(新课标)2021版高考数学一轮总复习综合试题(一)新人教A版

2021年高考数学理新课标A 版一轮总复习开卷速查必修部分1集合1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋x ＋1＝0}中只有一个元素，则a 的值为( )A.14B.12C ．0D ．0或14 解析：若a ＝0，则A ＝{－1}，符合题意；若a ≠0，则Δ＝1－4a ＝0，解得a ＝14.综上，a 的值为0或14，故选D. 答案：D2．[xx·课标全国Ⅱ]设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B.{2} C ．{0,1} D.{1,2}解析：N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}．答案：D3．[xx·辽宁五校协作体期末]设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4}，则M ∪N ＝( ) A ．{x |x ≥－2} B.{x |x ＞－1}C ．{x |x ＜－1} D.{x |x ≤－2}解析：∵M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}＝{x |－2＜x ＜－1}，N ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4}＝{x |x ≥－2}，∴M∪N＝{x|x≥－2}，故选A.答案：A4．[xx·辽宁]已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B.{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D.{x|0＜x＜1}解析：A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}，故选D.答案：D5．若集合A＝{x∈R|y＝lg(2－x)}，B＝{y∈R|y＝2x－1，x∈A}，则∁R(A∩B)＝()A．R B.(－∞，0]∪[2，＋∞)C．[2，＋∞) D.(－∞，0]解析：由2－x＞0，得x＜2，∴x－1＜1，∴2x－1＜21.∴A＝{x|x＜2}，B＝{y|0＜y＜2}．∴∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，故选B.答案：B6．设全集U＝R，A＝{x|x2＋3x＜0}，B＝{x|x＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|－1＜x＜0}B ．{x |－1≤x ＜0}C ．{x |0＜x ＜3}D ．{x |－3＜x ≤－1}解析：由题意知，A ＝{x |－3＜x ＜0}，∁U B ＝{x |x ≥－1}，图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ＜0}，故选B.答案：B7．已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，函数f (x )＝2－x (x ∈A )的值域为B ，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(1,2]B.[1,2] C ．[0,1] D.(1，＋∞)解析：由题意知，集合A ＝{x |0≤x ≤1}，∴B ＝{y |1≤y ≤2}，∁R A ＝{x |x ＜0，或x ＞1}，∴(∁R A )∩B ＝(1,2]，故选A.答案：A8．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为2∈A ，所以2a －12－a <0，即(2a －1)(a －2)>0，解得a >2或a <12.①若3∈A ，则3a －13－a <0，即(3a －1)(a －3)>0，解得a >3或a <13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2,3]． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2,3] 9．由集合A ＝{x |1＜ax ＜2}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，满足A ⊆B 的实数a 的取值范围是__________．解析：当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B ；当a ＞0时，A ＝{x |1a ＜x ＜2a }，由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，2a ≤1，解得a ≥2；当a ＜0时，A ＝{x |2a ＜x ＜1a }，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，2a ≥－1，解得a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是a ≤－2或a ＝0或a ≥2.答案：a ≤－2或a ＝0或a ≥210．函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B .(1)求集合A ，B ；(2)若集合A ，B 满足A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析：(1)A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |(x －3)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a ＜y ≤4－a }．(2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴4－a ＜－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a ＞5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．B 级 能力提升练11．已知集合M ＝{x |x ＋2x －8≤0}，N ＝{x |y ＝－x 2＋3x －2}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M ∩N ”的概率是( )A.12B.16C.310D.110解析：因为M ＝{x |x ＋2x －8≤0}，所以M ＝{x |－2≤x ＜8}．因为N ＝{x |y ＝－x 2＋3x －2}，所以N ＝{x |－x 2＋3x －2≥0}＝{x |1≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－18＋2＝110，故选D. 答案：D12．[xx·福建]若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是__________．解析：因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上，符合条件的有序数组的个数是6.答案：613．[xx·湖北四校期中]设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1＜x ＜m ＋2}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解析：(1)依题意，得A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}， B ＝{x |3－|x |≥0}＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－1或2＜x ≤3}．(2)因为C ⊆B ，则需满足⎩⎨⎧ m －1≥－3，m ＋2≤3.解得－2≤m ≤1.故实数m 的取值范围是[－2,1]． 14．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{x |12＜2x －1＜8}，C ＝{x |2x 2＋mx －m 2＜0}(m ∈R )．(1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B )⊆C ，求实数m 的取值范围．解析：(1)A ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝(－1,3)，B ＝{x |12＜2x －1＜8}＝(0,4)，则A ∪B ＝(－1,4)．(2)C ＝{x |2x 2＋mx －m 2＜0}＝{x |(2x －m )(x ＋m )＜0}①当m ＞0时，C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m 2≥4⇒m ≥8；②当m ＝0时，C ＝∅，不合题意；③当m ＜0时，C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m ，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥4，m 2≤－1⇒m ≤－4；综上所述：m ≤－4或m ≥8.X w. 28486 6F46 潆_38309 95A5 閥 C26253 668D 暍35992 8C98 貘Y。

