角速度与角加速度
第十章
轉動 10-1
角速度與角加速度
1.角位移:物體或質點所轉過的角度,以 Δ θ 表示;單位為弧度(或弳度),以 rad 表示。 2.角速度:單位時間 Δ t 內所轉過的角度 Δ θ ,以 ω 表示;單位為 rad/s。 (1)平均角速度:
b5E2RGbCAP
(2)瞬時角速度:
(3)圓周運動角速度:
,角速度的方向??利用類似右手安培定則去找,四指為物體轉動方向,則大拇指 為角速度方向。 ,想想…等角速度運動、非等角速度運動之差異 ? ?
p1EanqFDPw
23.角加速度:單位時間 Δ t 內角速度的變化量 Δ ω ,以 α 表示;單位為 rad / s 。 (1)平均角加速度: (2)瞬時角加速度:
DXDiTa9E3d
,想想…等角加速度運動、非等角加速度運動之差異 ? ? 4.移動與轉動的關係::這個實用唷:當質點以半徑 r 作圓周運動時,質點的移動與 轉動有以下關係 2(1) Δ x = rΔ θ (4) an = rω
RTCrpUDGiT
(2) v = rω
(3) at = rα
5.若一質點作等角加速度運動,則會有下列這些關係: 物理量 移動:比較一下: 轉動 圓周運動時二者關係 (角)位移 平均(角)速度 平均(角)加速度 等(角)加速度 :三大公式: 『課本 94 頁 有美美,但又噁心的圖,』
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例 1. 一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,則 (,)當輪 以等角速度轉動時,此點的切向加速度為零 (,)同(,)此點法向加速度大小一定不為零 (,)當輪以等角加速度轉動時,此點切向加速度大小一定 (,)同(,)此點的切向加速度隨 時間增加而增大 (,)同(,)此點的切向速率隨時間增加而增大。 答:(,)(,)(,)(,) 1 類 1. 下列各項有關圓周運動的敘述,何者正確, (,)等速率圓周運動為變角速度運 動 (,)物體作平移運動時,物體中每點的運動軌跡均與質心運動的軌跡相同 (,)剛體繞 某一定軸作等角速度轉動時,除軸外,剛體中每一點皆作等速率圓周運動 (,)一質點在 作固定半徑轉動時,若有角加速度,則向心加速度量值隨時間改變 (,)一質點作半徑 r 等角速度 ω 運動,此質點與圓心之連線 2,單位時間掃過之面積為 ω r。 答:(,)(,)(,) 類 2. 繞固定軸轉動的剛體內的每一質點 (,)角速率相同 (,)角加速度 大小相同 (,)切向速率相同 (,)切向速度相同 (,)切向加速度相同。 答:(,)(,) 類 3. 一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,當輪 以等角速度轉動時 (,)法向加速度為零 (,)切向加速度為零 (,)合加速度為零 (,)合 加速度等於法向加速度 (,)此點為一等速度圓周運動。 答:(,)(,)
jLBHrnAILg 5PCzVD7HxA
2 例 2. 一質點在半徑為 0.4 m 的圓周上運動,在某瞬時間的角速度為 2 rad/s,其角加速度為 3 rad/sxHAQX74J0X 2,求此質點的合加速度之量值為【 答案:2
LDAYtRyKfE
】m/s。
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類 1. 當一質點對一固定軸以等角加速度由靜止開始轉動,當該質點的加速度 方向與 3 速度方向夾 37?的瞬間,此質點恰好轉過的角位移為【 】弧度。答: 8
類 2. 同一輪子上 A、B 兩點至軸心距離比為 2:1,當輪子在旋轉時,其切向 速度比為, 切向加速度比為, 向心加速度比為, 加速度比為,:設輪子之軸固定不動: 答:2:1;2:1;2:1;2:1
Zzz6ZB2Ltk
類 3. 一質點沿半徑 2 米的圓周繞轉,若某時刻其所受淨力與運動方向所夾 之銳 8,1 角為 tan、角速度為 4 弧度,秒,則該時刻質點的角加速度為若干, 2(,) 3 (,) 4 (,) 5 (,) 6 (,) 8 弧度,秒。 答:(,) 3dvzfvkwMI1
2 例 3. 有一飛輪,其角加速度為定值且等於 2 弧度,秒,在其過程中 5 秒時 間內轉過 100 弧度之角,若此輪係由靜止狀態而開始轉動者,問在此 5 秒前,已經轉動 若干時間, (,) 1 (,) 3 (,) 5 (,) 7.5 秒。 答:(,) 2 類 1. 初角速度 50 rad/s:方向逆時針:的轉輪,在 20 秒後角速度變為 40 rad/s: 方向順時針:,若以等角加速度 α 轉動,求 20 秒內之角位移大小為【 】rad。
rqyn14ZNXI
答:100 類 2. 已知一等角加速運動的物體,其角速度由 10 弧度,秒增至 30 弧度,秒, 共轉動 50 弧度的角 2 位移,試求其角加度為【 】弧度,秒。
答:8 類 3. 一質點質量為 2 kg,對固定點 O 由靜止作半徑為 1 m 的等角加速度運動, 若角加速度為 π 22 rad/s,則此質點在 5 秒末的動能為【 答:25π
EmxvxOtOco
】J。
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例 4. 圖為某物體轉動的角速度與時間的圖形,則該物體於 0,4 秒內的平均 角速度為 (,) 0 (,) 2 (,) 3 (,) 4 rad/s。 答:(,)
SixE2yXPq5
