一维随机变量的函数的分布(精选)

X
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有

( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数

y}
①
1 2π

y
y
e
x2 2
dx
2 2π

y
0
e
x2 2
dx
所以 当y 0时, fY ( y ) FY ( y )
y0 0, y 即 fY ( y ) 1 2 e ,y0 2 πy
概率统计（ZYH）
y 1 e 2 2πy
②
y =0时可任 意规定其值
概率统计（ZYH）
例2 设随机变量X的分布律为
1 P{ X k } k , k 1, 2, 2

求随机变量函数 Y sin X 的分布律． 解
2 1 2 P{Y 1} P{ X 4k 1} 4 k 1 15 k 1 k 1 2 1 1 P{Y 0} P{ X 2k } 2 k 3 k 1 k 1 2 1 8 P{Y 1} P{ X 4k 3} 4 k 3 15 k 1 k 1 2

yb a
e

( x ) 2 2
dx
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
所以 fY ( y ) FY ( y )
1 e 2π a
定理1 的推论
亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
定理2 X ~ N ( , )
2
Y
X
本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法
定理1 设 X 服从正态分布N( , 2), 则随机变
量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
证 （以a >0为例证明）

解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若

fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)

FY
(
y
)

y
FX

y FX
y
y

.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)


2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y


1 4
e
(
y3 4
)
,
0

0


2
dx
2

2x
arcsin y

2
dx
arcsin y
arcsin y 2 ) 1 ( )
dF ( y ) dy
f ( y )
而
导得:
2 , 0 y 1 f ( y ) 1 y 2 0, 其它
~ N (0,1). 则 解: F ( y ) P( y ) P( y)
y P( y )

1 e 2
( x )2 2 2
dx
f ( y )
dF ( y ) dy
1 e 2
2
0
0
1
y8 4 2
0 2 ( y 8) F ( y ) 64 1
y8 8 y 16 y 16
于是η 的密度函数为
y 8 dF ( y ) f ( y ) 32 dy 0 8 y 16 else
例2
求 η=2ξ+8 的概率密度.
x / 8, 0 x 4 设 ξ ~ f ( x ) 0, 其它
y 8 F ( y ) P( y ) P(2 8 y) P{ } 2 y 8
F ( 2 )
另解：设η的分布函数为 Fη(y)，
于是η 的密度函数
y 8 F ( y ) P( y ) P(2 8 y) P{ } 2 y 8 y 8 0 4 y 8 y 8 2 2 2 f ( x)dx 2 x dx 1 x 2 8 16 y8

F ( y ) P( y ) F ( y ) P( y )

0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
( y)
FY'
(
y)
1 ,
2y
y0
0, 其他
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6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
解 X的密度函数为
f x 1 ex2 /2
Px
(
x)
x3e x2 0, x
,x 0
0
求随机变量 Y X 2和Y 2x 3 的概率密度
解：先求随机变量 Y X 2 的分布函数
FY (y) PY y P x2 y P y x y F x( y) F x( y)
p p y
y
(x)dx (x)dx
- x
- x
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (1211) Φ (1011)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20
p 0.16 0.16 0.68
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6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例 设随机变量x的概率密度为 求随机变量Y=2X+8的概率密度
P
x
(
x)
x / 8,0 x 4 0, 其他情况
解：第一先求Y=2X+8的分布函数 FY (y)
F p (y) Y
pY y
p2x 8 y