2021年高中数学 综合测试题 新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设A ∪{－1,1}＝{－1,0,1}，则满足条件的集合A 共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．8个解析 可用列举法写出A ＝{0}，{－1,0}，{0,1}，{－1，0,1}共4个． 答案 B2．设集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{x |y ＝log a (x ＋1)，a >0，a ≠1}，则M 与N 的关系是( )A ．MN B ．M NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析 M ＝{y |y >0，y ∈R }，N ＝{x |x >－1，x ∈R }， ∴MN .答案 A3．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析 ∵f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |.∴f (－2)＝22＝4，f (－1)＝2. ∴f (－2)>f (－1)． 答案 A4．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．不存在解析 由f (0)＝0，得a ＝－1. 答案 C5．函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x )＝12f (x ＋1)，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则f (－1.5)的值是( )A.14 B ．－54C.18D.116解析 由题意知，f (－1.5)＝12f (－1.5＋1)＝12f (－0.5)＝14f (－0.5＋1)＝14f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝14×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝116. 答案 D6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24－xx ≤0，f x －1－fx －2x >0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析 ∵3>0，∴f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.答案 B7．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一坐标系下的图象大致是( )解析f(x)＝1＋log2x过点(1,1)，g(x)＝2－x＋1也过点(1,1)．答案 C8．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )A．0.76<log0.76<60.7B．0.76<60.7<log0.76C．log0.76<0.76<60.7D．log0.76<60.7<0.76解析∵60.7>1,0<0.76<1，log0.76<0，∴60.7>0.76>log0.76，故选C.答案 C9．下列给出的四个函数f(x)的图象中能表示函数y＝f(x)－1没有零点的是( )答案 C10．已知函数f (x )＝log 12x ，则方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝|f (x )|的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．2 006解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．又∵－2<－32<－1，且f (x )在(－∞，－1)上是增函数，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．在同一平面直线坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |及y ＝|log 12x |的图象如图，易得B.答案 B11．某新品牌电视投放市场后，第一个月销售100台，第二个月销售200台，第3个月销售400台，第四个月销售810台，则下列函数模型中能较好反映销售量y 与投放市场的月数x 之间的关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50·2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析 把x ＝1,2,3,4分别代入A 、B 、C 、D 知，C 正确． 答案 C12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析 令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．函数y ＝(log 3a )x在R 上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 由题意知log 3a >1.∴a >3 答案 (3，＋∞)14．已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上有定义，且对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，则f (1)＝________.解析 令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0. 答案 015．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内实根有________个．解析 依题意知，f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12内有一个实根，又知f (x )在[－1,1]内是增函数，所以在[－1,1]内f (x )＝0只有一个实根．答案 116．已知函数f (x )＝lg(2x－b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析 ∵要使f (x )＝lg(2x－b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴2x－b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1. 答案 (－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |0<x －a <3}，B ＝{x |x ≤0或x ≥3}，分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)A ∩B ＝∅； (2)A ∪B ＝B .解 ∵A ＝{x |0<x －a <3}， ∴A ＝{x |a <x <a ＋3}．(1)当A ∩B ＝∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋3≤3，解得a ＝0.(2)当A ∪B ＝B 时，有A ⊆B ，所以a ≥3或a ＋3≤0，解得a ≥3或a ≤－3.18．(本小题满分12分)(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫279 12 ＋(lg5)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2764－ 13 ； (2)解方程：log 3(6x－9)＝3.