一维连续型随机变量函数的分布

第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。

教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。

教学方法：课堂教学。

三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。

关于一维连续型随机变量分布函数的讨论作者：俞霜来源：《新教育时代·教师版》2018年第45期摘要：在《概率论与数理统计》这门课程中，讲授到第二章一维连续性随机变量及其分布这一部分的时候，我个人觉得分布函数这一内容比较的重要，在后续知识点解决问题时，多有应用，得此总结分布函数相关的方法，以便于教学。

关键词：分布函数连续型随机变量连续型随机变量函数的分布分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法。

在教学过程中，利用分布函数的定义可以很快的求出概率，特别是连续型随机变量函数中分布函数法用的更为广泛。

一、分布函数的定义及性质定义：设X是随机变量，x为任意实数，称函数F（x）=P{X≤ x}（- ∞说明：分布函数的定义和性质，不论X是离散型还是连续型随机变量都适用。

二、连续型随机变量中分布函数的应用定义：随机变量函数的分布函数为F（x），如果存在非负函数f（x），对于任意实数x，有， F（x）=f（t）dt则称X为连续型随机变量。

其中f（x）为X的概率密度函数。

此定义中分布函数的求法，只适用于连续型随机变量。

用例子说明：连续型随机变量分布函数的求法，及利用分布函数求概率。

在运用此方法的时候，要注意的是，会用到高等数学里面的变限求导的知识点，教学的时候要特别练习。

运用此方法要求学生对分布函数的定义非常的熟悉和有深层次理解，老师在教学的时候也是要将分布函数法反复强调，不能只是代公式计算。

实际教学情况表明，无论是上面介绍的那种方法，对学生来说都有记忆上的困难，如果不能很好的理解分布函数的定义的内容，单纯对结论死记硬背，效果肯定不佳，因此，掌握好分布函数的内容是十分有必要的。

参考文献[1]孟新焕，邰淑彩等.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2017：34-37，42-44[2]金大永，徐勇.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011：63-65，87-93[3]张继昌.概率论与数理统计[M].杭州：浙江大学出版社2003：65-67，96-100作者简介俞霜（1980.10—）女，汉族，湖北黄冈人，讲师，硕士，研究方向：概率论与数理统计。

《概率统计II 》教学设计 一维连续型随机变量函数的分布1 一维连续型随机变量函数的分布教学设计【教学题目】§2.7 一维连续型随机变量函数的分布【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并能熟练求解一维连续型随机变量函数的分布。

【教学思想】1、一维连续型随机变量函数依然是一维随机变量，通过分布函数法，建立了两者之间的联系，体现辩证统一的数学思想。

2、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题的引入、问题驱动的分析和求解，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法，达到教会学生求解连续型随机变量函数的分布的目的，体现“授人以渔”。

【教学分析】1、本次课主要包括以下内容（1）引入和引例；（2）分布函数法及其应用。

2、重难点分析求随机变量X 的函数Y 的分布的思路主要是将与函数Y 有关的随机事件转化成与随机变量X 有关的随机事件，通过求等价事件的概率求出Y 的分布函数；然后利用分布函数与密度函数的关系，求出Y 的密度函数。

因此如何转化既是求解的重点，也是求解的难点。

【教学方法和策略】黑板板书结合PP T 演示，采用实际问题驱动、提出科学问题；探索具体问题的解决思路和方法，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法——分布函数法。

在讲解时，采用启发式、提问式的教学方式，由表及里、层层递进、步步设问，利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。

【教学安排】引入（3分钟）在工程的建造问题中，人们通过测量园轴截面直径D 的分布，而求其面积241D S π=的分布；在统计物理中，已知分子的运动速度V 的分布，求其动能221mV E =的分布。

还有许多诸如此类的实际问题，都需要研究在连续型随机变量X 的分布已知时其函数的分布问题，这就是我们今天要研究的主题。

（板书标题）引例 在PPT 上引入问题：设),(~2σμN X ，求σμ-=X Y 的密度函数)(y f Y ？分析：求Y 的分布密度等价于求其分布函数（概率），利用等概率事件的转化，建立随机变量X 与它的函数Y 的分布函数（概率）之间的关系，进而求出随机变量函数Y 的分布。

