新课标2012届高三下学期二轮复习综合测试(1)数学理试题

绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2012.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：柱体体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积为13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为椎体的高如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；如果事件在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为()|P B A ，那么|P AB P A P B A =()()()；一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．集合*{|}n i n N ∈（其中i 是虚数单位）中元素的个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．无穷多个 2．设随机变量()21,3X N ，若()()P Xc P X c ≤=>，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．33．已知命题p ：“存在正实数a ，b ，使得()lg lg lg a b a b +=+”；命题q ：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 A ．p ，q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题 C ．p ，q 都是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这 六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种5．设,,,a b c d R ∈，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式 恒成立的是A ．2a b cd +≤B ．2a b cd +≥C ．||2a b cd +≤D ．||2a b cd +≥6．设函数若()f x 的值域为R ，则常数a 的取值范围是7．如图1，直线l 和圆c ，当l 从0 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是8．如果函数||1y x =-的图象与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是A ．(,1][0,1)-∞-B ．[1,1)-C ．{}1,0-D ．()[1,0]1,-+∞二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在实数范围内，方程|||1|1x x ++=的解集是 ．10．某机器零件的俯视图是直径为24mm 的圆（包括圆心），主 视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积 是______3mm （结果保留π）．11．已知平面向量a ，b 满足条件()()0,1,1,2a b a b +=-=- ，则a b ⋅＝＿＿＿＿＿．12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入5533,2012m n ==，则输出d ＝＿＿＿． （注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径， 弦AD 和BC 相交于点P ，连接CD ．若120APB ∠=︒， 则C D A B等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数（1）求()f x 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小． 17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．18．（本小题满分14分）如图 5，已知正方形ABCD 在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''A B C D ，其中A 与'A 重合，且'''BB DD CC <<．（1）证明'//AD 平面''BB C C ，并指出四边形'''AB C D 的形状； （2）如果四边形中'''AB C D ’中，，正方形的边长为，求平面ABCD 与平面AB'C'D ’所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分14分） 已知数列满足：，且（1）求通项公式n a （2）设的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对(),m n ，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M 过定点()1,0F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ， 动点'F 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）设是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ． ①证明：直线PQ 的斜率为定值；②记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为l ．若点B 在l 上，且点B 到直线PQ 的 距离最大，求点B 的坐标．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x x =-，()()()'g x f x xf a =- ，其中()'f a 表示函数()f x 在x a=处的导数，a 为正常数． （1）求()g x 的单调区间；（2）对任意的正实数12,x x ，且12x x <，证明：()()()()()()21221211''x x f x f x f x x x f x -<-<-（3）对任意的2012年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBACDADB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） 4分所以)(x f 的最大值为3． …………6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分） （2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin32sin =．……7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2sin3cos sin =， ……9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，33tan =A ， ……11分所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． …………12分17．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ，…3分 53)1()(2613131====C C C P A P ξ，…5分51)2()(26232====CC P A P ξ．…7分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ0 12P515351ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ． ……8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得 253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …9分 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==CC C A B P A P B A P ）， ……10分 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）． ……11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ． …………12分18．证明：（1）依题意，⊥'BB 平面'''D C AB ，⊥'CC 平面'''D C AB ，⊥'DD 平面'''D C AB ，所以'//'//'DD CC BB ． ………2分（法1）在'CC 上取点E ，使得'DD CE =， 连结BE ，E D '，如图5－1．因为'//DD CE ，且'DD CE =，所以E CDD '是平行四边形，DC E D //'，且DC E D ='．又ABCD 是正方形，AB DC //，且AB DC =，所以AB E D //'，且AB E D ='，故'ABED 是平行四边形，……4分从而BE AD //'，又⊂BE 平面C C BB ''，⊄'AD 平面C C BB ''， 所以//'AD 平面C C BB ''． ………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分15-图CD)'(A A B'C 'D 'B E（法2）因为'//'CC DD ，⊂'CC 平面C C BB ''，⊄'DD 平面C C BB ''， 所以//'DD 平面C C BB ''．因为ABCD 是正方形，所以BC AD //，又⊂BC 平面C C BB ''，⊄AD 平面C C BB ''， 所以//AD 平面C C BB ''． ………………4分而⊂'DD 平面'ADD ，⊂AD 平面'ADD ，D AD DD = '，所以平面//'ADD 平面C C BB ''，又⊂'AD 平面'ADD ，所以//'AD 平面C C BB ''．…6分 四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分 解：（2）依题意，在Rt △'ABB 中，1)5()6(''2222=-=-=AB ABBB ，在Rt △'ADD 中，2)2()6(''2222=-=-=AD ADDD ，所以3021''''=-+=-+=AA DD BB CC ．（注：或312''''=+=+=+=BB DD EC CE CC ） ………8分 连结AC ，'AC ，如图5－2， 在Rt △'ACC 中，33)32(''2222=-=-=CC ACAC ．所以222''''AB C B AC =+，故'''C B AC ⊥．……10分 （法1）延长CB ，''B C 相交于点F ， 则31''''==CC BB FC FB ，而2''=C B ，所以223'=FC ．连结AF ，则AF 是平面ABCD 与平面'''D C AB 的交线．在平面'''D C AB 内作AF G C ⊥'，垂足为G ， 连结CG ．因为⊥'CC 平面'''D C AB ，⊂AF 平面'''D C AB ，所以AF CC ⊥'． 从而⊥AF 平面G CC '，AF CG ⊥．所以'CGC ∠是平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的一个锐二面角． ………12分在Rt △F AC '中，553223)3(2233'''22=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=⨯=AFFC A C G C ，在Rt △G CC '中，53035533''2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=G C CC CG ． 