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫259 12 ＋(lg5)0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫343－ 13 ＝53＋1＋43＝4. (2)由方程log 3(6x－9)＝3得 6x－9＝33＝27，∴6x ＝36＝62， ∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，求证：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明 令g (x )＝f (x )－x ＝x 3－x 2－x 2＋14，∵g (0)＝14>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－⎝ ⎛⎭⎪⎫122－14＋14＝－18<0，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是连续的， ∴存在x 0∈(0，12)，使得g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.20．(本小题满分12分)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,0)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．解 (1)设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，由x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1知f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1，又f (x )为奇函数知，－f (x )＝2x4x ＋1，即f (x )＝－2x4x ＋1.故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1.(2)证明：设0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 24x 2＋1－2x 14x 1＋1＝2x 1＋x 2－12x 1－2x 24x 1＋14x 2＋1.由0<x 1<x 2<1知，2x 1<2x 2， ∴2x 1－2x 2<0.又4x 1＋1>0,4x 2＋1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．因此，f (x )在(0,1)上是减函数．21．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围． 解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.(2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2. ∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解之得x <－23.故x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23.22．(本小题满分12分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品．已知该单位每月处理二氧化碳最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)若该单位每月成本支出不超过105000元，求月处理量x 的取值范围；(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)设月处理量为x 吨，则每月处理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为100x 元，则每月成本支出f (x )为f (x )＝12x 2－200x ＋80000－100x ，x ∈[400,600]．若f (x )≤105000，即12x 2－300x －25000≤0，即(x －300)2≤140000，∴300－10014≤x ≤10014＋300.∵10014＋300≈674>600，且x ∈[400,600]，∴该单位每月成本支出不超过105000元时，月处理量x 的取值范围是{x |400≤x ≤600}．(2)f (x )＝12x 2－300x ＋80000＝12(x 2－600x ＋90000)＋35000 ＝12(x －300)2＋35000，x ∈[400,600]， ∵12(x －300)2＋35000>0， ∴该单位不获利．由二次函数性质得当x ＝400时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝12(400－300)2＋35000＝40000.∴国家至少需要补贴40000元．y26913 6921 椡32355 7E63 繣vT25127 6227 戧37182 913E 鄾31378 7A92 窒E|21108 5274 剴3]E20385 4FA1価。

核心素养测评六十九分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,从A到O的不同的走法(不重复过一点)有______种( )A.1B.2C.4D.5【解析】选D.分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O,有2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O,有2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5(种)不同的走法.2.将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是 ( )A.2 160B.720C.240D.120【解题指南】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数,根据分步乘法计数原理得到结果.【解析】选B.分步来完成此事.第1张有10种分法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,共有10×9×8=720(种)分法.3.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )A.10种B.25种C.52种D.24种【解析】选D.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理可知,共有24种不同的走法.4.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( )A.36种B.48种C.96种D.192种【解析】选C.设4门课程分别为1,2,3,4,甲选修2门,可有1,2;1,3;1,4;2,3; 2,4;3,4共6种情况,同理乙,丙均可有1,2,3;1,2,4;2,3,4;1,3,4共4种情况,所以不同的选修方案共有6×4×4=96(种).5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( )A.65B.56C.30D.11【解析】选B.每一位同学有5种不同的选择,则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是56.6.《九章算术》中记载有“阳马,鳖臑(biēnào)”,阳马是底面为矩形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,鳖臑是四个面都是直角三角形的四面体.若以正方体的顶点为阳马的顶点,可以得到m个阳马,以正方体的顶点为鳖臑的顶点,可以得到n个鳖臑,则( )A.m=12,n=24B.m=36,n=24C.m=12,n=72D.m=36,n=72【解析】选D.因为以正方体的一个顶点为四棱锥的顶点所得的阳马有3个,而正方体有12个顶点,所以阳马的个数m=36,因为每个阳马可以拆分为2个鳖臑,所以鳖臑的个数n=72.7.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演,原节目单上有9个节目已经排好顺序,又有3个新节目需要加进去,不改变原来的顺序,则新节目单的排法有______种 ( )A.12B.27C.729D.1 320【解题指南】可以考虑3个新节目逐一加入原来的节目单中去. 【解析】选D.