一维的分布函数
一维分布函数是用来描述一个一维随机变量的概率分布的函数。

它可以用于描述连续型和离散型一维随机变量的概率分布情况。

对于连续型随机变量，一维分布函数通常被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。

CDF表示了随机变量取值小于等于给定值的概率。

对于一个随机变量X，其CDF 函数可以表示为F(x) = P(X <= x)。

对于离散型随机变量，一维分布函数通常被称为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。

PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。

对于一个离散型随机变量X，其PMF函数可以表示为f(x) = P(X = x)。

例如，考虑一个连续型随机变量X，表示某种产品的寿命。

我们可以用CDF函数描述该产品的寿命小于等于给定值的概率。

如果我们有一个具体的值x，可以通过计算CDF函数F(x)来得到寿命小于等于x的概率。

另一个例子是一个离散型随机变量Y，表示一个骰子的面数。

我们可以用PMF函数来描述抛掷该骰子得到某个特定面数的概率。

如果我们有一个具体的值y，可以通过计算PMF函数f(y)来得到抛掷骰子得到该面数的概率。

一维分布函数在统计学和概率论中是非常常用的工具，它提供了对随机变量的概率分布进行描述、计算和分析的方法。

通过了解一维分布函数，我们可以更好地理解和分析随机变量的概率特征和统计规律。

第二章一维随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数一、内容精要（一）随机变量1.随机变量的引入的背景2.随机变量的严格定义（二）分布函数1.分布函数的定义2.分布函数的性质3.分布函数表示的概率计算公式二、 常考题型分析（一） 与分布函数有关的性质1. 判定给定函数是否为分布函数例1 ()下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是()()21.1A F x x =+ ()()31arctan .42B F x x π=+ ()()0,0,,0.1x C F x xx x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ()()2arctan 1.D F x x π=+2. 含参数的分布函数形式已知，求未知参数例2 ()()1212F x F x X X 设与分别为随机变量和的分布函数.为使 ()()()12=F x aF x bF x -()是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取()32,.55A a b ==- ()22,.33B a b == ()13,.22C a b =-= ()13,.22D a b ==-例3 ()()0,1,11,11,84,11,1,1,x x X F x P X ax b x x <-⎧⎪⎪=-⎪===⎨⎪+-<<⎪≥⎪⎩设随机变量的分布函数且,.a b 求未知参数3. 分布函数的连续性例4 ()000X x P X x ==设随机变量对于任意实数有的充要条件为()A X 为离散随机变量. ()B X 不是离散随机变量.()()C X F x 的分布函数为连续函数.()()D X f x 的概率密度为连续函数.例5 ()()()()1221F x X P x X x F x F x <<=-设为随机变量的分布函数，则()()F x 成立的充要条件是在()1A x 处连续. ()2B x 处连续. ()12C x x 和至少一处连续. ()12D x x 和都不连续.例6 ()()1F x F x --设为某个随机变量的分布函数，讨论函数是否为分布.函数（二） 已知分布函数求区间或某点的概率例7 ()()()00,1=01,121,1,xx F x x P X e x <⎧⎪⎪≤<=⎨⎪-≥⎪⎩，设随机变量的分布函数，则为()0.A ()1.2B ()11.2C e -- ()11.D e --例8 3164一个边长为的正立方体容器盛有的液体，假设一个小孔出现在容器 个表面的任何一个部位是等可能的，现在表面出现了一个小孔，液体经此小孔流出，试求()X F x （1）容器中剩余液体液面的高度的分布函数； 3().4P X =（2）例9 ()=()X x R F x P X x ∈<设为随机变量，对于任意，定义函数，且00,1()=01,21,1,x x F x x e x -≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪->⎪⎩，，(1)_____________.P X ==则第二节一维随机变量及其分布一、内容精要（一）一维离散型随机变量及其分布1.分布律和性质2.分布函数3.常见分布（二）一维连续型随机变量及其分布1.概率密度及其性质2.分布函数的性质3.常见分布二、 常考题型分析（一） 与概率分布的性质相关的问题1. 判断函数是否为概率密度例1 12()()F x F x 设，为分别两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度()12()()f x f x 分别为，，这两个函数均是连续函数，则必为概率密度的是()12()()A f x f x ()21()()B f x F x()12()()C f x F x ()1221()()()()D f x F x f x F x +2. 