第一次课： 2学时
1 题目：§3.1 角速度和角加速度
§3.2 刚体转动的动能定理
2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。
2）转动问题求解。
一、引入课题：
若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。
二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动
§ 3.1 角速度和角加速度
一、刚体
刚体是受力时形状和体积不改变的物体。
特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。
平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行
的运动。
刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线
称为刚体转轴。
例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。其
特征是物体上各点的轨迹相互平行，运
动状态（位移，速度，加速度）完全相
同。因而作平动的物体，可用其上任意
一点的运动来代表整个刚体的运动，可
以把其作为质点问题来处理。
转动分定轴转动(如机器上的某个
转动部件)、定点转动(如陀螺的运动)
和平面运动(如车轮的运动)。
我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。
一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。
二、角量和线量的关系
我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量
p 在转动平面内绕o
转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。 转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： θ （运动方程)
②角位移： 规定：沿顺时针方向转动的角位移取负值。
在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。 ③角速度： ω (矢量) 大小：
方向：沿轴(指向由右手定则确定)
在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为 。
意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度：α (矢量)
大小:：
方向：沿轴的方向
当α与ω 同向时，加速转动；α 与ω方向相反时，减速转动。 意义：描述角速度变化快慢的程度
在SI 中，角加速度的单位是弧度每二次方秒，符号为
2 角量和线量的关系 (1) p 点的线速度 v r ω=?
r 是p 点的矢径(由转动中心o 引出)
α =
d ω
d t
d 2
θ t 2
= ω = d θ
d t
()()
t t t θθθ?=+?-()t θθ=1
rad s -?2
rad s -
?x
(2) p 点的线加速度
()d r dv
d dr a r dt dt dt dt
ωωω?===?+?
a = α ? r + ω ?υ
切向加速度： t dv d a r
r dt dt
ωα
=== a t = α?r
法向加速度： 2
2
n v
a r r
ω=
= a n = ω ?υ
三、 固体的定轴转动
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。
1) 匀速转动：
α= 0 ω = 定值 θ - θ0 = ω t 2) 匀加速转动：
α= 定值 ω = ω0 +α t
θ - θ0 = ω0t + 1/2 α t 2 ω2 - ω02 = 2α (θ - θ0)
s r θ
=r υω
=t a r α
=2
n a r ω
=
例3-1 已知刚体转动的运动学方程 2
d 3d θωB t t
==在上式中，A 为无量纲的常数，B 为有量纲的常量。求：(1)角速度；(2)角加速度；(3)刚体上距轴为r 的一质点的加速度。 解： (1)由角速度定义式，得
2
d 3d θωB t
t
=
=(2)将ω对时间 t 求导数，得角加速度
d 6d ωa B t
t
=
=(3)距轴为r 的一质点的切向加速度
t 6a r Brt
α==该质点的法向加速度
224
n ω 9a r B rt
==该质点的加速度的大小
a =
=
该质点的加速度的方向
3
n t
3tg 2
a Bt
a ?=
=
（ 为加速度与速度的夹角 ）
?
线速度、角速度与转速 线速度V就是物体运动的速率。那么物理运动360度的路程为：2πR 这样可以求出它运动一周所需的时间，也就是圆周运动的周期： T=2πR/V 角速度ω就是物体在单位时间内转过的角度。那么由上可知，圆周运动的物体在T （周期）时间内运动的路程为2πR ,也就可以求出它的角速度： ω=2π / T =V / R 线速度与角速度是解决圆周运动的重要工具，解题时要灵活运用。 高一物理公式总结 匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf ω×r=V 3.向心加速度a=V2/R=ω2R＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ω r 7.角速度与转速的关系ω＝2 π n (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 转速、线速度与角速度： v = (2 π r)/T ω = 2 π/T v = 2 π r/60 ω = 2 πn/60 (T为周期，n为转速，即每分钟物体的转数)参考公式：D1＝√D2＋4TV／3.14 公式中：D1＝当前卷径；D＝前次卷径㎜；T＝料厚μm；V＝线速度m／min。
第一次课：2学时 1 题目：§角速度和角加速度 §刚体转动的动能定理 2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。 2）转动问题求解。 一、引入课题： 若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。 二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动 §角速度和角加速度 一、刚体 刚体是受力时形状和体积不改变的物体。 特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。 平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行 的运动。 刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线 称为刚体转轴。 例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。其 特征是物体上各点的轨迹相互平行，运 动状态（位移，速度，加速度）完全相 同。因而作平动的物体，可用其上任意 一点的运动来代表整个刚体的运动，可 以把其作为质点问题来处理。 转动分定轴转动(如机器上的某个
转动部件)、定点转动(如陀螺的运动)和平面运动 (如车轮的运动)。 我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。 一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。 二、角量和线量的关系 我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量 p 在转动平面内绕o 作圆周运动，可用圆周运动的角量描述刚体的运动。 转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。 转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： （运动方程) ②角位移： 规定：沿顺时针方向转动的角位移取负值。 在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。 ③角速度： (矢量) 大小： 方向：沿轴(指向由右手定则确定) 在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为 。 意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度： (矢量) 大小:： 方向：沿轴的方向 当与 同向时，加速转动； 与方向相反时，减速转动。 · p r o 转动平面 = d d t d 2 d t 2 = = d d t ()() t t t θθθ?=+?-()t θθ=1 rad s -?