第一步:9个节目空出10个位置,可以加入1个新来的节目,所以加入一个新节目有10种方法,第二步:从排好的10个节目空出的11个位置中,加入第2个新节目,有11种方法,第三步:从排好的11个节目空出的12个位置中,加入第3个新节目,有12种方法,所以由分步乘法计数原理得加入3个新节目后的节目单的排法有10×11×12=1 320(种).二、填空题(每小题5分,共15分)8.小明计划在2019年的暑假从他居住的昆明到北京去游学,他可以坐动车,也可以乘高铁,还可以乘飞机,已知动车每日5班,高铁每日10班,飞机每日2班,则小明在某一天从昆明到北京有________种出行方式.【解析】出行方式分3类,动车有5种方式,高铁有10种方式,飞机有2种方式,这三类的每一种方式都可以达到出行目的,所以由分类加法计数原理得共有5+10+2=17种出行方式.答案:179.甲组有4名男同学、2名女同学;乙组有5名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有______种.【解析】分两类:第一类,甲组1男1女,乙组2男0女,再分两个步骤,第一步甲组选1男1女,有4×2=8(种)方法,第二步乙组选2男0女,把5个男同学编号1,2,3,4,5,从中选2人,有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,有10种方法,所以第一类共有8×10=80种方法,第二类,甲组2男0女,乙组1男1女,再分两个步骤,第一步甲组选2男0女,把4个男同学编号1,2,3,4,从中选2人,有12,13,14,23,24,34,共6种方法,第二步乙组选1男1女,有5×2=10(种)方法,所以第二类共有6×10=60种方法,所以选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有80+60=140(种).答案:14010.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M 的“子集对”共有________个.【解析】当A={1}时,B有23-1种情况;当A={2}时,B有22-1种情况;当A={3}时,B有1种情况;当A={1,2}时,B有22-1种情况;当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况.所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).答案:17(15分钟35分)1.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A.6种B.12种C.30种D.36种【解析】选C.考虑问题的反面:甲、乙所选的课程2门都相同,把4门课程编号为1,2,3,4,从中选2门,有12,13,14,23,24,34共6种方法,所以甲、乙的选法都有6种,所以甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6×6-6=30(种).2.(5分)一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看这4道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有( ) A.24种 B.36种C.48种D.72种【解析】选B.按照甲的情形分类:第一类:甲照看第一道工序,则丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12(种)方案,第二类:甲照看第四道工序,则乙照看第一道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12(种)方案,第三类:甲不照看第一道工序,也不照看第四道工序,则乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有4×3=12种方案,所以由分类加法计数原理得不同的安排方案共有12+12+12=36(种).【一题多解】选B.按照4道工序的安排分为两个步骤,第一步安排第一道工序和第四道工序,(1)甲照看第一道工序,丙照看第四道工序,(2)甲照看第四道工序,乙照看第一道工序,(3)乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,所以符合条件的方案有3种,第二步安排余下的两道工序,有4×3=12(种)方案,由分步乘法计数原理得不同的安排方案有3×12=36(种).3.(5分)如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有 ( )A.256种B.128种C.72种D.64种【解析】选C.按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).4.(10分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任意选取3个不同的数字,(1)求这3个数字组成等差数列的个数;(2)求以这3个数字为边长组成的三角形的个数.【解析】(1)按照公差的大小分类:公差为1的数列,有8个(0,1,2;1,2,3;2,3,4;…;7,8,9),公差为2的数列,有6个(0,2,4;1,3,5;2,4,6;…;5,7,9),公差为3的数列,有4个(0,3,6;1,4,7;2,5,8;3,6,9),公差为4的数列,有2个(0,4,8;1,5,9),所以公差为正数的等差数列有8+6+4+2=20(个).由对称性可知公差为负数的等差数列也有20个,所以这3个数字组成等差数列的个数为40.(2)按照边长最大的边分类:最长边为9,有7,8,9;6,8,9;5,8,9;4,8,9;3,8,9;2,8,9;6,7,9;5,7,9;4,7,9;3,7,9;5,6,9;4,6,9,共12个;最长边为8,有6,7,8;5,7,8;4,7,8;3,7,8;2,7,8;5,6,8;4,6,8;3,6,8;4,5,8,共9个;最长边为7,有5,6,7;4,6,7;3,6,7;2,6,7;4,5,7;3,5,7,共6个;最长边为6,有4,5,6,共1个.所以能组成三角形的个数为12+9+6+1=28.5.(10分)现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法? 【解析】(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14(种)不同的选法.(2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法.(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法.第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法. 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法, 所以有10+35+14=59(种)不同的选法.【拓广探索练】1.(2020·聊城模拟)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首数为2的“六合数”共有( ) A.18 B.15 C.12 D.9【解析】选B.若由3个2,一个0组成六合数,符合题意的有3个;若由2个2,2个1组成六合数,有3个;若由1个2,1个0,1个3,1个1,符合条件的六合数有6个;若由1个2,1个4,2个0组成六合数,共有3个.依分类加法计数原理可知:共有3+3+6+3=15个.2.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P 的个数为______.【解析】依题意可知:当a=1时,b=5,6,两种情况;当a=2时,b=5,6,两种情况;当a=3时,b=4,5,6,三种情况;当a=4时,b=3,5,6,三种情况;当a=5或6时,b各有五种情况.所以,共有2+2+3+3+5+5=20种情况.答案:20关闭Word文档返回原板块。

第4讲直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．确定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内解析直线在平面内的状况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上全部的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不愿定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不愿定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再依据平行线截线段成比例易知选C.答案 C6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不行以，故选C.答案 C二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点。

