f u du x -∞-∞-∞-∞⎧<⎪⎪+≤<⎪=⎨⎪++≤<⎪⎪+++≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰220,01,012121,1221,2x x x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩. 3) 1 1.50.513{(0.5,1.5)}(2)4P X udu u du ∈=+-=⎰⎰或者3{(0.5,1.5)}(1.5)(0.5)4P X F F ∈=-=. 三类重要连续型随机变量1.均匀分布 若随机变量X 的概率密度函数为1,()0a x bf x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其它则称X 在(a,b)内服从均匀分布.记作 X~U(a,b).注：在(a,b)上服从均匀分布的随机变量X 落在(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.2.指数分布若随机变量X的概率密度函数为1,0, ()0,,xe xf xθθ-⎧>⎪⎨⎪⎩＝其它则称X服从参数为θ(>0)的指数分布.3.正态分布若随机变量X的概率密度函数为22()2(),.xf x xμσ--=-∞<<+∞其中μ为实数, σ>0 ,则称X服从参数为μ ,σ的正态分布,记为N(μ, σ2),可表为X～N(μ, σ2).标准正态分布参数μ＝0，σ2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1).其密度函数表示为22(),.xx xϕ--∞<<+∞分布函数表示为22(){},txx P X x e dt x--∞Φ=≤=-∞<<+∞.注：(1) Φ(x)＝1－Φ(－x)；(2) 若X～N(μ, σ2)，则~(0,1)XZ Nμσ-=即有,(){}()xF x P X xμσ-=≤=Φ,{}()()b aP a X bμμσσ--<<=Φ-Φ.。
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下面进行讨论.
二、离散型随机变量函数的分布
1 2 5 例1 设r.v.X的分布律为 p 0.2 0.5 0.3
X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率.
5 Y 故
2
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
1 f X ( y ) f X ( y ) , y 0 dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy y0 0, 2 1 x 2 fX ( x) 若 x e 2
例４已知XN(,2),求
解：Y X 关于x严单,反函数为
Y
X
的概率密度。
h( y ) y
故
fY ( y) f X [h( y)] | h( y) | f X (y )
1 e 2
y 2
2 2
1 e 2
=P( X
y8 2
) = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2
2x
2
dx
解： 当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
(
而
arcsin y
2x
0
dx arcsin y 2
2
2x
dx6 0.1
则 Y=X2 的概率函数为： Y
0 1 p 0.6 0.4
即
P(Y yn ) P{
Y的分布律为
Y
g ( xi ) yn
( X x )} p
i g ( xi ) yn
i
y1
g(x i ) y1 i
y2
g(x i ) y 2 i
思考 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格 单增的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的 均匀分布. 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于
0 y1
于是 对y<0 , G(y)=0; 对y>1, G(y)=1;
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函 数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.
代入 fY ( y ) 的表达式中
即Y服从参数为1/2的指数分布.
练习２ 设X～U(0,1),求Y=ax+b的概率密 度.(a≠0)
y b 解: Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y ) a
故
y b 1 fY ( y ) f [h( y )] | h( y ) | f X ( ) a a 而 1 0 x 1 f X ( x) 0 others 故 y b 1 0 1 fY ( y ) a a others 0
dh( y ) , y x=h(y)是 f X [h( y )] fY ( y ) dy y=g(x)的 0, 其它 反函数
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b a x b
此定理的证明与前面的解题思路类似.
7 13 p 0.2 0.5 0.3
一般，若X是离散型 r.v ，X的分布律为
X x1
x2 xk
p2 pk
p p1
Y
则Y=g(X)的分布律为
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xk )
p
p1
p2 pk
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
如：X的分布律为 X
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
arcsin y
2x
0
2
dx arcsin y
第四节
随机变量函数的分布
一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.
例如，已知圆轴截面直径 D 的分布， 求截面面积 A= 的分布.
D
4
2
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求 出 Y 的分布？
这个问题无论在实践中还是在理论 上都是重要的.
则 Y=X2 的概率密度为：
1 fY ( y ) 2 0,
X ~ N (0,1)
y0
2
y e
1 2
y 2
,
y0
此时称Y服从自由度为1的 分布。记为 2
Y ~ (1)
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 .
对0≤y≤1,
G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)
=P(X ≤ F (y))
1
=F(F 1(y))= y 即Y的分布函数是 y0 0, G ( y) y, 0 y 1 1, y 1
求导得Y的密度函数
1, 0 y 1 g( y) 其它 0,
y2 2
例5 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
不合定理条件 解：注意到, 当 0 x 时 0 y 1
故
当 y 0时, FY ( y ) 0,
当 y 1时, FY ( y ) 1
例5 设随机变量X的概率密度为
dFY ( y) fY ( y) dy
arcsin y 2 ) 1 ( )
dFY ( y) fY ( y) dy arcsin y 2 arcsin y 2 FY ( y) ( ) 1 ( ) 2 , 0 y 1 求导得: fY ( y ) 1 y 2 0, 其它
yn
g(x i ) y n i
p
p p
p
三、连续型随机变量函数的分布 1、一般方法 x / 8, 0 x 4 例2 设 X ~ f X ( x ) 求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设Y的分布函数为 FY(y)，
0, 其它
FY(y)=P(Y y ) = P (2X+8 y )
已知X在(0,1)上服从均匀分布，
1, 0 x 1 fX ( x) 其它 0,
y/2 ) y / 2 d (e , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它 1 y/2 e , y0 得 fY ( y) 2 其它 0,
可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.
f ( 0)28
X
y
f ( )28 16
X
y y 8
注意到 0 < x < 4 时， f X ( x ) 0
y8 即 8 < y < 16 时， f X ( 2 ) 0 y8 y8 ) 此时 f X ( 2 16
故
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
例3设 X 具有概率密度 f X ( x ),求Y=X2的概率密度.
