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自主园地备考套餐加固训练练透考点1．平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥βD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选项A中的两平面可能平行，也可能相交；选项B中的平面可能平行也可能相交；选项C中的两个平面可能平行也可能相交；选项D，由a⊂α，a∥β，可知在β内存在直线a′∥a，所以a′∥α，又因为a，b 异面，所以a′与b相交．又因为b∥α，所以α∥β.故选D.答案：D2．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n解析：由m⊂α，n∥α可知m与n不相交，又m与n共面，故m∥n.答案：D3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是()A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β解析：由线面垂直的性质可知A正确；由两个平面平行的性质可知B 正确；由异面直线的性质易知D也是正确的；对于选项C，α，β可以相交、可以平行，故C错误，选C.答案：C4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB ＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则() A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形解析：如图，由题意，EF∥BD，且EF＝15BD.HG∥BD，且HG＝12BD.∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选B.答案：B5．a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且__________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__________．解析：①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b(线面平行的性质)．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．答案：①或③。
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π4解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后变为函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，又y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ为偶函数， 故π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋k π，k ∈Z . 若k ＝0，则φ＝π4.故选B 项． 答案：B2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－56π，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2，故选D. 答案：D3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3解析：由图像可得，3T 4＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则取k ＝0，∴φ＝－π3. 故选A 项． 答案：A4．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )·sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得t ＝±33.当t ＝±1时，函数值为0； 当t ＝－33时，函数值为－439； 当t ＝33时，函数值为439. ∴g (t )max ＝439，即f (x )的最大值为439.故选C 项． 答案：C5．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝__________. 解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位得，y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ＝cos(2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π＋φ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π2，而它与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ，得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，又－π≤φ＜π，∴φ＝5π6. 答案：5π6。
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A.答案：A2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3解析：∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案：B3．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω·π6＋π6＝0，π6(ω＋1)＝k π＋π2，ω＝6k ＋2(其中k∈Z )；又ω是正整数，因此ω的最小值是2.答案：B4．已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 解析：由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. ∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间，故选C.答案：C5．[2014·课标全国Ⅱ]函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为__________．解析：f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.答案：1。
