角速度与线速度
一、基础知识回顾
1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件.
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系 T r t s v π2==； T t πϕω2==； f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 二、例题精讲
【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( )
A ．a 点与b 点的线速度大小相等
B ．a 点与b 点的角速度大小相等
C ．a 点与c 点的线速度大小相等
D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等
因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以v a =v c ，选项C 正确.
b 、
c 、
d 绕同一轴转动，因此ωb =ωc =ωd . ωa =r
v r v c a ==2ωc 选项B 错误. 2
2a c c b b v v r r v ====ωω 选项A 错误. r v r a a c a 220== r v r r r v a c d a d 2224)4(4=⋅==ω ∴a d = a a ∴正确答案为C 、D
【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB 为轴匀速转动，如图所示，则环上M 、N 两点的线速度的大小之比v Ｍ∶v N ＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN ＝ ；周期之比T Ｍ∶T N ＝ .
【例题3】 如图3所示，转轴O1上固定有两个半径分别为R 和r 的轮，用皮带传动O2轮，O2
图2
图 3
图3
的轮半径是r ′，若O1每秒钟转了5圈，R ＝1 ｍ，r ＝r ′＝ ｍ，则：
①大轮转动的角速度ω＝ rad/s ；
②图中A 、C 两点的线速度分别是v A ＝ m/s ，v C ＝ m/s 。
参考答案：(1) CD （2）3∶1 1∶1 1∶1 （3）①31．4 ②15．7 31．4
三、课堂练习
1．对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是 ( )
A ．相等的时间里通过的路程相等
B ．相等的时间里通过的弧长相等
C ．相等的时间里发生的位移相同
D ．相等的时间里转过的角度相等
2．做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是 ( )
A ．速度
B ．速率
C ．角速度
D ．周期
3．关于角速度和线速度，说法正确的是 ( ) A ．半径一定，角速度与线速度成反比 B ．半径一定，角速度与线速度成正比
C ．线速度一定，角速度与半径成正比
D ．角速度一定，线速度与半径成反比
4．如图3所示，地球绕OO ′轴自转，则下列正确的是 ( )
A ．A 、
B 两点的角速度相等
B ．A 、B 两点线速度相等
C ．A 、B 两点的转动半径相同
D ．A 、B 两点的转动周期相同 5．做匀速圆周运动的物体，10 ｓ内沿半径是20 ｍ的圆周运动了100 ｍ，则其线速度大小
是 m/s ，周期是 ｓ，角速度是 rad/s 。
6．A 、B 两质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的弧长之比ｓA ∶ｓB ＝2∶3，
而转过的角度之比φA ∶φB ＝3∶2，则它们的周期之比ＴA ∶ＴB ＝ ；角速度之比
ωA ∶ωB ＝ ；线速度之比ｖA ∶ｖB ＝ ，半径之比ＲA ∶ＲB ＝ .
参考答案：
5. 10
6. 2∶3 3∶2 2∶3 4∶9
向心加速度与力的关系
1向心加速度a ：
（1）大小：a =ππω442222===r T
r r v 2 f 2r （2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
2．向心力
（1）大小：R f m R T
m R m R v m ma F 2222
2244ππω=====向 （2）方向：总指向圆心，时刻变化
做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心。做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变。
(3)．处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
【例1】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？
【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。
【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律
【例2】在一个水平转台上放有A 、B 、C 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A 的质量为2m ，B 、C 各为m ．A 、B 离转轴均为r ，C 为2r ．则 ( )
A ．若A 、
B 、
C 三物体随转台一起转动未发生滑动，A 、C 的向心加速度比B 大
B ．若A 、B 、
C 三物体随转台一起转动未发生滑动，B 所受的静摩擦力最小
C ．当转台转速增加时，C 最先发生滑动
D ．当转台转速继续增加时，A 比B 先滑动
【分析】A 、 B 、 C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式a n =ω2r ，已知r A =r B ＜r C ，所以三物体向心加速度的大小关系为a A =a B ＜a C ．
A 错．三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =F n =mω2r ，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
f A =m A ω2r A =2mω2r ，
f B =m B ω2r B =mω2r ，
f C =m c ω2rc =mω2·2r=2mω2r ．
即物体B 所受静摩擦力最小．B 正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是f m =μmg．由f m =F n ，即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于r C ＞r A =r B ，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C 最先发生滑动．转速继续增加时，物体A 、B 将同时发生滑动．C 正确，D 错．
