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高中数学第三章概率3.2 古典概型教材习题点拨新人教A版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章概率3.2 古典概型教材习题点拨新人教A版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 第三章 概率 3。
2 古典概型教材习题点拨 新人教A 版必修33。
2.1古典概型练习1.解：基本事件总数为20，事件“已过保质期的饮料”所含基本事件总数为2，由古典概型计算公式可得101202==P 。
点拨：因为是从中任取一瓶，所以每一瓶被取到的概率相等,属于古典概型.2.解:所有的基本事件总数为21267=⨯,而“选出的2名同学恰是已去过北京”所含的基本事件数为3，所以71213==P . 3.解:所有的基本事件数为36289=⨯，而事件“取出的两本恰好都是数学书”所含的基本事件数为6234=⨯，所以61366==P . 3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生练习1。
解：将一枚质地均匀的硬币连掷三次，共有2×2×2＝8个基本事件,其中“2个正面朝上、1个反面朝上”包括(正，正,反）（正，反，正）（反,正，正）3个,由古典概型的概率公式得831=P .同理“1个正面朝上、2个反面朝上”的概率也为83.随机模拟方法略. 2.解:用数字1至13代表红心的13张牌,用14至26代表黑心的13张牌，用27至39代表方块的13张牌，用40至52代表梅花的13张牌,用Excel 设计程序如下：①在表格中选择一格比如A1，键入“＝RANDBETWEEN （1，52）”，按Enter 键，则在此格中产生一个随机数。
第4讲古典概型一、选择题1．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少毁灭一次5点向上的概率是( )A.5216B.25216C.31216D.91216解析抛掷3次，共有6×6×6＝216个大事．一次也不毁灭5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未毁灭5的大事总数为5×5×5＝125.于是没有毁灭一次5点向上的概率P＝125 216，所求的概率为1－125216＝91216.答案 D2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，假如从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()．A.15 B.310 C.25 D.12解析基本大事有C25＝10个，其中为同色球的有C23＋C22＝4个，故所求概率为410＝2 5.答案 C3．甲、乙两人各写一张贺年卡，任凭送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()．A.12 B.13 C.14 D.15解析(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种状况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的状况有两种，所以P＝24＝1 2.答案 A4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本大事．两条直线相互垂直的状况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本大事，所以概率等于518.答案 C5．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )．A.112B.110C.325D.1125解析小正方体三面涂有油漆的有8种状况，故所求其概率为：81 000＝1125.答案 D6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从今口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的大事发生的概率为()．A.18 B.316 C.14 D.12解析由题意知(a，b)的全部可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为14.答案 C二、填空题7．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.答案138. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．解析 组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53.答案 539．甲、乙二人参与普法学问竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4 个推断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________． 解析 方法1：设大事A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A 分拆为B ：“甲选乙判”，C ：“甲选乙选”，D ：“甲判乙选”三个互斥大事， 则P (A )＝P (B )＋P (C )＋P (D )．而P (B )＝C 16C 14C 110C 19，P (C )＝C 16C 15C 110C 19，P (D )＝C 14·C 16C 110C 19，∴P (A )＝2490＋3090＋2490＝7890＝1315.方法2：设大事A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立大事为A ： 甲乙两人均抽推断题．∴P (A )＝C 14C 13C 110C 19＝1290，∴P (A )＝1－1290＝7890＝1315. 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315. 答案 131510．三位同学参与跳高、跳远、铅球项目的竞赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．解析 依据条件求出基本大事的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．由于每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本大事有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12(C 23)3＝23. 答案 23 三、解答题11．某地区有学校21所，中学14所，高校7所，现接受分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对同学进行视力调查．(1)求应从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出全部可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为学校的概率．解 (1)由分层抽样的定义知，从学校中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从高校中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所学校分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5,1所高校记为A 6，则抽取2所学校的全部可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为学校(记为大事B )的全部可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种． 所以P (B )＝315＝15.12．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参与一项公益活动． (1)求所选2人中恰有一名男生的概率； (2)求所选2人中至少有一名女生的概率．解析 设2名女生为a 1，a 2,3名男生为b 1，b 2，b 3，从中选出2人的基本大事有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10种．