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实对称矩阵与二次型

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实对称矩阵与二次型§6.1 Gram-Schmidt 正交化过程1. 用Schmidt 正交化方法将向量组()()()110,110,012T T T-标准正交化。

解：设()()()123110,110,012TTTTβββ==-=，那么()11110Tαβ==()()12221111100110T T TT αβαβααα=-=--=-1323331122T T T Tαβαβαβαααα=--()()()1101211011022TT T-=---()002T=则11110Tu αα⎫==⎪⎭22210Tu αα⎫==⎪⎭()3331001Tu αα==2. 证明对于任意的可逆实矩阵，恒有上三角正线矩阵π，使πA 为正交矩阵。

证明：可逆实矩阵是实的列满秩矩阵，故有本节的命题3知，有上三角正线矩阵π，使πA 的列向量组为标准正交向量组，所以πA 为正交矩阵。

§6.2 实对称矩阵的标准形 （一1.求正交矩阵T ，使T T T A 为对角矩阵，其中A 为302032225⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解：A 的特征多项式为()()()137λλλλI -A =---故A 的特征根为1，3，7。

下面求它们对应的一个特征向量：解方程()0A-I X =，可得它的一个解为()111Tα=-；解方程()30A-I X =，可得它的一个解为()110Tβ=；解方程()70A-I X =，可得它的一个解为(11Tγ=-。

把它们分别正交化得：123,,0u u u ⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ === ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令T ⎛⎫ ⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭，则T 即为所求的正交矩阵。

2．将上题中的矩阵化为规范形，并求出合同变换矩阵P 。

解：300302032032110222531002103010010001001⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪ ⎪A -⎛⎫ ⎪=→ ⎪ ⎪I⎪⎝⎭ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭30003070032103201301⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪→⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭100010001000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ → ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是A 的规范形为100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，合同变换矩阵000P ⎛⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

3. 设A 是n 阶实对称矩阵，如果对任意n 维列向量X 都有0TX AX =，则0A =。

证明：对任意的,i j ，有T i j ij a εεA =。

取(1,2,......,)i i n εX ==，有0Ti i εεA =，即0(1,2,......,)ii a i n ==；再取i j εεX =+，有()()0T Ti j i j εεεε+A +=，而()()T T T T T T ij i j i i j i i j j jεεεεεεεεεεεε+A +=A +A +A +A0ii ji ij jj a a a a =+++=于是有ij jia a =-，而A 是对称矩阵，故ij a =，所以0A =。

4．设A 为三阶实对称矩阵，且满足322A -A -A =I ，求A 的两个边准形。

解：由322A -A -A =I 知A 满足方程3220λλλ---=，故A 的极小多项式()()()322|221g λλλλλλλ---=-++。

因为A 实对称，特征根均为实数，极小多项式在实数域上可分解到一次式，而21λλ++是实数域上的质式，所以()|2g λλ-，即()2g λλ=-，于是A 的法式为200020002λλλ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的特征根为1232λλλ===，从而A 在正交变换下的标准形为200020002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ A 的规范形为100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

）§6.3 二次型，正定矩阵与恒定型 （一）1. 将下列二次型化成规范形，并求出所用的可逆线性变换：122331142434x x x x x x x x x x x x +++++解：111101112222111111002222221111101022222111110102222210001000010011000010001000101⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪A ⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪I ⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100010004100121001211112111120010001⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→1000100010100000400100010000130001114111111122111122001100120000001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪--⎪→ ⎪ --- ⎪- ⎪⎪-- ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令111111001000P ⎛---=⎪ ⎪⎝⎭，再令PY X =，则得规范型为22221234y y y y ---，而这里的P 就是所要求的可逆线性变换。

2. 若A 为正定矩阵，则1-A 亦为正定矩阵。

证明：A 正定，则有非奇异矩阵Q 使得TQ Q A =，那么()()1111T T Q Q Q Q ----A ==令()1T P Q -=，则P 非奇异，而1T P P -A =，所以1-A 正定。