類 1. 一質點繞一定軸,作圓周運動,其 ω ,t 圖如圖所示,則 (,)全程為等角 ω 1 加速度 (,) 0,t1 時間之角加速度為 (,)在 t1,t2 間之角加速度為 t1
ω 11 (,) t1 到 t2 期間反向旋轉 (,)全程角位移為 ω 1t2。答:(,)(,) (t,t)2216ewMyirQFL 類 2. 汽車引擎作等角加速度運動,若角速度於 12 秒內由 1200 rpm 增至 3000 rpm,則: 2(,)角加速度為【 (,)在此時間內引擎轉動 【 】rad/s。 】 轉。
kavU42VRUs
答:(,) 5π ;(,)
420 類 3. 若家用馬達為 60 rps,今切掉電源後 20 秒停止轉動,設停止前作等角加速 度,則: 2(,)角加速度為【 (,)共轉過 【 600
M2ub6vSTnP
】rad/s。
y6v3ALoS89
】 轉。
答:(,),6π ;(,)
例 5. 剛體中一點 P 距固定轉軸為 0.50 m,做變角加速度運動,其角位移 θ :rad:與時間 t:sec:0YujCfmUCw 32 之關係 θ ,2t,5t,4,求: (,)第二秒末之角速度為【 2113(,)第二秒末之加速度為【 4;(,)
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】rad/s。 】m/s。 答:(,)
2 類 1. 某物繞一定點旋轉,其 θ 與 t 之關係為 θ ,t,2t,4,則此物體於
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(,) t,3 秒之瞬間,角速度為【 【 】rad/s。
】rad/s。 2(,) t,4 秒之瞬時,角加速度為 答:(,) 8;(,) 2 類 2. 若一物體之角速度 ω 與
時間 t 之函數關係為 ω ,4,2t:弧度,秒:,當 t,0 時之角位置 θ ,2:弧度:,則:(,)第 4 秒末之角位置為【 】。 2(,) 3 秒末之角加速度為【
sQsAEJkW5T
】。
答:(,) 2 弧度;(,),2 弧度,秒 3
例 6. 一飛輪傳動系統:如圖所示:,各輪的轉軸均固定且互相平行,甲乙兩輪同軸 且無相對轉動,已知甲、乙、丙、丁四輪的半徑比為 5:2:3:1,若傳動帶在各輪轉動中 不打滑,則 (,)甲、乙兩輪角速度量值之比為 5:2 (,)乙、丙兩輪角速度量值之比為 3:2 (,)丙、丁兩輪角速度量值之比為 2:15 (,)甲、丁兩輪切向速率之比為 1:5 (,) 乙、丁兩輪轉動角加速度量值之比為 1:5。 答:(,)(,)(,)
GMsIasNXkA
類 1. 如圖所示一飛輪傳動系統,各輪之轉軸均固定且相互平行,甲、乙兩輪 同軸且無相對轉動,已知甲、乙、丙、丁四輪半徑比 6:3:4:1,若傳動帶不打滑,則四輪 之角速度比為【 】。 答:4:4:3:24
TIrRGchYzg
類 2. 如圖所示一飛輪傳動系統,各輪的轉軸均固定且相互平行。甲、乙兩輪 同 軸且無相等轉動。已知甲、乙、丙、丁四輪的半徑比為 5:2:3:1,若傳動帶在 2 各輪轉動中不打滑,則丙及丁輪角速度之比值為,答: 15 10-2 力矩與轉動慣量
1.如圖,質點在其位置上時,受外力作用,此外力會產生一個力矩, ,質點受到垂直於位置向量的力 F?作用時,可產生
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沿切線方向的加速度 at ,F? = m at 結論: 2 其中,
。
即為轉動慣量(I)。單位:kg×m
22.單一質點的轉動慣量:若質點的質量為 m,與轉軸的距離為 r,則此質點的轉動慣 量為 I = mr 3.剛體的轉動慣量:剛體內各質點之質量為 m1 、m2 、m3 …,與轉軸的 距離為 r1 、r2 、r3 …, 則剛體之轉動慣量為: 4.將 F=ma ,,I, 4 5. 如左二圖,哪一種狀態容易轉動此亞鈴, 為什麼, 例 1. 正三角形頂點上各放置質量為 m 的質點,今以通過重心 O 點垂直紙面 的軸為 2 轉軸,則此系統對重心的轉動慣量為多少, 答:ma
lzq7IGf02E
。
7EqZcWLZNX
與 F=ma 作比較: ,,I,
22 類 1. 距離為 R 的兩質點,繞系統質心轉動時,如圖所示,則該系統的轉動 慣量為 答:mR。 3 類 2. 一質點質量為 0.5 kg,在直角坐標系中之位置為:3.0 】kg〃m。(,)對 y 軸之轉動慣 】kg〃m。
m,4.0 m:,則此質點: 22(,)對 x 軸之轉動慣量為【 量為【
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】kg〃m。 2(,)對通過原點且垂直平面之直線,轉動慣量為【
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答:(,) 8;(,) 4.5;(,) 12.5 類 3. 邊長 2 m 的正方形四個頂點上各有一個小球, 質量如圖所示,則此系統以 2AD 方向為軸之轉動慣量為【 答:28
NrpoJac3v1
】kg〃m。
例 2. 市售的零食包裝中,有時會附贈一只塑膠小陀螺。今在頂端處對中心軸 施以力偶使其旋轉:如圖所示:,若軸的直徑為 d,施力為 F,陀螺的轉動慣量為 I,則離 手瞬間陀螺的角加速度為多少,
1nowfTG4KI