概率分布已知，求分布中的位置参数 例2 X 设随机变量的概率分布为()()()11,2,,,n kk kn P X k A C p p k n -==⋅-=,01___________.n Z p A +∈<<=其中为已知，则例3 ()1()1,2,2k kP X k k X θ-==⋅= 设为随机变量的分布律的充要条件 为__________.例4 []12()()1,3f x f x -设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的()()12(),0,()0,0,(),0,af x x f x a b a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩概率密度，若为概率密度，则应满足例5 2,0,()______.0,0,x ax e x X f x a x -⎧>==⎨≤⎩设随机变量的概率密度函数为则例6 22(),______.x xX f x ae a -+==设随机变量的概率密度函数为则（二） 已知随机试验中的随机变量，求分布律和分布函数例7 413设有三个盒子，第一盒子有个红球，个黑球；第二个盒子装有个红 223球，个黑球；第三盒子装有个红球，个黑球，现在从三个盒子中任取一盒，然后从中任取3个球，试求所取到的红球个数的分布律与分布函数.例8 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为2X 记随机变量为第次射中目标所进行的射击的次数.求X 得分布律.（三） 已知分布函数求分布律或已知概率密度函数求分布函数1. 已知分布函数求分布律例9 X 设随机变量的分布函数为()0,1,0.4,11,0.8,13,1,3,x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ .X 试求的分布律例10 X 已知随机变量的概率分布律为()()22123211X P θθθθ--()()32.4P X X F x θ≥=且，求未知参数及的分布函数2. 已知概率密度函数求分布函数例11 X 设连续型随机变量的密度函数为()12,0,211,1,2332,1,20,,x x x f x x x ⎧≤<⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪⎩其它 ().X F x 试求的分布函数（四） 与常见分布有关的概率问题1. 离散型常见分布例12 ()()12~,,X P p p X λ设分别为随机变量取偶数和奇数的概率，则()12.A p p = ()12.B p p < ()12C p p > ()12,D p p 大小关系不定.例13 X 设随机变量的概率密度函数为()()+1,01,0,k k x x f x ⎧<<=⎨⎩其它， 137264Y X A X ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭以表示对的三次独立的重复观察中，事件至少发生一次的概率为，,95%n A X 试求常数使得事件至少发生的一次的概率超过，对至少要做多少次独立重 .复的观察例14 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为.X X 直至射中目标为止，记随机变量为射击的次数.求为偶数的概率例15 ()(),,.X B n p k P X k =设随机变量服从二项分布当取何值时，最大2. 连续型常见分布例16 ()()()~,0,0,X E s t P X s t X sλ>>>+>设则对于任意则().A t s 与无关，随的增大而增大 ().B t s 与无关，随的增大而减少 ().C s t 与无关，随的增大而增大 ().D st 与无关，随的增大而减少例17 ()()()2~,1X N P X μσμ<+设，则().A μ随的增大而增大 ().B μ随的增大而减少 ().C σ随的增大而不变 ().D σ随的增大而减少例18 ()211,X N Y μσ设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布()12.A σσ< ()12.B σσ> ()12.C μμ< ()12.D μμ>例19 ()()21,0,0,03X Y N P X Y σ≤>设随机变量均服从，若概率=， ()0,0______.P X Y ><则=例20 1009010有个零件，其中个一等品，个二等品，随机地取两个，安装在 ()20,1,2i i =一台设备上，若个零件中有个二等品，则该设备的使用寿命服从参数 =1i λ+为的指数分布，试求()11设备寿命超过的概率；()212.若已知该设备寿命超过，则安装在该设备上的个零件均为一等品的概率第三节 一维随机变量函数的分布一、 内容精要（一） 一维离散型随机变量函数的分布律（二） 一维连续型随机变量函数分布求解二、 常考题型分析（一） 求可列无穷多取值的离散型随机变量函数的分布律例1 ()1,1,2,,sin .22n X P X n n Y X π⎛⎫==== ⎪⎝⎭设的分布律为求的分布律（二） 已知连续型随机变量的概率密度，求非单调函数的概率密度例2 X 设随机变量的概率密度为()1,10,21,02,40,.X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它2.Y X Y =令，求的概率密度函数例3 ()20,423X Y X X Y =--设服从区间上的均匀分布，随机变量，试求的 .密度函数例4 1X =max ,.Z X X λ⎛⎫ ⎪⎝⎭设随机变量服从参数为指数分布，求的分布函数（三） 抽象的随机变量函数的分布例5 ()(),,X F x Y F x =设连续型随机变量的分布函数为令求随机变量函数 .Y 的概率分布例6 (),1__________.X F x Y X =-随机变量的分布函数为则的分布函数为。