3．若οA ≠为半正定矩阵，则A+I＞1。

证明：A 为半正定，故有正交矩阵T 使得121000000T n T T T T λλλ-⎛⎫ ⎪⎪A =A = ⎪ ⎪⎝⎭这里12,,......,n λλλ是A 的特征根，0(1,2,......,)i i n λ≥=，于是11T T T T --A +I =A +I =A +I1210001det 0001n λλλ+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭()()()1211......1n λλλ=+++而i λ不全为零，否则0A =，因此A+I＞1。

4. 若οA ≠为半正定矩阵，B 为正定矩阵，则A +B＞B 。

证明：由于B 为正定矩阵，故存在非奇异矩阵P ，使得 TP P B =I 所以1T P P B =即21/PB =.又因为T P P A A ，所以TP P A 亦为半正定矩阵，由上题知T P P A +I＞1. 而2T T T T P P P P P P P P P A +I =A +B =A +B =A +B＞1故A +B＞21/P =B。

5．若矩阵TD A B ⎛⎫ ⎪B ⎝⎭正定矩阵，则1T D --B A B 亦为正定矩阵。

证明：若TD A B ⎛⎫ ⎪B ⎝⎭为正定矩阵，则其为实对称矩阵。

故,T T D D A =A =所以,()()111TTT T T T D D D ----B A B =-B A B =-B A B即1T D --B A B 为对称矩阵。

取非奇异矩阵11,T T P P οο--I⎛⎫I -A B ⎛⎫== ⎪ ⎪-B A I I ⎝⎭⎝⎭则 1T TT P P D D οο-AB A ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪B-B A B ⎝⎭⎝⎭ 为正定矩阵，显然其子块1T D --B A B 亦为正定矩阵。

6．若矩阵TD A B ⎛⎫ ⎪B⎝⎭为正定矩阵且οB ≠，则TD A BB ＜D A证明：因为111T T T D D οοοο---IA B A ⎛⎫I -A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪-B A I B -B A B I ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1T T D D -AB=A -B A B B又因为TD A B ⎛⎫ ⎪B ⎝⎭为正定矩阵，所以,D A 都正定，从而1-A 亦正定，于是存在非奇异矩阵P ，使得1T P P -A =，从而()()111TTT T T ---B A B =B A B =B A B()()1TT T T P P P P -B A B =B B =B B由于οB ≠，所以P οB ≠，故1T ο-B A B ≠且为半正定矩阵，由上面的第4题知11T T D D --=-B A B +B A B＞1T D --B A B因此T D ABB ＜D A 。

7．两个半正定矩阵之和仍为半正定矩阵。

证明：设,A B 均为半正定矩阵，于是有矩阵,P Q 使得,T TP P Q Q A =B =从而 ()TT T TT P P P P P Q Q P Q Q Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫A +B =+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以A +B 为半正定矩阵。

8. 如果,A B 都正定且AB =BA ，则AB 亦正定。

证明：因,,TTA =AB =B AB =BA ，所以 ()TT T AB =B A =BA =AB即AB 为对称矩阵。

又因为,A B 都正定，所以存在非奇异矩阵,P Q 使得 ,T T P P Q Q A =B =于是 T T P PQ Q AB =.因为()()()TT T T TQ P PQ PQ PQ =且TPQ非奇异，故T T QP PQ 正定，其特征根均大于零，而()TT PPQ Q与()T T Q P PQ 有相同的特征多项式，从而有相同的，即均大于零的特征根，故AB 正定。

9．如果S 和T 都是实对称的，且T 还是正定的，则有非奇异矩阵P 使得,T TP TP P SP D =I = 其中D 是对角矩阵。

证明：由于T 正定，于是有非奇异矩阵C 使得T C TC =I 设对称矩阵TC SC 的特征根是12,,......,n λλλ，则有正交矩阵Q 使()121000000T T T n Q C SC Q Q C SCQ λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭令P CQ =，则12000000T n P SP λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭这时1T T T P TP Q C TCQ Q Q -==I =I10．k 为何值时才能使二次型222123121323103x x x kx x x x x x +++++为正定的。