角速度与角加速度
第十章
轉動 10-1
角速度與角加速度
1.角位移:物體或質點所轉過的角度,以 Δ θ 表示;單位為弧度(或弳度),以 rad 表示。 2.角速度:單位時間 Δ t 內所轉過的角度 Δ θ ,以 ω 表示;單位為 rad/s。 (1)平均角速度:
b5E2RGbCAP
(2)瞬時角速度:
(3)圓周運動角速度:
,角速度的方向??利用類似右手安培定則去找,四指為物體轉動方向,則大拇指 為角速度方向。 ,想想…等角速度運動、非等角速度運動之差異 ? ?
p1EanqFDPw
23.角加速度:單位時間 Δ t 內角速度的變化量 Δ ω ,以 α 表示;單位為 rad / s 。 (1)平均角加速度: (2)瞬時角加速度:
DXDiTa9E3d
,想想…等角加速度運動、非等角加速度運動之差異 ? ? 4.移動與轉動的關係::這個實用唷:當質點以半徑 r 作圓周運動時,質點的移動與 轉動有以下關係 2(1) Δ x = rΔ θ (4) an = rω
RTCrpUDGiT
(2) v = rω
(3) at = rα
5.若一質點作等角加速度運動,則會有下列這些關係: 物理量 移動:比較一下: 轉動 圓周運動時二者關係 (角)位移 平均(角)速度 平均(角)加速度 等(角)加速度 :三大公式: 『課本 94 頁 有美美,但又噁心的圖,』
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例 1. 一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,則 (,)當輪 以等角速度轉動時,此點的切向加速度為零 (,)同(,)此點法向加速度大小一定不為零 (,)當輪以等角加速度轉動時,此點切向加速度大小一定 (,)同(,)此點的切向加速度隨 時間增加而增大 (,)同(,)此點的切向速率隨時間增加而增大。 答:(,)(,)(,)(,) 1 類 1. 下列各項有關圓周運動的敘述,何者正確, (,)等速率圓周運動為變角速度運 動 (,)物體作平移運動時,物體中每點的運動軌跡均與質心運動的軌跡相同 (,)剛體繞 某一定軸作等角速度轉動時,除軸外,剛體中每一點皆作等速率圓周運動 (,)一質點在 作固定半徑轉動時,若有角加速度,則向心加速度量值隨時間改變 (,)一質點作半徑 r 等角速度 ω 運動,此質點與圓心之連線 2,單位時間掃過之面積為 ω r。 答:(,)(,)(,) 類 2. 繞固定軸轉動的剛體內的每一質點 (,)角速率相同 (,)角加速度 大小相同 (,)切向速率相同 (,)切向速度相同 (,)切向加速度相同。 答:(,)(,) 類 3. 一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,當輪 以等角速度轉動時 (,)法向加速度為零 (,)切向加速度為零 (,)合加速度為零 (,)合 加速度等於法向加速度 (,)此點為一等速度圓周運動。 答:(,)(,)
jLBHrnAILg 5PCzVD7HxA
2 例 2. 一質點在半徑為 0.4 m 的圓周上運動,在某瞬時間的角速度為 2 rad/s,其角加速度為 3 rad/sxHAQX74J0X 2,求此質點的合加速度之量值為【 答案:2
LDAYtRyKfE
】m/s。
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角速度与线速度 一、基础知识回顾 1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件. (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系 T r t s v π2==； T t π?ω2==； f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 二、例题精讲 【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( ) A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以v a =v c ，选项C 正确. b 、 c 、 d 绕同一轴转动，因此ωb =ωc =ωd . ωa =r v r v c a ==2ωc 选项B 错误. 22a c c b b v v r r v ====ωω 选项A 错误. r v r a a c a 220== r v r r r v a c d a d 2224)4(4=?==ω ∴a d = a a ∴正确答案为C 、D 【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB 为轴匀速转动，如图所示，则环上M 、N 两点的线速度的大小之比v Ｍ∶v N ＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN ＝ ；周期之比T Ｍ∶T N ＝ . 图2 图 3
我们在学习圆周运动时有一个角速度ω，而在学习机械振动时又有一个角频率ω ,有的学生误认为这两个ω就是同一个物理量.其实这是一种错误的认识,以下我们通过对这两个物理量进行比较,来看它们的异同性. 物体在转动时,角位移与所经历的时间的比值叫做角速度,即ω =△φ/△t. 在国际单位制中,它的单位是弧度/秒.当所取时间△t较长时,这一比值是平均角速度;当所取时间△t→0时,这一比值的极限就是即时角速度.角速度是描述物体转动的快慢和方向的物理量.只是在中学阶段还不考虑角速度的方向性，而将它作为标量来处理. 绕固定转动轴转动的物体上,任意点的角速度ω和线速度v的关系为v= ωr .如果物体每秒转动次数为n或者它转动一周所需时间为t,则有ω = 2πn =2π/t . 在简谐振动中,在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率,用f表示,频率的2π倍叫角频率,即ω =2πf .在国际单位制中,角频率的单位也是弧度/秒. 频率是描述物体振动快慢的物理量,所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量.频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t. 在简谐振动中,角频率与振动物体间的速度v的关系为v=ωasin( ωt+ φ ) 从以上我们可以看出,圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω,虽然单位相同且都有ω = 2π/t 的相同形式,但它们并不是同一个物理量. 若以一质点作匀速圆周运动和一个弹簧振子作简谐振动,比较角速度ω 与角频率ω的异同,列表如下: 匀速圆周运动的ω 简谐振动中的ω 名称角速度角频率 定义单位时间内转动的角度单位时间内完成全振动次数的2π倍 单位弧度/秒弧度/秒 性质描述运动的快慢描述振动的快慢 方向性有方向性无方向性 与n或f的关系ω = 2πn ω =2πf