1 又 X 的概率密度 f X ( x) e 2 ( x )2 2 2
， x ．
由定理 4.1， Y 的概率密度为
y b 1 1 1 fY ( y) f X ( ) e a a a 2
其中 y ．
y b 2 ) a 2 2 (
1 1 4
0 1 6 0
1
1 1 4 1 1
2 1 3 4 2
1 1
②适当合并，得 0 1 4 Y ~ 1 1 1， 6 2 3 1 2 Z ~ 2 1． 3 3
3
1 例 4.2 随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k , k 1, 2,3, ． 2
第二步： 对其中 Y 取值相同的项适当进行概率合并， 即得Y 的分布律．
2
1 0 1 2 例 4.1 设随机变量 X ~ 1 1 1 1 ， 分别求出 4 6 4 3
Y X 2 和 Z max{X ,1} 的概率分布．
解 ①作下列列表计算
X
P Y Z
解 由于 Y 的取值为 1, 0 和 1 ， 所以 Y 为离散型随机变量， 求Y 的概率分布就是要求 Y 的分布律．因为
1 P{Y 1} P{ X 0} ， P{Y 0} P{ X 0} 0 ， 3 1 0 1 2 ． P{Y 1} P{ X 0} ，故 Y 的分布律为 Y ~ 1 2 3 0 9 3 3
2
解
X S 的分布函数为 FS (s) P{S s } P{
当 s 4 时， FS (s) 0 ；
2
s } ．
当 s 9 时， FS ( s) 1 ；当 4 s 9 时，

求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
f Z z


f X x f Y z x dx
x 的积分范围
被积函数不为
0的 x 范围
0 x 1 0 x 1 0 z x 1 z 1 x z
0 z1
z 1
0 z 1 1 1 z 2
fY
y
fX (
y8 2
y 8 2
1 2
)
1 2

即 :
1 8

0,
, 0
y8 2
4
其它
y8 , 8 y 16 f Y ( y ) 32 0 , 其它
例2: 设X的概率密度为:
e , x 0 f (x) 0 , 其他
设 X ~ N ( 0 , 1 )，求 : ( 1 )Y aX b ( 2 )Y X
2
( a 0 ), 线性变换
的概率密度
。
复习:设 X~N（0，1），其概率密度为：
x
1 2
x
2
e
2
, x
( 1 ) F Y ( y ) P ( Y y ) P ( aX b y )
1 y 1 y 2e 2 , y 0 2 0, y 0
练习：设X的概率密度为：
1 , x 0 2 f ( x ) (1 x ) 0, x 0 设 Y ln X , 求： （ 1） ; ( 2 ) Y 的概率密度 ;
P ( 0
F ( X 0
2
y)
y X

1, 0 x 1 fX (x) 0, 其它
e y ,
fY
(
y)
0,
y0 其它
求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。 (1) R(Z)=(0，+∞);
(2) 任意取z∈(0，+∞);
FZ (z) P(Z z) P(2X Y z)
当z/2≤1时，
z 2 z2x
FZ (z) f (x, y)dydx
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
e
z
),
0 z 2
fZ
(z)
1
2
(e2z
ez
),
z
2
0,
其它
3.4.2、随机变量的可加性 正态分布的可加性
定理3.5.5
设 X
N
(
1
,
2 1
),
Y
N
(
2
,
2 2
),
且相互独立，则
a b
N (a1
b2
,
a
2
2 1
b2
2 2
)
推广：
设 X i
N
(
i
,
2 i
)(
i

函数 x h( y)，则Y g(X )是连续性随机变量．其密度函数
为
fY
(
y)


f
X
[h( y)] 0
|
h(
y)
|
当 y
其他
其中 min{g(), g()}， max{g(), g()}．
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数
fY
(
y
)


f
X
[h( y)]h( 0
y)
当 y
其他
当 g(x)单调减少时， g(x) 0，此时有
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别 记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
因 为 Y g( X ) 在 ( , ) 取 值 ， 故 当 y 时 ， FY ( y) P{Y y} 0；当 y 时， FY ( y) P{Y y} 1．
fY
(
y)


f
X
[h( 0
y)][h(
y)]
当 y
其他
第3章 连续型随机变量
3.2 一维连续型随机变量函数的分布
证明：只证 g(x)单调增加的情况，此时 g(x) 0．分别
记 X ，Y 的分布函数为 FX (x)， FY ( y)，
将 FY ( y)关于 y求导，即得Y 的概率密度函数

注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1
(2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2) 证明： 若x1<x2 ，则有
X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
0.0169


19
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，
则有
PX 2
k 2 k!