所以66''cos cos ==∠=CGG C CGC θ，25-图CD)'(A A B'C 'D 'B FG即平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．…………14分（法2）以'C 为原点，A C '为x 轴，''B C 为y 轴，C C '为z 轴， 建立空间直角坐标系（如图5－3），则平面'''D C AB 的一个法向量)1,0,0(=n ．设平面ABCD 的一个法向量为),,(z y x =m ， 因为)0,0,3(A ，)1,2,0(B ，)3,0,0(C ，所以)1,2,3(-=AB ，)2,2,0(-=BC ，而AB ⊥m ，BC ⊥m ， 所以0=∙AB m 且0=∙BC m ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-022023z y z y x ，取1=z ，则2=y ，3=x ，所以平面ABCD 的一个法向量为)1,2,3(=m ．（注：法向量不唯一，可以是与)1,2,3(=m 共线的任一非零向量）………12分661001)2()3(|110203||||||,cos |cos 222222=++⨯++⨯+⨯+⨯==><=∙n m n m n m ||θ．所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …14分（法3）由题意，正方形ABCD 在水平面上的正．投影是四边形''''D C B A ， 所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值ABCDD C AB S S '''=． …12分而6)6(2==ABCD S ，632''''''=⨯=⨯=AC C B S D C AB ，所以66cos =θ，所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．……14分19．解：（1）当n 是奇数时，1cos -=πn ；当n 是偶数时，1cos =πn ． 所以，当n 是奇数时，22+=+n n a a ；当n 是偶数时，n n a a 32=+．……2分 又11=a ，22=a ，所以1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是首项为1，公差为2的等差数列；2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是首项为2，公比为3的等比数列．……4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-为偶数为奇数n n n a nn ,32,12． ………………………6分 （2）由（1），得)()(24212312n n n a a a a a a S +++++++=-35-图CD)'(A A B'C 'D 'B yxz)3262()]12(31[1-⨯++++-+++=n n132-+=n n ，13321321122212-+=⨯--+=-=---n n a S S n n nn n n ．…………8分所以，若存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ，则133211313211212122-+⨯+=-+-+==----n n n S S m n n n nn n 3332111=⨯+≤--n n ．……9分显然，当1=m 时，122122)13(113--=-+⨯≠-+=n n nn S n n S ；当2=m 时，由1222-=n n S S ，整理得1321-=-n n ．显然，当1=n 时，11013211-=≠=-；当2=n 时，1233212-==-，所以)2,2(是符合条件的一个解． ……11分 当3≥n 时， +⨯+⨯+=+=----2211111221)21(3n n n n C C2111421--++≥n n C C 3422+-=n n1)2(22-+-=n n 12->n ． ………12分当3=m 时，由1223-=n n S S ，整理得1=n ， 所以)1,3(是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对),(n m ，有且仅有)1,3(和)2,2(两对．…14分（注：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）20．解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上， 且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以)21,2(+y x M ， …………1分且圆M 的直径为22)1(|'|-+=y x FF ．…………2分由题意，动圆M 与y 轴相切，所以2)1(2|1|22-+=+y x y ，两边平方整理得：y x 42=，所以曲线C 的方程为y x 42=． …………………5分（法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方， 连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径． 过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．16-图M∙'∙F xyOF∙N E在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ， 即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x 轴的距离大1． ……3分又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线． 所以曲线C 的方程为y x 42=．………………5分（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2． 设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ……………6分 因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点， 所以4200x y =，直线AP 的方程为)(4020x x k x y -=-．由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(440202x x k x y y x ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4)4(4200k x y k x x ， 所以点P 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +-+-， 以k -替换k ，得点Q 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +--． ………8分所以直线PQ 的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020x k kx k x k x k x k x k PQ -=-=+----+--+=为定值．…10分（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，)4,(200x x A ．又点P 、Q 在曲线C ：y x 42=上，所以可设)4,(211x x P ，)4,(222x x Q ， …6分而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即02222012214444x x x x x x x x ---=--，整理得0212x x x -=+．…8分 所以直线PQ 的斜率2424440021122122x x x x x x x x k PQ -=-=+=--=为定值．……10分 26-图M∙'∙F xyOF∙PQA②（法1）由①可知，P )4)4(,4(200k x k x +-+-，Q )4)4(,4(200k x k x +--，20x k PQ -=，所以直线PQ 的方程为)4(24)4(0020k x x x k x y -+-=+--，整理得016422200=-++k x y x x ． ……11分设点)4,(2xx B 在曲线段L 上，因为P 、Q 两点的横坐标分别为k x 40+-和k x 40--，所以B 点的横坐标x 在k x 40+-和k x 40--之间，即||4||400k x x k x +-≤≤--， 所以||4||40k x x k ≤+≤-，从而22016)(k x x ≤+．点B 到直线PQ 的距离42|162|164|16442|2022002222020+-++=+-+⨯+=x k x x x x x k x xx x d4216)(42142|16)(|202202020220++++-=+-+=x kx x x x k x x ．…12分当0x x -=时，4216202max +=x kd ．注意到||4||4000k x x k x +-≤-≤--，所以点)4,(200x x -在曲线段L 上．所以，点B 的坐标是)4,(20x x -． …………………14分（法2）由①可知，2x k PQ -=，结合图6－3可知，若点B 在曲线段L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大， 则曲线C 在点B 处的切线PQ l //． ………………11分设l ：b x x y +-=20，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=yx b x x y 4220， 消去y ，得04202=-+b x x x ．令△0)4(14)2(20=-⨯⨯-=b x ，整理，得420x b -=．……12分代入方程组，解得0x x -=，420x y =．所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ………………………………14分（法3）因为抛物线C ：y x 42=关于y 轴对称，由图6－4可知，当直线AP 的倾斜角大于︒0且趋近于︒0时，直线AQ 的倾斜角小于36-图M∙'∙F xyOF∙PQABl︒180且趋近于︒180，即当直线AP 的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ 的斜率小于0且趋近于0．从而P 、Q 两点趋近于点)4,(200x x A 关于y 轴的对称点)4,('200x x A -． ……11分由抛物线C 的方程y x 42=和①的结论， 得42xy =，PQ x x x x k x x y =-=='-=-=22|00．所以抛物线C 以点)4,('200xx A -为切点的切线PQ l //．…12分所以曲线段L 上到直线PQ 的距离最大的点就是点'A ，即点B 、点'A 重合． 所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． …14分21．