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二次型与对称矩阵(新)

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第五章对称矩阵与二次型-

第五章对称矩阵与二次型-

解：f
的矩阵为
A
1 2
2 2
0 2
0 2 3
返回 上一页 下一页
1 2 0 AE2 2 2 (1 )(2)(5), 1 ,2,5
0 2 3
1 1时， 2
A1E2
0
2 3 2
0 1 2~0 4 0
0 1 0
022，
x1 x2
2x3 2x3
令 x3
1
，则
x1 x2
2 2
，
1
2
2
3
5
q1
b1 b1
1 5
,
q2
b2 b2
3
4 5
0
5
3 5
返回
上一页 下一页
当 3 7时，解方程组A7Ex0，即
8 2 2 x1 0
2
5
4
x2
0
由于
2
8 2 2 2 4 2 5 4 0 9
4 5 x3 0
5 2 9 0
4 1
5 2 1 0
0 1
1 1 1 0
例如，二次型 f x 1 2 x 2 2 x 4 2 2 x 2 x 3 x 2 x 4 的
1 0 0 0
矩阵
A
0
0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
。
返回 上一页 下一页
定义2：f k 1y 1 2 k2y2 2 knyn 2称为二次型 的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负)
系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。
f x1,x2,x3 =x122x1x2 2x1x34x224x328x2x3
=x122x1 x2 x3 4x224x328x2x3

对称矩阵与二次型_OK

对称矩阵与二次型_OK

f a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
2021/9/4
2
a11 a12
故“二记次型与一x个1,对x称2 ,矩阵, x一n，一则aa对2n11应”aa。n222，
化为标准形，并指出 f x1, x2 , x3 1表示何种二次
曲面 。
5 1 3
解：二次型f的矩阵
A
1
5
3, r A 2,
由于
3 3 3
5 1 3
A E 1 5 3 4 9
3 3 3
2021/9/4
12
故矩阵A的特征值为1 0, 2 4, 3 9 ，各特征值
a1n x1 a2n x2
ann xn
例如，二次型
的
A (aij )nn , x x1, x2, , xn T
f xT Ax
矩阵
。
f x12 x22 x42 2x2 x3 x2 x4
1 0 0 0
A
0 0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
2021/9/4
2021/9/4
30
例5.7 若 f = x12 2x22 x32 2x1x2 2tx1 x3为正定二次型，
则t应满足什么条件？
解：二次型f的矩阵为
由于
1 A 1t
a11 1,
1 t
2 0
10 ,
11 A1 2
t0
a11
a12
1
1 1,
a21 a22 1 2
t 0 1 2t2 1

对称矩阵与二次型

对称矩阵与二次型

对称矩阵与二次型对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。

本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。

一、对称矩阵的定义与特性在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。

具体定义如下：定义1：对称矩阵设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。

对称矩阵的一些特性如下：特性1：主对角线上的元素对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。

特性2：特征值对称矩阵的特征值都是实数。

特性3：特征向量对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。

特性4：对角化对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。

二、二次型的定义与性质二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。

具体定义如下：定义2：二次型设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。

称f(x)为二次型。

二次型有一些重要的性质：性质1：对称性二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。

性质2：标准型对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。

标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。

性质3：正定、负定与半正定二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。

当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。

三、对称矩阵与二次型的关系对称矩阵与二次型之间有紧密的联系，通过对称矩阵可以定义出二次型，同时对于任意一个二次型，都可以找到对应的对称矩阵。

二次型求实对称矩阵

二次型求实对称矩阵

二次型求实对称矩阵二次型是一个重要的数学概念，在线性代数中占有重要地位。

它是由二次齐次多项式构成的函数，通常用矩阵的形式表示。

对于一个n维向量x=(x1,x2,...,xn)，如果存在一个n阶实对称矩阵A，使得二次型Q(x)=x^TAx，其中^T表示向量的转置，那么Q(x)就是一个二次型。