2021年高考数学大一轮总复习 13.1 算法初步高效作业 理 新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·课标全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：程序框图对应函数为s ＝⎩⎨⎧3t ，t ＜14t －t 2，t ≥1，∴当t ∈[－1,1)时，s ＝3t ∈[－3,3]； 当t ∈[1,3]时，s ＝4t －t 2∈[3,4]．∴当t ∈[－1,3]时，s ∈[－3,4]，选A. 答案：A2．(xx·浙江)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析：对于k ≤4时有S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5，此时k ＝5，因此a ＝4，这时结束运算可得S ＝1＋1－15＝95.答案：A3．(xx·福建)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A ．计算数列{2n －1}的前10项和 B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n－1}的前10项和 D ．计算数列{2n－1}的前9项和 解析：S ＝1＋2×0＝1，i ＝2；S ＝1＋2×1＝1＋21，i ＝3， S ＝1＋2(1＋21)＝1＋21＋22，i ＝4，S ＝1＋2(1＋21＋22)＝1＋21＋22＋23，i ＝5，…S ＝1＋21＋22＋23＋…＋29，i ＝11＞10，输出S ＝1＋21＋22＋23＋…＋29，所以选A. 答案：A4．(xx·江西)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )答案：C5．(xx·重庆)执行如右图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9解析：首次进入循环体，s ＝1×log 23，k ＝3；第二次进入循环体，s ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2，k ＝4；依次循环，第六次进入循环体，s ＝3，k ＝8，此时终止循环，则判断框内填k ≤7.答案：B6．(xx·辽宁)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A.511B.1011C.3655D.7255解析：S＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝511.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(xx·湖南)执行如右图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．解析：每次进入循环结构a，b的值如下：a＝1，b＝2①a＝3，b＝2②a＝5，b＝2③a ＝7，b＝2④a＝9，b＝2满足a＞8，此时a＝9.答案：98．(xx·湖北)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.解析：从程序框图知，a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5.故输出i＝5.答案：59．(xx·山东)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析：逐次计算的结果是F1＝3，F0＝4，n＝2；F1＝7，F0＝11，n＝3，此时输出，故输出结果为3.答案：310．(xx·江苏)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．解析：n0＝1，a0＝2；a1＝8，n1＝2；a2＝26，n2＝3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．画出计算S＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋10·211的值的程序框图．解：如图所示：12．(xx·河南三市联考)根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x2 013；y1，y2，…，y2 013.(1)写出数列{x n}，{y n}的通项公式(不要求写出求解过程)；(2)求S n＝x1(y1＋1)＋x2(y2＋1)＋…＋x n(y n＋1)，(n≤2 013)．解：(1)x n＝2n－1，y n＝3n－1，(n≤2 013)．(2)S n＝1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n.∴3S n＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－3)·3n＋(2n－1)·3n＋1.∴2S n＝(2n－1)3n＋1－3－2(32＋33＋…＋3n)．∴S n＝(n－1)3n＋1＋3(n≤2 013)．13．(理)(xx·四川)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)； (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y 的值为1的频数 输出y 的值 为2的频数输出y 的值 为3的频数30 14 6 10 … … … … 2 1001 027376697运行次数n输出y 的值为1的频数 输出y 的值 为2的频数输出y 的值 为3的频数30 12 11 7 … … … … 2 1001 051696353当n i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解：(Ⅰ)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(Ⅱ)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：(Ⅲ)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×(13)0×(23)3＝827， P (ξ＝1)＝C 13×(13)1×(23)2＝49，P (ξ＝2)＝C 23×(13)2×(23)1＝29，P (ξ＝3)＝C 33×(13)3×(23)0＝127， 故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.(文)给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如下图所示)：(1)图中①处和②处应填上什么语句，使之能完成该题算法功能；(2)根据程序框图写出程序．解：(1)①处应填i≤30；②处应填p＝p＋i.(2)程序如下所示：s21526 5416 吖 37431 9237 鈷.33497 82D9 苙 36176 8D50 赐38770 9772 靲24567 5FF7 忷27692 6C2C 氬40472 9E18 鸘%36538 8EBA 躺{g。

专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合 基础篇 【基础集训】考点一 集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二 集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇 【综合集训】考法一 集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析 因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。