20

k
e


k 2

20 0.2 k

k!
e
0.2
0.0176
（2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则
Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 80 k 80 0.8 k 0.8
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
x x
lim F x F 0
lim F x F 1
对任意实数 x0 ，有
(3) 右连续性
F x0 0 F x0 其中F x0 0 lim F x

关于一维随机变量分布函数的讨论The disscussion for distribution function of One random variable 分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法． 在学习过程中我们却发现，不同的教学参考书对分布函数的定义有所不同，这两个定义有何异同之处？对随机变量落在某区间的概率有何影响？本文主要从这两个方面展开讨论．一、两个定义下分布函数的异同1、 两个定义设X 是随机变量，x 为任意实数，定义1 称函数()(F x P X =≤),x x -∞<<+∞为X 的分布函数[1]45．定义2 称函数+∞<<∞-<=x x X P x F ,)()(为X 的分布函数[3]119．2、 离散型随机变量的分布函数从一个例子来看两个定义下分布函数的异同之处．例1 [1]45 随机变量X 的分布律如下表：求其分布函数． 解：用定义1和定义2求得的分布函数分别如下：0,0x < 0,x ≤01,08≤1x < 1,08x <≤1 1()F x = 1,12≤2x < 2()F x = 1,12x <≤2 7,28≤3x < 7,28x <≤3 1,x ≥3 1,3x > 需要指出的是：用两个定义求得的分布函数)(1x F 和)(2x F 均唯一．即用定义1求分布函数时，)(2x F 中的分段方法是不可取的，如：当10<<x 时，81)(1=x F ；0=x 时，81)(1=x F ；而1=x 时，21)(1=x F ．可知，利用定义1求分布函数时，将区间划分为0≤1x <是合理的，而划分为0x <≤1则是不可取的．同理，用定义2求分布函数时，也不能用)(1x F 中的分段方法．这样的结论具有一般性：结论1 用两个定义求得的分布函数都是分段函数，随机变量X 的取值为分段函数的分界点，且在相同的开区间上，)(x F 的取值相同．区别仅在于分界点处，定义1中确定的分布函数)(x F 中x 的范围总是左闭右开区间),[21x x （最两端的区间为),[,),(∞+-∞b a ），而定义2中确定的分布函数)(x F 的x 的范围总为左开右闭区间],(21x x （最两端的区间为),(,],(∞+-∞b a ）．用函数的连续性定义求)(1x F 和)(2x F 在分界点处的连续性可知，)(1x F 为右连续的函数，而)(2x F 为左连续函数，这个结论也具有一般性：结论2 两个定义求出的分布函数都是阶梯函数，且在k x x =处的跃度均为该点的取值的概率k p ，区别在于定义1求得的分布函数总是右连续函数，而定义2求得的分布函数总是左连续函数．3、 连续型随机变量的分布函数也用一个例子来说明例2 设X 服从),(b a 上的均匀分布，其概率密度函数为[1]： ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f ， 对于其分布函数，不同的教学参考书有如下几种形式：0,x a < 0,x a < 0,x ≤a1()F x = ,x a a b a --≤x ≤b , 2()F x = ,x a a b a --≤x b <, 3()F x = ,x a a x b a-<-≤b 1,x b > 1,x ≥b 1,x b >可以看到，不同之处也只在于区间端点处，但事实上，以上三个函数在b x a x ==,处均连续，所以是相同的函数．即不论是用定义1还是定义2，所求得的分布函数都是相同的．一般性的结果如下：结论3 对于连续型随机变量，用两个定义求得的分布函数)(x F 本质上并无区别，但在表示形式上会稍有不同．二、用()F x 计算随机变量X 落在任意区间上的概率1、 离散型随机变量的概率例3 对于例1中的随机变量，分别用)(1x F 和)(2x F 求以下概率：)2(<X P ，(P X ≤2)， )2(=X P ，(1P X <≤3)． 解：21)2()02()2(21==-=<F F X P ， (P X ≤1272)(2)(20)8F F ==+=， 83)2()02()02()2()2(2211=-+=--==F F F F X P ， (1P X <≤112213)(3)(1)(30)(10)2F F F F =-=+-+=． 