一、概述连续型随机变量的函数的分布是概率论与数理统计领域一个重要的研究课题。

在实际应用中，我们经常需要分析具有一定概率分布的随机变量经过某种函数变换后的分布情况。

这不仅对于了解随机变量的性质和规律具有重要意义，还在实际问题的求解中起到了关键作用。

在本文中，我们将首先对连续型随机变量和随机变量的函数进行简要介绍，然后深入探讨连续型随机变量的函数的分布，并总结相关的分布思政。

二、连续型随机变量的基本概念1. 连续型随机变量的定义连续型随机变量是指一个随机变量在其取值范围内任意取值的概率分布是连续分布的随机变量。

具体来说，如果一个随机变量取值范围为无限区间，那么我们称其为连续型随机变量。

2. 连续型随机变量的密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)定义为在任意实数x 上有f(x)≥0，并且在整个实数轴上的积分等于1，即∫f(x)dx=1。

三、随机变量的函数随机变量的函数是指对于一个已知的随机变量X，我们可以利用某个函数Y=g(X)来构造一个新的随机变量Y。

其中，g(X)即为随机变量X 的函数。

四、连续型随机变量的函数的分布1. 变量变换法则对于连续型随机变量X，其函数Y=g(X)的密度函数fY(y)的计算可以利用变量变换法则进行。

变量变换法则的基本思想是对Y的一个小区间与X的一个小区间之间的关系建立对应关系，然后通过变量代换计算概率密度函数fY(y)。

2. 实例分析通过一个实例来分析连续型随机变量的函数的分布。

假设X～U(0,1)表示在[0,1]上均匀分布的连续型随机变量，求Y=X^2的概率密度函数。

我们可以利用变量变换法则来计算Y的概率密度函数。

五、连续型随机变量的函数的分布思政在实际应用中，连续型随机变量的函数的分布思政具有重要的意义。

我们可以通过对分布思政的深入理解，更好地应用在现实问题的分析与求解过程中。

六、总结本文主要对连续型随机变量的函数的分布进行了介绍和分析，并总结了相关的分布思政。

连续型随机变量的分布函数引言连续随机变量是概率论中的重要概念之一，其取值范围是一段连续的实数区间。

与离散型随机变量不同，连续型随机变量的分布函数是一个实函数，描述了随机变量取值小于等于某一实数的概率。

本文将介绍连续型随机变量的分布函数的定义、性质以及常见的连续分布函数。

一、连续型随机变量的分布函数定义在概率论中，对于一维连续型随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)其中P为概率函数，表示X取值小于等于x的概率。

分布函数F(x)具有以下性质：1.F(x)是自变量x的单调不减函数；2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3.当x→负无穷时，F(x)→0；当x→正无穷时，F(x)→1。

二、连续型随机变量的概率密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)是分布函数F(x)的导数，即：f(x) = dF(x)/dx概率密度函数描述了连续型随机变量在不同取值下的概率密度。

概率密度函数具有以下性质：1.f(x)是非负函数，即对于所有x，有f(x)≥0；2.连续型随机变量所有可能取值的概率密度函数在取值范围上的积分等于1，即∫f(x)dx = 1。

通过概率密度函数可以计算出在某个区间内连续型随机变量的取值概率，即概率密度函数在该区间上的积分。

三、常见的连续分布函数1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型随机变量分布，其概率密度函数在一个区间内全等于常数，即：f(x) = 1/(b-a)，a≤x≤b，否则 f(x) = 0其中a和b是区间的上下界。

均匀分布的分布函数是线性的，在区间[a,b]内为0，在区间左侧小于a时为0，在区间右侧大于b时为1。

均匀分布的期望值为(a+b)/2，方差为(b-a)²/12。

2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最具代表性的连续型随机变量分布之一，也称为高斯分布。