(1) 设“所选2人中恰有一名男生”的大事为A ，则A 包含的大事有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6种， ∴P (A )＝610＝35， 故所选2人中恰有一名男生的概率为35.(2)设“所选2人中至少有一名女生”的大事为B，则B包含的大事有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种，∴P(B)＝7 10，故所选2人中至少有一名女生的概率为710.13．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)假如不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．解(1)若编号为n的球的重量大于其编号．则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.解得n<3或n>4.∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝46＝23.(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的全部可能情形共有C26＝15种．设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．由古典概型，所求大事的概率为2 15.14．某省试验中学共有特级老师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级老师担当青年老师培训班的指导老师，由于工作需要，其中男老师甲和女老师乙不能同时被抽调．(1)求抽调的4名老师中含有女老师丙，且4名老师中恰有2名男老师、2名女老师的概率；(2)若抽到的女老师的人数为ξ，求P(ξ≤2)．解由于男老师甲和女老师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种状况：①若甲和乙都不被抽调，有C48种方法；②若甲和乙中只有一人被抽调，有C12C38种方法，故从10名老师中抽调4人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C48＋C12C38＝70＋112＝182.这就是基本大事总数．(1)记大事“抽调的4名老师中含有女老师丙，且恰有2名男老师，2名女老师”为A，由于含有女老师丙，所以再从女老师中抽取一人，若抽到的是女老师乙，则男老师甲不能被抽取，抽调方法数是C25；若女老师中抽到的不是乙，则女老师的抽取方法有C12种，男老师的抽取方法有C26种，抽调的方法数是C12C26.故随机大事“抽调的4名老师中含有女老师丙，且4名老师中恰有2名男老师、2名女老师”含有的基本大事的个数是C25＋C12C26＝40.依据古典概型概率的计算公式得P(A)＝40182＝2091.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，则选出的4人中，可以含有女老师乙，这时取法为C23C15种，也可以不含女老师乙，这时有C33C16种，故P(ξ＝3)＝C23C15＋C33C16182＝21182＝326；若ξ＝4，则选出的4名老师全是女老师，必含有乙，有C44种方法，故P(ξ＝4)＝C44182＝1182，于是P(ξ≤2)＝1－21182－1182＝160182＝8091.。
3.2.1古典概型课时作业解析版A 组一、选择题1．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）A. B. C. D.无法确定 2．下列概率模型中，古典概型的个数为( )(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；(2)从1,2，…，9,10中任取一个整数，求取到1的概率；(3)向一个正方形ABCD 内任意投一点P ，求点P 刚好与点A 重合的概率； (4)向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为（ ）A ．14B ．34C ．38D ．11164．有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A.B. C. D. 5．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A. 13B. 14C. 16D. 1126．某省举行的一次民歌大赛中，全省六个地区各选送两名歌手参赛，现从这12名歌手中选出4名优胜者，则选出的4名优胜者中恰有两人是同一地区送来的歌手的概率是（） A.883 B.64165 C. 1633D.6117．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为（）A ．43B ．32C ．51D ．318．记分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程有两个不同实根的概率为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题4121811,3,5,7,9533101103211079．分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是__________.10．把一枚硬币向上连抛10次，则正、反两面交替出现的概率是 .11．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）. 12．如图，沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是．三、解答题13．学校在开展学雷锋活动中，从高二甲乙两班各选3名学生参加书画比赛，其中高二甲班选出了1女2男，高二乙班选出了1男2女。
高中数学第三章概率32古典概型321古典概型优化练习新人教A版必修3.2.1 古典概型[课时作业] [A组学业水平达标]1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( ) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女)解析：由于两个孩子出生有先后之分．答案：C2．下列试验中，是古典概型的为( ) A．种下一粒花生，观察它是否发芽B．向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合 C．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率 D．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率解析：对于A，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C. 答案：C3．甲，乙，丙三名学生随机站在一排，则甲站在边上的概率为( ) 1A. 31C. 22B. 35D. 6解析：甲，乙，丙三名学生随机站成一排，基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，甲站在边上包含的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙m42甲，共4个，所以甲站在边上的概率P＝＝＝.n63答案：B4．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是( ) 1A. 91C. 41 B. 61D. 3解析：抛掷2次所得结果共有36种，点数之和是3的倍数的有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，1(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12种结果，因此所求概121率为＝.363答案：D5．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( ) 1A. 21C. 41B. 31D. 5解析：送卡方法有：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁、乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共4种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有2种，所以概率为21＝. 