解：二次型的矩阵为15231223512k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪A = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由于A 有一个二阶主子式 31942134512=-=-＜故知无论k 为何值，二次型都不能是正定的。

11．设A 是分块矩阵T G GοB ⎛⎫ ⎪⎝⎭其中B 为n 阶正定矩阵，G 为n m ⨯列满秩矩阵，证明A有n 个正的特征根，m 个负的特征根。

证明：令1T T G ο-I ⎛⎫= ⎪-B I ⎝⎭，则有1T T T T G G οο-B ⎛⎫A = ⎪-B ⎝⎭。

因B 正定，故1-B 亦正定，从而有列满秩矩阵1B 使得111T -B =B B ，由此得 ()()11111T T T T G G G G G G -B =B B =B B因1G B 显然仍为列满秩矩阵，于是1T G G -B 也是正定矩阵，所以有非奇异矩阵,P Q 使得1,T T T n m P P Q G GQ -B =I B =I令P S Q οο⎛⎫= ⎪⎝⎭则1TT T T T P P S T T S G G Q Q οοοοοο-B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫A = ⎪ ⎪⎪-B ⎝⎭⎝⎭⎝⎭1T T T P P Q G GQ οο-⎛⎫B = ⎪-B ⎝⎭ nm οοI ⎛⎫= ⎪I ⎝⎭注意到,T S 非奇异及合同变换不变正、负惰性指标知A 的正惰性指标为n ，负惰性指标为m ，并且由同样的理由知对A 进行正交变换时二指标亦不变，所以知A 必有n 个正特征根，m 个负特征根。

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二次型及其矩阵

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第五章 二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵内容分布图示★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 线性变换★例6★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 ★返回内容要点：一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211nn y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C212222111211 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。