2FdFdFd(,) (,) (,) (,) 0。 答:(,) II2IfjnFLDa5Zo 類 1. 質量為 0.2 kg 的質點作半徑 3 m 的等速率圓周運動,其角速度為 4 rad/s,今沿切線方向對質點施以 1.2 N 的定力,而質點作圓周運動的半徑仍不變,則開 始施力後 3 秒末質點的動能為 答:(,) 5 類 2. 兩小球質量為 m 及 2m,由一長為 L 的細桿相連:質量不計:,以通過兩球質 心且垂直於細桿的軸作等角速度 ω 轉動,則兩球的轉動動能總和為若干 HbmVN777sL 11122222222, (,)mLω (,)mLω (,) 2 mLω (,)mLω 。 答:(,) 324V7l4jRB8Hs
tfnNhnE6e5
(,) 30 (,) 50 (,) 70 (,) 90 (,) 110 J。
類 3. 一均勻圓盤,半徑為 R、質量為 M,裝於軸上,軸以無摩擦之軸承固定之, 如圖所示,細繩輕繞於盤之邊緣,以固定向下之力 T 拉之,則圓盤之角加速度為 (83lcPA59W9 T2T2TT2,) (,) (,) (,)。:圓盤 I=0.5MR: 答:(,) MRMR2MR3MRmZkklkzaaP
類 4. 一電動砂輪,轉速為每秒 10 轉,當截斷電流時,開始作等減角速度運動且在 10 秒末靜止,試求:
AVktR43bpw
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(,)在此段時間內轉過之轉數為【 m,則砂輪所受摩擦力矩的大小為,
】轉。 2(,)若砂輪的轉動慣量為 5.0 kg〃 答:(,) 50;(,) 10π
ORjBnOwcEd
例 3. 如圖所示,一長度為 L 的細桿,以通過細桿中心 O 點且垂直於細桿為 轉軸,兩端各有質量 m 與 3m 的質點,若自桿與鉛直夾 θ ,53?角處靜止釋放,則釋放瞬 間的角加速度為何,
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3L3Lg3g4g(,) (,) (,) (,) (,)。 5g4g2L4L5LgIiSpiue7A
答:(,)
類 1. M1、M2 兩小球以無質量之輕棍連接如圖所示,可繞 O 自由旋轉,M1 距 O 點 2 m,M2 距 O 點 1 m,2 從水平位置釋放,求 M1 之最大速度為【 M1,4 kg,M2,2 kg,g,10 m/s: 80 答: 3 類 2. 一長度為 d,質量可以忽略的細桿,其中心點 O 固定,兩端各置有質量 為 m 及 2 m 的質點;細桿與鉛垂方向的夾角為 θ :如圖所示:。設重力加速度為 g,則 重力對 O 點所 IAg9qLsgBX mgdsinθ 3 產生的力矩之量值為 (,) (,) mgd sinθ (,)mgd sinθ (,) 2mgd 22WwghWvVhPE sinθ (,) 3mgd sinθ 。
asfpsfpi4k uEh0U1Yfmh
】m/s。:設
答:(,)
6 類 3. 如圖所示,一長度為 L,質量可略的細桿,以通過細桿中心 O 點且垂直於細 桿為轉軸,O 點位置不變,細桿兩端各放置質量 m 與 2m 的質點,若桿與鉛直夾 θ 角處 靜止釋放,則:
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(,)兩質點對 O 點的轉動慣量為【
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】。
(,)釋放瞬間的角加速度為【
】。 】。
(,)當質量 2m 的質點落到最低點時,質量 2m 的質點轉動動能為【 2gsinθ 132 答:(,)mL;(,);(,)mgL:1,cosθ : 3L34 10-3 角動量和角動量守恆定律 ,,,1.角動量: L,r， 證明 L,I,BkeGuInkxI
P,rPsin,,rmvsin,,mvrsin,,I,, 22.單位:kg×m/s
3.若為圓周運動其角動量如何寫呢, 4.角動量 L 的方向:依右手螺旋的方法,先將右手四指 指向位置向量的方向,然後將四指握向動量的方向, 此時大拇指所指的方向即為角動量的方向。 5.動量 P 與 角動量 L 的比較: 6.角動量守恆定律:不受力矩或所受合力矩為零,則其角動量維持定值不變,稱 為角動量守恆。 證明: 記得吧, 我們來寫一個在轉動中類似的式子 ,L 7 ,L7.若,則,即 ,或說 L,I,,定值,0,,L,0,,II1212,t 或說 ,, ,真有此式嗎,, ,t F，,t,,P,,，,t,,L
,請翻開課本 105 頁 及 107 頁,閱讀一下吧, 例 1. 一運動質點,被限定於一圓周上旋轉,相對於圓心所受之力矩不為零時, 則下列何者必隨時改變, (,)轉動慣量 (,)角加速度 (,)角速度 (,)角動量 (,)線動 量。 答:(,)(,)(,)
PgdO0sRlMo
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類 1. 當計算物體的轉動慣量時 (,)可將物體的質量視為集中在質心位置 (,) 視轉軸之不同而異 (,)轉軸不同不影響轉動慣量,但影響角動量 (,)轉軸通過質量中心, 轉動慣量為 0 (,)轉軸通過質心,轉動慣量亦不為零。 答:(,)(,) 類 2. 若作用於質點的轉矩不等於零,則此力矩等於 (,)動量的改變 (,)受 力的改變 (,)轉動慣量與角加速度的乘積 (,)角動量的改變 (,)角動量的時變率。 答:(,)(,) 類 3. 質量分別為 2m、m 與 m 的甲、乙、丙三物體,放在旋轉圓盤上,它 們與軸心的距離分別為 R、R 及 2R,如圖。當圓盤以等角速度旋轉而物體在圓盤上相 對靜止時,各物體所受的向心力及對軸心 O 點的角動量為 (,)甲所受向心力最小,甲對 O 點的角動量最大 (,)甲所受向心力最小,乙對 O 點的角動量最小 (,)乙所受向心力 最小,乙對 O 點的角動量亦最小 (,)丙所受向心力最小,丙對 O 點的角動量最大 (,) 乙所受向心力最小,甲、乙對 O 點的角動量相等。 答:(,)