42答案：A6．从2男3女共5名同学中任选2名，每名同学被选中的机会均等，则这2名都是男生或都是女生的概率为________．解析：从5名同学中任选2名，有10种不同的选法：这2名都是男生或都是女生，有4种42不同的选法．所以所求概率为P＝＝.1052答案：57．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．解析：由题意得，a，b有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法．若满足logab为整数，则仅有a＝2，b＝8和a＝3，b＝9两种情况，21∴logab为整数的概率为＝.1261答案：68．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是__________．解析：在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆； 12个(在12条棱上，每条棱上1个)两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆；1个(中心)各面都不涂漆．124∴所求概率为＝.27924答案：99．某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖． (1)求中二等奖的概率； (2)求未中奖的概率．解析：(1)设“中二等奖”的事件为A，所有基本事件包括(0,0)，(0,1)，?，(3,3) 共16个，事件A包含基本事件(1,3)，(2,2)，(3,1)共3个， 3所以P(A)＝.16(2)设“未中奖”的事件为B，所有基本事件包括(0,0)，(0,1)，?，(3,3)共16个，“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括基本事件(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0) 共4个，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2,3)，(3,2)共2个．P(B)＝1－P(B)＝1－??3＋4＋2?＝7.??161616?167所以未中奖的概率为. 1610．设关于x的方程x＋4mx＋4n＝0.(1)若m∈{1,2,3}，n∈{0,1,2}，求方程有实根的概率；(2)若m，n∈{－2，－1,1,2}，求当方程有实根时，两根异号的概率．解析：方程有实根?Δ＝16m－16n≥0，即m≥n， (1)m与n的所有可能结果为9种，为使m≥n，则当m＝3时，n＝0,1,2；当m＝2时，n＝0,1,2；当m＝1时，n＝0,1. 共有8种结果．8所以方程有实根的概率P＝.9(2)由条件知，在m≥n的条件下，求n＜0的概率．当m＝－2时，n＝－2，－1,1,2；当m＝－1时，n＝－1,1；当m＝1时，n＝－1,1；当m＝2时，n＝－2，－1,1,2.222223共有12种结果．其中使n为负数的有6种情况， 61故所求概率为P＝＝. 122[B组应考能力提升]1．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是( )1A. 31C. 25 B. 12D.7 12解析：因为lg(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数所包含的基本事件有(1,2)，(2,1)， (1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，符合条件3a≥4b的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，61共6个，所以所求概率为＝，故选C.122答案：C2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，则在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( ) 1A. 125C. 361B. 91D. 6解析：先后投掷一枚骰子两次，所有可能的结果有36种，其中以(x，y)为坐标的点落在直31线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，所以所求概率p＝＝.3612答案：A3．若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．解析：将甲、乙两个球放入同一个盒子中有3种放法，放入两个盒子中有6种放法，所以共有9个基本事件，其中在1,2号盒子中各有一个球的事件包含2个基本事件，因此所求概率2是. 92答案：94．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，4甲、乙两人依次各抽一道题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？解析：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24.m244P(A)＝＝＝.n9015(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一个人抽到选择题”为事件C，则B 包含122的基本事件数为4×3＝12.∴由古典概型概率公式得P(B)＝＝，9015213∴P(C)＝1－P(B)＝1－＝.15155感谢您的阅读，祝您生活愉快。
课时训练18 古典概型一、基本事件的计数问题1.在1,2,3,4,5这5个数字中,同时任取两个数,则有个基本事件,其中“两数都是奇数”有个基本事件.答案:10 3解析:一共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10个基本事件,两数都是奇数包含(1,3),(1,5),(3,5)3个基本事件.二、古典概型的概率求法2.下列试验中是古典概型的是()A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽B.在一口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的D.甲、乙两队进行一场足球赛,甲队比赛结果为甲队赢、平局、甲队输答案:B解析:对于A,发芽与不发芽概率不同;对于B,摸到白球与黑球的概率相同,均为;对于C,基本事件有无限个;对于D,由于受甲、乙两队运动员水平的影响,甲队赢、输、平局的概率不相等,因而选B.3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.B.C.D.答案:B解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.4.一枚均匀的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是()A. B. C. D.答案:A解析:一枚均匀的硬币连续掷三次,出现的所有可能情况是(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),共8种,至少出现一次正面的有7种,所以所求概率为.5.(2015山东潍坊高一检测)已知集合A={-1,0,1},点P(x,y),其中x∈A,y∈A,记点P落在第一象限为事件M,则P(M)=()A.B.C.D.答案:C解析:所有可能的点是(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个,其中在第一象限的有1个,因此P(M)=.6.(2015山东高考,文16改编)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)(1)从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,A1被选中且B1未被选中的概率为.答案:(1)(2)解析:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.7.(2015湖南高考,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1} ,{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-.故这种说法不正确.三、较复杂的古典概型的概率计算8.