开卷速查 (十四 )导数的应用(一)A 级基础牢固练1．函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f x在区间 (1，＋∞ )上必然 ()xA．有最小值B．有最大值C．是减函数 D.是增函数剖析：由函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，可得＜，又＝f x a a∈ ，＋∞a1g(x)x x x x(1)上 g′(x)＞0，所以 g(x)在(1，＋∞)上为增函数．答案： D2．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间 [ －1,1]上的最大值是 ()A．－ 2 B.0C．2 D.4剖析： f′(x)＝3x2－6x，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数， f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝ f(0)＝2.答案： C3．若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则导函数f′(x)的图像不可以能是 ()ABCD剖析：若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数 f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图像要穿过x 轴，观察四个选项中的图像只有 D 项是不吻合要求的，即 f′(x)的图像不可以能是 D，应选 D.答案： D4．已知函数＝3－3x＋c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则c＝y x()A．－2 或 2 B.－9 或 3 C．－1 或 1 D.－3 或 1剖析：设 f(x)＝x3－3x＋c，对 f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，可得 x＝±1，易知 f(x)在 (－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递加，在(－1,1)上单调递减．若 f(1)＝1－3＋c＝0，可得 c＝2；若 f(－1)＝－ 1＋3＋c＝0，可得 c＝－ 2.答案： A5．函数 f(x)＝x3－3x－1，若对于区间 [ －3,2]上的任意 x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数 t 的最小值是 ()A．20 B.18C．3 D.0剖析：因为 f′(x)＝3x2－3＝3(x－ 1)(x＋1)，令 f′(x)＝0，得 x＝±1，所以－ 1,1 为函数的极值点．又 f(－3)＝－ 19，f(－1)＝1，f(1)＝－ 3，f(2)＝1，所以在区间 [ －3,2]上 f(x)max＝1，f(x)min＝－ 19.又由题设知在区间[－3,2]上 f(x)max－f(x)min≤t，从而 t≥20，所以 t 的最小值是 20.答案： A6．已知定义在R上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f′(x)，当 x∈(－∞，0]时，恒有 xf′(x)<f(－x)，令 F(x)＝xf(x)，则满足 F(3)>F(2x－1)的实数 x 的取值范围是 ()A．(－1,2) B. －1，121C. 2，2D.(－2,1)剖析：由 F(x)＝xf(x)，得 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，F(x)为偶函数，从而 F(x)在3<2x－1<3，解得－ 1<x<2.7．若函数 f(x)＝13x3－23x2＋ax＋4 恰在 [ －1,4]上单调递减，则实数所以 F(x)在(－∞，0]上单调递减，又可证[0，＋∞ )上单调递加，故原不等式可化为－答案： Aa 的值为 __________．剖析：∵f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4，∴f′(x)＝ x2－3x＋a.又函数 f(x)恰在 [ －1,4]上单调递减，∴－ 1,4是 f′(x)＝ 0 的两根，∴ a＝－ 1×4＝－ 4.答案：－48．已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在 x＝－ 1 时有极值 0，则 m ＋n＝__________.剖析：∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得f－1 ＝－1 3＋3m －1 2＋n －1 ＋ m2＝0，f′ －1 ＝3× －1 2＋6m －1 ＋n＝0，m＝1，m＝2，∴或n＝3，n＝9，m＝1，时，f′(x)＝3x2＋6x＋ 3＝3(x＋1)2≥0 恒成立与 x＝－ 1当n＝3是极值点矛盾，m＝2，时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当n＝9显然 x＝－ 1 是极值点，吻合题意，∴m＋n＝11.答案： 119．右图是函数 y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．①f(x)在区间 [ －2，－ 1]上是增函数；②x＝－1 是 f(x)的极小值点；③ f (x)在区间 [ －1,2]上是增函数，在区间 [2,4] 上是减函数； ④x ＝3 是 f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是__________．剖析：由函数 y ＝f(x)的导函数的图像可知：(1) f (x)在区间 [ －2，－ 1]上是减函数，在[ －1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2) f (x)在 x ＝－ 1 处获取极小值，在 x ＝2 处获取极大值．故②③正确．答案： ②③10．已知函数 f(x)＝ax2＋blnx 在 x ＝1 处有极值 12.(1)求 a ，b 的值；(2)判断函数 y ＝f(x)的单调性并求出单调区间．b剖析： (1)f ′(x)＝2ax ＋x ，1又 f(x)在 x ＝1 处有极值 2，1 1∴ f 1 ＝2， 即a ＝2，f ′ 1 ＝0， 2a ＋b ＝0.1解得 a ＝2，b ＝－ 1.1 2 (2)由(1)可知 f(x)＝2x － lnx ，其定义域是 (0，＋ ∞)，且 f ′(x)＝ x－1＝ x ＋1 x －1 .xx令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1 或 x ＝－ 1(舍去)．当 x 变化时， f ′(x)，f(x)的变化情况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数 y＝f(x)的单调减区间是 (0,1)，单调增区间是 (1，＋∞)．B 级能力提升练11．[2014 ·安徽 ]设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a＞ 0.(1)谈论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x∈[0,1] 时，求 f(x)获取最大值和最小值时的x 的值．剖析： (1)f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令 f′(x)＝0，得 x1＝－1－ 4＋3a，3－1＋ 4＋3ax2＝3，x1＜x2.所以 f′(x)＝－ 3(x－x1)(x－x2)．当 x＜x1或 x＞x2时， f′(x)＜0；当 x1＜x＜x2时， f′(x)＞0.故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递加．(2)因为 a＞0，所以 x1＜0，x2＞0. ①当 a≥4 时， x2≥1.由(1)知， f(x)在[0,1] 上单调递加．所以 f(x)在 x＝0 和 x＝ 1 处分别获取最小值和最大值．②当 0＜a＜4 时， x2＜1.由(1)知， f(x)在[0，x2]上单调递加，在 [x2,1]上单调递减．－1＋ 4＋3a所以 f(x)在 x＝x2＝3处获取最大值．