3cdXwckm15
例 2. 如圖所示,質量比為 2:1 的 A、B 兩物,以等長的兩條輕繩連接好後, 使其共繞 O 點作等速圓周運動,則 A、B 兩點之 (,)角速度之比為 1:2 (,)切向速率 比為 1:2 (,)動量大小之比為 1:2 (,)對 O 點角動量之比為 1:2 (,)向心加速度之比 為 1:2。 答:(,)(,)(,)
h8c52WOngM
類 1. 一繩長 3r 繞其一端以 ω 角速度旋轉,在等距離三處分別繫有 A、B、C 三 2 球,其中 mA,m,mB,2m,mC,3m,則總角動量為, 答:36 mrω
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類 2. 一質量為 m 之物體,作頻率為 f、半徑為 r 之等速率圓周運動時,相 對於圓心之角動量為【 答:2π mrf 8
J0bm4qMpJ9
2】。
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例 3. 一質點質量為 1 kg,對固定點 O 作半徑為 50 cm 的等速率圓周運動。若質 點的角速度為 6 rad/s,試求: 2(,)質點對 O 點的角動量之值為【
XVauA9grYP
】kg〃m/s。
(,)今若沿切線方向對質點施 1 N 的力,假設質點作圓周運動的半徑仍不變,則質 點的角加速度 α 為 2【 】rad/s。
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(,) 5 秒後質點的角速度 ω 為 【 16
pN9LBDdtrd
】 rad/s。
答:(,) 1.5;(,) 2;(,)
類 1. 如圖所示,一質點以長為 R 之輕質細桿:桿重不計:繞垂直軸 L 作圓周 運動,質點的轉動慣量為 I,若施一大小不變的切向推力 F 作用於質點上。下列敘述哪 些正確, (,)此質點所受力矩大小為 FR (,)此質點角動量的時變率 DJ8T7nHuGT FR 為一定值 (,)此質點的角動量守恆 (,)此質點的角加速度為 (,)此 I 質點的動能為一固定值。 答:(,)(,)(,)
類 2. 一物體對一固定轉軸之轉動慣量為 I,自靜止受一沿切線方向之外力 F 作用,外力之作用點與 rF 軸相距 r,則 (,)外力對軸產生之力矩為 rF (,)物體轉動之角加速度為 (,) t 秒末之角速 IQF81D7bvUA 2rFtrFt 度為 (,) t 秒末之角動量為 rFt (,) t 秒內轉動周數為。 答:全 I4π I4B7a9QFw9h 例 4. 設 A、B 為一行星以橢圓形軌道繞恆星運行距離最遠與最近的位置,如 下圖,若忽略其他行星的影響,則下列敘述何者正確, (,)運轉時,改變運動方向的力是 由行星所受重力提供 (,)在 A、B 處,重力對行星的瞬時功率量值為零 (,)在 A、B 處, 行星的角動量量值相等 (,)行星由位置 A 至 B 處,行星的力學能漸減 (,)在此軌道上 運行時,行星的運轉週期隨質量增加而變長。 答:(,)(,)(,)
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9 類 1. 一行星以橢圓軌道繞太陽運轉,近日距、遠日距之比為 1:2,則下列敘述何 者正確, (,)行星在運動中遵守力學能守恆定律 (,)行星在近日點與遠日點之動能比為 4:1 (,)行星在運動中遵守動量守恆定律 (,)行星在運動中遵守克卜勒第二定律 (,)行 星在近日點與遠日點之角速度比為 4:1。 答:(,)(,)(,)(,) 類 2. 某行星繞日旋轉的橢圓軌道,近日距與遠日距之比為 1:2,則 衛星在近日點與遠日點之 (,)速率比為 2:1 (,)角動量大小比為 1:1 (,)向心加速度大 小比為 8:1 (,)加速度大小比為 4:1 (,)動能比為 2:1。 答:(,)(,)(,) 類 3. 設萬有引力常數為 G。恆星的質量為 M,半徑為 R。質量為 m 的 行星沿橢 wt6qbkCyDE 圓形軌道環繞恆星運動。如圖所示,在某一瞬時,行星與恆星的距離為 r,軌 GMm12 道速率為 v (,)行星在任一位置,滿足 mv,:,:為一個不變量 r2 GMm(,)行星在任一位置,滿足,為一個不變量 (,)行星在任一位置,2r 滿足 Rv sinθ 為一個不變量 (,)行星在任一位置,以行星與恆星間的萬有 引力作為向心力 (,)行星在相等的時距內,r 所掃過的面積相等。 答:(,)(,) 例 5. A、B 兩小球質量分別為 3 kg 及 2 kg,由一長度 2 m、質量可忽略的 細桿相連,並以通過兩球質心且垂直於細桿為軸,作等角速度 5 rad/s 的轉動,如圖。 則下列敘述何者正確, (,)旋轉軸與 A 的距離為 1.2 m (,) A 與 B 的動量相等 (,) A 與 B 的角動量相等 (,) A、B 兩球對質心的角動 2 量和為 24 kg〃m/s (,)細桿對兩球 之作用力量值均為 60 N。 答:(,)(,)(,)
Kp5zH46zRk
