一维随机变量的函数的分布(精选)

X
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有

( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数

y}
①
1 2π

y
y
e
x2 2
dx
2 2π

y
0
e
x2 2
dx
所以 当y 0时, fY ( y ) FY ( y )
y0 0, y 即 fY ( y ) 1 2 e ,y0 2 πy
概率统计（ZYH）
y 1 e 2 2πy
②
y =0时可任 意规定其值
概率统计（ZYH）
例2 设随机变量X的分布律为
1 P{ X k } k , k 1, 2, 2

求随机变量函数 Y sin X 的分布律． 解
2 1 2 P{Y 1} P{ X 4k 1} 4 k 1 15 k 1 k 1 2 1 1 P{Y 0} P{ X 2k } 2 k 3 k 1 k 1 2 1 8 P{Y 1} P{ X 4k 3} 4 k 3 15 k 1 k 1 2

yb a
e

( x ) 2 2
dx
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
所以 fY ( y ) FY ( y )
1 e 2π a
定理1 的推论
亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
定理2 X ~ N ( , )
2
Y
X
本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法
定理1 设 X 服从正态分布N( , 2), 则随机变
量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
证 （以a >0为例证明）

解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若

fX
2 ye
y
y 2
y fX y
1 0 ey
y
y0
2y
求随机变量Y=g(X)的密度函数的 另一种方法：公式法
定理2.4.1 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的
密度函数分别为 f X (x)， fY (y),
当 y=g(x) 是严格单调可微函数，且g´(x) ≠0
x0 x0
试求：Y X 2 的密度函数
当 y 0 时, FY (y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y} FX y FX y
fY
(
y)

FY
(
y
)

y
FX

y FX
y
y

.
P{aX b y} P{X y b}
a
yb FX ( a )
a 0
a 0
例2. 已知随机变量X ~ U(2,4) ,
求Y X 2的概率密度函数。
1
f (x)


2
2 x4
0, 其它
1.当y≤0时， FY ( y) P{Y y} P{ X 2 y} =0
(2)Y ln X
x0 x0
(3)Y e 2X
y3
(1)Y 2X 3
x h( y) 2
fY
( y)
fX (
y
2
3 )
y
3 2 y


1 4
e
(
y3 4
)
,
0

0


2
dx
2

2x
arcsin y

2
dx
arcsin y
arcsin y 2 ) 1 ( )
dF ( y ) dy
f ( y )
而
导得:
2 , 0 y 1 f ( y ) 1 y 2 0, 其它
~ N (0,1). 则 解: F ( y ) P( y ) P( y)
y P( y )

1 e 2
( x )2 2 2
dx
f ( y )
dF ( y ) dy
1 e 2
2
0
0
1
y8 4 2
0 2 ( y 8) F ( y ) 64 1
y8 8 y 16 y 16
于是η 的密度函数为
y 8 dF ( y ) f ( y ) 32 dy 0 8 y 16 else
例2
求 η=2ξ+8 的概率密度.
x / 8, 0 x 4 设 ξ ~ f ( x ) 0, 其它
y 8 F ( y ) P( y ) P(2 8 y) P{ } 2 y 8
F ( 2 )
另解：设η的分布函数为 Fη(y)，
于是η 的密度函数
y 8 F ( y ) P( y ) P(2 8 y) P{ } 2 y 8 y 8 0 4 y 8 y 8 2 2 2 f ( x)dx 2 x dx 1 x 2 8 16 y8

F ( y ) P( y ) F ( y ) P( y )

0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
( y)
FY'
(
y)
1 ,
2y
y0
0, 其他
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6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
解 X的密度函数为
f x 1 ex2 /2
Px
(
x)
x3e x2 0, x
,x 0
0
求随机变量 Y X 2和Y 2x 3 的概率密度
解：先求随机变量 Y X 2 的分布函数
FY (y) PY y P x2 y P y x y F x( y) F x( y)
p p y
y
(x)dx (x)dx
- x
- x
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (1211) Φ (1011)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20
p 0.16 0.16 0.68
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6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例 设随机变量x的概率密度为 求随机变量Y=2X+8的概率密度
P
x
(
x)
x / 8,0 x 4 0, 其他情况
解：第一先求Y=2X+8的分布函数 FY (y)
F p (y) Y
pY y
p2x 8 y

