【步步高 学案导学设计】高中数学 1.1.1命题课时作业 新人教A版选修1-1

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C．①③④D．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A ．两个平面B ．一条直线C ．垂直D ．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为( )①若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab .②4－x 2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________． 解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1. 答案：±18．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②二次函数的图象与x 轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形． 答案：①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A 、B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x＞1，则x ＞25”． B 级 能力提升1．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－3解析：C 中，当a ＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a//b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a ＝0，满足a·b ＝a·c ，但不一定有b ＝c ，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a 与a＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．。

1．1.1 命题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第1页)课标解读1.了解命题的概念及构成．(重点)2．会判断命题的真假．(难点、易错点) 命题的概念【问题导思】观察下列实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.命题的形式【问题导思】1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？【提示】是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？【提示】若两个角为同位角，则这两个角相等．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.(对应学生用书第1页)命题的判断判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)若x＜2，则x＜3.【思路探究】(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？【自主解答】(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b ＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．命题真假的判定判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【思路探究】语句――→命题定义判定是否是命题――→证明举反例真假命题【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．【解】(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.命题的形式及改写把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.【思路探究】(1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？【自主解答】(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．【解】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．(对应学生用书第4页)因知识欠缺，导致对命题真假判断失误判断下列命题的真假．(1)若a ＞b ，则1a ＜1b； (2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根．【错解】 (1)真命题． (2)假命题．【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b. (2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．【正解】 (1)假命题 (2)真命题1．判断一个语句是否是命题要注意两点：(1)是不是陈述句；(2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p ，则q ”的形式再加以判断.(对应学生用书第4页)1．下列语句中是命题的是( )A.π2是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“温室效应”D ．《非常学案》真好呀！ 【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C 、D 不是命题，对于B 无法判断真假，只有A 是命题．【答案】 A2．下列命题中是假命题的是( )A ．5是15的约数B ．对任意实数x ，有x 2＜0C ．对顶角相等D ．0不是奇数 【解析】 对任意实数x ，有x 2≥0，所以B 为假命题．A 、C 、D 均为真命题．【答案】 B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p ，则q ”的形式为________．【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．(1)求证：2是无理数．(2)若G 2＝ab ，则a 、G 、b 成等比数列．(3)末位数字是0的整数能被5整除．(4)你是高二的学生吗？ 【解】 (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.一、选择题1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】 A 中平行投影可能平行，A 为假命题．B 、C 中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D 为真命题．【答案】 D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )A ．这个数能被2整除B ．这个数能被3整除C ．这个数既能被2整除，也能被3整除D ．这个数是6的倍数【解析】 “若p ，则q ”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C3．下列命题中，是真命题的是( )A ．{x ∈R |x 2＋1＝0}不是空集B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．空集是任何集合的真子集D ．若1x ＝1y，则x ＝y 【解析】 A 中方程在实数范围内无解，故为假命题；B 中，若x 2＝1，则x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．【答案】 D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3【解析】 方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件．【答案】 C5．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个 【解析】 ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0，所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．【答案】 B二、填空题6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p ，则q ”的形式是________．【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．7．如果命题“若x ∈A ，则x ＋1x≥2”为真命题，则集合A 可以是________．(写出一个即可)【解析】 当x ＞0时，有x ＋1x≥2，故A 可以为{x |x ＞0}． 【答案】 {x |x ＞0}8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a ＞b ，则ac 2＞bc 2，④若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0，其中真命题为________．【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a ＞b ，则ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．【答案】 ①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．(3)若ac ＞bc ，则a ＞b ，假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．10．判断下列命题的真假并说明理由．(1)合数一定是偶数；(2)若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0且b ＞0；(3)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根． 【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．(2)真命题．因为ab ＞0，则a 、b 同号．又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负，故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0.(3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0； ∴方程无实根．11．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 因为ax 2－2ax －3＞0不成立，所以ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ≤0，解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值范围为[－3,0]．(教师用书独具)下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．【解析】 当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a －a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N 在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 001， 所以④是真命题，故填③④.【答案】 ③④把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x (x ＞0)的图象与g (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________.【解析】 设g (x )图象上任一点(x ，y )，则它关于x 轴的对称点为(x ，－y )，此点在f (x )的图象上，故有：－y ＝3＋log 2x 成立，即y ＝－3－log 2x (x ＞0)．【答案】 －3－log 2x (x ＞0)。