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類 1. 質量分別為 m1 及 m2 的兩小球,由一長度之細桿:質量不計:相連,並 以通過質量中心,且垂,Yl4HdOAA61 m,22 直於細桿為軸,作等角速度 ω 的轉動,m1 之角動量的量值為, 答:m1ω :: m，m12 類 2. 質量為 m 和 2m 的雙子星,其間的距離 d,若重力常數為 G, 則 m 對其質心的角動量大小為【 3Gmd4 答: 33 10 例 6. 汽車之離合器是以引擎側的圓盤與變速箱側的圓盤接合或分離,來控制動力 的傳輸。今有一汽 2 車在離合器分離時,引擎側圓盤的轉動慣量為 10 kg〃m、初角速度 25 rad/s;而 變速箱側的圓盤轉 2 動慣量為 5 kg〃m、初角速度 10 rad/s,且兩圓盤轉動方向相同, 則當兩輪接合在一起時之角速度大小為 (,) 50 (,) 100 (,) 15 (,) 20 (,) 25 rad/s。 答:(,)
qd3YfhxCzo
】。
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22 類 1. 一溜冰者若雙手雙腳併攏,則轉動慣量 50 kg〃m,角動量為 120 kg〃 m/s。試問: (,)角速度為 【 kg〃m,則角動量為【 】 rad/s。 22(,)今若將雙手兩臂平伸轉動慣量變為 60
E836L11DO5
】kg〃m/s。
答:(,) 2.4;(,) 120 類 2. 一人立於以鉛直軸可以自由轉動之圓凳上,雙手各持一 重球,當雙手下垂時之轉動慣量為 100 22kg〃m、角速度為 2 rad/s,當雙手平舉後其轉 動慣量為 400 kg〃m,則此時之角速度為【 】rad/s。
答:0.5 類 3. 如圖所示,一轉動慣量為 I 的命運轉輪繞一水平軸以等角速度 ω 轉動, 今 S42ehLvE3M 將兩支質量皆為 m 之飛鏢,平行水平軸方向射中轉輪並依序陷入距離轉軸為 r 的
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位置,若可將飛鏢視為質點,則兩支飛鏢依序射入後,命運轉輪之角速度為, I 答:ω 2I，2mr 22 類 4. 有大小兩圓盤,其轉動慣量分別為 3.0 kg〃m 及 2.0 kg〃m,其角速度分 別為 ω 1,20 rad/s 及 ω 2,25 rad/s,試問:
501nNvZFis
(,)同轉向結合,則結合在一起的末角速度為【 (,)若反轉向結合,則結合在一起的末角速度為【
】rad/s。 】rad/s。
答:(,) 22;(,) 2 類 5. 花式跳水選手離開跳板時手腳伸直,在空中手腳縮回, 是為 (,)改變轉動慣量以便改變轉動速率 (,)姿勢平衡以免頭先落水 (,)集中質量,以 便身體受力分開 (,)動能守恆定律自動會如此 (,)一種利用角動量守恆的例子。 答:(,)(,) 類 6. 若地球兩極的冰山熔化,對地球將有何影響, (,)使地球自轉的角動量 變小 (,)使地球的轉動慣量變大 (,)地球自轉轉速變慢 (,)地球自轉轉速變快 (,)因 此作用是屬於內力,故角動量及自轉轉速皆不變。 答:(,)(,) 類 7. 下列何者為角動量守恆之應用, (,)花冰溜冰的選手,當表演旋轉動作 時,常由雙手或某一腳的平伸或收回來改變轉動的角速率 (,)馬戲團的空中飛人利用手 腳及身體屈曲或筆直以改變其轉動慣量,俾控制滾翻的轉動速率 (,)直昇機利用主、副 螺旋槳來保持機身穩定 (,)行星繞日公轉時,行星與太陽之連線在相等時間內掃過相同 之面積 (,)噴射機向後噴氣以產生推力。 11 答:(,)(,)(,)(,) 例 7.一質量為 m 的物體置於光滑的桌面上:如圖所示:,以跨過桌中央的小洞的線 與一質量為 M 的重
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物相連結。今 m 在桌面上作等速率圓周運動,其半徑為 R,欲使 M 靜止不動,則 m 之速率需為【 MgR】。答: m 類 1. 圖中的光滑水平桌面上有一小孔 O,一輕繩一端繫質量 m 之球,繩的另 端穿過桌面之小孔 O。今已知當 m 在桌面上作半徑為 R 的等速率圓周運動 時,xS0DOYWHLP 2R 繩需掛上質量 M 的物體。若再加掛質量 M1 的砝碼時會將繩往桌下拉下,3 若 m 仍作等速率圓周運動,則 M1,【 】M。 答:26
LOZMkIqI0w
類 2. 光滑桌面有一小孔,一繩穿過此孔,桌面上的一端繫有質量為 m 的小球, 作半徑為 R 的等速率圓周運動,桌面下繫有質量為 M 的重物,恰可平衡 ZKZUQsUJed 3233,則 m 對 O 的角動量 L 為 (,) (,) (,) MmgRmgRgR 答:(,) 補充 10-4 1.純滾動條件: :1:圓盤中心所前進的距離=半徑 × 圓心所轉過的角度 s,r,:2:圓盤中心的速
rCYbSWRLIA dGY2mcoKtT
純滾動和轉動動能
度=半徑 × 圓盤上各點繞圓盤中心的角速度 :此現象重要: ,rwv0【證明】 2.圓盤上各點的對地速度: ,,, ,， VVVA 地 AOO 地 ,,, ,， VVVB 地 BOO 地 12 3.轉動動能:
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211112222mmmI ,,,,，，,r,,vErk2222 ※ 比較一下 移動動能 和 轉動動能 , 例 1. 有一半徑 0.6 公尺之輪在地面做純滾動,若其對地速度為 VO=, VA=, VB=, VC=, VD=, VE=,