其中，x^T表示向量x的转置，A表示实对称矩阵，x表示一个n维向量。

这个函数在数学和物理学中有着广泛的应用。

接下来，我们来了解一下实对称矩阵的概念和性质。

实对称矩阵是指矩阵的转置等于自身。

即A^T=A。

实对称矩阵具有以下几个重要的性质：1. 实对称矩阵的特征值都是实数。

这个性质在很多实际问题中有着重要的应用，比如对称矩阵的特征值可以表示物理系统的能量状态。

2. 实对称矩阵的特征向量相互正交。

这是因为实对称矩阵的特征值都是实数，而且对应不同特征值的特征向量是相互正交的。

3. 实对称矩阵可以对角化。

这是实对称矩阵的一个重要性质，可以通过正交变换将其对角化，得到一个对角矩阵。

现在，我们来介绍如何通过二次型求解实对称矩阵。

假设有一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个实对称矩阵。

我们可以通过求解二次型的特征值和特征向量来得到实对称矩阵A的性质。

我们求解二次型的特征值。

特征值是一个标量，表示二次型的变换倍数。

可以通过求解特征值方程det(A-λI)=0来得到特征值。

其中，I是单位矩阵，λ是特征值。

解特征值方程可以得到A的特征值。

然后，我们求解二次型的特征向量。

特征向量是满足Ax=λx的非零向量x。

可以通过解线性方程组(A-λI)x=0来得到特征向量。

解线性方程组可以得到A的特征向量。

通过求解二次型的特征值和特征向量，我们可以得到实对称矩阵A 的性质，比如特征值的个数、特征向量的正交性等。

这些性质对于解决实际问题和理解系统的行为有着重要的意义。

在实际问题中，二次型求解实对称矩阵的方法有很多，比如特征值分解、奇异值分解等。

6-1二次型及其对称矩阵

6-1二次型及其对称矩阵
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2
写出下列二次型的矩阵。 下列二次型 例 1 写出下列二次型的矩阵。
（2） f ( x1, x2 , x3 ) = 2x − 3x + 4x1 x2 ）
（3） f ( x1, x2 , x3, x4 ) = 2x1 x2 + 4x1 x4 + 6x2 x3 −8x3 x4 ）
信息系 刘康泽
（ 解： 1） f ( x1, x2, x3 ) = 4x − x +2x +3x1x2 +6x1x3 −5x2x3
2 1 2 2 2 3
二次型 f 的矩阵为
4 3 A= 2 3
2 2
3 2 −1 5 − 2
3 5 − 2 2
f = a x + a12 x1x2 +⋯+ a1n x1xn = x1 (a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn )
2 11 1 2 + a21x2 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n x2 xn + x2 (a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn ) +⋯ +⋯ 2 + an1xn x1 + an2 xn x2 +⋯+ ann xn + xn (an1 x1 + an2 x2 + ⋯ + ann xn )
2 2
（4） f ( x1 , x2 , x3 ) = x + x + x − 4 x1 + 5 x2 。 ）
2 1 2 2 2 3
二次型。 则（1） 2）是二次型；而（3） 4）不是二次型。 ） ） 二次型； （ ） ）不是二次型 （

线性代数4.1二次型与对称矩阵

线性代数4.1二次型与对称矩阵

xT Ax =
= f ( x1 , x2 ,..., xn )
f ( x) = xT Ax 故二次型可以用矩阵的形式表示： 故二次型可以用矩阵的形式表示：
二次型 f ( x1 , x2 ,..., xn )
对称矩阵A 对称矩阵A
对称矩阵A 对称矩阵A为 二次型 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 的矩阵 为矩阵A 二次型 f ( x1 , x2 ,..., xn ) 为矩阵A对应的二次型
M
2
M + xn (an1 x1 +an2 x2 +...+ann xn )
= f ( x1 , x2 ,..., xn )
a11 a12 ... a1n x1 a11 x12 + a12 x1 x2 + ... +a1n x1 xn 2 a21 a22 ... a2n x2 +a21 x2 x1 + a22 x2 +... +a2 n x2 xn (x1, x2 ,...,xn) M = M M M +a M x x + a x x +... + a x 2 a nn n n1 n 1 n2 n 2 an2 ... ann xn n1
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + ... + a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 +a22 x2 +a23 x2 x3 +... + a2 n x2 xn 2 +a31 x3 x1 +a32 x3 x2 + a33 x3 +... + a3 n x3 xn + ............. 2 +an1 xn x1 +an 2 xn x2 +an 3 xn x3 +... + ann xn

《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型

《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型
故
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，

6.3二次型与对称矩阵的正定性(《线性代数》闫厉 著)

6.3二次型与对称矩阵的正定性(《线性代数》闫厉 著)

