2020年中学数学32 统计与古典概型(原卷版)

考点32 统计与古典概型1、掌握分层抽样、会求平均数、均值以及方差2、掌握古典古典概型概率的求法回顾五年来1、分层抽样、频率直方图在江苏高考中考均查过一次，但是样本的平均数与方差考查较多，这些知识点往往都是基础题，是送分题目。

在全国范围内考查的不太多·2、概率在江苏每年都考一个题目，难度是容易题。

除了2017年考查几何概型，其它年份均是古典概型。

概率考查的范围是古典概型和几何概型、互斥事件的概率。

估计今年考查还是以古典概型为主。

在全国其他地区考查较少1、用样本估计总体的方式有：一表（频率分布表）；两图（频率分布直方图和茎叶图），2、频率分布直方图的纵轴是频率与组距的商，横轴一般为数据的大小。

图中小矩形的面积就是对应的频率。

3、在总体特征数的估计中，注意区分标准差与方差的概念，4、古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P)(；基本事件数有限，一般用树形图、图表法等枚举法。

5、在含有“至多”“至少”问题中，要善于运用对立事件的概率求解。

1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差 【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确；②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ．3、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．118【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为7231119131730+=+=+=，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法， 故所求概率为31=4515，故选C ．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A ．5、【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ▲ ． 【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．6、【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 7、【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】16 23【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23.8、【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 9、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 10、【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，故平均数为8989909191905++++=．11、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________． 【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种， 因此所求概率为310． 12、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．题型一、统计1、（2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题）已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为（）A．80 B．90 C．100 D．120【答案】B【解析】高二年级抽取的人数为：45027090 400450500⨯=++故选：B2、（北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、二年模拟试题数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（）A．55 B．80 C．90 D．110【答案】D【解析】设该样本中获得A或B等级的学生人数为x，则1540110 200100xx+=∴=故选：D3、（2019年11月中学生标准学术能力诊断性测试测试文科数学试题）某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此，40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=.故选：C.5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．故选：ABD．6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A．女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小【答案】AB【解析】女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．故选：AB.7、（2020届山东省临沂市高三上期末）为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）90,100内的人增加了2个A．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变B．他们健身后，体重在区间[)C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kg110,120内的肥胖者体重都有减少D．他们健身后，原来体重在区间[)【答案】ABD【解析】90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A正确；体重在区间[)100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B正确；他们健身后，体重在区间[)他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的比例，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：ABD8、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨. 【答案】10【解析】由题得，9.49.79.810.310.8105x ++++==.故答案为：109、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试）已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________. 【答案】24S【解析】 ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=， 故答案为：24S .10、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有18件，则n 的值为_____. 【答案】90【解析】由于在总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等，则有182235n =++，解得90n =， 故答案为90. 题型二、古典概率1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A ．12B ．13C ．512D ．16【答案】B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ，仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况，则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ．2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（ ）A ．13B ．16C ．19D ．136【答案】B【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa ，Bb ，)Cc ，(Aa ，Bc ，)Cb ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ac ，Bb ，)Ca ，(Ac ，Ba ，)Cb ，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac ，Ba ，)Cb ，只有1个，∴田忌获胜的概率为16p =． 故选：B. 3、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．511【答案】C【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种. 因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A +==. 故选：C.4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．916【答案】B【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 2343C A ==36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p 364819m n ===． 故选：B ． 5、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．320【答案】D【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物，基本事件总数为：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为54336020= 故选：D6、将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( ) A ．310 B ．12 C ．35 D ．25【答案】C【解析】由题意可知，甲乙被分在不同组的分组组数为：1224C C ，所有的分组组数为：36C ， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：12243635C C p C ==. 本题选择C 选项.7、（2020届江苏省七市第二次调研考试）“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______. 【答案】23【解析】由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为6293=.故答案为：238、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知直线:10l ax by +-=，若,1{}1a ，2,1}1,{b ，则l 不经过第二象限的概率为______． 【答案】13 【解析】直线:10l ax by +-=，若{1a ∈-，1}，{2b ∈-，1-，1}，(,)a b ∴包含的基本事件总数236n =⨯=， l 不经过第二象限，0a ∴，0b ，∴满足l 不经过第二象限的(,)a b 有：(1,2)-，(1,1)-，共2个，l ∴不经过第二象限的概率为2163p ==． 故答案为：13．。