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10m/s,求
10 答:VO=10m/s;VA=20m/s;VB=6m/s;VC=102 m/s; 6,2VD= 5() m/s;VE=0 例 2. 兩小球質量分別為 m 與 m,由一長為 L 的細桿相連:質量不計:,以通過兩 球 12 質量中心,且垂直於細桿的軸作等角速度轉動,則兩球的轉動動能總和為, ω 例 3. 兩小球質量為 m 及 2m,由一長為 L 的細桿相連(質量不計),以通過兩球質 心且垂直於細桿的軸作等角速度 ω 轉動,則兩球的轉動動能總和為若干, 11122222222 (A)mLω (B)mLω (C)2mLω (D)mLω 243 「課本後有很多好題目可以寫的,請寫寫吧,,」 13 14
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线速度、角速度与转速 线速度V就是物体运动的速率。那么物理运动360度的路程为：2πR 这样可以求出它运动一周所需的时间，也就是圆周运动的周期： T=2πR/V 角速度ω就是物体在单位时间内转过的角度。那么由上可知，圆周运动的物体在T （周期）时间内运动的路程为2πR ,也就可以求出它的角速度： ω=2π / T =V / R 线速度与角速度是解决圆周运动的重要工具，解题时要灵活运用。 高一物理公式总结 匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf ω×r=V 3.向心加速度a=V2/R=ω2R＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ω r 7.角速度与转速的关系ω＝2 π n (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度：m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 转速、线速度与角速度： v = (2 π r)/T ω = 2 π/T v = 2 π r/60 ω = 2 πn/60 (T为周期，n为转速，即每分钟物体的转数)参考公式：D1＝√D2＋4TV／3.14 公式中：D1＝当前卷径；D＝前次卷径㎜；T＝料厚μm；V＝线速度m／min。
第一次课：2学时 1 题目：§角速度和角加速度 §刚体转动的动能定理 2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。 2）转动问题求解。 一、引入课题： 若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。 二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动 §角速度和角加速度 一、刚体 刚体是受力时形状和体积不改变的物体。 特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。 平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行 的运动。 刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线 称为刚体转轴。 例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。其 特征是物体上各点的轨迹相互平行，运 动状态（位移，速度，加速度）完全相 同。因而作平动的物体，可用其上任意 一点的运动来代表整个刚体的运动，可 以把其作为质点问题来处理。 转动分定轴转动(如机器上的某个
转动部件)、定点转动(如陀螺的运动)和平面运动 (如车轮的运动)。 我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。 一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。 二、角量和线量的关系 我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量 p 在转动平面内绕o 作圆周运动，可用圆周运动的角量描述刚体的运动。 转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。 转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： （运动方程) ②角位移： 规定：沿顺时针方向转动的角位移取负值。 在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。 ③角速度： (矢量) 大小： 方向：沿轴(指向由右手定则确定) 在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为 。 意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度： (矢量) 大小:： 方向：沿轴的方向 当与 同向时，加速转动； 与方向相反时，减速转动。 · p r o 转动平面 = d d t d 2 d t 2 = = d d t ()() t t t θθθ?=+?-()t θθ=1 rad s -?