9.5 圆锥曲线的综合问题一、选择题1.(2021浙江,9,4分)已知a,b ∈R,ab>0,函数f(x)=ax 2+b(x ∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是( ) A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线 答案 C 由题意知f(s)=as 2+b,f(s-t)=a(s-t)2+b=(as 2+b)+at(t-2s),f(s+t)=a(s+t)2+b=(as 2+b)+at(t+2s), ∵f(s -t),f(s),f(s+t)成等比数列,∴f(s -t)·f(s+t)=f 2(s)⇒[(as 2+b)+at(t-2s)][(as 2+b)+at(t+2s)]=(as 2+b)2⇒at(as 2+b)(t-2s+t+2s)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0⇒2at 2(as 2+b)+a 2t 2(t 2-4s 2)=0,(*) ①当t=0时,s ∈R,故(s,t)的轨迹为一条直线; ②当t ≠0时,(*)式可化为2as 2+2b+at 2-4as 2=0, 即2as 2-at 2=2b,因为ab>0,所以s 2-t22=b a>0,故(s,t)的轨迹为双曲线,故选C.二、解答题2.(2022届广西开学考,22)设双曲线x 23-y 2=1的右焦点为F,过F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点.(1)若直线AB 与x 轴不垂直,求直线的斜率的取值范围; (2)求AB 中点的轨迹方程.解析 (1)由题知F(2,0),设直线AB 的方程为y=k(x-2),代入方程x 23-y 2=1,得(3k 2-1)x 2-12k 2x+12k 2+3=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{x 1+x 2=12k 23k 2-1>0,x 1x 2=12k 2+33k 2-1>0,Δ=144k 4-4(3k 2-1)(12k 2+3)=12k 2+12>0, 所以k ∈(-∞,-√33)∪(√33,+∞).(2)设AB 中点坐标为(x 0,y 0),若直线AB 的斜率存在,x 0=x 1+x 22=6k 23k 2-1,y 0=y 1+y 22=k(x 0-2)=2k 3k 2-1,消去k 得,(x 0-1)2-3y 02=1,此时x 0=6k 2-2+23k 2-1=2+23k 2-1>2,所以AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x>2);若直线AB 的斜率不存在,则x 0=2,y 0=0,满足(x-1)2-3y 2=1.综上,AB 中点的轨迹方程为(x-1)2-3y 2=1(x ≥2).3.(2022届山西怀仁一中期中,21)已知点A(-2,0),B(2,0),设动点P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为-34,记动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的方程;(2)若动直线l 经过点(1,0),且与曲线E 交于C,D(不同于A,B)两点,问:直线AC 与BD 的斜率之比是不是定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解析 (1)设P(x,y),由题意可得k PA ·k PB =-34,所以y x+2·y x -2=-34(x ≠±2),所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1(x ≠±2). (2)由题意知,可设直线l:x=my+1,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由{x =my +1,x 24+y 23=1(x ≠±2),可得(3m 2+4)y 2+6my-9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,因为直线AC 的斜率k 1=y 1x 1+2,直线BD 的斜率k 2=y 2x 2-2,且my 1y 2=32(y 1+y 2),所以k 1k 2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(my 2-1)y 2(my 1+3)=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32(y 1+y 2)-y 132(y 1+y 2)+3y2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13,所以直线AC 和BD 的斜率之比为定值13. 4.(2021四省八校调研,20)已知圆锥曲线E:√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4,经过点Q(-4,4)的直线l 与E 有唯一公共点P,定点R(-1,0). (1)求曲线E 的标准方程;(2)设直线PR,QR 的斜率分别为k 1,k 2,求k 1k 2的值.解析 (1)由√(x -1)2+y 2+√(x +1)2+y 2=4可得,点(x,y)到定点(-1,0),(1,0)的距离的和为4.由椭圆的定义可知动点(x,y)的轨迹即圆锥曲线E 是以(-1,0),(1,0)为左、右焦点,2a=4为长轴长的椭圆(此处必须由定义说明圆锥曲线的类型),则其长半轴长a=2,则短半轴长b=√22-12=√3,故曲线E 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由题意得过点Q(-4,4)的直线l 的斜率存在,设为k,则直线l 的方程为y-4=k(x+4),即y=kx+4+4k, 代入x 24+y 23=1,整理,得(3+4k 2)x 2+32(k+1)kx+64k 2+128k+52=0(※).∵l 与E 仅有一个公共点,∴Δ=1024(k+1)2k 2-4(3+4k 2)(64k 2+128k+52)=0,即12k 2+32k+13=0.解得k=-12或k=-136.(k 的值有两个,需分两种情况求解)设P(x 0,y 0),当k=-12时,方程(※)为x 2-2x+1=0,得x 0=1,∴y 0=32,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.当k=-136时,方程(※)为49x 2+182x+169=0,得x 0=-137,∴y 0=-914,∴k 1=34,又k 2=-43,∴k 1k 2=-1.综上所述,k 1k 2的值为-1.5.(2022届甘肃名校月考,21)已知F 1,F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,|F 1F 2|=6,当P 在E 上且PF 1垂直于x 轴时,|PF 2|=7|PF 1|. (1)求E 的标准方程;(2)A 为E 的左顶点,B 为E 的上顶点,M 是E 上第四象限内一点,AM 与y 轴交于点C,BM 与x 轴交于点D.求证:四边形ABDC 的面积是定值.解析 (1)由题意知|PF 1|=b2a ,|PF 2|+|PF 1|=2a,|PF 2|=7|PF 1|,则8|PF 1|=2a,所以a=2b,又c=3,a 2=b 2+c 2,∴a=2√3,b=√3, ∴E 的标准方程是x 212+y 23=1.(2)证明:由题意知A(-2√3,0),B(0,√3),设M(m,n),C(0,t),D(s,0),因为A,C,M 三点共线,所以设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得t=2√3n m+2√3,又B,D,M 三点共线,所以设BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,解得s=-√3m n -√3. 易知,|AD|=s+2√3,|BC|=√3-t,m 212+n 23=1,所以|AD|·|BC|=√3s-2√3t-st+6=-n -√3-m+2√3+(n -√3)(m+2√3)+6=-√3m √3n+36(m+2√3)(n -√3)+(n -√3)(m+2√3)+6=√3)(n √3)(n -√3)(m+2√3)+6=12.所以四边形ABDC 的面积为12|AD|·|BC|=6.故四边形ABDC 的面积是定值.6.(2022届长春外国语学校期中,21)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+√2=0与以原点为圆心,以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M 是椭圆的上顶点,过点M 分别作直线MA,MB 交椭圆于A,B 两点,设两直线的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=4,证明:直线AB 过定点,并求出该定点.解析 (1)易知,等轴双曲线的离心率为√2,故椭圆C 的离心率e=√22.