1.1.2 四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.熟悉四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)关于两个命题，若是一个命题的条件和结论别离是另一个命题的______________，那么咱们把如此的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)关于两个命题，若是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，咱们把如此的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)关于两个命题，若是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，咱们把如此的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q别离表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q别离表示p和q的否定，四种形式确实是：原命题：假设p成立，那么q成立．即“假设p，那么q”．逆命题：________________________.即“假设q，那么p”．否命题：______________________.即“假设綈p，那么綈q”．逆否命题：________________________.即“假设綈q，那么綈p”．一、选择题1．命题“假设a>－3，那么a>－6”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．命题“假设A∩B＝A，那么A⊆B”的逆否命题是( )A．假设A∪B≠A，那么A⊇BB．假设A∩B≠A，那么A⊆BC．假设A⊆B，那么A∩B≠AD．假设A⊇B，那么A∩B≠A3．关于命题“假设数列{a n}是等比数列，那么a n≠0”，以下说法正确的选项是( )A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题4．有以下四个命题：①“假设xy＝1，那么x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“假设b≤－1，那么方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④假设“A∪B＝B，那么A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．06．命题“假设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其概念域内是减函数，那么log a2<0”的逆否命题是( ) A．假设log a2≥0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其概念域内不是减函数B．假设log a2<0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其概念域内不是减函数C．假设log a2≥0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其概念域内是减函数D．假设log a2<0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其概念域内是减函数7．命题“假设x>y，那么x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“列位数字之和是3的倍数的正整数，能够被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有以下四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，那么a，b全为0；③命题“假设m≤1，那么x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“假设A∩B＝B，那么A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你以为正确的命题的序号)．10．把以下命题写成“假设p，那么q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“假设f(x)是奇函数，那么f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．假设f(x)是偶函数，那么f(－x)是偶函数B．假设f(x)不是奇函数，那么f(－x)不是奇函数C．假设f(－x)是奇函数，那么f(x)是奇函数D．假设f(－x)不是奇函数，那么f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，假设关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，那么a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，能够先将命题改写成“假设p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可取得原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2 四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．假设q成立，那么p成立假设綈p成立，那么綈q成立假设綈q成立，那么綈p成立作业设计1．B [由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，应选B.]2．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：假设log a2≥0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其概念域内不是减函数．]7．假设x≤y，那么x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其列位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的列位数字之和是3的倍数列位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“假设a是正数，那么a的平方根不等于0”．逆命题：“假设a的平方根不等于0，那么a是正数”．否命题：“假设a不是正数，那么a的平方根等于0”．逆否命题：“假设a的平方根等于0，那么a不是正数”．(2)原命题：“假设x＝2，那么x2＋x－6＝0”．逆命题：“假设x2＋x－6＝0，那么x＝2”．否命题：“假设x≠2，那么x2＋x－6≠0”．逆否命题：“假设x2＋x－6≠0，那么x≠2”．(3)原命题：“假设两个角是对顶角，那么它们相等”．逆命题：“假设两个角相等，那么它们是对顶角”．否命题：“假设两个角不是对顶角，那么它们不相等”．逆否命题：“假设两个角不相等，那么它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：假设一个数的平方是非负数，那么那个数是实数．否命题：假设一个数不是实数，那么它的平方不是非负数．逆否命题：假设一个数的平方不是非负数，那么那个数不是实数．(2)逆命题：假设两个三角形全等，那么这两个三角形等高．否命题：假设两个三角形不等高，那么这两个三角形不全等．逆否命题：假设两个三角形不全等，那么这两个三角形不等高．(3)逆命题：假设一条直线平分弦所对的弧，那么这条直线是弦的垂直平分线．逆否命题：假设一条直线不平分弦所对的弧，那么这条直线不是弦的垂直平分线．12．B [命题“假设p，那么q”的否命题为“假设綈p，那么綈q”，而“是”的否定是“不是”，应选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，假设a2－4b≥0，那么关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，假设关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，那么a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，假设a2－4b<0，那么关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。