北京市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷古典概型创作人：百里部活 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂动由创作单位： 雅礼明智德学校考点一 简单的古典概型的概率【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．【规律方法】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．【变式探究】 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．考点二 复杂的古典概型的概率【例2】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的外部或圆上的概率．【规律方法】(1)一是本题易把(2，4)和(4，2)，(1，2)和(2，1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P (A )＝1－P (A －)求解．【变式探究】 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 考点三 古典概型与统计的综合问题【例3】 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：男生 女生(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在165～180 cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180 cm 之间的概率．【规律方法】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．【变式探究】某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 【真题感悟】1.【高考1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310（B ）15（C ）110（D ）1202.【高考安徽，文17】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]（Ⅰ）求频率分布图中a 的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,2123132212312B B B A B A B A B A A A 又因为所{}21,B B ，故所求的3.【高考福建，文18】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．1．（·广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．2．（·福建卷）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (i)顾客所获的奖励额为60元的概率； (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．3．（·全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.784．（·陕西卷）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 ( )A.15B.25C.35D.455．（·天津卷）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．6．（·浙江卷）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)7．（·重庆卷）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)【押题专练】1．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.162．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.343．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.9104．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是 ( ) A.512B.712C.13D.125．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是( )A.23B.29C.13D.796．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.497．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112B.118C.136D.71088．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率； (2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率．9．某地区有21所，14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从、、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到、各一所的概率．10．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．则从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为________．(注：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米) 11．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．。

《古典概型》教材分析本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（B）版》第三章中的3.2.1节古典概型。

它安排在随机事件之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有重要的地位，是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念及利用古典概型求随机事件的概率。

《古典概型》效果分析本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，再由问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；最后通过学生观察比较，由特殊到一般推导出古典概型的概率计算公式，这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

教学过程强调基于问题解决的设计，在教师的引导下，让学生通过讨论、归纳、探究等方式自主获取知识，从而达到满意的教学效果。

构建利于学生学习的有效教学情境，较好地拓展师生的活动空间，丰富教学手段，符合新课程的理念。

在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量。

习题的选用上注重生活化和现实性。

本节课试图把新课改的一些理念变成教师自己自觉的教学习惯。

在备课、授课过程中充分解放思想，把主要备教材转变为主要备学生，把以讲为主变为以组织学生活动为主，真正把课堂还给学生。

教材分析一、内容分析：古典概型所在的“概率”一章放在“统计”一章的后面、“计数原理”一章（选修2-3）的前面，这样对概率的某些计算要求有所降低。

古典概型是一种简单而常见的随机事件的概率问题。

重点要抓住古典概型的两个特征，试验结果的有限性和等可能性。

教材通过大量实例介绍了古典概型的广泛应用。

二、地位与作用分析：在课程标准中指出，“随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的办法”，而且概率的基础知识已经成为一个现代公民的必备常识。

古典概型作为一种简单而常见的随机事件的概率问题，应用广泛，其重要性不言而喻。

10.1.3古典概型随堂练习一、单选题A ．425B ．1225C ．1325D ．2125 8．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．=100%⨯切割得到的无坏点的芯片数产品良率切割得到的所有芯片数．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（ ）A ．50%B ．625%．C ．75%D ．875%．二、多选题 9．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）A ．事件A 与事件B 的样本点数分别为12，8 B ．事件A ，B 间的关系为A B ⊆C ．事件A B ⋃发生的概率为1120D ．事件A B ⋂发生的概率为2510．连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m ，n ，则（ ）A ．1m =的概率为16B ．m 是偶数的概率为12C ．m n =的概率为16D ．m >n 的概率为12 三、填空题11．同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．12．哥德巴赫猜想的部分内容如下：任一大于2的偶数可以表示为两个素数（素数是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数）之和，如18＝7+11.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是_______.13．《笑林广记》中有这样一则笑话：“有自负棋高者.与人角，连负三局.次日，人问之曰：昨日较棋几局？答曰：三局.又问：胜负如何？曰：第一局我不曾赢，第二局他不曾输，第三局我本等要和，他不肯罢了.”已知每局对弈结果有胜、和、负三种情形，根据“自负棋艺者”的回答，判断他“与人角”仅和了1局，则这一判断正确的概率为______.14．已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，以此类推，第1k +次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第3次取出的球是红球的概率为______．四、解答题15．箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间：(1)一次取一球，取后放回，连取两次．(2)一次取一球，取后不放回，连取两次．(3)一次取两球． 16．某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m 名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：分组 频数 频率[)60,7016 0.2 [)70,8050 n [)80,90 10 p[]90,1004 0.05 合计 m I(1)求表中n ，p 的值和频率分布直方图中a 的值；(2)如果用分层抽样的方法，从样本成绩在[]60,70和[]90,100的学生中共抽取5人，再从5人中选2人，求这2人成绩在[]60,70的概率.。