∵e 2=c 2a 2=a 2-b 2a2=12,∴a 2=2b 2.由x-y+√2=0与圆x 2+y 2=b 2相切,得√2√2=b,故b=1,∴a 2=2.∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)已知M(0,1).当直线AB 的斜率不存在时,设方程为x=x 0(x 0≠0),A(x 0,y 0),B(x 0,-y 0).由k 1+k 2=4,得y 0-1x 0+-y 0-1x 0=4,即x 0=-12.此时直线AB 的方程为x=-12.当直线AB 的斜率存在时,设AB 的方程为y=kx+m,依题意知m ≠±1.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{y =kx +m,x 22+y 2=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0.则x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-21+2k 2.由k 1+k 2=4,得y 1-1x 1+y 2-1x 2=4,∴kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=4,即2k+(m-1)x 1+x2x 1x 2=4, ∴k -km m+1=2,∴k=2(m+1),∴m=k 2-1.故直线AB 的方程为y=kx+k 2-1,即y=k (x +12)-1.∴直线AB 过定点(-12,-1).综上,直线AB 过定点(-12,-1).7.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴长与短轴长之比为2,过点P(0,2√5)且斜率为1的直线与椭圆E 相切. (1)求椭圆E 的方程;(2)过点T(2,0)的直线l 与椭圆E 交于A,B 两点,与直线x=8交于H 点,若HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BT ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:λ1+λ2为定值.解析 (1)由题意知,a b =2,a=2b,切线方程为y=x+2√5.设椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1,联立得{y =x +2√5,x 24b 2+y 2b 2=1,整理得5x 2+16√5x+80-4b 2=0,则Δ=0,即(16√5)2-20(80-4b 2)=0,则b 2=4,∴椭圆方程为x 216+y 24=1.(2)由题意知,直线l 的斜率一定存在.当直线l 的斜率为零时,易得λ1+λ2=0;当直线l 的斜率不为零时,设直线l:x=ty+2(t ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{x =ty +2,x 2+4y 2=16,得(t 2+4)y 2+4ty-12=0,则y 1+y 2=-4t t 2+4,y 1y 2=-12t 2+4,直线l:x=ty+2,令x=8,则y=6t ,即H 8,6t .∵HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-8,y 1-6t ),AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 1,-y 1),HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 1-8=λ1(2-x 1),y 1-6t =-λ1y 1,∴1-6ty 1=-λ1,同理可得,1-6ty 2=-λ2,∴-λ1-λ2=1-6ty 1+1-6ty 2=2-6(y 1+y 2)ty 1y 2=2--24t t 2+4·t 2+4-12t=0.综上,λ1+λ2=0.8.(2021皖南八校第三次联考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆交于A,B两点,当直线l ⊥x 轴时,|AB|=√2,tan ∠AOB=2√2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l'⊥l,直线l'与直线l 、x 轴、y 轴分别交于M 、P 、Q,当点M 为线段AB 中点时,求PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.解析 (1)由题意可知F(-c,0).当直线l ⊥x 轴时,|AB|=2b 2a =√2,tan ∠AOB=2tan ∠AOF1-tan 2∠AOF =2√2,解得tan ∠AOF=√22或-√2,∵∠AOF ∈(0,π2),∴tan∠AOF=√22=|AF||FO|=b 2a c,得b=c=1,a=√2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),依题意直线l 的斜率一定存在且不为零,设l:y=k(x+1),由{y =k(x +1),x 22+y 2=1,消去y 得(2k 2+1)x 2+4k 2x+2k 2-2=0,则x 1+x 2=-4k 22k 2+1,则y 1+y 2=k(x 1+x 2+2)=2k 2k 2+1.故M (-2k 22k 2+1,k2k 2+1),直线l':y-k 2k 2+1=-1k (x +2k 22k 2+1),令y=0,则P (-k22k 2+1,0),∵PM⊥MF,OQ ⊥PO,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-k 22k 2+1--2k 22k 2+1)2+(0-k 2k 2+1)2(-k 22k 2+1)2=k 2+1k 2=1+1k 2,∵k 2∈(0,+∞),∴1+1k2∈(1,+∞), ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(1,+∞). 9.(2022届四川内江六中月考,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于A,B 两点,△AOB 的面积为2√2,点P 为椭圆C 的下顶点,|PF 2|=√2|OP|. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)经过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交椭圆C 于M,N 两点,求|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围.解析 (1)因为△OPF 2为直角三角形,所以b 2+c 2=|PF 2|2=(√2b)2,故b=c,又S △AOB =12·2b 2a ·c=b 2c a=2√2,所以b 2c=2√2a,又a 2=b 2+c 2,所以b 3=2√2·√b 2+c 2=4b,故b 2=4,所以a 2=b 2+c 2=4+4=8,故椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1. (2)由题意得F(1,0),M,N,F 三点共线,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=||FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosπ|=|FM|·|FN|.若直线l 斜率为零,则|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(a-1)(a+1)=7;若直线l 斜率不为零,设直线l 的方程为x=my+1,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则{x =my +1,x 28+y 24=1,消去x 得(m 2+2)y 2+2my-7=0,所以y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-7m 2+2,则|FM|=√(x 1-1)2+y 12=√(my 1+1-1)2+y 12=√m 2+1|y 1|,同理|FN|=√m 2+1·|y 2|,所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|=(m 2+1)|y 1y 2|=(m 2+1)·7m 2+2=7(m 2+2)-7m 2+2=7-7m 2+2,因为m 2+2≥2,所以0<7m 2+2≤72,所以72≤7-7m 2+2<7.