解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=， xa a x a f x f x g lnln ln )()()(=+-='-'='． ……2分所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增； ),(∞+∈a x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． ………4分 （2）（法1）对任意的正实数21,x x ，且21x x <， 取1x a =，则),(12∞+∈x x ，由（1）得)()(21x g x g >， 即)()()()()()(21221111x g x f x x f x f x x f x g ='->'-=，所以，)()()()(11212x f x x x f x f '-<-……①； ………6分取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(21x g x g <， 即)()()()()()(22222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=， 所以，)()()()(21212x f x x x f x f '->-……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（法2）因为x x f ln )('-=，所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减． 所以，对任意的正实数21,x x ，且21x x <，有)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛．……6分 A46-图M∙'∙F xyOF∙1P 1Q B 2P 3P 2Q 3Q l由)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，得1ln 121212<-x xx x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ， 所以0)ln (ln )()()()(1221211212<---='---x x x x x x f x x x f x f ． 故)()()()(11212x f x x x f x f '-<-．……①；由)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………8分 （3）对2,,2,1-=n k ，令xk x x k ln )ln()(+=ϕ（1>x ），则22))(ln ()ln()(ln )(ln )ln(ln )('x k x x k x k x x x x xk x kx xx k +++-=+-+=ϕ，显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<， 所以0)('<x k ϕ，)(x k ϕ在),1(∞+上单调递减．由2≥-k n ，得)2()(k k k n ϕϕ≤-，即2ln )2ln()ln(ln k k n n +≤-．所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． …………10分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2ln 1ln 1)1ln(13ln 1ln 12ln 1ln 13ln 12ln 12n n n n 2ln ln ln 2ln )1ln(3ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln n n n n nn +++-+-++=nn nn nn ln 2ln ln 2ln ln 2ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln ++++-++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n ln 2ln ln 3ln 2ln 2 ． ……………12分又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-<n f n f n ． )1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ．所以，nn f nnnln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13ln 12ln 1+-<+++≤+++．………14分。

云南省2012届高三第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题word版.pdf云南省2012年第二次高中毕业生复习统一检测数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

第I卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效。

本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．已知i是虚数单位，则复数等于A．B．C．D．2．已知直线与圆相交于M、N两点，则|MN|等于A．B．C．D．3．已知随机变量X服从正态分布N（0，1），在某项测量中，若X在（-1.96，1.96）内取值的概率等于0.95，则X在内取值的概率等于A．0.025B．0.05C．0.95D．0.9754．已知等于A．B．C．D．5．设由直线围成的封闭图形的面积等于S，则S等于A．B．1C．2D．π6．已知的定义域是集合P，如果，那么的最小值等于A．B．C．D．π7．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是棱AB、BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于A．B．C．D．8．设R是实数集，平面向量，等于A．4B．C．D．9．已知的渐近线，则m等于A．B．C．D．10．已知平面向量的夹角的正切值等于的值为A．B．2C．—2D．—2，11．已知椭圆E上存在点P，在P与椭圆E的两个焦点F1、F2构成的△F1PF2中，则椭圆E的离心率等于A．B．C．D．12．已知公差不等于0的等差数列的等比中项，那么在数列中，数值最小的项是A．第4项B．第3项C．第2项D．第1项第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

适用精选文件资料分享2012 届高考理科数学第二轮综合查收评估复习题（有参照答案）一、选择题 1 ．f(x) ＝x(2 011 ＋ln x)，若f′(x0)＝ 2 012，则x0等于 A ．e2 B ．1 C．ln 2 D．e 分析 f ′(x)＝2 011 ＋ln x ＋x×1x＝ 2 012 ＋ln x ，故由 f ′(x0) ＝ 2 012，得 2 012＋ln x0＝2 012，因此 ln x0＝0，解得 x0＝1，应选 B. 答案B 2．(2011?湖南 ) 曲线 y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为 A ．－ 12 B.12 C ．－ 22 D.22 分析y′＝x＋－－＋＝＋，∴曲线在点 Mπ4， 0 处的切线的斜率为 12. 答案 B 3．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f ′(x) ＝ 2x＋1，则 12f( －x)dx的值等于 A.56 B.12 C.23 D.16 分析 f ′(x) ＝ mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴ f(x) ＝x2＋x， f(－x) ＝x2－x，∴ 12f( －x)dx ＝12(x2 －x)dx ＝13x3－12x221＝56，应选 A. 答案 A 4．(2011?海淀模拟 ) 已知点 P2 012π3，－ 1 在函数 f(x) ＝acos x 的图象上，则该函数图象在 x＝3π4 处的切线方程是 A ．2x＋2y＋4－3π2＝0 B．2x－2y＋4－3π2＝0 C．2x－2y－4－3π2＝0 D．2x＋2y－4－3π2＝0分析由点 P 在函数 f(x) 的图象上，可得 f2 012π3＝－ 1，即 acos2 012 π3＝acos 670 π＋2π3＝－ a2＝－ 1，解得 a＝2. 故 f(x) ＝2cos x.因此f3π4＝2cos 3π4＝－2，f′(x)＝－2sin x.由导数的几何意义，可知该函数图象在 x＝3π4 处的切线斜率 k＝f ′3π4 ＝－ 2sin 3 π4＝－ 2. 因此切线方程为 y－( －2) ＝－ 2x－3π4，即2x＋y＋2－32π4＝0，也就是 2x＋2y＋4－3π2＝0，应选 A. 答案 A 5．(2011?浙江模拟 ) 设函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a ，b，c∈R)，若 x ＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则以下图象不行能为 y＝f(x)图象的是分析设 h(x) ＝f(x)ex ，则 h′(x) ＝ (2ax ＋b)ex ＋(ax2 ＋bx＋c)ex＝(ax2 ＋2ax＋bx＋b＋c)ex. 由 x＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，适合 x＝－ 1 时， ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴ c＝a. ∴f(x) ＝ax2＋bx＋a. 若方程 ax2＋bx＋a＝ 0 有两根 x1，x2，则 x1x2＝aa＝1，D中图象必定不满足该条件．答案 D 6．(2011?湖南 ) 设直线 x＝t与函数 f(x) ＝x2，g(x) ＝ln x 的图象分别交于点 M，N，则当 |MN|达适用精选文件资料分享到最小时 t 的值为 A ．1 B.12 C.52 D.22 分析由题意画出函数图象以以下图，由图可以看出 |MN|＝y＝t2 －ln t(t ＞0) ． y′＝ 2t－1t ＝2t2 －1t ＝2t ＋22t －22t. 当 0＜t ＜22 时，y′＜ 0，可知 y 在此区间内单调递减；当 t ＞22 时， y′＞ 0，可知 y 在此区间内单调递加．故当 t ＝22 时，|MN|有最小值．答案 D 二、填空题 7 ．如图，直线 y＝1 与曲线 y＝－ x2＋2 所围图形的面积是 ________．解析令－ x2＋2＝1，得 x＝± 1，答案 43 8．已知函数 f(x) ＝12mx2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为________．分析当x＞0时，f′(x)＝mx＋1x－2≥0恒成立，即m≥－ 1x2＋2x 恒成立，又∵－ 1x2＋2x＝－ 1x－12＋1≤1，∴ m≥1.答案 m≥1 9 ．函数 f(x) ＝excos x 的图象在点 (0 ，f(0)) 处的切线的倾斜角为 ________．分析 f ′(x) ＝ excos x ＋ex( －sin x)，设切线的倾斜角为α，则 k＝ tan α＝f ′(0) ＝ 1，又α∈(0 ，π) ，∴α＝π4. 答案π4 三、解答题 10 ．(2011?江苏 ) 请你设计一个包装盒，以以下图， ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E，F 在 AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x(cm) ． (1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2) 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．分析设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x) ，0＜x＜30. (1)S ＝4ah＝8x(30 －x) ＝－ 8(x －15)2＋1 800 ，因此当 x＝15 时， S获得最大值． (2)V ＝a2h＝22( －x3＋30x2) ，V′＝ 62x(20 －x) ．