又 f(0)＝1，f(1)＝a，所以当 0＜a＜1 时， f(x)在 x＝1 处获取最小；当 a＝1 ， f(x)在 x＝0 和 x＝1 同获取最小；当 1＜a＜4 ， f(x)在 x＝0 获取最小．e x212．[2014 山· ] 函数 f(x)＝x2－k x＋lnx (k 常数，e＝2.718 28⋯是自然数的底数 )．(1)当 k≤0 ，求函数 f(x)的区；(2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极点，求k 的取范．剖析： (1)函数 y＝f(x)的定域 (0，＋∞)．f′(x)＝2 x－2xe x22＋1 x e4－k－x x xx xxe －2e k x－2x－ 2 e x－kx＝x3.由 k≤0 可得 e x－kx>0，所以当 x∈(0,2)， f′(x)<0，函数 y＝f(x)减，x∈ (2，＋∞)， f′(x)>0，函数 y＝f(x)增．所以 f(x)的减区 (0,2)，增区 (2，＋∞ )．(2)由(1)知， k≤0 ，函数f(x)在(0,2)内减，故f(x)在(0,2)内不存在极点；当 k>0 ，函数 g(x)＝e x－kx， k∈(0，＋∞)．因g′(x)＝e x－k＝e x－e lnk，当 0<k≤1 ，当 x∈(0,2)， g′(x)＝e x－k>0，y＝g(x)增．故 f(x)在(0,2)内不存在两个极点；当 k>1 ，得 x∈(0，ln k)， g′(k)<0，函数 y＝g(x)减．x∈ (lnk，＋∞)时， g′(x)>0，函数 y＝g(x)单调递加．所以函数 y＝g(x)的最小值为 g(lnk)＝k(l －ln k)．g 0 >0，g lnk <0，函数f(x)在 (0,2)内存在两个极值点当且仅当解得g 2 >0，0<lnk<2，e2e<k< 2，综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时， k 的取值范围为e2e，2 .。
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．[2014·江西]函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：C2．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，① 将①中x 换为－x ，则有 2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，②①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，∴f (x )＝x ＋1. 答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.故应选C 项． 答案：C4．已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝|x | 12，若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，则k 的取值范围是( )A ．k ≤0B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＜0解析：由题易知y ＝|x | 12的值域为[0，＋∞)，要使集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，只需k 不在此值域中，即k ＜0.答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≥0)，1 (x ＜0)，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x的取值范围是__________．解析：当x ＜－1时有1＞1，∴无解． 当－1≤x ＜0时，有(1－x 2)2＋1＞1，∴x ≠±1. ∴－1＜x ＜0.当0≤x ≤1时，有(1－x 2)2＋1＞(2x )2＋1， ∴0≤x ＜2－1.当x ＞1时有1＞(2x )2＋1，∴无解． 综上，x 的取值范围是－1＜x ＜2－1. 答案：(－1，2－1)。
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤12x y ·4y x －3＝1，当且仅当x ＝2y时成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝2y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.答案：B2．设a ＞0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A ．16B ．9C ．4D ．2解析：∵关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥(5－x )(x －1)在(1，＋∞)上恒成立．∵(5－x )(x －1)＝－(x －3)2＋4≤4，∴a ≥4，即a 的最小值为4.答案：C3．[2014·福建]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是__________(单位：元)．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．答案：1604．[2014·四川]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是__________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.答案：55．[2014·辽宁]对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为__________．解析：设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，因为4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，所以将2a ＝t －b 代入整理可得6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0①，由Δ≥0解得－ 85c ≤t ≤85c ，当|2a ＋b |取最大值时t ＝ 85c ，代入①式得b ＝c10，再由2a ＝t－b 得a ＝32c 10，所以3a －4b ＋5c ＝210c －410c ＋5c ＝5c －210c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5c －22－2≥－2，当且仅当c ＝52时等号成立．答案：－2。