综上,|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FM|·|FN|∈[72,7]. 10.(2022届黑龙江大庆月考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,其离心率为12.椭圆E 的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4. (1)求椭圆E 的方程;(2)过F 1的直线与椭圆相交于C,D(不与顶点重合),过右顶点B 分别作直线BC,BD 与直线x=-4相交于N,M 两点,以MN 为直径的圆是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.解析 (1)由题意得,c a =12,|AB|=2a=4,∴a=2,c=1,b=√a 2-c 2=√3,∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)恒过定点(-7,0)和(-1,0).由(1)知F 1(-1,0),B(2,0),由题意得,直线CD 的斜率不为0,设直线CD 的方程为x=my-1,代入椭圆E 的方程x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2-6my-9=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则y 1+y 2=6m 3m 2+4①,y 1y 2=-93m 2+4②.直线BC:y=y 1my 1-3(x-2),令x=-4,可得N -4,-6y 1my 1-3,同理M (-4,-6y 2my 2-3),∴以MN 为直径的圆的方程为(x+4)(x+4)+y+6y 1my 1-3(y +6y 2my 2-3)=0,即x 2+8x+16+y 2+6y 1my 1-3+6y 2my 2-3y+36y 1y 2(my 1-3)(my 2-3)=0③,由①②得y 1+y 2=-23my 1y 2,代入③得圆的方程为x 2+8x+7+y 2-6my=0.若圆过定点,则{y =0,x 2+8x +7=0,解得{x =-1,y =0或{x =-7,y =0,∴以MN 为直径的圆恒过点(-7,0)和(-1,0).12.(2022届湘豫名校联盟11月联考,20)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63,其左,右焦点为F 1,F 2,P为椭圆E 上任意一点,P 点到原点O 的距离的最小值为1. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线l:y=kx+m 与椭圆E 交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,且x 12+x 22=3,是否存在这样的直线l 与圆x 2+y 2=1相切?如果存在,直线l 有几条?如果不存在,请说明理由. 解析 (1)由题意知,e=√63,所以b 2a2=1-e 2=13,即a 2=3b 2,易知|PO|2∈[b 2,a 2],所以b 2=1,故椭圆E 的标准方程为x 23+y 2=1. (2)联立{y =kx +m,x 2+3y 2=3,整理得(3k 2+1)x 2+6kmx+3m 2-3=0.所以x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1·x 2=3m 2-33k 2+1. 因为x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=3,所以化简得12k 2m 2-2(m 2-1)·(3k 2+1)=(3k 2+1)2,即2m 2·(3k 2-1)=(3k 2+1)·(3k 2-1),所以3k 2-1=0或3k 2+1=2m 2,又直线l:y=kx+m 与圆x 2+y 2=1相切,所以√1+k2=1,即k 2+1=m 2.当3k 2-1=0时,解得k 2=13,m 2=43,直线l 的方程为y=±√33x±2√33;当3k 2+1=2m 2时,解得k 2=1,m 2=2,直线l 的方程为y=±x±√2.综上所述,存在满足题设条件的直线,且直线l 有八条.13.(2022届江西月考,21)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为θ(θ≠π2)的直线,交抛物线于A,B 两点,当θ=π3时,以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3).(1)求抛物线的方程;(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P,使得|FA|·|PB|=|FB|·|PA|成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)取FA 的中点C,过C 作CE ⊥x 轴于E,连接CT.因为以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T(0,√3),所以CT ⊥y 轴于T,故|CE|=|OT|=√3,因为θ=π3,即∠CFE=π3,所以|CF|=2,|EF|=1,所以C 1+p 2,√3,所以A (2+p 2,2√3),故(2√3)2=2p ·(2+p 2),又p>0,所以p=2,故抛物线的方程为y 2=4x.(2)设P(x 0,0)(x 0≠1),且F(1,0),由题意可知直线FA 的斜率不为0,故设直线FA:x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x,整理得y 2-4my-4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1y 2=-4.易知|FA||FB|=|y 1||y 2|,|PA||PB|=√10212√20222,因为|FA|·|PB|=|FB|·|PA|,即|FA||FB|=|PA||PB|,所以|y 1||y 2|=√(x 1-x 0)2+(y 1-0)2(x 2-x 0)2+(y 2-0)2,两边同时平方可得y 12y 22=y 12+(x 1-x 0)2y 22+(x 2-x 0)2,又因为y 12=4x 1,y 22=4x 2,所以y 12y 22=y 12+(y 124-x 0)2y 22+(y 224-x 0)2,化简整理可得(y 12-y 22)x 02=y 12y 22(y 12-y 22)16,所以x 02=y 12y 2216=(y 1y 2)216=1,所以x 0=±1,因为点P 异于点F,所以x 0=-1,故点P(-1,0).14.(2021山西太原二模,20)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,直线l:x=23与椭圆C 相交于D,E 两个不同点,直线DA 与直线DB 的斜率之积为-14,△ABD 的面积为4√23.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点P 是直线l:x=23的一个动点(不在x 轴上),直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q,过P 作BQ 的垂线,垂足为M,在x 轴上是否存在定点N,使得|MN|为定值?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设D (23,y 0),由题意得{k DA ·k DB =y 023+a ·y 023-a =-14,12×2a ×|y 0|=4√23,49a 2+y 02b 2=1,∴{b 2=1,a 2=4, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)假设存在这样的点N,设直线PM 与x 轴相交于点T(x 0,0),由题意得TP ⊥BQ,由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P (23,t),t ≠0,Q(x 1,y 1),由题意可设直线AP 的方程为x=my-2,由{x =my -2,x 24+y 2=1得(m 2+4)y 2-4my=0,∴y 1=4m m 2+4或y 1=0(舍去),x 1=2m 2-8m 2+4,∵23=mt-2,∴t=83m ,∵TP⊥BQ,∴TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23-x 0)(x 1-2)+ty 1=0,∴x 0=23+ty 1x 1-2=23+83m ·4m m 2+4·m 2+4-16=0, ∴直线PM 过定点T(0,0), ∴存在定点N(1,0),使得|MN|=1.。