解法二 特征值法。二次型 f x1 , x2 , x3 对应的矩阵为
6 2 2
A
2 2
5 0
0 7
6 2 2
E A 2 5 0 3 6 9
2 0 7
因此A的特征值分别为3、6、9都是正数，故该二次型正定。
ห้องสมุดไป่ตู้
例6.3.4 判别二次型是否正定。
f x1 , x2 , x3 6x12 4x1 x2 4x1 x3 5x22 7 x32
定理6.3.3 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵 C，使得A=CTC，即A合同于单位矩阵。
推论6.3.2 如果A为正定矩阵，则|A|>0。
定理6.3.4 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特 征值都是正数。
定义6.3.2 设n阶矩阵
A
a11
a21
a12
a22
a1n
是正定的，并讨论λ≤2的情况。
解 二次型的矩阵为
1 1 0
A
1 1
1
1
0
0
0 0 0 1
由f正定的充要条件是A正定，而A正定的充要条件是A的各阶顺
序主子式全大于零。A的各阶顺序主子式为
A1 0 ,
A2 1
1
2 1 0,
1 1
A3 A4 1 1 12 2 0
1 1
解法三 顺序主子式法。
A1 6 0 ,
A2
6 2
2 26 0 , 5
6 2 2 A3 2 5 0 162 0
2 07
故该二次型正定。
例6.3.5 判别二次型 f (x, y, z)为负定
f x, y, z 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz

9.1 二次型和对称矩阵

9.1 二次型和对称矩阵
x 1 p 11y 1 p 12y 2 p 1n y n x 2 p 21y 1 p 22y 2 p 2n y n x n p n 1y 1 p n 2y 2 p nn y n
pij F(1 i,j n ) ，那么就得到一个关于
4）f3(x 1 ,x 2 ) x 1 2 x 1x 2 8x 2 .
（1）式可写成以下形式：
（2）q(x1,x 2 , ,x n )
aij xix j ,(aij i j
1 1
n
n
aji ).
令
a11 a 21 A a n1
a12 a22
例2、写出下列二次型的矩阵:
（1）q(x1,x 2 ,x 3 ) x 3x 2 x 3 x1x 2 2x1x 3 3x 2x 3;
2 1 2 2
(2)q(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) x 1 3x 2 x 3 x 1x 2 2x 1x 3 3x 2x 3;
2
2
2
1 （3）q(x 1 ,x 2 ,x 3 ) (x 1 ,x 2 ,x 3 ) 4 7
2 5 8
例3、写出下列方阵对应的二次型：
1 1 2 (2)B 1 2 3 ; 2 3 3
3 x 1 6 x 2 . 9 x 3
i 1 j 1
例4、求对二次型
q(x1,x 2 ,x 3 ) x 2x 2 3x 3 2x1x 2 4x1x 3 6x 2x 3
的变量施行线性变换
x 1 3y 1 6y 2 y 3 x 2 y 1 y 2 3y 3 x 4y y y 1 2 3 3

第26节二次型与对称矩阵

第26节二次型与对称矩阵

2. 正交矩阵的性质 (1) 若 Q 为正交矩阵， 为正交矩阵，则其行列式的值为1 则其行列式的值为1或 −1 ； 若 Q为正交矩阵， 为正交矩阵，则 QT Q = I ; 证： 因为 证毕. 证毕. (2) 若 Q为正交矩阵， 为正交矩阵，则 Q 可逆， 可逆，且 Q −1 = Q T ; 可逆. 证： 由性质1 由性质1可知， 可知，正交阵
1 0 0 P = (η1 ,η 2 ,η 3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2
2 0 0
使得 P −1 AP = 0 4 0 . 0 0 4
用施密特正交化方法，将向量组 例1 用施密特正交化方法，
a1 = (1,1,1,1)T , a2 = (1, −1, 0, 4)T , a3 = (3, 5,1, −1)T
正交规范化. 正交规范化. 解：β 1 = a1 = (1,1,1,1)T ,
β 2 = α2 − α 2T β 1 4 β = (1, −1, 0, 4)T − (1,1,1,1)T β 1T β 1 1 4
0 1 0
0 0 1
特征向量是正交的 特征向量是正交的. 是正交的. <定理3> 定理3> 设 A为实对称矩阵， 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q , 使 Q −1 AQ 为对角矩阵. 为对角矩阵.
所以它是正交矩阵.
2. 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 根据上述结论， 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为 对角矩阵 对角矩阵， 其具体步骤为： 矩阵，其具体步骤为 1) 求 A的特征值； 的特征值； 2) 由 (λi I − A) x = 0 ，求出 A的特征向量； 的特征向量； 3) 将特征向量正交化； 将特征向量正交化； 4) 将特征向量单位化. 将特征向量单位化.