解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX ( x) ，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY ( y) 0
当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X y ) P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y ) 求导可得
然后再求Y的密度函数
g ( x ) y
f ( x) dx
dFY ( y ) fY ( y ) dy
2、公式法：
下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 .
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 g ( x ) 0 或恒有g ( x ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为
注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才 可用以上公式推求Y的密度函数。
2 注意定义域的选择 如 例2
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
求 Y=2X+8 的概率密度.
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
或 FY ( y ) FX (arcsin y ) FX (0) FX ( ) FX ( arcsin y )
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的 分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转 化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.
二、离散型随机变量函数的分布
1 2 5 例1 设r.v.X的分布律为 p 0.2 0.5 0.3
X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率.
5 Y 故
2
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
1 f X ( y ) f X ( y ) , y 0 dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy y0 0, 2 1 x 2 fX ( x) 若 x e 2
例４已知XN(,2),求
解：Y X 关于x严单,反函数为
Y
X
的概率密度。
h( y ) y
故
fY ( y) f X [h( y)] | h( y) | f X (y )
1 e 2
y 2
2 2
1 e 2
=P( X
y8 2
) = FX(
y8 ) 2
于是Y 的密度函数
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它 dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) Y=2X+8 dy 2 2
2x
2
dx
解： 当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
(
而
arcsin y
2x
0
dx arcsin y 2
2
2x
dx6 0.1
则 Y=X2 的概率函数为： Y
0 1 p 0.6 0.4
即
P(Y yn ) P{
Y的分布律为
Y
g ( xi ) yn
( X x )} p
i g ( xi ) yn
i
y1
g(x i ) y1 i
y2
g(x i ) y 2 i
思考 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格 单增的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的 均匀分布. 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于
0 y1
于是 对y<0 , G(y)=0; 对y>1, G(y)=1;
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函 数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.
代入 fY ( y ) 的表达式中
即Y服从参数为1/2的指数分布.
练习２ 设X～U(0,1),求Y=ax+b的概率密 度.(a≠0)
y b 解: Y=ax+b关于x严单,反函数为 h( y ) a
故
y b 1 fY ( y ) f [h( y )] | h( y ) | f X ( ) a a 而 1 0 x 1 f X ( x) 0 others 故 y b 1 0 1 fY ( y ) a a others 0
dh( y ) , y x=h(y)是 f X [h( y )] fY ( y ) dy y=g(x)的 0, 其它 反函数
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b a x b
此定理的证明与前面的解题思路类似.
7 13 p 0.2 0.5 0.3
一般，若X是离散型 r.v ，X的分布律为
X x1
x2 xk
p2 pk
p p1
Y
则Y=g(X)的分布律为
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xk )
p
p1
p2 pk
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
如：X的分布律为 X
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：当0<y<1时,
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y )
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）
arcsin y
2x
0
2
dx arcsin y
第四节
随机变量函数的分布
一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.
例如，已知圆轴截面直径 D 的分布， 求截面面积 A= 的分布.
D
4
2
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数），如何由 X 的分布求 出 Y 的分布？
这个问题无论在实践中还是在理论 上都是重要的.
则 Y=X2 的概率密度为：
1 fY ( y ) 2 0,
X ~ N (0,1)
y0
2
y e
1 2
y 2
,
y0
此时称Y服从自由度为1的 分布。记为 2
Y ~ (1)
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 .
对0≤y≤1,
G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)
=P(X ≤ F (y))
1
=F(F 1(y))= y 即Y的分布函数是 y0 0, G ( y) y, 0 y 1 1, y 1
求导得Y的密度函数
1, 0 y 1 g( y) 其它 0,
y2 2
例5 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
不合定理条件 解：注意到, 当 0 x 时 0 y 1
故
当 y 0时, FY ( y ) 0,
当 y 1时, FY ( y ) 1
例5 设随机变量X的概率密度为
dFY ( y) fY ( y) dy
arcsin y 2 ) 1 ( )
dFY ( y) fY ( y) dy arcsin y 2 arcsin y 2 FY ( y) ( ) 1 ( ) 2 , 0 y 1 求导得: fY ( y ) 1 y 2 0, 其它
yn
g(x i ) y n i
p
p p
p
三、连续型随机变量函数的分布 1、一般方法 x / 8, 0 x 4 例2 设 X ~ f X ( x ) 求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设Y的分布函数为 FY(y)，
0, 其它
FY(y)=P(Y y ) = P (2X+8 y )
已知X在(0,1)上服从均匀分布，
1, 0 x 1 fX ( x) 其它 0,
y/2 ) y / 2 d (e , 0 ey/2 1 f X (e ) fY ( y) dy 0, 其它 1 y/2 e , y0 得 fY ( y) 2 其它 0,
可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.
f ( 0)28
X
y
f ( )28 16
X
y y 8
注意到 0 < x < 4 时， f X ( x ) 0
y8 即 8 < y < 16 时， f X ( 2 ) 0 y8 y8 ) 此时 f X ( 2 16
故
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
例3设 X 具有概率密度 f X ( x ),求Y=X2的概率密度.
解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX ( x) ，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY ( y) 0
当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X y ) P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y ) 求导可得
然后再求Y的密度函数
g ( x ) y
f ( x) dx
dFY ( y ) fY ( y ) dy
2、公式法：
下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 .
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 g ( x ) 0 或恒有g ( x ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为
注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才 可用以上公式推求Y的密度函数。
2 注意定义域的选择 如 例2
x / 8, 0 x 4 设 X ~ fX ( x) 0, 其它
求 Y=2X+8 的概率密度.
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
或 FY ( y ) FX (arcsin y ) FX (0) FX ( ) FX ( arcsin y )
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的 分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转 化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.