(2015安徽高考,文17改编)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)频率分布直方图中a的值为;(2)该企业的职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为;(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,此2人的评分都在[40,50)的概率为.答案:(1)0.006(2)0.4(3)解析:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为P=.(建议用时:30分钟)1.下列试验是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和为基本事件B.求任意一个正整数的平方的个位数字是6的概率,将取出的正整数作为基本事件C.从A地到B地有三条路可到达,求某人正好选中最短路线的概率D.袋中装有10个红球和8个白球,红球的体积是白球的2倍,从中取出一球,观察球的颜色答案:C2.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()A.B.C.D.答案:B解析:掷两颗均匀的骰子,共有36种基本事件,点数之和为5的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)4种,因此所求概率为,选B.3.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是() A. B. C. D.答案:B解析:易知此为古典概型,且从5张卡片中任取2张,基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,其中恰为按字母顺序相邻的基本事件有AB,BC,CD,DE,共4个.故所求概率为.4.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为()A. B. C. D.答案:D解析:五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.其中含甲或乙的情况有9种,故选D.5.已知f(x)=3x-2(x=1,2,3,4,5)的值构成集合A,g(x)=2x-1(x=1,2,3,4,5)的值构成集合B,任取x∈A∪B,则x∈A∩B的概率是()A. B. C. D.答案:B解析:根据条件可得A={1,4,7,10,13},B={1,2,4,8,16},于是A∪B={1,2,4,7,8,10,13,16},A∩B={1,4}.故任取x∈A∪B,则x∈A∩B的概率是.6.(2015江苏高考,5)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案:解析:根据条件得P=或P=1-.7.把两封不同的信投入A,B两个信箱,A,B两信箱中各有一封信的概率为.答案:解析:分别记两封信为a,b,共有A中两封,B中无;A中a,B中b;A中b,B中a;A中无,B 中两封,4种情况.其中A,B各一封的有2种情况.故所求概率P=.8.甲、乙、丙三名同学上台领奖,从左到右按甲、乙、丙的顺序排列,则三人全都站错位置的概率是.答案:解析:基本事件为甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲,共6个;三人全站错的有乙丙甲,丙甲乙,共2个,故所求事件的概率为.9.柜子里有3双不同的鞋,随机地取出2只,记事件A表示“取出的鞋配不成对”;事件B表示“取出的鞋都是同一只脚的”;事件C表示“取出的鞋一只是左脚的,一只是右脚的,但配不成对”.事件A、事件B、事件C的概率分别为、、.答案:解析:设3双不同的鞋分别为x1x2,y1y2,z1z2.所以随机地取出2只的所有基本事件有:(x1,x2),(x1,y1),(x1,y2),(x1,z1),(x1,z2),(x2,y1),(x2,y2),(x2,z1),(x2,z2),(y1,y2),(y,z1),(y1,z2),(y2,z1),(y2,z2),(z1,z2)共15个.1事件A包含的基本事件有(x1,y1),(x1,y2),(x1,z1),(x1,z2),(x2,y1),(x2,y2),(x2,z1),(x2,z2),(y1,z1),(y1,z2),(y2,z1 ),(y2,z2)共12个,故P(A)=.事件B包含的基本事件有(x1,y1),(x1,z1),(x2,y2),(x2,z2),(y1,z1),(y2,z2)共6个,故P(B)=.事件C包含的基本事件有(x1,y2),(x1,z2),(x2,y1),(x2,z1),(y1,z2),(y2,z1)共6个,故P(C)=.10.(2015福建高考,文18)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解法一:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.所以所求的概率P=.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×+5.5×+6.5×+7.5×=6.05.解法二:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B1,B2},共1个.所以所求的概率P=1-.(2)同解法一.。
专题限时集训（二) 统计与统计案例随机事件的概率、古典概型、几何概型1．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位:kg）分别为x1,x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…,x n的平均数B．x1,x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2,…，x n的中位数B[评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差,故选B．]2．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(）A．0。
5 B．0。
6 C．0.7 D．0。
8C［由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋60＝70，则其与该校学生人数之比为70÷100＝0.7.故选C．］3．（2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3 B．0。
4 C．0.6 D．0.7B［设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C）＝1－P（A）－P（B)＝1－0.45－0。
15＝0。
4。
故选B．］4．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!B［如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口,则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为错误!＝错误!，故选B．]5．(2020·全国卷Ⅲ）设一组样本数据x1，x2,…，x n的方差为0。
