一维连续型随机变量函数的分布

第六讲 一维连续型随机变量教学任务：1．随机变量的分布函数的定义； 2．常见的连续型随机变量。

教学重点：常见的连续型随机变量教学目的：1． 让学生理解随机变量的分布函数的定义； 2． 理解连续型随机变量的定义；3． 学会求一些简单的连续随机变量的密度； 4． 掌握常见的连续型随机变量。

教学方法：课堂教学。

三、随机变量的分布函数对于非离散随机变量, 由于其所有可能取值不能一个一个列举出来, 因此不能用分布律来表示. 而是关心这种随机变量落在一个区间的概率, 并不关心它取各个值的概率. 如测量误差, 考虑落在某一区间内的概率, 产品寿命大于某个数的概率等. 为此, 我们首先引进随机变量分布函数的概念.分布函数的定义 设X 是一个随机变量, 对任意实数x, 则称)()(x X P x F ≤= (2.8)为随机变量X 的分布函数.通过分布函数能用数学分析的方法研究随机变量.分布函数的性质: （1）单调不减函数, 若, 则21x x <)()(21x F x F ≤ 事实上, 当时, 21x x <},{}{21x X x X ≤⊂≤有),()(21x X P x X P ≤≤≤则 )()(21x F x F ≤（2）右连续性 即)0()(+=x F x F（3）, 0)()(lim =−∞=−∞→F x F x 0)()(lim =−∞=∞→F x F x不论随机变量是离散型随机变量或非离散型随机变量, 分布函数)(x F 全面地描述了随机变量的统计规律性.另外，显然有：)()()()()(121221x F x F x X P x X P x X x P −=≤−≤=≤<例题2.7 一袋中装有2个白球和3个黑球, 每次从中任取1个球, 不放回抽样, 直至取到白球为止, 求 (1) 取球次数X 的分布函数; (2) )1(≤X P ; (3) )32/3(≤<X P ; (4))42(≤≤X P .解 X 的概率分布为X 1 2 3 4 )(k X P = 0.4 0.3 0.2 0.1(1) X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<=xx x x x x F 41439.0327.0214.010)( )(x F 的图形是一条阶梯形的曲线, 在x=1,2,3,4处有跳跃点, 跳跃值分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.1.(3) 5.04.09.0)2/3()3()32/3(=−=−=≤<F F X P(4) 6.03.07.01)2()2()4()42(=+−==+−=≤≤X P F F X P一般地, 设离散型随机变量X 的分布律为 k k p x X P ==)(, L .2.1=k 则X 的分布函数为∑∑≤≤===≤=xx k xx k k k p x X P x X P x F )()()( (2.9)和式是对所有满足的k 求和. x x k ≤)(x F 在k x x =处有跳跃, 其跳跃值. )(k k x X P p ==四、 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量的定义 设)(x F 为随机变量X 的分布函数, 如果存在非负函数)(x f , 使对于任意实数x , 有(2.10)∫∞−=xdt t f x F )()(则称X 为连续型随机变量, 称)(x f 为的概率密度函数.由式(2.10)知, 几何上解释, )(x F 表示曲线)(x f 下，x 轴上方的面积, 所以)(x F 是连续函数. 本书主要讨论两类随机变量: 离散型随机变量和连续型随机变量. 概率密度具有如下性质: (1)非负性 0)(≥x f (2) 归一性∫∞∞−=1)(dx x f (3)∫=≤<21)()(21x x dx x f x X x P (1) 若)(x f 在点x 处连续, 则)()('x f x F =随机变量X 落在小区间],(x x x Δ+上的概率为x x f x x X x P Δ≈Δ+≤<)()( (2,11)x x f Δ)(称为概率微分.连续型随机变量取任一指定的实数值a 的概率为0, 即0)(==a XP .事实上, }{}{a X x a a X≤<Δ−⊂=得)()()(){0x a F a F a X x a a X P Δ−−=≤<Δ−≤=≤0)]()([lim ){lim 00=Δ−−≤=≤→Δ→Δx a F a F a X P x x所以0)(==a XP . 根据这一结果, 则有)()()(b X a P b X a P b X a P <<=≤≤=≤<另有, 若φ=A , 则0)(=A P ; 反之, 若0)(=A P , 并不一定意味着A 是不可能事件.常用的连续型随机变量及其概率密度(1) 均匀分布如果连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=其他1)(b x a ab x f (2.12) 则称X 在区间(a , b )上服从均匀分布， 简记为),(~b a U X ，∞<<<∞−b a 为参数。

关于一维连续型随机变量分布函数的讨论作者：俞霜来源：《新教育时代·教师版》2018年第45期摘要：在《概率论与数理统计》这门课程中，讲授到第二章一维连续性随机变量及其分布这一部分的时候，我个人觉得分布函数这一内容比较的重要，在后续知识点解决问题时，多有应用，得此总结分布函数相关的方法，以便于教学。

关键词：分布函数连续型随机变量连续型随机变量函数的分布分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法。