由 V′＝ 0，得 x＝0( 舍) 或 x＝20. 当x∈(0,20) 时， V′＞ 0；当 x∈(20,30) 时， V′＜ 0. 因此当 x＝20时，V获得极大值，也是最大值．此时 ha＝12. 即包装盒的高与底面边长的比值为 12. 11 ．已知函数 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x. (1) 求函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值和最小值； (2) 求证：在区间 [1 ，＋∞) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方．分析 (1) 由 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x ，知 f ′(x) ＝ x＋2x－3＝x2－3x＋2x＝－－当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴ f(x)在[1,2]上是减函数；当x∈(2，e)时，f′(x)＞0，∴ f(x)在[2，e]上是增函数．∴当 x＝2 时，f(x)min ＝f(2) ＝2ln 2－4. 又 f(1) ＝－ 52，f(e)＝12e2－3e＋2， f(e) －f(1) ＝12e2－3e＋2－－ 52 ＝12(e2 －6e＋9) ＝12(e －3)2 ＞0，∴f(e) ＞f(1) ，∴ f(x)max ＝ f(e) ＝12e2－3e＋2. 综上，函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值为 12e2－3e＋2，最小值为2ln 2 －4.(2) 证明设F(x)＝12x2－3x＋2ln x－x3＋3x，则F′(x)＝－3x2＋x＋2x＝－ 3x3＋x2＋2x＝－－＋2x＋当x∈(1，＋∞ ) 时， F′(x) ＜ 0，∴ F(x) 在[1 ，＋∞ ) 上是减函数，且F(1)＝－12＜0，故当 x∈[1 ，＋∞ ) 时， F(x) ＜0，∴12x2－3x＋2ln x ＜x3－3x. ∴在区间 [1 ，＋∞ ) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方． 12 ．设 f(x) ＝ex－1. (1) 当 x＞－ 1 时，证明： f(x)＞2x2＋x－1x＋1； (2) 当 a＞ln 2 －1 且 x＞0 时，证明： f(x)＞x2－2ax. 证明 (1) 当 x＞－1 时，f(x) ＞2x2＋x－1x＋1，即 ex－1＞2x2＋x－1x＋1＝2x－1，故结论成立当且仅当 ex＞2x，即 ex－2x＞0. 令 g(x) ＝ex－2x，则 g′(x) ＝ex－2. 令 g′(x) ＝ 0，即ex－2＝0，解得 x＝ln 2. 当 x∈( － 1，ln 2) 时，g′(x) ＝ ex－2＜0，故函数 g(x) 在( －1，ln 2] 上单调递减；当 x∈(ln 2，＋∞ ) 时，g′(x)＝ex－2＞0，故函数 g(x) 在[ln 2 ，＋∞ ) 上单调递加．因此 g(x)在( －1，＋∞ ) 上的最小值为 g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，因此在 ( －1，＋∞ ) 上有 g(x) ≥g(ln 2) ＞ 0，即 ex＞2x. 故当x∈( － 1，＋∞ ) 时，有 f(x) ＞2x2＋x－1x＋1. (2)f(x)＞x2－2ax，即 ex－1＞x2－2ax，也就是 ex－x2＋2ax－1＞0. 令 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1，则 g′(x) ＝ ex－2x＋2a. 令 h(x) ＝ex－2x＋2a，则 h′(x)＝e x－2. 由(1) ，可知当 x∈( －∞， ln 2) 时，h′(x) ＜ 0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(ln2，＋∞ ) 时，h′(x) ＞ 0，函数 h(x) 单调递加．所以 h(x) 的最小值为 h(ln 2) ＝eln 2 －2ln 2 ＋ 2a＝2－2ln 2 ＋2a. 因为 a＞ln 2 －1，因此 h(ln 2) ＞2－2ln 2 ＋2(ln 2 －1) ＝0，即 h(x)≥h(ln 2) ＞ 0. 因此 g′(x) ＝ h(x) ＞0，即 g(x) 在 R 上为增函数．故g(x) 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，因此 g(x) ＞g(0) ．而 g(0)＝0，因此 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1＞0，即当 a＞ln 2－1 且 x＞0 时，f(x) ＞x2－2ax.。

福建省宁德市2012届高三下学期普通高中毕业班第二次质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第II卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R,U=集合{}1,2,3,4,5A=,{|2}B x x=≥，下图中阴影部分所表示的集合为A．{0,1,2} B．{1,2}C．{1} D．{0,1}2．“1a=”是“直线10ax y++=和直线0ax y-=互相垂直”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>，则双曲线的一条渐近线方程为A．12y x=B．2y x=C．y= D．y=，，(nx x++-4．运行右图所示的程序框图．若输入4x =，则输出y 的值为A ．49B ．25C ．13D ．75．若平面区域02,20,2x y y kx ≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪≥+⎩是一个梯形，则实数k 的取值范围是A ．(2,1)--B ．(,1)-∞-C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞- 6．函数()sin ()f x x x x =-∈R 的部分图像可能是A ．B ．C ．D ．7．已知,,A B C 是圆221x y +=上不同的三个点，O 为坐标原点，0OA OB ⋅=．若存在实数,λμ 使得OC =OA OB λμ+，则,λμ的关系为 A ．221λμ+=B ．111λμ+=C ．1λμ⋅=D ． 1λμ+=8．从{1,2,3,4,5}中任取4个不同的元素构成四位数，则与数1234相应数位上的数字至少有2个相同的四位数的个数为 A ．33B ．23C ．22D ．199．从区间I 中随机选取一个数为a ，从[0,1]中随机选取一个数为b ．若复数i z a b =+（i 为虚数单位）满足1z >的概率是4π4-，则区间I 不可能．．．是 A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．11[,]22-D ．[1,0]-10．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，12,0,2()122, 1.2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩定义1()()f x f x =，2()(2)f x f x =，…，1()(2)n n f x f x -=．若直线(1)y k x =+与曲线4()y f x =在[0,1]x ∈上恰有16个交点，则k 的取值范围是 A ．7015k <<B ．8015k <<C ．15031k <<D ．16031k <<第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3610a a +=，则8S 的值为________． 12．在某次测量中，测量结果ξ服从正态分布2N(1,)σ，若ξ在（0，1）内取值的概率0.35， 则ξ在（0，2）内取值的概率为________．13．如图是长方体截去一个角后的多面体的三视图，则这个多面体的体积为 ．14．某观测站D 的正北6海里和正西2海里处分别有海岛A 、B ，现在A 、B 连线的中点E处有一艘渔船因故障抛锚．若在D 的正东3海里C 处的轮船接到观测站D 的通知后，立即启航沿直线距离前去营救，则该艘轮船行驶的路程为 海里．15．已知集合{1,2,3,,}()M n n *=∈N ，若集合123{,,,,}()m A a a a a M m *=⊆∈N ，且对任意的b M ∈，存在,(1)i j a a A i j m ∈≤≤≤，使得12ij ba a λλ（其中12,{1,0,1}λλ∈-），则称集合A 为集合M 的一个m 生成元．若集合A 为集合{1,2,3,,8}M 的一个m生成元，则m 的最小可能值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点(0,1)F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且三角形MBC 的面积为π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若25(),(0,)652f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．17．(本小题满分13分)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：月份x 1 2 3 4 5 y （万盒） 4 4 5 6 6 （Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； 正视图侧视图643（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．(本小题满分13分)如图，已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线E :24=y x 有一个公共的焦点F ，且两曲线在第一象限的交点P 的横坐标为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线:l y kx =与抛物线E 的交点为O ，Q ，与椭圆C 的交点为M ，N （N 在线段OQ 上），且=MO NQ ． 问满足条件的直线l 有几条，说明理由．19．(本小题满分13分)如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ,22AB AC ==，14BC BB ==，,D E分别为BC ，1BB 的中点，点M 在棱11B C 上，且11114B M BC =．（Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面1AC D ；（Ⅱ）若F 是侧面11ABB A 上的动点，且MF ∥平面1AC D ． （i ）求证：动点F 的轨迹是一条线段；（ii ）求直线AF 与平面1AC D 所成角的正弦值的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知函数e()e=-xf x x a 的极值点为2e 1+．（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若数列{}n a 满足=()n a f n ，问：数列{}n a 是否存在最小项？若存在，求出该最小项；不存在，请说明理由； （Ⅲ）求证：2e (2e 1)(2e 2)(2e )e (1)+⋅+⋅⋅+>⋅+n f f f n n ．