1 又 X 的概率密度 f X ( x) e 2 ( x )2 2 2
， x ．
由定理 4.1， Y 的概率密度为
y b 1 1 1 fY ( y) f X ( ) e a a a 2
其中 y ．
y b 2 ) a 2 2 (
1 1 4
0 1 6 0
1
1 1 4 1 1
2 1 3 4 2
1 1
②适当合并，得 0 1 4 Y ~ 1 1 1， 6 2 3 1 2 Z ~ 2 1． 3 3
3
1 例 4.2 随机变量 X 的分布律为 P{ X k} k , k 1, 2,3, ． 2
第二步： 对其中 Y 取值相同的项适当进行概率合并， 即得Y 的分布律．
2
1 0 1 2 例 4.1 设随机变量 X ~ 1 1 1 1 ， 分别求出 4 6 4 3
Y X 2 和 Z max{X ,1} 的概率分布．
解 ①作下列列表计算
X
P Y Z
解 由于 Y 的取值为 1, 0 和 1 ， 所以 Y 为离散型随机变量， 求Y 的概率分布就是要求 Y 的分布律．因为
1 P{Y 1} P{ X 0} ， P{Y 0} P{ X 0} 0 ， 3 1 0 1 2 ． P{Y 1} P{ X 0} ，故 Y 的分布律为 Y ~ 1 2 3 0 9 3 3
2
解
X S 的分布函数为 FS (s) P{S s } P{
当 s 4 时， FS (s) 0 ；
2
s } ．
当 s 9 时， FS ( s) 1 ；当 4 s 9 时，

求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
f Z z


f X x f Y z x dx
x 的积分范围
被积函数不为
0的 x 范围
0 x 1 0 x 1 0 z x 1 z 1 x z
0 z1
z 1
0 z 1 1 1 z 2
fY
y
fX (
y8 2
y 8 2
1 2
)
1 2

即 :
1 8

0,
, 0
y8 2
4
其它
y8 , 8 y 16 f Y ( y ) 32 0 , 其它
例2: 设X的概率密度为:
e , x 0 f (x) 0 , 其他
设 X ~ N ( 0 , 1 )，求 : ( 1 )Y aX b ( 2 )Y X
2
( a 0 ), 线性变换
的概率密度
。
复习:设 X~N（0，1），其概率密度为：
x
1 2
x
2
e
2
, x
( 1 ) F Y ( y ) P ( Y y ) P ( aX b y )
1 y 1 y 2e 2 , y 0 2 0, y 0
练习：设X的概率密度为：
1 , x 0 2 f ( x ) (1 x ) 0, x 0 设 Y ln X , 求： （ 1） ; ( 2 ) Y 的概率密度 ;
P ( 0
F ( X 0
2
y)
y X

1, 0 x 1 fX (x) 0, 其它
e y ,
fY
(
y)
0,
y0 其它
求随机变量Z=2X+Y的分布函数与密度函数。 (1) R(Z)=(0，+∞);
(2) 任意取z∈(0，+∞);
FZ (z) P(Z z) P(2X Y z)
当z/2≤1时，
z 2 z2x
FZ (z) f (x, y)dydx
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
e
z
),
0 z 2
fZ
(z)
1
2
(e2z
ez
),
z
2
0,
其它
3.4.2、随机变量的可加性 正态分布的可加性
定理3.5.5
设 X
N
(
1
,
2 1
),
Y
N
(
2
,
2 2
),
且相互独立，则
a b
N (a1
b2
,
a
2
2 1
b2
2 2
)
推广：
设 X i
N
(
i
,
2 i
)(
i