线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题

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第六章 二次型本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.§1 二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数+++= 2222211121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122222--++++ (1)若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成j i nj i ij n x x a x x x f ∑==1,21),,,( (2)称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵，并求出二次型的秩.解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=14002202214~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3.§2 化二次型为标准型一、二次型合同矩阵二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 即用(3)代入(1),还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作Cy x =,其中矩阵)(ij c C =,把可逆的线性变换Cy x =代入二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,得二次型ACy C y Cy A Cy Ax x x x x f T T T T n ===)()(),,,(21定义 1 两个同阶方阵A B 、,若存在可逆矩阵C ,使B AC C T=,则称矩阵A B 、合同.若A 为对称矩阵,C 为可逆矩阵,且B AC C T=.则B 亦为对称矩阵,且).()(A r B r =证 因为A 是对称矩阵, 即A A T=,所以B AC C C A C AC C B T T T T T T T T ====)()(即B 为对称矩阵. 因为AC C B T =,所以)()()(A r AC r B r ≤≤.因为11)(--=BC C A T ,所以)()()(1B r BC r A r ≤≤-, 故得).()(B r A r = 主要问题：求可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使222221121),,,(nn n y k y k y k x x x f +++= (4) 称(4)为二次型的标准形.也就是说,已知对称矩阵A ,求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理2 任意二次型j inj i ij x x af ∑==1,)(ji ij a a =,总有正交变换Py x =,使f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ,其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.推论 任给n 元二次型Ax x x f T=)(,总有可逆变换Cz x =使)(Cz f 为规范形.二、二次型的合同标准形1、拉格朗日配方法化二次型成标准型(1) 对有完全平方的二次型,每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方,而使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量.然后对剩下的不是完全平方的部分再按照此处理,直到全部配成完全平方为止,这样做,是为了保证所得的线性变换是非异的.如果不这样做,最后就需要检验所得的线性变换是否非异.例2 用配方法化二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准形.解 由于f 中含变量型1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得32312123222182292x x x x x x x x x f +++++=322322232168)(x x x x x x x +++++=上式右端除第一项外已不再含1x .继续配方，可得232322321)3()(x x x x x x f -++++= 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232113x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321132y x y y x y y y x 就把f 化成标准形（规范形）,232221y y y f -+=所用的变换矩阵为).0(100310211≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C C(2) 如果所给的二次型全由混合项组成,而没有平方项,例如133221321),,(x x x x x x x x x f ++=,则需要先做类似于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x 之类的非异线性变换,使变换后的二次型由平方项,再按(1)处理.二次型经非异线性变换化为标准型后,还可以再作非异线性变换,化为标准形.例3化二次型3231212x x x x x x f -+=成标准型，并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项，所以令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211yx y y x y y x 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x 代入3231212x x x x x x f -+=得323122213y y y y y y f ++-=在配方,得.2)23()21(23232231y y y y y f +--+= 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333223113332231123212321z y z z y z z y y z y y z y y z即.10023102101321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z y y y得2322212z z z f +-= 所用变换矩阵为.10011121110023102101100011011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C )02(≠=C2、正交变换化二次型成标准型寻求正交变换,化二次型为标准型,其步骤如下： (1) 写出二次型的矩阵A ,求0-=A E λ的所有相异的根n λλλ,,,21 (n s ≤,n 为A 的阶数)；(2) 对每个i λ(s ,,2,1 =i )求齐次线性方程组0)(=-x A E i λ的基础解系.如果i λ,基础解系只含1个解向量,则单位化.如果i λ,基础解系含有多于1个的解向量,则规范化,这样,总共得到n 个两两正交的单位向量.(3) 以所得的n 个两两正交的列向量得到矩阵P ,则P 为正交矩阵,正交变换Py x =化二次型Ax x T为标准形y y TΛ为对角阵,主对角线上第i ),,2,1(n i =个元素是P 的第i 个列向量所对应的特征值(k 重特征值出现k 次).经正交变换得到的标准形后,还可以再作非异的线性变换将标准后,还可以再作非异的线性变换将标准形化为规范形.但这一变换已不再是正交变换了.换言之,经正交变换,二次型一定可以化为标准型,但未必能化规范形.例4求一个正交变换Py x =，化二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=为标准形.解 (1)写出二次型f 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A (2) 求矩阵A 的特征值,写出特征多项式λλλλλλλλλλ------=-------=-------204622412204222212424222212)2)(7(6241)2(λλλλλ-+-=------=故特征值为2,7321==-=λλλ(3) 求矩阵A 的特征值所对应的特征向量 ①当71-=λ时, 解方程0)7(=+x E A ,由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001102101~5424522287r E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211ξ.