3.2 古典概型

3.2 古典概型

【入门向导】

“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大诱惑性的话是大英帝国彩票的广告词，买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要花上1英镑，就有可能获得2 200万英镑！(1英镑约相当于13.7元人民币)

但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下．大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码．在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6个小球的数字都被一个人选中了，那他就获得了头等奖．可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13 983 816种方法！

这就是说，假如只买一张彩票，六个号码全对的机会大约是一千四百万分之一，这个数大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总理的机会．如果一个人每星期买50张彩票，那他赢得一次大奖的时间约为5 000年；即使每星期买1 000张彩票，也大致需要270年才中头奖！这几乎是单个人力不可为的．

1．定义

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，一次试验中只能出现一个基本事件，其他事件可以用它们表示．

2．基本事件的特点

①任何两个基本事件是互斥的．在一次试验中，只可能出现一种结果，即只产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．相对于基本事件而言，由两个以上的基本事件组成的随机事件称为复杂事件．

在解决有关古典概型问题中，要认识到基本事件不能再分，不同的基本事件不可能同时发生．判断基本事件时，一定要对照思考其特征，并将所有可能的基本事件一一列举出来．

例1 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币正面向上还是反面向上．

(1)写出这个试验的基本事件；

(2)求这个试验的基本事件的总数；

(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？

解 (1)这个试验的基本事件是：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．

(2)基本事件的总数是8.

(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

1．古典概型的定义

如果试验中出现如下特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)；(2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性)．具有以上两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

2．古典概型必须具备两个条件：

(1)有限性(即指试验中所有可能发生的基本事件只有有限个)；

(2)等可能性(即指每个基本事件发生的可能性相等)． 判断一个事件是否为古典概型，同学们只要紧紧抓住这两个条件，即可得出正确结论．

例2 下列概率模型：

(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；

(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

(3)从1,2,3，„，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．

其中是古典概型的是________．

解析 (1)不是古典概型，因为在区间[1,10]中有无穷多个实数，取出一个实数有无穷多种结果，即有无穷多个基本事件，不满足古典概型定义中“基本事件只有有限个”的条件．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，不满足古典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”的条件．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果的个数有限(100个)，而且每个整数被抽到的可能性相等．故填(3)．

答案 (3)

例 任意投掷两枚骰子，计算：

(1)“出现的点数相同”的概率；

(2)“出现的点数之和为奇数”的概率；

(3)“出现的点数之和为偶数”的概率．

错解 (1)点数相同是指同为1点，2点，„，6点，其中之一的概率是16.

(2)点数之和为奇数，可取3、5、7、9、11共5种，所以“出现的点数之和为奇数”的概率为55＋6＝511.

(3)点数之和为偶数，可取2、4、6、8、10、12共6种，所以“点数之和为偶数”的概率为611.

正解 (1)任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，„，6)，其中两个数i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36种结果，其中点数相同的数组为(i，j)(i＝j＝1,2，„，6)共有6种结果，故“出现的点数相同”的概率为636＝16.

(2)由于每个骰子上有奇、偶数各3个，而按第1、第2个骰子的点数顺次写时，有(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)这四种等可能结果，所以“其和为奇数”的概率为P＝24＝12.

(3)由于骰子各有3个偶数，3个奇数，因此“点数之和为偶数”、“点数之和为奇数”这两个结果等可能，且为对立事件，所以“点数之和为偶数”的概率为P＝1－P(“点数之和为奇数”)＝1－12＝12.

解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数n与事件A中包含的结果数m，而这往往会遇到计算各类基本事件个数的困难．因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧．

1．直接列举

把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解．

例1 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：

(1)事件A：取出的两球都是白球；

(2)事件B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．

分析 首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解．

解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2，6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．

(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．

∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.

(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．

∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为

P(B)＝815.

2．逆向思维

对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．

例2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．

分析 直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷．

解 至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P＝1636＝49.

故至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59.

3．活用对称性

例3 有A、B、C、D、E共5人站成一排，A在B的右边(A、B可以不相邻)的概率是多少？

解 由于A、B可以不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是12.

考题赏析

1．(2011·徐州模拟)一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为________．

解析 骰子连投两次， 基本事件共6×6＝36(个)，

点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)，共3个，

故P＝36×6＝112.

答案 112

2．(2011·汉中调研)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458

569 683 431 257 393 027 556 488

730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )

A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

解析 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.

答案 B

3．(2011·济宁模拟)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．

(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．

解 (1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)．

(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.

事件A包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A包含的基本事件数为3.

由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝38.

4．(2009·天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．

(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；

(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．

解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为763＝19，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.

(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．

随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝1121.

5．(2011·天津)编号分别为A1，A2，„，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：