第一节角速度和角加速度

7-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度一、角速度矢绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。

1．角速度矢的大小角速度矢ω的大小等于角速度的绝对值，即td d ϕω==ω （7-16） 2．角速度矢的指向角速度矢ω沿轴线，它的指向表示刚体转动的方向；如果从角速度矢的末端向始端看，则所观察到的刚体作逆时针向转动，如图7-10a 所示；或按照右手螺旋规则确定：右手的四指代表转动的方向，姆指代表角速度矢ω的指向，如图7-10b 所示。

(a ) (b )图7-10至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，也就是说，角速度矢是滑动矢。

如取转轴为z 轴，它的正方向用单位矢k 的方向表示（图7-11）。

于是刚体绕定轴转动的角速度矢可写成k ω=ω （7-17）式中ω是角速度的代数值，它等于ϕ。

(a ) (b )图7-11二、角加速度矢同样，刚体绕定轴转动的角加速度可以用一个沿坐标轴线的滑动矢量表示：k ε=ε （7-18）式中ε是角加速度的代数值，它等于ω或ϕ 。

于是 )(d dd d k k ωωtt ==ε （7-19）即角加速度ε是角速度矢ω对时间的一阶导数。

根据上述角速度和角加速度的矢量表示法，刚体内任一点的速度可以用矢积 表示。

三、速度的矢量积表示如在轴线上任选一点O 为原点，点M 的矢径以r 表示，如图7-12所示。

图7-12那么，点M 的速度可以用角速度矢与它的矢径的矢量积来表示，即r v ⨯=ω （7-20）为了证明这一点，需证明矢积r ⨯ω确实表示点M 的大小和方向。

根据矢积的定义知，r ⨯ω仍是一个矢量，它的大小是v r r =⋅=⋅=⨯R ωωωθsin式中θ是角速度矢ω与矢径r 的夹角。

于是证明了矢积r ⨯ω的大小等于速度的大小。

矢积r ⨯ω的方向垂直于ω和r 所组成的平面（即图7-12中三角形OMO 1平面），从矢量v 的末端向始端看，则见ω按逆时针转向转过角θ与r 重合，由图容易看出，矢积r ⨯ω的方向正好与点M 的方向相同。

刚体动力学中的角速度和角加速度角速度和角加速度是描述刚体旋转运动的重要物理量。

在刚体动力学中，角速度表示刚体围绕旋转轴旋转的速度，而角加速度则表示刚体旋转速度的变化率。

本文将介绍角速度和角加速度的定义及计算方法，并探讨它们在刚体动力学中的应用。

一、角速度的定义和计算方法在刚体动力学中，角速度表示刚体绕某一旋转轴旋转的快慢程度。

我们可以将刚体的任意一点看作旋转轴，通过旋转轴指向的方向来定义角速度的正负。

角速度的计算公式如下：ω = Δθ / Δt其中，ω表示角速度，Δθ表示角度的改变量，Δt表示时间的改变量。

角速度的单位通常是弧度/秒(rad/s)。

二、角加速度的定义和计算方法角加速度表示角速度的变化率，即角速度的改变快慢程度。

我们可以通过角速度随时间的变化率来定义角加速度。

角加速度的计算公式如下：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示角速度的改变量，Δt表示时间的改变量。

角加速度的单位通常是弧度/秒²(rad/s²)。

三、角速度和角加速度的应用角速度和角加速度在刚体动力学中具有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景。

1. 轮胎的滚动问题：在车辆行驶过程中，轮胎的滚动是刚体的旋转运动。

通过计算轮胎滚动的角速度和角加速度，我们可以研究车辆的操控性能、轮胎磨损情况等。

2. 飞行器的操纵：在飞行器的操控过程中，熟练掌握角速度和角加速度对飞行器的稳定性至关重要。

通过计算飞行器的角速度和角加速度，我们可以预测和控制飞行器的姿态。

3. 自转天体的运动：恒星、行星等自转天体的运动也可以通过角速度和角加速度进行描述。

通过观测和计算恒星的角速度和角加速度，我们可以了解天体的运动规律、自转周期等重要信息。

4. 陀螺仪和陀螺仪导航系统：陀螺仪是基于刚体旋转原理工作的重要仪器，广泛应用于导航、惯性测量等领域。

通过测量陀螺仪的角速度和角加速度，可以获得可靠的导航信息。

通过对角速度和角加速度的研究，我们可以更好地理解刚体旋转运动的规律，并应用于各个领域中。

第一次课：2学时1 题目：§角速度和角加速度§刚体转动的动能定理2 目的： 1）掌握描述转动物体性质的主要参量。

2）转动问题求解。

一、引入课题：若物体的大小和形状不能忽略时，不能将物体简化为质点。

在许多情况下，固体在受力和运动时，其体积和形状的变化很小，在这种情况下，可以略去固体的大小和形状的变化，引入理想模型――刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。

二、讲授新课：第三章刚体的定轴转动§角速度和角加速度一、刚体刚体是受力时形状和体积不改变的物体。

特点：刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。

平动：刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行的运动。

刚体的基本运动转动：刚体上所有的点都绕某一条直线作圆周运动，该直线称为刚体转轴。

例：钢铁厂中钢水包的运动即平动。

其特征是物体上各点的轨迹相互平行，运动状态（位移，速度，加速度）完全相同。

因而作平动的物体，可用其上任意一点的运动来代表整个刚体的运动，可以把其作为质点问题来处理。

转动分定轴转动(如机器上的某个转动部件)、定点转动(如陀螺的运动)和平面运动 (如车轮的运动)。

我们主要讨论刚体绕固定轴的转动。

一般的刚体运动可以分为平动和转动的叠加。

二、角量和线量的关系我们可以同时用角量和线量来描述刚体定轴转动问题 (运动学问题) 1）描述转动的角量p 在转动平面内绕o 作圆周运动，可用圆周运动的角量描述刚体的运动。

转动平面：过刚体上某点p 垂直于转轴平面。

转动中心：转动平面与轴的交点 o ①角位置： （运动方程)②角位移： 规定：定轴时逆时针方向转动时的角位移取正值， 沿顺时针方向转动的角位移取负值。

在SI 中，角坐标和角位移的单位是弧度，符号为rad 。

③角速度： (矢量)大小：方向：沿轴(指向由右手定则确定)在SI 中，角速度的单位是弧度每秒，符号为。

意义：描述转动快慢的程度 ④角加速度：(矢量)大小:：方向：沿轴的方向当与 同向时，加速转动； 与方向相反时，减速转动。