②当232==λλ时, 解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000221~4424422212r E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102,01232ξξ.(4) 将32,ξξ正交化：取22ξη=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5425101254102],[],[2223233ηηηξηξη(5) 将321,,ηηξ单位化,得,22131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξp ,01251222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ηηp .542531333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηηp(5) 可得正交矩阵P.53503253451325325231),,(321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==p p p P 若令Py x =则Ax x x x x x x x x x x x x x f T =++---=32312123222132184422),,(233222211y y y APy P y T T λλλ++== 2322212271y y y ++-= 注 用正交变换法化二次型成标准型后,其平方项的系数就是矩阵A的特征值.而变换矩阵的各列,分别是这些特征值对应的规范正交的特征向量.例 5 已知,1001110101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a a A 二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2.(1) 求实数a 的值.(2) 求正交变换Qy x =将f 化为标准型. 解(1),3111101021001110101111010010122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a a a a a a a a A A T x A A x T T )( 秩为22)()(==∴A r A A r T可得 1-=a .(2) 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==422220202B A A T由0)6)(2(422220202=--=-------=-λλλλλλλE B解之得.6,2,0321===λλλ① 当01=λ时,由0)0(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11-1-1ξ.②当22=λ时,由0)2(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011-2ξ.③当63=λ时,由0)6(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ.将321,,ξξξ单位化,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==211613,011-212,11-1-313322111ξξξξξξr r r令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6203161210612131),,(321r r r Q . 则Qy x =时,可得标准型232262y y Bx x f T +==. 例6 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-,若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 解 若二次型f 的规范形为2212y y +,说明f 两个特征值为正,一个为0.当2=a 时,三个特征值为 0,2,3,这时,二次型的规范形为2212y y +.§3 二次型及实对称矩阵的正定性二次型的标准形不是唯一的.标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的.一、惯性定理定理3(惯性定理) 设有实二次型Ax x f T =它的秩是r ,有两个实的可逆变换Cy x =与Pz x =.使)0(,2222211≠+++i r r k y k y k y k 及,2222211r r y z z z +++ λλ)0(≠i λ则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等. 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数.例7 二次型,2223),,(323121232221321x x x x x x x x x x x x f +++++=求f 的正惯性指数.解：方法一：3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 2223212)(x x x x +++= 令⎪⎩⎪⎨⎧==++=33223211xy x y x x x y , 则22212y y f +=.故f 的正惯性指数为2.方法二：f 的正惯性指数为所对应矩阵特征值正数的个数,由于二次型f 对应矩阵.111131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A所以λλλλλλλλλλλ---=---=---=-211231001111310111131111E A λλλ---=2112310)4)(1(2123---=---=λλλλλλ=0 故4,1,0321===λλλ.故f 的正惯性指数为2. 二、正定性的判别定义10 设有实二次型Ax x f T=如果对于任何0≠x ,都有0)(>x f ,(显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称对称阵A 是正定的.记作0>A ；如果对任何0≠x ,都有0)(<x f ,则称f 为负定二次型,并称对称阵A 是负定的,记作0<A .定理4 实二次型Ax x f T=为正定的充分必要条件是:它的标准形的n 个系数全为正,即f 的正惯性指数为n .证 设可逆变换Cy x =使21)()(ini i yk Cy f x f ∑===.先证充分性：设0>i k ),,2,1(n i =,任给0≠x ,故.0)(21>=∑=i ni i y k x f再证必要性: 用反证法,假设有0≤s k ,则当s e y =(单位坐标向量)时,0)(≤=s s k Ce f ,显然0≠s Ce 这与假设f 正定矛盾,故.0>i k推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.定理5 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正.即011>a ,022211211>a a a a,01111>nnn na a a a ; 对称阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.即，0)1(1111>-nrn rra a a a ),,2,1(n r =.这个定理称为霍尔维兹定理.注：对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念.例8设实二次型312322212x cx ax bx ax f +++=,当该二次型为正定二次型,c b a ,,应满足的条件?解 写出f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c b c a A 0000因为该二次型为正定二次型,所以0)(,0,022>-=>>∴b c a A ab ac b a ,,∴应满足0,>>b c a .定理6实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵C ,使C C A T =,即矩阵A 与单位矩阵合同.证明 先证充分性：若存在可逆矩阵C ,使C C A T=,任取非零向量x ,则0≠Cx (如果0=Cx ,由C 可逆,则0=x 矛盾),对任取的0≠x ,有0)()()(T >====Cx Cx Cx Cx C x Ax x x f T T T,从而矩阵A 正定.再证必要性：设对称矩阵A 为正定矩阵,因为A 为对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使A 对角化,即),,,(21n T diag AQ Q λλλ =Λ=,其中n λλλ,,,21 为A 的特征值,而A 是正定矩阵,所以0>i λ,记),,,(211n diag λλλ =Λ.则Λ=Λ21,从而T T T Q Q Q Q Q Q A ))((1111ΛΛ=ΛΛ=Λ=令T Q C )(1Λ=,则C 可逆,而且得到C C A T=. 所以可得EC C A T=,故矩阵A 与单位矩阵合同.定理7实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在正定矩阵B ,使2B A =.证明 因为A 是正定矩阵，所以矩阵A 可以正交相似对角化。