由以上过程得出如下结论：结论4 对于离散型随机变量X 落在任意区间上的概率，利用两种定义得到的分布函数求出的结果完全一样，但是求解过程有所不同，具体如下[4]：()(F x P X =≤)x )()(x X P x F <=①(P X ≤)()a F a = ①(P X ≤)(0)a F a =+②)0()(-=<a F a X P ②)()(a F a X P =<③(P X ≥)1(0)a F a =-- ③(P X ≥)1()a F a =-④)(1)(a F a X P -=> ④)0(1)(+-=>a F a X P⑤)0()()(--==a F a F a X P ⑤)()0()(a F a F a X P -+==⑥(P a X <≤)()()b F b F a =- ⑥(P a X <≤)(0)(0)b F b F a =+-+ ⑦(P a ≤)(0)(0)X b F b F a <=--- ⑦(P a ≤)()()X b F b F a <=-⑧(P a ≤X ≤)()(0)b F b F a =-- ⑧(P a ≤X ≤)(0)()b F b F a =+- ⑨)()0()(a F b F b X a P --=<< ⑨)0()()(+-=<<a F b F b X a P2、 连续型随机变量的概率对于连续型随机变量，其分布函数)(x F 是),(∞+-∞上的连续函数，即),(0∞+-∞∈∀x ， 有：)()0()0(000x F x F x F =-=+，因此有如下结论：结论5 连续型随机变量在任意区间上的概率由分布函数表示如下：①0)()0()0()()(=-+=--==a F a F a F a F a X P ，②()(P X a P X <=≤)()a F a =，③()(P X a P X >=≥)1()a F a =-，④(P a X <≤)(b P a =≤X )(b P a <=≤X ≤)()()()b P a X b F b F a =<<=-．总之，对于随机变量的分布函数的不同定义，离散型随机变量在区间划分上稍有不同，连续型随机变量则无区别；反之，由分布函数求随机变量落在任意区间内的概率时，两种分布函数求得的结果完全一样，但相应的计算式有所不同．下面给出随机变量的分布函数的性质：三、分布函数的性质不论X 是离散型还是连续型随机变量，其分布函数)(x F 均有如下性质：性质1 单调性：)(x F 是定义在),(∞+-∞上的单调递增的函数；性质2 有界性：0≤()F x ≤1，且0)(lim =∞-→x F x ，1)(lim =∞+→x F x ； 性质3 右(左)连续性：1()F x (2()F x )是),(∞+-∞上的右(左)连续函数，即对于任意实数 0x ，有010110(0)lim ()()x x F x F x F x +→+==(020220(0)lim ()()x x F x F x F x -→-==) 对于连续型随机变量X 而言，其分布函数)(x F 在某些特定的条件下，也有一些特殊的性质，这里归纳如下：性质4 若X 为连续型随机变量，其分布函数为)(x F ，密度函数为)(x p ，当)()(x p x p =-，即密度函数关于y 轴对称时，对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-a dx x p a F a F 0)(21)(1)(； （2）1)(2)(-=<a F a X P ；（3）]1)([2)(-=>a F a X P ．性质5 若X 为连续型随机变量，其分布函数为)(x F ，则)(X F Y =服从]1,0[上的均匀分布．性质6 若X 为连续型随机变量，)(x F 为其分布函数，)(x F 在],[b a 上连续且严格单调(此处a 可以是∞-，b 可以是∞+)，则)(U Y ϕ=与X 同分布，其中U 服从]1,0[上的均匀分布，)(⋅ϕ为)(⋅F 的反函数．性质4-性质6的证明本文不再叙述，具体见参考文献[5]．参考文献：[1] 王丽霞．概率论与数理统计[M]．大连：大连理工大学出版社，2010．[2] 茆诗松、程依明、濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]． 北京：高等教育出版社，2004．[3] 李贤平．概率论基础（第3版）[M]．北京：高等教育出版社，2010．[4] 程延．谈一维随机变量分布函数的两个不同形式的定义[J]．新疆职工大学学报，2001，（第9卷第6期）．[5] 胡春华．关于连续性随机变量分布函数的一些重要性质的证明[J]．鸡西大学学报，2004，（第5卷第4期）．。