2-4 转动刚体的角速度和角加速度

刚体的定轴转动一、刚体极其运动刚体——受力时不改变形状和体积的物体。

注：（1）刚体是固体物件的理想模型。

（2）刚体是一个特殊的质点系（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。

刚体的运动分为平动和转动。

平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。

（用质点力学处理）转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动。

二、刚体转动的角速度和角加速度刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质元的角量是一样的。

角坐标：θ=θ(t)角位移：?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度：?θdθ=?t→0?tdt角速度的方向：右手螺旋法则。

dω角加速度：α= dt定轴转动的特点：（1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；（2）任一质点运动?θ,ω,α均相同，但v,a不同；（3）运动描述仅需一个坐标。

三、匀变速转动公式匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。

刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动匀变速直线运动v=v+at x=x0+v0t+at2212222v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀四、角量与线量的关系v=rωaτ=rαan=rω24-2力矩转动定律转动惯量一、力矩设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为n-1j=1Fi外+∑fjin-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩：j=1对i求和，刚体所受力的力矩为n M=∑Mi=∑ri?Fi外ii=1（内力矩为零）二、刚体的转动定律组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的力矩为dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。

〔收稿日期〕1999-11-15刚体的角动量、角速度、力矩和角加速度的关系陈跃敏(濮阳广播电视大学,河南濮阳457000)[摘要]讨论了普通物理范围内刚体转动部分公式、定理的成立条件及使用范围。

[关键词]角动量;角速度;力矩;角加速度;转动惯量[中图分类号]O311.2 [文献标识码]B 一般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固定轴)的转动,可用角速度矢量 ω及角加速度矢量 β描写,刚体运动时还有角动量L 和力矩 M 。

和 ω的关系及 M 和 β的关系如何?如问题属于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会涉及到这个问题。

因此,在普物范围内搞清它们之间的关系及成立条件和使用范围很有必要。

1　角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例。

一个均匀杆绕其一端O 作水平转动.如图1所示.若取O 为参考点,则m i 是质量元,γ_i 是它对O 点的矢径,ν_i 是它的线速度。

显然,此时各质量元的γ_i ×m i ν_i 的方向正好都是Z 方向,即指向Z 轴的正方向。

同一旋转杆,如取Z 轴上方一点P 点作为参考点计算杆的角动量L _p ,则各质量元的γ_i ×m i ν_i 各不相同。

合成后,L _p 的方向大致如图2所示。

而且随着杆的转动,L _p 也转动。

可见,参考点的选择不同,刚体运动的角动量也就不同。

同样,若取转轴通过杆的质量中心,并取质心为参考点,角动量与角速度的方向也不一定一致。

下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间的关系。

过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则刚体对活动坐标系X 、Y 、Z 轴的转动惯量及惯量积不随刚体的运动而改变其量值,角动量矢量的分量式为如果刚体绕Z 轴转动,则ωx =ωy =0,ωz =ω。

于是角动量矢量的分量式可写为L x =I xzωL y =-I yz ωL z =-I zzω由上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转动时,角动量沿该轴的分量与角速度成正比(L z =I zzω),但沿其它轴的分量却不一定为零。

角加速度公式角加速度的公式：α=Δω/Δt=dω/dt。

如果是匀加速运动，就有α=w/t。

角加速度计算公式α=Δω/Δt单位：弧度/秒²；（rad/s²;）平均角加速度转动刚体从瞬时t开始的角速度变化Δω与相应时间间隔Δt的比值称为平均角加速度，即α=Δω/Δt。

瞬时角加速度若Δt→0，则这一比值就称为在瞬时t刚体转动的角加速度，又称瞬时角加速度，记为ε，即ε=limεm)(Δt→0=Δω/Δt=dω/dt)。

是角速度w对时间的微商dw/dt，不是微分dw。

w均匀变化时，角加速度等于角速度的攺变量除以发生攺変所用的时间。

角加速度与线加速度的关系：a=rα，是成正比例关系。

角加速度描述刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量，线加速度是描述刚体线速度的大小和方向对时间变化率的物理量。

二者关系介绍1、v=rω。

2、dv/dt=ωdr/dt+rdω/dt=rdω/dt(旋转运动r是不变的常量，求导后为0）。

3、线加速度a=dv/dt，角加速度α=dω/dt。

所以他们的关系是a=rα，是成正比例关系。

角加速度与线加速度角加速度：角加速度描述刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量，在国际单位制中，单位是“弧度/秒平方”，通常是用希腊字母α来表示。

线加速度:线加速度是描述刚体线速度随时间变化的大小和方向的物理量，单位为米/平方秒。

线速度相关公式在匀速圆周运动中，线速度的大小等于运动质点通过的弧长（S）和通过这段弧长所用的时间（△t）的值。

即v=S/△t，也是v=2πr/T，在匀速圆周运动中，线速度的大小虽不改变，但它的方向时刻在改变。

它和角速度的关系是v=ω*rv=ωr=2πrf=2πnr=2πr/T当运动质点做圆周运动的同时也做另一种平动时，例如汽车车轮上的某一定点，此时该质点的线速度为做圆周运动的线速度(w*r)与平动运动的速度(v')的矢量之和：v=w*r+v'v=Δl/Δt角速度公式公式为：ω=Ч/t(Ч为所走过弧度，t为时间）ω的单位为：弧度每秒。

实验二刚体转动惯量的测定转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，它与刚体的质量分布及转轴位置有关。

正确测定物体的转动惯量，在工程技术中有着十分重要的意义，是高校理工科物理实验教学大纲中的一个重要的基本实验。

IM-2型刚体转动惯量实验仪，应用霍尔开关传感器结合计数计时多功能毫秒仪自动记录刚体在一定转矩作用下，转过β角位移的时刻，从而测定刚体转动时的角加速度和刚体的转动惯量。

1．了解多功能计数、计时毫秒仪测量时间的基本方法；2．用刚体转动法测定物体的转动惯量；3．验证转动定律及平行轴定理；4．分析实验中误差产生的原因和实验中为降低误差应采取的实验手段。

图2-1IM-2型刚体转动实验仪1—滑轮；2—滑轮高度和方向调节组件；3—挂线；4—塔轮组；5—铝质圆盘形实验样品，转轴位置可为样品上任意圆孔；6—样品固定螺母；7—砝码盘；8—磁钢，相对霍尔开关传感器时，传感器输出低电平；9—霍尔开关传感器，红线接毫秒仪V 5+接线柱，黑线接GND 接线柱，黄线接INPUT 接线柱；10—传感器固定架，装有磁钢，可任意放置于铁质底盘上；11—实验样品水平调节旋钮；12—毫秒仪次数预置拔码开关，可预设641-次；13—次数显示，00为开始计数、计时；14—时间显示，与次数相对应，时间为开始计时的累计时间；15—计时结束后，用手按+1查阅键，查阅对应次数的时间；16—毫秒仪复位键，测量前和重新测量时可按该键；17—V 5+电源接线柱；18—电源GND 接线柱；19—INPUT 输入接线柱；20—输入低电平指示；21—计时结束后，用手按次数1-查阅键，查阅对应次数的时间。

一、转动力矩、转动惯量和角加速度的关系当系统受外力作用时，系统作匀加速转动。

系统所受的外力矩有二个，一个为绳子张力T 产生的力矩r T M ⋅=，r 为塔轮上绕线轮的半径；一个是摩擦力矩μM 。

所以，2βμJ M M =+，即2βμJ M r T =+⋅ ----------------------------------------- (2-1)式中2β为系统的角加速度，此时为正值，J 为转动系统的转动惯量，μM 为摩擦力矩，数值为负。