开卷速查 (五十六 )圆锥曲线的综合问题A 级基础牢固练1．已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，一个长轴极点为 (0,2)，它的两个短轴极点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与 y 轴交于点，，与椭圆交于异于椭圆极点的两点，，且→→P(0m)C＝2PBA B AP.(1)求椭圆的方程；(2)求 m 的取值范围．剖析： (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，y2x2设椭圆方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，由题意，知 a＝2，b＝c，又 a2＝b2＋c2，则 b＝2，y2x2因此椭圆方程为4＋2＝1.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线 l 的斜率存在，设其方程为 y＝kx＋m，与椭圆方程联立，y2＋2x2＝4，即消去 y，y＝kx＋m，得(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，由根与系数的关系，知2mkx 1＋x 2＝－2＋k 2，m 2－4x 1x 2＝2＋k 2 ，→ →又AP ＝2PB ，即有 (－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m)，因此－ x 1＝2x 2.x 1＋x 2＝－ x 2， 则x 1x 2＝－2x 22，m 2－42mk2因此2＋k 2＝－22＋k2.整理，得 (9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又 9m 2－4＝0 时等式不成立，2因此 k 2＝8－2m＞0，得 4＜m 2＜4，此时＞0.9m 2－492 2因此 m 的取值范围为 －2，－3 ∪3，2 .x 2 y 22．已知椭圆 a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1 和 F 2，由四个点 M(－a ，b)、N(a ，b)、F 2 和 F 1 组成了一个高为 3，面积为 3 3 的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点 F 1 的直线和椭圆交于两点 A ，B ，求△ F 2AB 面积的最大值．剖析： (1)由条件，得 b ＝ 3，且 2a ＋2c3，2 × 3＝3因此 a ＋c ＝3.又 a 2－c 2＝3，解得 a ＝2，c ＝1.x2y 2因此椭圆的方程 4 ＋ 3 ＝1.(2)显然，直线的斜率不能够为 0，设直线方程为 x ＝my －1，直线与椭圆交于 A(x 1，y 1)，B(x 2， y 2)．x 2 y 2＝1，联立方程4 ＋3消去 x ，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，因为直线过椭圆内的点，无论 m 为何值，直线和椭圆总订交．∴y 1＋y 2＝6m，y 1y 2＝－9 . 3m 2＋43m 2＋41S △F 2AB ＝2|F 1F 2||y 1－y 2| ＝|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2m 2＋1＝123m 2＋42m 2＋1 ＝4m2＋1＋132＝41，21m2＋1＋3＋29 m＋1令＝2＋≥，设＝＋1，易知t∈0，1时，函数单调递减，tt m 11y t9t31t＝m2＋1＝1，即 m＝0 时，y min＝10∈3，＋∞ 函数单调递加，因此当9.S△F2AB 取最大值 3.B 级能力提升练2 3．[2014 ·江西 ]如图，已知双曲线 C：xa2－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上， AF⊥x 轴， AB⊥ OB，BF∥OA(O为坐标原点 )．(1)求双曲线 C 的方程；(2)过C 上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线x0xl：a2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线3x＝2订交于点N.证明：当点P 在C 上搬动时，|MF ||NF|恒为定值，并求此定值．剖析： (1)设F(c,0)，因为b＝1，因此c＝a2＋1，11直线 OB 的方程为 y ＝－a x ，直线 BF 的方程为 y ＝a (x －c)，解得ccB 2，－ 2a .cc1c － －2a 3 a 又直线 OA 的方程为 y ＝a x ，则 Ac ，a ，k AB ＝ c ＝a .c －23 －1又因为 AB ⊥OB ，因此 a · a ＝－1，x 2解得 a 2＝3，故双曲线 C 的方程为 3 －y 2＝1.(2)由(1)知 a ＝ 3，则直线 l 的方程为x 0x3 －y 0y ＝1(y 0≠0)，即 y ＝x 0x －33y 0 .因为直线 AF 的方程为 x ＝ 2 ，因此直线 l 与 AF 的交点M2， 2x 0 －3；3y 0333 2x 0－3直线 l 与直线 x ＝2的交点为 N 2， 3y 0.2x 0－3 2|MF |2 3y 0 2则|NF|2 ＝ 3x 0－3 2124＋3y 02 ＝9y 022x 0－3 294 ＋4x 0－2 2＝ 42x 0－32，·33y 02＋3 x 0－2 2x 022因为 P(x 0，y 0)是 C 上一点，则 3 －y 0＝1，代入上式得|MF|2 4 2x 0－3 22 ＝ ·|NF|3x 02－3＋3 x 0－224 2x 0－3 2＝ ·34x 20－12x 0＋94＝3，|MF|2 2 3所求定值为 |NF|＝3＝ 3 .x 2 y 24．[2014 ·福建 ] 已知双曲线 E ：a 2－b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为 l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－ 2x.(1)求双曲线 E 的离心率；(2)如图， O 为坐标原点，动直线l 分别交直线 l1，l2于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限 )，且△ OAB 的面积恒为 8.试试究：可否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明原由．剖析：方法一： (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为y＝2x，y＝－ 2x，b因此a＝2，c2－a2因此a＝2，故 c＝5a，c从而双曲线 E 的离心率 e＝a＝ 5.x2y2(2)由(1)知，双曲线 E 的方程为a2－4a2＝ 1.设直线 l 与 x 轴订交于点 C.当 l⊥x 轴时，若直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a，又因为△OAB 的面积为 8，1因此2|OC| ·|AB|＝8，1因此2a·4a＝8，解得 a＝2，x2y2此时双曲线 E 的方程为4－16＝ 1.x2y2若存在满足条件的双曲线E，则 E 的方程只能为4－16＝1.以下证明：当直线l 不与 x 轴垂直时，双曲线E：x2y24－16＝1 也满足条件．设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，依题意，得 k>2 或 k<－2，m则 C －k，0 .记 A(x1，y1)，B(x2， y2)．由y＝kx＋m，得y1＝2m，y＝2x，2－k2m 同理得 y 2＝.2＋k1由 S △OAB ＝2|OC| ·|y 1－y 2|得，1m 2m － 2m2 － k ·2－k 2＋k ＝8，即 m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．y ＝kx ＋m ，由 x 2y 2得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.4－ 16＝1，因为 4－k 2<0，因此 ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－ 16(4k 2－m 2－16)，又因为 m 2＝4(k 2－4)，因此 ＝0，即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点．