一、选择题(每小题5分,共40分)1.一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件有( )A.(男,女),(男,男),(女,女)B.(男,女),(女,男)C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)D.(男,男),(女,女)【解析】选C.两个孩子有先后出生之分.【延伸探究】一个家庭中有两个小孩,这两个小孩都为女孩的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.两个小孩共有四种情况:(男,女),(女,男),(女,女),(男,男),基本事件总数为4,两个小孩都为女孩的概率为.2.(2020·石家庄高一检测)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况:{1,2},{1,3}, {1,4},{2,3},{2,4},{3,4},满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3},{2,4},故所求概率是=.3.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选C.正方形四个顶点可以确定6条直线,甲乙各自任选一条共有36个基本事件,两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件,所以概率等于.4.(2020·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选B.把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊,基本事件空间Ω={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙丙,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊,丁戊},包含基本事件总数n=10.设A表示事件“甲被选中”,则A={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊},包含基本事件数m=4.所以概率为P==.【补偿训练】从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选B.因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,不考虑先后顺序共有10种取法,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d), (c,e),(d,e),其中取到字母a的有4种:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),所求概率为P==.【误区警示】在计算基本事件的总数时,由于没有弄清题意,分不清“有序”和“无序”,因而常常出现“重算”或“漏算”的错误,突破这一思维障碍的有效方法是交换次序,看是否对结果造成影响.有影响就是有序,无影响即无序.5.一袋中装有大小相同的八个球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中有放回地每次取一个球,共取2次,记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A,则P(A)等于( )A. B. C. D.【解析】选 C.事件A包括(6,8),(7,7),(7,8),(8,6),(8,7),(8,8)这6个基本事件,由于是有放回地取,基本事件总数为8×8=64(个),所以P(A)==.6.(2020·阜阳高一检测)设a是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0有两个不相等的实根的概率为( ) A. B. C. D.【解析】选A.基本事件总数为6,若方程有不相等的实根,则a2-8>0,满足上述条件的a为3,4,5,6,故P(A)==.7.(2020·长沙高一检测)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A. B. C. D.【解析】选B.利用古典概型求解.设袋中红球用a表示,2个白球分别用b1,b2表示,3个黑球分别用c1,c2,c3表示,则从袋中任取两球所含基本事件为:(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1 ,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15个.两球颜色为一白一黑的基本事件有:(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共6个.所以其概率为=.8.(2020·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.根据题意可以知道,所输入密码所有可能发生的情况如下:M1,M2,M3,M4,M5,I1,I2,I3,I4,I5,N1,N2,N3,N4,N5共15种情况,而正确的情况只有其中一种,所以输入一次密码能够成功开机的概率是.【补偿训练】(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3, 4,5),共10种,其中(3,4,5)为一组勾股数,共一种,所以3个数构成一组勾股数的概率为.二、填空题(每小题5分,共10分)9.小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2020年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.【解题指南】解答本题可先考虑所求事件的对立事件的概率,然后利用对立事件即可求解.【解析】事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”.某城市没有入选的可能的结果有四个,故“济南没有被选入”的概率为,所以其对立事件“济南被选入”的概率为P=1-=.答案:10.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.【解析】设4只球分别为白、红、黄1、黄2,从中一次随机摸出2只球,所有基本事件为(白,红)、(白,黄1)、(白,黄2)、(红,黄1)、(红,黄2)、(黄1,黄2),共6个,颜色不同的有(白,红)、(白,黄1)、(白,黄2)、(红,黄1)、(红,黄2),共5个,所以2只球颜色不同的概率为.答案:三、解答题11.(10分)(2020·天津高一检测)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2所学校均为小学的概率.【解析】(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,1所大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A1,A2), (A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3 ,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3种,所以P(B)==.。
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高中数学第三章概率 3。
2 古典概型第二课时课后训练北师大版必修31．在一对事件A，B中，若事件A是必然事件,事件B是不可能事件，那么A和B（）．A．是互斥事件,不是对立事件B．是对立事件，但不是互斥事件C．是互斥事件，也是对立事件D．既不是对立事件，也不是互斥事件2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（)．A．至少有1个黑球与都是黑球B．至少有1个黑球与至少有1个红球C．恰有1个黑球与恰有2个黑球D．至少有1个黑球与都是红球3．下列几对事件中是对立事件的是（)．A．a＞1与a≥1B．a＜1与a＞2C．0＜a＜1与0＜a＜3D．a＜1与a≥1(a∈R)4．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( ）．A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0。
85．某人进行打靶练习，共射击10次,其中有2次击中10环，有3次击中9环,有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是________．6．已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是________．7．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是，再判断它们是不是对立事件．（1）A与C;(2）B与E；（3）B与D；(4）B与C；(5)C与E．8．有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．参考答案1.答案:C解析：必然事件与不可能事件既是互斥事件，又是对立事件．2.答案：C解析:“从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球"这一事件共包含3个基本事件，关系如右图所示．显然，恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．3。