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知平行四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为(3,1)A ，(1,1)B -，(3,1)C --，(1,1)D -.其在矩阵1(0)02kM k ⎛⎫=< ⎪⎝⎭所对应的变换作用下变成菱形A B C D ''''． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求矩阵M 的逆矩阵1M -．（2）(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程MA B C 1在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为00)(0)y x x x =->，⊙C 的参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅰ）写出⊙C 的普通方程；（Ⅱ）若l 与⊙C 相切于点P ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，试求点P 的一个极坐标．（3）(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()221f x x x =-++，(0,)x ∈+∞． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ；（Ⅱ）若,a b 是正实数，且满足a b m +=，求证：222b a a b+≥．数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细 则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分． 11．40 12．0.7 13．60 14．5 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本小题主要考查两角和差公式，二倍角公式，同角三角函数关系，三角函数图像与性质的基本知识以及推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．（I ）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π，∴周期2,1T ωω2π=π==．······················ 3分 由(0)2sin 1f ϕ==，得1sin 2ϕ=， ∵02ϕπ<<，∴6ϕπ=， ∴()2sin()6f x x π=+． ························ 6分（Ⅱ）由()2sin 6f ααπ-==，得sin α=， ∵(0,)2απ∈，∴cos α=， ····················· 8分 ∴234cos22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===，∴cos(2)cos2cos sin 2sin 444αααπππ+=-3455==． ······················ 13分 17．本小题主要考查概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=， ··········· 2分因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=， ·················· 4分∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=. ········· 6分 （Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== ············ 11分0123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=················ 13分 18．本题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查曲线方程的求法以及研究曲线的定性定量的基本方法，考查运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分． （Ⅰ）由(1,0)F ，故椭圆的焦点坐标为(1,0)±.由点P 在抛物线24=y x 上，所以2(3P . ·············· 2分 又点P 又在椭圆C 上，所以24a ==， 所以2a =，又1c =，故b ··················· 4分从而椭圆C 的方程为22143x y +=. ··················· 5分（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2223412x k x +=，解得M x =-Nx =················ 7分 联立直线与抛物线得2,4,y kx y x =⎧⎨=⎩得224k x x =，解得0O x =，24Q x k= ························ 9分由MO NQ =，故N 为线段OQ 的中点， 即2O QN x x x +=，得24k =，化简得423430k k --=，解得2k =（负值舍去），故满足题意的k 值有2个. 从而存在过原点O 的两条直线l 满足题意. ·············· 13分19．本小题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的大小等知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分． 解法一： （Ⅰ）解：如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC,AB AC ==4BC =，得AB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系A xyz -， ·················· 1分则1(0,0,0),0)C E A C D ．1(22,22,2),(0,22,4),(2,CE AC AD =-==，所以10,0CE AC CE AD ⋅=⋅=， ∴ 1,CE AC CE AD ⊥⊥， 且1AC AD A =，∴CE ⊥平面1AC D ． 因为直线CE 在平面ACE 内，∴ 平面ACE ⊥平面1AC D ． ····················· 4分 （Ⅱ）（i ）取11A B 的中点为N ，11B C 的中点为O ,连接1,,,,MN ME NE AO BO ， 则MN ∥1A O ∥AD ,ME ∥BO ∥1C D ,且MNME M =,∴ 平面MNE ∥平面1AC D , ····················· 6分 ∵F 是侧面11ABB A 上的动点，且MF ∥平面1AC D ， ∴动点F 的轨迹是平面MNE 与平面11ABB A 的交线NE ，即点F 在线段NE 上. ························ 8分（ii ）设,[0,1]EFEN λλ=∈，得(,2)(F F F x y z λ--=∴,0,22)F λ+，(222,0,22)AF λλ=-+, ·········· 9分 由（Ⅰ）知CE ⊥平面1AC D ，所以(2CE =-为平面1AC D的一个法向量．设直线AF 与平面1AC D 所成角为θ，∴sin cos ||||2CE AF AF,CE CE AF θ⋅=<>===⋅, ···· 11分∵[0,1]λ∈,sin θ∈， 所以直线AF 与平面1AC D所成角的正弦值的取值范围为． ··· 13分 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）（i ）设(,0,)F xz ，则M ，(4)MF x z =- 由MF ∥平面1AC D ，且由（Ⅰ）知平面1AC D的法向量为(22,CE =-，故由0MF CE ⋅=6z +=， (6)分 又004,x z ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩x ≤≤. ··················· 7分所以动点F 的轨迹是侧面11ABB A 内的一条线段. ············ 8分 （ii ）由（i）得(,0,6)F x ，[2,2x ∈，故(,0,6)AF x =.由（Ⅰ）知CE ⊥平面1AC D ，所以(2CE =-为平面1AC D 的一个法向量． 设直线AF 与平面1AC D 所成角为θ， ∴sin cos ||||2CE AF AF,CE CE AF θ⋅=<>==⋅=, ······················· 11分∵x ∈,sin θ∈， 所以直线AF 与平面1AC D 所成角的正弦值的取值范围为． ··· 13分 20．本题考查函数、导数、数列的基本知识及其应用等知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解：（Ⅰ）2e (e 1)()(e)x x a f x x a --'=-， ····················· 2分∵函数e ()e=-xf x x a 的极值点为2e 1+，∴(21)0f e '+=，得2a =，经检验2a =符合题意，∴2a =. ····························· 4分（Ⅱ）2e (2e 1)()(2e)x x f x x --'=-，且定义域为{2e}x x ≠，由()0f x '>得2e+1x >，由()0f x '<得2x e <或22e+1e x <<， 故该函数的单调递增区间为(2e +1,+)∞，单调递减区间为(,2e)-∞和(2e,2e +1) ················· 7分又当2e x >时，e ()02e x f x x =>-，当2e x <时，e ()02exf x x =<-，∴数列{}n a 是存在最小项为55e 52ea =-. ················ 9分（Ⅲ）要证2e (2e 1)(2e 2)(2e )e (1)n f f f n n +⋅+⋅⋅+>⋅+212222e e (1)12e e e nn e e e n n+++⇐⋅⋅⋅>⋅+ ⇐2e e e 12nn⋅⋅⋅1n >+ ⇐2e e e 23(1)n n ⋅⋅⋅>⋅⋅⋅+，···················· 10分 设函数()e 1x g x x =--，当0x >时，()10x g x e '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增∴()(0)0g x g >=，即(0,),e 1x x x ∈+∞>+， ··············· 13分 从而2e e e 23(1)n n ⋅⋅⋅>⋅⋅⋅+成立，所以2e (2e 1)(2e 2)(2e )e (1)n f f f n n +⋅+⋅⋅+>⋅+. ············ 14分21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分． 解：（Ⅰ）由题意可知点(,)x y 在矩阵1(0)02k M k ⎛⎫=<⎪⎝⎭所对应的变换作用下变成点(,2)kx y y +，故点(3,1)(31,2)A A k '→+，(1,1)(1,2)B B k '-→-+， (3,1)(31,2)C C k '--→---，(1,1)(1,2)D A k '-→--. ············ 2分 显然四边形A B C D ''''为平行四边形， 故若A B C D ''''为菱形，只需A B B C''''=，即4k ，由0k <，解得1k =-. ·············· 4分 （Ⅱ）由2M =-，故1112112==011202M -⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. ············· 7分 （2）本题主要考查直线和圆的参数方程和极坐标等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分． 解：（Ⅰ）22(1)1x y -+=. ······················ 2分（Ⅱ）直线l 的方程可化为00x x -=，由直线l 与⊙C 相切， 1=，又00x >，解得03x=. ·············· 4分所以直线l 的方程为30x -=，得该直线与x 轴交于点(3,0)Q . 在Rt CPQ ∆中，由1CP =，2CQ =，得60PCQ ∠=. 又⊙C 过原点O，且1CO CP ==，OP得点P 的一个极坐标为)6π-. ··················· 7分（3）本题主要考查函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想，满分7分（Ⅰ）3,01,()()31231, 1.x x f x f x x x x -<≤⎧==->⎨->⎩当01x <≤时，()3[2,3)f x x =-∈；当1x >时，()312f x x =->，所以()312f x x =-≥，即当1x =时，2m =. ·············· 4分 （Ⅱ）由2a b +=且,a b 是正实数，根据柯西不等式，得2222()()()4a b b a a b b a ++≥=+=，即222a b b a+≥. ·························· 7分。