在教学过程中，利用分布函数的定义可以很快的求出概率，特别是连续型随机变量函数中分布函数法用的更为广泛。

一、分布函数的定义及性质定义：设X是随机变量，x为任意实数，称函数F（x）=P{X≤ x}（- ∞说明：分布函数的定义和性质，不论X是离散型还是连续型随机变量都适用。

二、连续型随机变量中分布函数的应用定义：随机变量函数的分布函数为F（x），如果存在非负函数f（x），对于任意实数x，有， F（x）=f（t）dt则称X为连续型随机变量。

其中f（x）为X的概率密度函数。

此定义中分布函数的求法，只适用于连续型随机变量。

用例子说明：连续型随机变量分布函数的求法，及利用分布函数求概率。

在运用此方法的时候，要注意的是，会用到高等数学里面的变限求导的知识点，教学的时候要特别练习。

运用此方法要求学生对分布函数的定义非常的熟悉和有深层次理解，老师在教学的时候也是要将分布函数法反复强调，不能只是代公式计算。

实际教学情况表明，无论是上面介绍的那种方法，对学生来说都有记忆上的困难，如果不能很好的理解分布函数的定义的内容，单纯对结论死记硬背，效果肯定不佳，因此，掌握好分布函数的内容是十分有必要的。

参考文献[1]孟新焕，邰淑彩等.概率论与数理统计[M].北京：科学出版社，2017：34-37，42-44[2]金大永，徐勇.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011：63-65，87-93[3]张继昌.概率论与数理统计[M].杭州：浙江大学出版社2003：65-67，96-100作者简介俞霜（1980.10—）女，汉族，湖北黄冈人，讲师，硕士，研究方向：概率论与数理统计。

《概率统计II 》教学设计 一维连续型随机变量函数的分布1 一维连续型随机变量函数的分布教学设计【教学题目】§2.7 一维连续型随机变量函数的分布【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并能熟练求解一维连续型随机变量函数的分布。

【教学思想】1、一维连续型随机变量函数依然是一维随机变量，通过分布函数法，建立了两者之间的联系，体现辩证统一的数学思想。

2、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题的引入、问题驱动的分析和求解，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法，达到教会学生求解连续型随机变量函数的分布的目的，体现“授人以渔”。

【教学分析】1、本次课主要包括以下内容（1）引入和引例；（2）分布函数法及其应用。

2、重难点分析求随机变量X 的函数Y 的分布的思路主要是将与函数Y 有关的随机事件转化成与随机变量X 有关的随机事件，通过求等价事件的概率求出Y 的分布函数；然后利用分布函数与密度函数的关系，求出Y 的密度函数。

因此如何转化既是求解的重点，也是求解的难点。

【教学方法和策略】黑板板书结合PP T 演示，采用实际问题驱动、提出科学问题；探索具体问题的解决思路和方法，由具体到抽象、由特殊到一般，抽象出连续型随机变量函数的分布的求法——分布函数法。

在讲解时，采用启发式、提问式的教学方式，由表及里、层层递进、步步设问，利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。

【教学安排】引入（3分钟）在工程的建造问题中，人们通过测量园轴截面直径D 的分布，而求其面积241D S π=的分布；在统计物理中，已知分子的运动速度V 的分布，求其动能221mV E =的分布。

还有许多诸如此类的实际问题，都需要研究在连续型随机变量X 的分布已知时其函数的分布问题，这就是我们今天要研究的主题。

（板书标题）引例 在PPT 上引入问题：设),(~2σμN X ，求σμ-=X Y 的密度函数)(y f Y ？分析：求Y 的分布密度等价于求其分布函数（概率），利用等概率事件的转化，建立随机变量X 与它的函数Y 的分布函数（概率）之间的关系，进而求出随机变量函数Y 的分布。

一维的分布函数
一维分布函数是用来描述一个一维随机变量的概率分布的函数。

它可以用于描述连续型和离散型一维随机变量的概率分布情况。

对于连续型随机变量，一维分布函数通常被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。

CDF表示了随机变量取值小于等于给定值的概率。

对于一个随机变量X，其CDF 函数可以表示为F(x) = P(X <= x)。

对于离散型随机变量，一维分布函数通常被称为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。

PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。

对于一个离散型随机变量X，其PMF函数可以表示为f(x) = P(X = x)。

例如，考虑一个连续型随机变量X，表示某种产品的寿命。

我们可以用CDF函数描述该产品的寿命小于等于给定值的概率。

如果我们有一个具体的值x，可以通过计算CDF函数F(x)来得到寿命小于等于x的概率。

另一个例子是一个离散型随机变量Y，表示一个骰子的面数。

我们可以用PMF函数来描述抛掷该骰子得到某个特定面数的概率。

如果我们有一个具体的值y，可以通过计算PMF函数f(y)来得到抛掷骰子得到该面数的概率。

一维分布函数在统计学和概率论中是非常常用的工具，它提供了对随机变量的概率分布进行描述、计算和分析的方法。

通过了解一维分布函数，我们可以更好地理解和分析随机变量的概率特征和统计规律。