【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案（23套,含答案）1.1.1 命题学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)[自主预习·探新知]1．命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题?真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．[基础自测]1．思考辨析(1)一个命题不是真命题就是假命题．( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．( )[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误．[答案] (1)√(2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x >2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③B ．①③④C．①②⑤ D．②③⑤A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]3．下列命题中，真命题共有( )【导学号：97792000】①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①、②、④是假命题，③是真命题．][合作探究·攻重难]A．x2－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．[答案](1)B (2)①④感叹句等都不是命题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.【导学号：97792001】(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lg x是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．[解析](1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q 是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．[答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1b时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1b，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．1．如何判断一个命题是真命题？提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？提示：举出一个反例即可．给定下列命题：①若a >b ，则2a >2b；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形．其中为真命题的是________．[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题―――――→恰当的反例假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x的单调性知①为真命题．对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题．对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．[答案] ①③④1．下列语句不是命题的个数为( )①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形C [把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( )【导学号：97792002】A ．若a >b ，则1a <1bB ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 C ．若|x |<="" bdsfid="295"p="" ，则x=""><="" bdsfid="299" p="">D ．若a ＝b ，则a ＝bC [对于A ，若a ＝1，b ＝－2，则1a >1b，故A 是假命题．对于B ，当a ＝b ＝0时，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不是等比数列，故B 是假命题．对于C ，因为y >|x |≥0，则x 2<="" bdsfid="321" p="">是真命题．对于D ，当a ＝b ＝－2时，a 与b 没有意义，故D 是假命题．] 4．命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1) [由题意知a ≠0Δ＝4－4a >0，解得a <1，且a ≠0.]5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直.【导学号：97792003】[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题． (2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点) [自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式命题为“若，则否命题为“若(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x 2＋x －a ＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可[跟踪训练2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；(2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题；(3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．。

第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1 命题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第1页)课标解读1.了解命题的概念及构成．(重点) 2．会判断命题的真假．(难点、易错点)命题的概念观察下列实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.命题的形式【问题导思】1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？【提示】是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？【提示】若两个角为同位角，则这两个角相等．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.(对应学生用书第1页)命题的判断判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)若x＜2，则x＜3.【思路探究】(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？【自主解答】(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．命题真假的判定判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【思路探究】语句――→命题定义判定是否是命题――→证明(举反例)真假命题【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．【解】(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.命题的形式及改写把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.【思路探究】(1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？【自主解答】(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．【解】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．(对应学生用书第4页)因知识欠缺，导致对命题真假判断失误判断下列命题的真假．(1)若a ＞b ，则1a ＜1b；(2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根． 【错解】 (1)真命题． (2)假命题．【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b.(2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系． 【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻． 【正解】 (1)假命题 (2)真命题1．判断一个语句是否是命题要注意两点： (1)是不是陈述句； (2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p ，则q ”的形式再加以判断.(对应学生用书第4页)1．下列语句中是命题的是( ) A.π2是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“温室效应”D ．《非常学案》真好呀！【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C 、D 不是命题，对于B 无法判断真假，只有A 是命题．【答案】 A2．下列命题中是假命题的是( ) A ．5是15的约数 B ．对任意实数x ，有x 2＜0C ．对顶角相等D ．0不是奇数 【解析】 对任意实数x ，有x 2≥0，所以B 为假命题．A 、C 、D 均为真命题． 【答案】 B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p ，则q ”的形式为________．【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行 4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假． (1)求证：2是无理数．(2)若G 2＝ab ，则a 、G 、b 成等比数列． (3)末位数字是0的整数能被5整除． (4)你是高二的学生吗？【解】 (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.一、选择题1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】 A 中平行投影可能平行，A 为假命题．B 、C 中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D 为真命题．【答案】 D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( ) A ．这个数能被2整除 B ．这个数能被3整除C ．这个数既能被2整除，也能被3整除D ．这个数是6的倍数【解析】 “若p ，则q ”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C3．下列命题中，是真命题的是( ) A ．{x ∈R |x 2＋1＝0}不是空集 B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．