北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为(A)2 (B)3 (C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次 数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是开始结束0S =，1n =，3a =S S a =+2a a =+1n n =+输出S 是 否俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A +，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541PDC BA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数()cos (3cos sin )3f x x x x =--． （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．ξ 100 80 60 0P0.05ab0.7（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º，AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C 的余弦值为63，求PF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DACDBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．7411．3，37712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.解：因为()cos (3cos sin )3f x x x x =--＝23cos sin cos 3x x x --=1cos 213()sin 2322x x +-- ＝313cos 2sin 2222x x --＝3cos(2)62x π+-． （Ⅰ）3()cos(2)3362f πππ=⨯+-=33322--=-． ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤． 当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--． 当512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=． 由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得00.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．OBA CDEFP z yx PFEDCAB 因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ，所以45cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515． ……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以 12122212||26cos ,3||||22(2)1()n n n n n n t t⋅<>===⋅--++， 解得23t =，或2t =（舍）． 此时5||3PF =． ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+． 因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =． 依题意，1231n n n a a +=+⋅+， 所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--， 所以 3n n a n =+．当n =1时，11314a =+=成立， 所以3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，所以 22(3)3n n n n n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ． 若 22+210n n -+<，则132n +>，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =， 所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5． 因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或24x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =， 所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-． 令()0f x '=，得12x =． 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分 （Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-． 所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k kx x x x x x +++≥- ． 当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，- 11 -由（Ⅱ）得111212212()()l nk k k F x x x x+++--≥++-++++- =111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立． 所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以若211nii x==∑，则21ln ln 2nniii x x =≥-∑*(,)i n ∈N ． ……………………13分 （证法二）若1221n x x x +++= ， 那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

理科数学解答题专项训练(二)专项一:三角函数（三角公式的应用，三角函数的性质）1、已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、).23,2(),sin ,(cos ππααα∈C（1）若α求角|,|||=的值；（2）若.tan 12sin sin 2,12的值求ααα++-=⋅BC AC 1．解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα ，,45),23,2(,cos sin ||||,sin 610||,cos 610sin )3(cos ||22παππααααααα=∴∈==-=-=+-=∴又得由（2）由,1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+--=⋅αααα得.95tan 12sin sin 2,,95cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 2,95cos sin 232cos sin 222-=++-=⋅=++=++-=⋅∴=+∴ααααααααααααααααα所以又()()()()()()()2f x m n,m sin x cos x,3cos x ,n cos x-sin x,2sin x 0.f(x).213ABC a,b,c A B C a b c 3,f A 1,ABC ωωωωωωπωωω=⋅=+=>∆=+==∆、已知函数其中若相邻的对称轴间的距离不小于求的取值范围;(2)求f(x)单调递增区间;在中，分别为角，，的对边，当最大时，求的面积()()()22max 1f x cos x sin x xsin x 1'cos2x x 1'2sin 2x 1'6012'22(2)222()262......()11331sin 2A 1'2A 1'626662A k x k k Z ωωωωπωωωππωωππππωπππππω=-+----⎛⎫=+----=+---- ⎪⎝⎭≥∴<≤-----+≤+≤+∈⎛⎫=∴+=----<+<--- ⎪⎝⎭∴2.解、依题意：由得略又22ABC 5A 1'b c bc 3---1'b c 36631bc 2----1'S bcsinA 0.52'2πππ∆+=∴=----+-=+==∴==----由余弦定理得结合得专项二：数学应用题（概率统计、函数建模）3、从2008年9月12日含有三聚氰胺的 “三鹿”婴儿毒奶粉事件曝光后，国家质检部门加大了对各种乳制品的检查力度。

2011—2012学年度下学期高三二轮复习数学（理）综合验收试题（6）【新课标】第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。

满分100分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =（ ）A ．)0,0(B ．{}0C ．{})0,0(D ．∅2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为（ ）A ．4B ．4+4iC ．4-D ．2i3．由函数3cos ,(02)12y x x x y ππ=≤≤==的图象与直线及的图象所围成的一个封闭图形的面积（ ）A ．4B ．123+πC ．12π+ D ．π24．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥C ．当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c5．已知θ是第三象限角，m =|cos |θ，且02c o s 2s i n >+θθ，则2c o s θ等于（ ）（第6题图）A ．21m+B ．21m+-C ．21m-D ．21m-- 6．执行如图所示的算法程序,输出的结果是（ ） A ．24,4 B ．24,3 C ．96,4 D ．96,37．已知关于x 的方程2(1)10(,)x a x a b a b R +++++=∈1201x x <<<，则ba的取值范围是（ ）A ．]21,2[--B ．12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．]2,21[D ．)2,21( 8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。