角速度与角加速度
第十章
轉動 10-1
角速度與角加速度
1.角位移:物體或質點所轉過的角度,以 Δ θ 表示;單位為弧度(或弳度),以 rad 表示。 2.角速度:單位時間 Δ t 內所轉過的角度 Δ θ ,以 ω 表示;單位為 rad/s。 (1)平均角速度:
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(2)瞬時角速度:
(3)圓周運動角速度:
,角速度的方向??利用類似右手安培定則去找,四指為物體轉動方向,則大拇指 為角速度方向。 ,想想…等角速度運動、非等角速度運動之差異 ? ?
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23.角加速度:單位時間 Δ t 內角速度的變化量 Δ ω ,以 α 表示;單位為 rad / s 。 (1)平均角加速度: (2)瞬時角加速度:
DXDiTa9E3d
,想想…等角加速度運動、非等角加速度運動之差異 ? ? 4.移動與轉動的關係::這個實用唷:當質點以半徑 r 作圓周運動時,質點的移動與 轉動有以下關係 2(1) Δ x = rΔ θ (4) an = rω
RTCrpUDGiT
(2) v = rω
(3) at = rα
5.若一質點作等角加速度運動,則會有下列這些關係: 物理量 移動:比較一下: 轉動 圓周運動時二者關係 (角)位移 平均(角)速度 平均(角)加速度 等(角)加速度 :三大公式: 『課本 94 頁 有美美,但又噁心的圖,』
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例 1. 一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,則 (,)當輪 以等角速度轉動時,此點的切向加速度為零 (,)同(,)此點法向加速度大小一定不為零 (,)當輪以等角加速度轉動時,此點切向加速度大小一定 (,)同(,)此點的切向加速度隨 時間增加而增大 (,)同(,)此點的切向速率隨時間增加而增大。 答:(,)(,)(,)(,) 1 類 1. 下列各項有關圓周運動的敘述,何者正確, (,)等速率圓周運動為變角速度運 動 (,)物體作平移運動時,物體中每點的運動軌跡均與質心運動的軌跡相同 (,)剛體繞 某一定軸作等角速度轉動時,除軸外,剛體中每一點皆作等速率圓周運動 (,)一質點在 作固定半徑轉動時,若有角加速度,則向心加速度量值隨時間改變 (,)一質點作半徑 r 等角速度 ω 運動,此質點與圓心之連線 2,單位時間掃過之面積為 ω r。 答:(,)(,)(,) 類 2. 繞固定軸轉動的剛體內的每一質點 (,)角速率相同 (,)角加速度 大小相同 (,)切向速率相同 (,)切向速度相同 (,)切向加速度相同。 答:(,)(,) 類 3. 一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,當輪 以等角速度轉動時 (,)法向加速度為零 (,)切向加速度為零 (,)合加速度為零 (,)合 加速度等於法向加速度 (,)此點為一等速度圓周運動。 答:(,)(,)
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2 例 2. 一質點在半徑為 0.4 m 的圓周上運動,在某瞬時間的角速度為 2 rad/s,其角加速度為 3 rad/sxHAQX74J0X 2,求此質點的合加速度之量值為【 答案:2
LDAYtRyKfE
】m/s。
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角速度与线速度 一、基础知识回顾 1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件. (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系 T r t s v π2==； T t π?ω2==； f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 二、例题精讲 【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( ) A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以v a =v c ，选项C 正确. b 、 c 、 d 绕同一轴转动，因此ωb =ωc =ωd . ωa =r v r v c a ==2ωc 选项B 错误. 22a c c b b v v r r v ====ωω 选项A 错误. r v r a a c a 220== r v r r r v a c d a d 2224)4(4=?==ω ∴a d = a a ∴正确答案为C 、D 【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB 为轴匀速转动，如图所示，则环上M 、N 两点的线速度的大小之比v Ｍ∶v N ＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN ＝ ；周期之比T Ｍ∶T N ＝ . 图2 图 3
我们在学习圆周运动时有一个角速度ω，而在学习机械振动时又有一个角频率ω ,有的学生误认为这两个ω就是同一个物理量.其实这是一种错误的认识,以下我们通过对这两个物理量进行比较,来看它们的异同性. 物体在转动时,角位移与所经历的时间的比值叫做角速度,即ω =△φ/△t. 在国际单位制中,它的单位是弧度/秒.当所取时间△t较长时,这一比值是平均角速度;当所取时间△t→0时,这一比值的极限就是即时角速度.角速度是描述物体转动的快慢和方向的物理量.只是在中学阶段还不考虑角速度的方向性，而将它作为标量来处理. 绕固定转动轴转动的物体上,任意点的角速度ω和线速度v的关系为v= ωr .如果物体每秒转动次数为n或者它转动一周所需时间为t,则有ω = 2πn =2π/t . 在简谐振动中,在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率,用f表示,频率的2π倍叫角频率,即ω =2πf .在国际单位制中,角频率的单位也是弧度/秒. 频率是描述物体振动快慢的物理量,所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量.频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t. 在简谐振动中,角频率与振动物体间的速度v的关系为v=ωasin( ωt+ φ ) 从以上我们可以看出,圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω,虽然单位相同且都有ω = 2π/t 的相同形式,但它们并不是同一个物理量. 若以一质点作匀速圆周运动和一个弹簧振子作简谐振动,比较角速度ω 与角频率ω的异同,列表如下: 匀速圆周运动的ω 简谐振动中的ω 名称角速度角频率 定义单位时间内转动的角度单位时间内完成全振动次数的2π倍 单位弧度/秒弧度/秒 性质描述运动的快慢描述振动的快慢 方向性有方向性无方向性 与n或f的关系ω = 2πn ω =2πf