线性代数：第五章二次型

线性代数：第五章二次型

线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。

定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。

这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。

最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。

从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。

⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。

讨论对称矩阵的正定性-模板

讨论对称矩阵的正定性-模板

讨论对称矩阵的正定性本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。

从对称矩阵与正定矩阵的关系出发,给出对称矩阵正定性的判别条件。

关键词:对称矩阵,正定性二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,其中正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵,那么,正定矩阵就一定是对称矩阵.那么怎样的对称矩阵是正定矩阵呢?本文将给出正定矩阵的定义以及判别实对称矩阵正定的常用条件.设=,(其中C,i,j=1,2,…,n), 的共轭转置记为=定义对于复对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵.若仅在实数域上考虑,此定义等价于定义对于实对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵.由于二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,此定义又等价于定义如果对于任一组不全为零的非零实数,,…,,都有f(,,…,)=>0,则称实二次型f(,,…,)是正定的.由以上定义可知正定矩阵的和仍是正定矩阵.事实上若与为同价正定矩阵,则对于非零列向量=(,,…,)0,必有>0, >0,从而(+)=+ >0,所以+也是正定的.定理 n阶实对称矩阵正定,当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n.证明设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得++…+(*)由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么正定当且仅当(*)是正定的,由定义知(*)正定当且仅当>0 (i=1,2,…,n,),因此,正惯性指数为n.推论1 实对角矩阵正定的充分必要条件是>0,(i=1,2,…,n,).证明由定理得,实对称矩阵正定当且仅当二次型f(,,…,)=++…+的正惯性指数为n,因此,>0(i=1,…,n,).推论2 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差为n.推论3 实对称矩阵是正定的充要条件是二次型f(,,…,)=的系数矩阵的所有特征值都是正数.证明由第二节知,实对称矩阵可对角化为,其中,,…,恰好是的特征值,则二次型的标准形为:++…+,而非退化实线性变换保持正定性不变,由 f (,,…,)=++…+正定得>0,(i=1,2,…,n).定理实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.证明实正定二次型的规范形++…+(*),而(*)的系数矩阵为单位阵,非退化实线性变换保持正定性不变,且新二次型系数矩阵与原二次型系数矩阵是合同的,故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.推论1 实对称矩阵是正定的充分必要条件是存在可逆矩阵,使得=.证明设为一正定矩阵,当切仅当与单位矩阵合同,因此,存在可逆矩阵,使得==,推论2 实正定矩阵的行列式大于零.证明对=两边取行列式有 ||=|| ||=>0,因此,|A|>0.推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立.推论4 正定矩阵的逆矩阵一定是正定矩阵.证明由命题得正定矩阵的逆矩阵一定是对称矩阵,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,所以存在可逆矩阵使得==,取逆矩阵得 =,令=,则=,因此,与单位矩阵合同,所以是正定矩阵.有时需要直接用行列式的方法来判别实对称矩阵的正定性,为此引入以下定义定义子式=(i=1,2,…,n)称为矩阵=,(i,j=1,2,…,n)的顺序主子式.定理实对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零.证明 (1)必要性实对称矩阵正定,则二次型f(,,…,)==是正定的,对于每一个k,1kn,令(,,…,)=,我们来证是一个k元正定二次型,对于一组不全为零的数,,…,有(,,…,)=(,,…,,0,…,0)>0,因此,是一个k元正定二次型.由定理推论1得,的矩阵行列式>0,(k=1,2,…,n).(2) 充分性对n作数学归纳法当n=1时,f()=,由条件>0,显然f()是正定的.假定此论断对n-1元二次型成立,下证n元的情形令= ,=,则=由的顺序主子式全大于零可知的顺序主子式全大于零,由假设是正定矩阵,有n-1阶可逆矩阵,使得=,令=,则 ==,令=,则==令=,=-,则有=,两边取行列式得 =,由条件>0,因此>0,=,因此,A与单位矩阵合同,由定理得,是正定矩阵.推论正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.应用以上结论完成下题例判别二次型f(,,)=+2+3-2-2是否正定.解二次型的系数矩阵为 :方法一、由矩阵的特征多项式|-|==求得的特征值为2,2,全为正,因此二次型正定.方法二、的顺序主子式为=1>0,=>0,=||>0, 由定理得二次型正定.结束语本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。