顺义区2012届高三第二次统练 高三数学（理科）试卷 2012.4本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.目要求的一项)1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I A.{}0 B.{}0,1 C. {}0,3 D. {}1,32.已知i 为虚数单位，则复数(1)i i -所对应点的坐标为A. (1,1)-B. (1,1)C. (1,1)-D. (1,1)-- 3.已知p 、q 是简单命题，则“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是A.20i <B.20i >C.10i <D.10i >5.已知直线l ：10x y --= 和圆C ：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，R θ∈）， 则直线l 与圆C 的位置关系为A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切C. 直线与圆相离D.直线与圆相交但不过圆心 A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相离6.甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有 A.12 种 B.16 种 C.24 种 D.48 种7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.60B.80C.100D.1208．已知椭圆:G 22221(0)x ya b a b +=>>的离心率为2，⊙M 过椭圆G 的一个顶点和一个焦点，圆心M 在此椭圆上，则满足条件的点M 的个数是A. 4B. 8C. 12D. 16二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9.若1()nx x+展开式中第二项与第四项的系数相等，则n =________; 展开式中间一项的系数为_________.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈都有21n n S a =-，则1a 的值为________，数列{}n a 的通项公式n a =_____________. 11.如图所示：圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，030BAC ∠=，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线，垂足为D ，则CD 的长为_________.12.已知O 是坐标原点，点(2,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，上的一个动点，则OA OM ⋅的最大值为 .13.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线,PA PB 的斜率乘积12PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =___________. 俯视图左视图正（主）视图8232344A14.已知全集为,U P U Ø，定义集合P 的特征函数为1,,()0,.P U x P f x x P ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩ð，对于A U Ø， B U Ø，给出下列四个结论： ① 对x U ∀∈，有()()1UA A f x f x +=ð；② 对x U ∀∈，若A B Ø，则()()A B f x f x ≤； ③ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =⋅I ； ④ 对x U ∀∈，有()()()ABA B f x f x f x =+．其中，正确结论的序号是_______________.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤）. 15．（本小题共13分）已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2xn =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅u r r .(Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ， 若1(),3f A=3BC AC ==，求边长AB 的值. 16. （本小题共13分）如图：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.(Ⅰ) 求证：DA ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ； （Ⅲ）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 17．（本小题共13分）计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为：45、34、23，在实际操作考试中“合ADCF PB格”的概率依次为：12、23、56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （Ⅰ）假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大；（Ⅱ）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率； （Ⅲ）用X 表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望EX . 18．（本小题共14分）已知函数()ln ,f x x x =-2()a g x x x=+,(其中0a >).（Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程;（Ⅱ）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值; （Ⅲ）若对任意的[]12,1,x x e ∈，（e 为自然对数的底数， 2.718e ≈）都有12()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围.19．（本小题共14分）已知动圆过点(2,0)M ，且被y 轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点M 的直线交曲线C 于A ，B 两点,若在x 轴上存在定点(,0)P a ，使PM 平分APB ∠，求P 点的坐标.20. （本小题共13分）对于定义域为A 的函数)(x f ，如果任意的A x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，则称函数()x f 是A 上的严格增函数；函数()k f 是定义在*N 上，函数值也在*N 中的严格增函数，并且满足条件()()k k f f 3=. （Ⅰ）证明：)(3)3(k f k f =； （Ⅱ）求*))(3(1N k f k ∈-的值；（Ⅲ）是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由.顺义区2012届高三第二次统练高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2012.4二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分9．4,6；10.1，12n -；11,2；12．3；13．214 ．①、②、③； 三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）解：(Ⅰ)2()2cos 1cos 2xf x m n x =⋅=-=u r r ，__________4分x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-. __________6分(Ⅱ) 1()cos 3f A A ==，由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅__________8分∴21129233c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=__________10分∴3AB c ==.__________13分 16. （本小题共13分）解：分别以,,AC AD AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --.__________（建系正确，坐标写对给3分）(Ⅰ) 证明方法一：：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC . __________4分方法二：易证DA uu u r是平面平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .______4分ADCFPB(Ⅱ)方法一：设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，则GH 平行且等于12AD ，连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，_____6分∴GC ∥FH ，Q FH ⊂平面PAE ，CG ⊄平面PAE ，∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .__________8分方法二：设G 为PD 上一点，使CG ∥平面PAE ，令(0,,),(0PG PD λλλλ==-≤u u u r u u u r ，(1,,1)GC PC PG λλ=-=--+u u u r u u u r u u u r可求得平面PAE 法向量(1,2,0)m =u r，要CG ∥平面PAE ，∴0m GC ⋅=u r uu u r ，解得12λ=.∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .（Ⅲ）可求得平面PCD 法向量(1,1,1)n =r，__________10分||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴.__________13分 17．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C则41236()52590P A =⨯==，32145()43290P B =⨯==，25550()36990P C =⨯==()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性大. __________4分（Ⅱ）设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D∴()(,,)(,,)(,,)P D P A B C P A B C P A B C =++=2142153151152952952930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.