第一次课： 2学时 1 题目：§3.1 角速度和角加速度 §3.2 刚体转动的动能定理 2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。 2）转动问题求解。 一、引入课题： 若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。 二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动 § 3.1 角速度和角加速度 一、刚体 刚体是受力时形状和体积不改变的物体。 特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。 平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行 的运动。 刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线 称为刚体转轴。 例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。其 特征是物体上各点的轨迹相互平行，运 动状态（位移，速度，加速度）完全相 同。因而作平动的物体，可用其上任意 一点的运动来代表整个刚体的运动，可 以把其作为质点问题来处理。 转动分定轴转动(如机器上的某个 转动部件)、定点转动(如陀螺的运动) 和平面运动(如车轮的运动)。 我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。 一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。
二、角量和线量的关系 我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量 p 在转动平面内绕o 转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。 转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： θ （运动方程) ②角位移： 规定：沿顺时针方向转动的角位移取负值。 在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。 ③角速度： ω (矢量) 大小： 方向：沿轴(指向由右手定则确定) 在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为 。 意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度：α (矢量) 大小:： 方向：沿轴的方向 当α与ω 同向时，加速转动；α 与ω方向相反时，减速转动。 意义：描述角速度变化快慢的程度 在SI 中，角加速度的单位是弧度每二次方秒，符号为 2 角量和线量的关系 (1) p 点的线速度 v r ω=? r 是p 点的矢径(由转动中心o 引出) α = d ω d t d 2 θ t 2 = ω = d θ d t ()() t t t θθθ?=+?-()t θθ=1 rad s -?2 rad s - ?x
角速度与线速度 一、基础知识回顾 1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件. (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系 T r t s v π2= = ； T t π ?ω2==； f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 二、例题精讲 【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( ) # A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以v a =v c ，选项C 正确. b 、c 、d 绕同一轴转动，因此ωb =ωc =ωd . ωa = r v r v c a ==2ωc 选项B 错误. 2 2a c c b b v v r r v ====ωω 选项A 错误. r v r a a c a 220== r v r r r v a c d a d 222 4)4(4=?==ω ∴a d = a a ∴正确答案为C 、D 【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB 为轴匀速转动，如图所示，则环上M 、N 两点的线速度的大小之比v Ｍ∶v N ＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN ＝ ；周期之比T Ｍ∶T N ＝ . 。 图2 图 3
线速度角速度速度关系 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线速度、角速度与转速 线速度、角速度与转速 线速度V就是物体运动的速率。那么物理运动360度的路程为：2πR 这样可以求出它运动一周所需的时间，也就是圆周运动的周期： T=2πR/V 角速度ω就是物体在单位时间内转过的角度。那么由上可知，圆周运动的物体在T（周期）时间内运动的路程为2πR ,也就可以求出它的角速度： ω=2π / T =V / R 线速度与角速度是解决圆周运动的重要工具，解题时要灵活运用。 高一物理公式总结 匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf ω×r=V 3.向心加速度a=V2/R=ω2R＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ω r 7.角速度与转速的关系ω＝2 π n (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度： m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 转速、线速度与角速度： v = (2 π r)/T ω = 2 π/T v = 2 π r/60 ω = 2 π n/60 (T为周期，n为转速，即每分钟物体的转数)