P正定二次型与对称正定矩阵

P正定二次型与对称正定矩阵

解
f的矩阵为
5 A 2
2 6
2 0 ,
2 0 4
a 1 1 50 ,
a11a125
2 2 60,
a21a22 2 6
A80 0, 所以f为负定.
2021/6/20
12
1 1 1 例4 设矩阵 A 1 1 1 ,
1 1 1
判断矩阵A是否为正定，是否为负定?
解 取向量 X(x1,x2,x3)T,则
1 XTAX(x1,x2,x3)1
1 1
1x1 1x2
1 1 1x3
x1 x2 x3
(x1, x2, x3)x1 x2 x3
2021/6/20
x1 x2 x3
13
1 (x1,x2,x3)1(x1x2x3)(x1x2x3)2 1
对任意 X,显 向 然 量 XT 恒 AX 有 0.
所以矩阵 A是半正个的。 取 X(1,1,2)T 0,于是 X TA X (x 1x2x3)20
如果B的秩是n，即B的列向量线性无关，因此当 X≠0时，必定有Y=BX≠0，从而有
X T (B T B )X y 1 2 y 2 2 y m 2 0 所以这时BTB是正定矩阵。
2021/6/20
8
正定矩阵具有以下一些简单性质
1.设 A为正定,实 则 AT 对 ,A1,称 A均 阵 为正 定矩 ; 阵
2.若A,B均为 n阶对称矩阵A是 ，正 并定 且 矩阵 ,B是半正定矩A阵 B是 ，正 则定.矩阵
2021/6/20
9
例1 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3