__________8分（Ⅲ）0,1,2,3.X =，1111(0)54360P X ==⨯⨯=，4111311129(1)54354354360P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，43141213226(2)54354354360P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，43224(3)54360P X ==⨯⨯=.__________10分X 的分布列为：13360EX =；__________13分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）222()()()ln 2ln a a h x f x g x x x x x x x x=+=-++=+-定义域()0,+∞__________1分∴222'2212()2a x x a h x x x x--=--=，__________3分 法一：令'(1)0h =，解得21a =， 又0a >，∴1a =，__________4分经验证1a =符合条件. __________5分法二：令22'22()0x x a h x x--==，∴2220x x a --=，2181a ∆=+>∴1,214x ±=，Q 0x >，∴14x =为极值点，∴114x +==，解得21a =，又0a >，∴1a =， （Ⅱ）对任意的[]12,1,x x e ∈都有12()()f x g x ≤成立，等价于对任意的[]1,x e ∈都有max min ()()f x g x ≤成立，__________7分 当[]1,x e ∈，'11()10x f x x x-=-=≥，∴()f x 在[]1,e 上单调递增， max ()()1f x f e e ==-.__________8分Q 2'22()()()1a x a x a g x x x -+=-=，[]1,x e ∈，0a > ∴（1）若01a <≤，222'222()()()10a x a x a x a g x x x x--+=-==≥， 2()a g x x x=+在[]1,e 单调递增，∴2min ()(1)1g x g a ==+， ∴211a e +≥-1a ≤.__________10分（2）若1a e <<当1x a ≤<，则'2()()()0x a x a g x x -+=<当a x e ≤≤，则'2()()()0x a x a g x x-+=≥ ∴()g x 在[)1,a 递减，在[],a e 递增，min max ()()2()1g x g a a f x e ==≥=-， ∴12e a -≥，又1a e <<，∴()1,a e ∈__________12分（3）当a e ≥时'2()()()0x a x a g x x-+=≤， ∴()g x 在[]1,e 递减， 2min max ()()()1a g x g e e f x e e==+≥=-，∴2a e ≥-恒成立. __________13分综上所述)a ∈+∞.__________14分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）解：设动圆圆心的坐标为),(y x .依题意，有 2222)2(2y x x +-=+，化简得 x y 42=. 所以动圆圆心的轨迹方程为x y 42=.__________5分（Ⅱ）解法1：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+. 将直线AB 的方程与曲线C 的方程联立，消去x 得：2480y my --=. 所以124y y m +=，128y y =-.__________7分若PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k.(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--.__________10分 将 112x my =+，222x my =+代入上式，整理得 1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. 将 124y y m +=，128y y =-代入上式， 得 (2)0a m +⋅=对任意实数m 都成立，所以2-=a .故定点P 的坐标为(2,0)-.__________14分解法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当过点(2,0)M 的直线斜率不存在，则AB l ：2x =，，,A B 两点关于x 轴对称，x 轴上任意一点(,0)P a (2)a ≠均满足PM 平分APB ∠,不合题意. __________6分 当过点(2,0)M 的斜率k 存在时(0)k ≠，设AB l ：(2)y k x =-，联立2(2)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22224(1)40k x k x k -++=232160k ∆=+>，212244,k x x k ++=124x x =，__________7分 PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，∴0=+PB PA k k .(,0)P a ，(2)a ≠,则有12120y yx a x a+=--.__________10分 将11(2)y k x =-22(2)y k x =-代入上式， 整理得122112(2)()(2)()0()()k x x a k x x a x a x a --+--=--,∴1221(2)()(2)()0k x x a k x x a --+--=整理得12122()(2)40x x x x a a -+++=，将212244,k x x k ++=124x x =代入化简得 2a =-,故定点P 的坐标为(2,0)-.__________14分20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）证明：对()()k k f f N k 3*,=∈()()[]()k f k f f f 3=∴①_________2分 由已知()()k k f f 3=∴()()[]()k f k f f f 3=②， 由①、②()()k f k f 33=∴__________3分（Ⅱ）若(),11=f 由已知()()k k f f 3=得()31=f ，矛盾； 设(1)1f a =>，∴((1))()3f f f a ==，③ 由()k f 严格递增，即()().311=<⇒<a f f a ，∴*(1)1(1)3(1)f f f N⎧≠⎪<⎨⎪∈⎩，∴(1)2f =，__________6分 由③有((1))()3f f f a ==故((1))(2)3f f f ==∴(1)2f =，(2)3f =.()()()()(),923236,6133==⋅===f f f f f()()()()()()()().8118354,549327,276318,18339========f f f f f f f f ⋅⋅⋅⋅⋅⋅依此类推归纳猜出：*)(32)3(11N k f k k ∈⨯=--.__________8分 下面用数学归纳法证明： （1）当1=k 时，显然成立；（2）假设当)1(≥=l l k 时成立，即1132)3(--⨯=l l f ，那么当1+=l k 时，111(3)(33)3(3)32323l l l l l f f f ---=⨯==⨯⨯=⋅.猜想成立，由（1）、（2）所证可知，对*k N ∈1132)3(--⨯=k k f 成立. __________10分 （Ⅲ）存在,131+=-k p 当p 个连续自然数从11323--⨯→k k 时，函数值正好也是p 个连续自然数从k k k k f f 3)32(32)3(111=⨯→⨯=---.__________13分。

2012—2013学年度下学期高三二轮复习 数学（理）综合验收试题（6）【新课标】 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式： 锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。

第I卷（共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，若，则（ ） A．B．C．D．不能确定 2．已知函数且则（ ） A． B． C． D． 3．已知空间三条直线若与异面,且与异面,则（ ） A．与异面B．与相交 C．与平行D．与异面、相交、平行均有可能 4．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（ ） A．若d<0,则数列{S n}有最大项 B．若数列{S n}有最大项,则d0 D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列 5．设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为（ ） A．B．C．D． 6．如果执行右边的程序框图,输入正整数和实数,输出,则 （ ） A．为的和 B．为的算术平均数 C．和分别是中最大的数和最小的数 D．和分别是中最小的数和最大的数 7．如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径 作两个半圆． 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴 影部分的概率是（ ） A．B． C．D． 8．甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不 值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为（ ） A．12 B．42 C．6 D．90 9．设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．如图,已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0<x0）的左右焦点，B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i a b +-=+，则a b +的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（A ）27- （B ） 2- （C ）1 （D ） 25（4）右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（A ）50<i （B ）50>i （C ）25<i （D ） 25>i（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为 （A ）16（B ）18（C ）24（D ）32（6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为 C （A ）3- （B ）3±（C）-（D）±（7）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲中点，则PA PB ⋅的值为（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5（8）已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。