姓名，年级：时间：3．2 古典概型1。

了解基本事件的概念．2。

理解古典概型的定义，会计算基本事件的个数．3．掌握古典概型概率的计算公式．1．基本事件（1)在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．(2）若在1次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型（1）定义:如果某问题具有以下两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型．(2)古典概型的概率公式如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是错误!．如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝错误!．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件．（）(2）同时抛掷两枚硬币，求向上的面全是正面，这一事件的概率是古典概型问题．（）（3）从甲地到乙地共n条路线，且这n条路线长短各不相同,则某人正好选中最短路线的概率为1n。

( )解析：根据古典概型的两个特征知：(1）×；（2）√；(3)√。

答案:(1)×（2)√（3)√2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为（）A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!解析：选B。

基本事件总数为10,“抽出一本是物理书"包含3个基本事件，所以其概率为错误!，故选B.3．下列概率模型:①在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环,2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同,不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能,不满足有限性;⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优"或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．答案:③基本事件的计数问题判断下列各试验中的基本事件个数,并指出有哪些基本事件．(1)从字母a、b、c中任意取两个字母的试验中；（2)从装有形状完全一样且分别标有1，2,3，4，5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验中．【解】(1)从三个字母中任取出两个字母的所有等可能结果即基本事件数为3个，分别是A＝错误!,B＝错误!,C＝错误!.(2)从袋中取两个球的等可能结果为：球1和球2，球1和球3，球1和球4,球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5。

第十章 计数原理与古典概率1.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题．近三年两考，难度基本稳定在中等.2.二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，近三年三考.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．近两年，浙江紧紧围绕二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=命题，考查某一项或考查某一项的系数.3.离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向．近三年浙江卷略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.同时，考查二次函数性质的应用，近三年三考，逐渐形成稳定趋势.一．选择题1．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知，则（ ） A ． B ． C ． D ．2.【浙江省宁波市2019届高三上期末】设，则（ ）. A ．-4 B ．-8 C ．-12 D ．-163．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（ ）A．B．C．D．5．【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是( )A． B．C． D．6．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】随机变量 X 的分布列如下表所示，X 0 2 4P a则 D X ( )＝（）A．1 B．2 C．3 D．47．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字的数学期望是2，则的方差是（）A．B．C．D．8．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知，则A．64 B．48 C． D．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若9．选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为，则（）A．B．C．D．10．【浙江省金华十校2019届高考模拟】设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大11.【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上联考】随机变量X 的分布列如下： X -1 0 1 P a 13 b若13EX =，则DX 的值是（ ） A ． 19 B ． 29 C ． 49 D ． 59 12.【浙江省嘉兴市2019 届高三上期末】已知随机变量的分布列如下，则的最大值是 -1 0A ．B ．C ．D ．13.【浙江省台州市2019届高三上期末】一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ）A ．， B ．， C ．， D ．，14.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末联考】已知随机变量的分布列如下表： X-1 0 1 P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A ．B ．C ．D ．二.填空题15.【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】名学生参加个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么个兴趣小组都恰有人参加的不同的分组共有_________种. 16．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知二项式的展开式中，第项是常数项，则__________．二项式系数最大的项的系数是__________．17．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】若，则_____，_____ 18．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】已知，的展开式中存在常数项，则的最小值为__________，此时常数项为__________． 19.【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】若，则_________，_________.20．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=+++L ，则128...a a a +++=_____，3a =_____．21．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙2人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种．（用数字作答） 22．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】某超市内一排共有个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有__________种．23．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有 _____ 种．24．【浙江省宁波市2019届高三上期末】农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为_______.25．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）26．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．27．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】设9290129(21)(21)(21)x a a x a x a x =+++++++L ，则0a =________，8a =________.28．【浙江省台州市2019届高三4月调研】一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球个、黑球个，现随机等可能取出小球.当有放回依此取出两个小球时，记取出的红球数为，则______；若第一次取出一个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为，则______.29．【浙江省金华十校2019届高三上期末】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望______．30．【浙江省金华十校2019届高三上期末】某高中高三某班上午安排五门学科语文，数学，英语，化学，生物上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三.解答题31．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是518，求抽奖者获奖的概率；（Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值.。