二次型 对称矩阵和非对称矩阵

二次型 对称矩阵和非对称矩阵

二次型对称矩阵和非对称矩阵【对称矩阵和非对称矩阵的深度探讨】在线性代数中，二次型是一个非常重要的概念。

而对称矩阵和非对称矩阵则是与二次型密切相关的概念。

在本文中，我们将从简单到复杂地探讨二次型、对称矩阵和非对称矩阵，以便更深入地理解它们之间的关系。

一、二次型的基本概念在开始探讨对称矩阵和非对称矩阵之前，我们先来简单回顾一下二次型的基本概念。

二次型是指一个关于n个未知数的二次齐次多项式，通常可以用一个n阶对称矩阵来表示。

一个典型的二次型可以写作：Q(\bold{x}) = \bold{x}^T A \bold{x}其中，\bold{x}是一个n维向量，A是一个n阶对称矩阵。

这里有一个很重要的特点是A是对称矩阵，这也是我们后面要探讨的关键。

二、对称矩阵的特点和性质对称矩阵是一个非常重要的概念，它在二次型和线性代数中都有着广泛的应用。

对称矩阵的定义很简单，就是一个n阶矩阵A满足A=A^T，即矩阵A的转置等于它本身。

对称矩阵有很多重要的性质，比如它可以被对角化为实对角矩阵，它的特征值都是实数，并且它的特征向量可以相互正交等等。

三、非对称矩阵的特点和性质与对称矩阵相对应的是非对称矩阵，它的性质和对称矩阵有很大的不同。

非对称矩阵的定义很简单，就是一个n阶矩阵A满足A≠A^T，即矩阵A的转置不等于它本身。

非对称矩阵的性质也很有意思，它不一定可以被对角化，它的特征值可以是复数，并且它的特征向量不一定可以相互正交。

四、对称矩阵和非对称矩阵与二次型的关系现在我们可以来探讨一下对称矩阵和非对称矩阵与二次型的关系。

在二次型中，对称矩阵起着非常重要的作用。

通过对称矩阵的特性，我们可以得到很多关于二次型的结论，比如它的正定性、负定性和indefinite等。

而对于非对称矩阵来说，与二次型的关系则比较复杂，因为非对称矩阵的特性较为复杂，它在二次型中往往会引入更多的变数，导致问题的复杂化。

五、个人观点和总结在我看来，对称矩阵和非对称矩阵是线性代数中非常重要的两个概念，它们在二次型和特征值问题中都有着广泛的应用。

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............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
a11
a12
...
a1n
其中 aij
a ji
( i, j 1,2,...,n )
令A a21 a22 ... a2n A为对称矩阵.对称矩阵A称为
M M
an1
an2
...
M
1 2 x1 x2
1 2
x1 x3
此二次型的矩阵为
0
A
1 2
1 2 2
1
223
1 2
x2
x1
2 x22
3 2
x2
x3
1 2 x3 x1
3 2
x2
x3
0
x32
1 2
3 2
0 是对称矩阵.
如
x12 x1 x2 3 x1 x3 2 x22
x12
1 2
x1 x2
3 2
x1 x3
对应的矩阵为 1
a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn
a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
nn
aij xi x j
............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
aij a ji ( i, j 1, 2,..., n ) f ( x1, x2 ,..., xn )
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 ... 2a1n x1 xn
y
y
2
x2 y2 1 是椭圆.
14
在空间解析几何中, 二次曲面的一般方程为:
a1 x2 a2 y2 a3z2 2b1 xy 2b2 yz 2b3 xz 2c1 x 2c2 y 2c3z d 0
其中 a1,a2 ,a3 , b1,b2 ,b3 不全为零. 如 x2 y2 z2 2x 2z 1 0 配方：
其中 aij
a ji
(i,
j
i1 j1
1,2,...,n )
称为一个n
元二次型,
简称为二次型.
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
ann
二次型
f
( x1,
x2 ,...,
xn的) 矩阵
矩阵A的秩称为二次型 f ( x1, x2 ,..., xn的) 秩.
如
x12
3 x1 x2
2 x22
x12
3 2
x1 x2
3 2
x2
x1
2
x22
它的矩阵为
A
1
3 2
3
22
如
x1 x2 x1 x3 2 x22 3 x2 x3 0 x12
...,
xn)
a21 M
a12 a22 M
... ...
a1n a2n
x1 x2
M M
(x1
,
x2
,
...,
xn)aa1211
a22 x22 2a23 x2 x3 ... 2a2n x2 xn
a33 x32 ... 2a3n x3 xn
............
ann xn2
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
............
an1 xn x1 an2 xn x2 an3 xn x3 ... ann xn2
aij a ji ( i, j 1, 2,..., n )
当 aij 是实数时, 称为实二次型. 本章只讨论实二次型.
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a23 x2 x3 ... a2n x2 xn a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x32 ... a3n x3 xn
a1n
a2n
x1
X
x2
M M
M M
an1
an2
...
ann
xn
a11
XT
AX
(x1
,
x2
,
...,
xn)
a21 M
a12 a22 M
... ...
a1n a2n
x1 x2
M M
an1
an2
...
ann
xn
1 n
nn
n1
a11
XT
AX
(x1
,
x2
,
x2 2x 1 y2 z 12 1
( x 1)2 y2 z 12 1 是球面.
§5.1 基本概念
(一) 二次型及其矩阵
定义5.1 含有n个变量x1, x2,..., xn 的二次齐次 多项式
f ( x1, x2 ,..., xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 ... a1n x1 xn
1
1 2
3 2
1 2
x2
x1
2 x22
0 x2
x3
是对称矩阵.A 2
3 2
2 0
0
0
3 2
x3 x1
0x2 x3 0 x32
例
f
(
x1,
x2 )
2 x1 x2
的矩阵为A
0
1
1
0
f ( y1, y2 ,..., yn ) d1 y12 d2 y22 ... dn yn2
d1 0 ... 0
的矩阵为
A
0
d2
M M
...
0
M
0
0
...
d
n
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x22 4 x32 2 x1 x2 5 x1 x3 6 x2 x3
的矩阵为
1 A 1
1
3
523 二次型
5 2
3
4
对称矩阵
反之，设A是任一对称矩阵
A
a11 a21
a12 a22
... ...
Ch5 二次型 在平面解析几何中, 二次曲线的一般方程为:
a x2 2bx y c y22d x 2k y l 0
其中 a,b,c不全为零. 如 4x2 y2 8x 4 y 4 0 配方：
4( x2 2x1) ( y2 4 y 4) 4
4( x 1)2 ( y 2)2 4
令 x x 1 得 4x2 y2 4