空集是任何集合的真子集 D ．若1x ＝1y，则x ＝y【解析】 A 中方程在实数范围内无解，故为假命题；B 中，若x 2＝1，则x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．【答案】 D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3【解析】 方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件． 【答案】 C 5．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个【解析】 ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0， 所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题； ③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题． 【答案】 B 二、填空题6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p ，则q ”的形式是________． 【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．7．如果命题“若x ∈A ，则x ＋1x ≥2”为真命题，则集合A 可以是________．(写出一个即可)【解析】 当x ＞0时，有x ＋1x ≥2，故A 可以为{x |x ＞0}．【答案】 {x |x ＞0}8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a ＞b ，则ac 2＞bc 2，④若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0，其中真命题为________．【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a ＞b ，则ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．【答案】 ①④ 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假： (1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．(3)若ac ＞bc ，则a ＞b ，假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．10．判断下列命题的真假并说明理由．(1)合数一定是偶数；(2)若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0且b ＞0；(3)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根． 【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．(2)真命题．因为ab ＞0，则a 、b 同号．又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负，故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0.(3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0； ∴方程无实根．11．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 因为ax 2－2ax －3＞0不成立，所以ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0， 解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值范围为[－3,0]．(教师用书独具)下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧； ④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1.其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．【解析】 当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a－a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N 在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫(－sin α)2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1， 所以④是真命题，故填③④.【答案】 ③④把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x (x ＞0)的图象与g (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________.【解析】 设g (x )图象上任一点(x ，y )，则它关于x 轴的对称点为(x ，－y )，此点在f (x )的图象上，故有：－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．【答案】－3－log2x(x＞0)。

1. 1.1命题及其关系一、课前小练：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； （2）3； （3）3吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、新课内容： 1.命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition ）. 上述6个语句中，哪些是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition ）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition ）. 上述5个命题中，哪些为真命题？哪些为假命题？③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ （5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨.（学生自练个别回答教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若，则”的形式：三、练习：教材 P4 1、2、3 四、作业：1、教材P8第1题2、作业本1-10 五、课后反思1.1.1命题及其关系(一)课型 新授课1）知识方法目标 了解命题的概念，12>12>a a 215x <→→p q（6）他是个高个子.1.命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练个别回答教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若，则”的形式：①例1中的（2）就是一个“若，则”的命题形式，我们把其中的叫做命题的条件，叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若，则”的形式.③例2：将下列命题改写成“若，则”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；引导学生归纳出命题的概念，强调判断一个语句是不是命题的两个关键点：是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”。

1．1.1 命题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“假设p，那么q〞的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答以下问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第1页)课标解读1.了解命题的概念及构成．(重点) 2．会判断命题的真假．(难点、易错点)命题的概念[问题导思]观察以下实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③假设x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？[提示] ①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.命题的形式[问题导思1．“同位角相等〞是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？[提示] 是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等〞写成“假设……，那么……〞的形式吗？[提示] 假设两个角为同位角，那么这两个角相等．命题的形式：“假设p，那么q〞，其中命题的条件是p，结论是q.(对应学生用书第1页)命题的判断判断以下语句是否为命题，并说明理由．(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)假设a与b是无理数，那么ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)假设x＜2，那么x＜3.[思路探究] (1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？[自主解答] (1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句表达的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．判断以下语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)假设xy＝1，那么x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.[解] (1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．命题真假的判定判断以下语句是否是命题，假设是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)假设x＝4，那么2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．[思路探究] 语句――→命题定义判定是否是命题――→证明举反例真假命题[自主解答] (1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．