因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为22x － y＝1.416方法二： (1)同方法一．x 2y 2(2)由(1)知，双曲线 E 的方程为 a 2－4a 2＝ 1.设直线 l 的方程为 x ＝my ＋t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．1 1依题意得－ 2<m<2.x＝my＋t，得 y1＝2t－2t由，同理得 y2＝.y＝2x1－2m1＋2m 设直线 l 与 x 轴订交于点 C，则 C(t,0)．1由 S△OAB＝2|OC| ·|y1－y2|＝8，得12t2t|t| ·＋＝8，21＋2m1－2m因此 t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．x＝my＋t，由x2－y2得22＝1，a4a(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为 4m2－1<0，直线 l 与双曲线 E 有且只有一公共点当且仅当＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即 4m2a2＋t2－a2＝0，即 4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，因此 a2＝4，因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线E，且 E 的方程为x2y24－16＝1.方法三： (1)同方法一．(2)当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线l 的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得 k>2 或 k<－2.y＝kx＋m，222由得(4－k )x －2kmx－m ＝0，因为 4－k2<0，>0，－m2因此x1x2＝4－k2，又因为△OAB 的面积为 8，1因此2|OA| ·|OB| ·sin∠AOB＝8，4又易知 sin∠AOB＝5，因此2x21＋y12· x22＋y22＝8，5化简得 x1x2＝4.－m2因此＝4，即 m2＝4(k2－4)．4－k2x2y2由(1)得双曲线 E 的方程为a2－4a2＝1，y＝kx＋m，由x2y2得， (4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0，a2－4a2＝1因为 4－k2<0，直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，即(k2－4)(a2－4)＝0，因此 a2＝4，因此双曲线x2y2E 的方程为 4 －16＝ 1.当 l⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8 可得l：x＝2，又易知l ：x＝2与双曲线x2y2E： 4－16＝1有且只有一公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E，且E 的方x2y2程为 4－16＝1.。
自主园地备考套餐加固训练练透考点1．[2014·重庆]对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.答案：D2．[2014·北京]设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当数列{a n}的首项a1<0时，若q>1，则数列{a n}是递减数列；当数列{a n}的首项a1<0时，要使数列{a n}为递增数列，则0<q<1，所以“q>1”是“数列{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D3．[2014·大纲全国]等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和等于()A．6 B．5C．4 D．3解析：∵a4＝2，a5＝5，∴a4a5＝a1a8＝a2a7＝a3a6＝10，∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg a1a2…a8＝lg(a1a8)4＝lg(a4a5)4＝4lg a4a5＝4lg10＝4，选C.答案：C4．[2014·安徽]数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝__________.解析：方法一：因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列，又a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5是常数列，故q＝1.方法二：因为数列{a n}是等差数列，所以可设a1＝t－d，a3＝t，a5＝t ＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.答案：15．[2014·广东]若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝__________.解析：由等比数列的性质可知a10a11＋a9a12＝2e5⇒a1a20＝e5，于是a1a2…a20＝(e5)10＝e50，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝lne50＝50.答案：50。
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．[2014·四川]若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：由c ＜d ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式性质，得－ad ＞－b c ＞0，所以a d ＜bc ，选D.答案：D2．[2014·山东]已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D3．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a 3＋b 3＞0 C ．a 2－b 2＜0D ．a ＋b ＜0解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0， ∴a ＋b ＜0，故选D. 答案：D4．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析：因为－1＜b ＜0，所以b ＜b 2＜1. 又因为a ＜0，所以ab ＞ab 2＞a . 答案：D5．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________(答案用区间表示)．解析：设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )． 又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152，所以两式相加可得z ∈(3,8)． 答案：(3,8)。