第一次课： 2学时 1 题目：§3.1 角速度和角加速度 §3.2 刚体转动的动能定理 2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。 2）转动问题求解。 一、引入课题： 若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。 二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动 § 3.1 角速度和角加速度 一、刚体 刚体是受力时形状和体积不改变的物体。 特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。 平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行 的运动。 刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线 称为刚体转轴。 例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。其 特征是物体上各点的轨迹相互平行，运 动状态（位移，速度，加速度）完全相 同。因而作平动的物体，可用其上任意 一点的运动来代表整个刚体的运动，可 以把其作为质点问题来处理。 转动分定轴转动(如机器上的某个 转动部件)、定点转动(如陀螺的运动) 和平面运动(如车轮的运动)。 我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。 一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。
二、角量和线量的关系 我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量 p 在转动平面内绕o 转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。 转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： θ （运动方程) ②角位移： 规定：沿顺时针方向转动的角位移取负值。 在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。 ③角速度： ω (矢量) 大小： 方向：沿轴(指向由右手定则确定) 在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为 。 意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度：α (矢量) 大小:： 方向：沿轴的方向 当α与ω 同向时，加速转动；α 与ω方向相反时，减速转动。 意义：描述角速度变化快慢的程度 在SI 中，角加速度的单位是弧度每二次方秒，符号为 2 角量和线量的关系 (1) p 点的线速度 v r ω=? r 是p 点的矢径(由转动中心o 引出) α = d ω d t d 2 θ t 2 = ω = d θ d t ()() t t t θθθ?=+?-()t θθ=1 rad s -?2 rad s - ?x
角速度与线速度 一、基础知识回顾 1．请写出匀速圆周运动定义，特点，条件. (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．试写出线速度、角速度、周期、频率，转数之间的关系 T r t s v π2= = ； T t π ?ω2==； f T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 二、例题精讲 【例题1】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，皮带不打滑，则. ( ) # A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 因为右轮和左侧小轮靠皮带传动而不打滑，所以v a =v c ，选项C 正确. b 、c 、d 绕同一轴转动，因此ωb =ωc =ωd . ωa = r v r v c a ==2ωc 选项B 错误. 2 2a c c b b v v r r v ====ωω 选项A 错误. r v r a a c a 220== r v r r r v a c d a d 222 4)4(4=?==ω ∴a d = a a ∴正确答案为C 、D 【例题2】 如图2所示，一个圆环，以竖直直径AB 为轴匀速转动，如图所示，则环上M 、N 两点的线速度的大小之比v Ｍ∶v N ＝ ；角速度之比ωＭ∶ωN ＝ ；周期之比T Ｍ∶T N ＝ . 。 图2 图 3
线速度角速度速度关系 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线速度、角速度与转速 线速度、角速度与转速 线速度V就是物体运动的速率。那么物理运动360度的路程为：2πR 这样可以求出它运动一周所需的时间，也就是圆周运动的周期： T=2πR/V 角速度ω就是物体在单位时间内转过的角度。那么由上可知，圆周运动的物体在T（周期）时间内运动的路程为2πR ,也就可以求出它的角速度： ω=2π / T =V / R 线速度与角速度是解决圆周运动的重要工具，解题时要灵活运用。 高一物理公式总结 匀速圆周运动 1.线速度V=s/t=2πR/T 2.角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf ω×r=V 3.向心加速度a=V2/R=ω2R＝(2π/T)2r 4.向心力F心＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F合 5.周期与频率：T＝1/f 6.角速度与线速度的关系：V＝ω r 7.角速度与转速的关系ω＝2 π n (此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位：弧长(s):米(m)；角度(Φ)：弧度（rad）；频率（f）：赫（Hz）；周期（T）：秒（s）；转速（n）：r/s；半径(r):米（m）；线速度（V）：m/s；角速度（ω）：rad/s；向心加速度： m/s2。 注： （1）向心力可以由某个具体力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直，指向圆心； （2）做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变。 转速、线速度与角速度： v = (2 π r)/T ω = 2 π/T v = 2 π r/60 ω = 2 π n/60 (T为周期，n为转速，即每分钟物体的转数)