[解] (2)是假命题，改为真命题为：假设x＝4时，那么2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：假设x∈R，那么方程x2－x＋2＝0无实根.命题的形式及改写把以下命题改写成“假设p，那么q〞的形式，并判断命题的真假．(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[思路探究] (1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“x、y为正整数〞该怎样处理？[自主解答] (1)假设两个三角形周长相等，那么这两个三角形面积相等，假命题；(2)x，y为正整数，假设y＝x＋1，那么y＝3，x＝2，假命题；(3)假设m＞1，那么x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)假设abc＝0，那么a＝0且b＝0且c＝0，假命题．1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“假设p，那么q〞的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．把以下命题改写成“假设p，那么q〞的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．[解] (1)假设一个数是奇数，那么它不能被2整除，是真命题；(2)假设(a－1)2＋(b－1)2＝0，那么a＝b＝1，是真命题；(3)假设两个三角形是相似三角形，那么这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，假设两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行，是假命题．(对应学生用书第4页)因知识欠缺，导致对命题真假判断失误判断以下命题的真假．(1)假设a ＞b ，那么1a ＜1b；(2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根． [错解] (1)真命题． (2)假命题．[错因分析] (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小〞，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b.(2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系． [防X 措施] 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻． [正解] (1)假命题 (2)真命题1．判断一个语句是否是命题要注意两点： (1)是不是陈述句； (2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“假设p ，那么q 〞的形式再加以判断.(对应学生用书第4页)1．以下语句中是命题的是( )A.π2是无限不循环小数B．3x≤5C．什么是“温室效应〞D．《非常学案》真好呀！[解析] 疑问句和祈使句不是命题，C、D不是命题，对于B无法判断真假，只有A是命题．[答案] A2．以下命题中是假命题的是( )A．5是15的约数 B．对任意实数x，有x2＜0C．对顶角相等 D．0不是奇数[解析] 对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．[答案] B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行〞改写成“假设p，那么q〞的形式为________．[答案] 假设两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行4．判断以下语句是否为命题，假设是命题，判断其真假．(1)求证：2是无理数．(2)假设G2＝ab，那么a、G、b成等比数列．(3)末位数字是0的整数能被5整除．(4)你是高二的学生吗？[解] (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.一、选择题1．(2013·某某高二检测)在空间，以下命题正确的选项是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行[解析] A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．[答案] D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除〞的结论是( ) A ．这个数能被2整除 B ．这个数能被3整除C ．这个数既能被2整除，也能被3整除D ．这个数是6的倍数[解析] “假设p ，那么q 〞的形式：假设一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．[答案] C3．以下命题中，是真命题的是( ) A ．{x ∈R |x 2＋1＝0}不是空集 B ．假设x 2＝1，那么x ＝1 C ．空集是任何集合的真子集 D ．假设1x ＝1y，那么x ＝y[解析] A 中方程在实数X 围内无解，故为假命题；B 中，假设x 2＝1，那么x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．[答案] D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，那么使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3[解析] 方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件． [答案] C 5．有以下命题：①假设xy ＝0，那么|x |＋|y |＝0；②假设a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个[解析] ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0， 所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题； ③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题． [答案] B 二、填空题6．把“正弦函数是周期函数〞写成“假设p ，那么q 〞的形式是________．[答案] 假设函数为正弦函数，那么此函数是周期函数．7．如果命题“假设x ∈A ，那么x ＋1x≥2〞为真命题，那么集合A 可以是________．(写出一个即可)[解析] 当x ＞0时，有x ＋1x≥2，故A 可以为{x |x ＞0}．[答案] {x |x ＞0}8．以下命题：①假设xy ＝1，那么x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③假设a ＞b ，那么ac 2＞bc 2，④假设x 、y 互为相反数，那么x ＋y ＝0，其中真命题为________．[解析] ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③假设a ＞b ，那么ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．[答案] ①④ 三、解答题9．把以下命题改写成“假设p ，那么q 〞的形式，并判断真假： (1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[解] (1)假设一个数是实数，那么它的平方是非负数，真命题． (2)假设两个三角形等底等高，那么这两个三角形是全等三角形，假命题． (3)假设ac ＞bc ，那么a ＞b ，假命题．(4)假设一个点是一个角的平分线上的点，那么该点到这个角的两边的距离相等，真命题．10．判断以下命题的真假并说明理由． (1)合数一定是偶数；(2)假设ab ＞0，且a ＋b ＞0，那么a ＞0且b ＞0； (3)假设m ＞14，那么方程mx 2－x ＋1＝0无实根．[解] (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数． (2)真命题．因为ab ＞0，那么a 、b 同号． 又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负， 故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0. (3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0；∴方程无实根．11．假设命题“ax 2－2ax －3＞0不成立〞是真命题，某某数a 的取值X 围． [解] 因为ax 2－2ax －3＞0不成立， 所以ax 2－2ax －3≤0恒成立． (1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0，解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值X 围为[－3,0]．(教师用书独具)以下四个命题：①假设向量a ，b 满足a·b ＜0，那么a 与b 的夹角为钝角； ②集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，那么A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ·⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bcab ＋bd ac ＋cdbc ＋d 2，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 001.其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．[解析] 当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a －a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N 在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1，word所以④是真命题，故填③④.[答案] ③④把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．假设函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，那么g(x)＝________.[解析] 设g(x)图象上任一点(x，y)，那么它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)的图象上，故有：－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．[答案] －3－log2x(x＞0)11 / 11。