第四部分 二次型与实对称矩阵一. 矩阵的特征值.设A 是n 阶方阵,若对F ∈0λ,存在非零列向量nF X ∈,使得X AX 0λ=.)())((21n A E λλλλλλλ−−−=−",特征多项式的根.两个公式: n trA λλλ+++="21,n A λλλ"21=.特征向量: 0)(=−X A E i λ的基础解系就是A 的属于i λ的线性无关的特征向量. 二. 二次型.(1) n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=""222422432232222222n nn n n x a x x a x x a x x a x a +++++++"" ∑===n j i jiij a a xx a jiij 1, (n ij a A )(=) AX X T=. A 称为f 的矩阵,是个对称阵.(2) 非退化线性替换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x """"22112222121212121111,CY X =AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∀CYX ACY C Y BY Y Y g T T T ==)(A ⎯→←C AC C B T= 合同. 取T n c c c X ),,,(210"=,有000)(AX X X f T =.对010X C Y −=,有000)(ACY C Y Y g TT =.则)()(00Y g X f = 反之.取0Y ,有)(0Y g ,则令00CY X =,有)(0X f ,则)()(00Y g X f =. (3) 标准形与规范形.AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∃CY X 2222211)(n n x d x d x d Y g +++=".A ⎯→←C),,,(21n d d d diag B "= 合同.AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∃CY X 22221)(r x x x Y g +++=",其中)(A r r =.复数域上.AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∃CY X 221221)(r p p x x x x Y g −−−++=+"",其中)(A r r =.实数域上.相应的矩阵: A ←⎯→C⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000rE B . A ←⎯→R⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−000000pr p E E B . (4) 化二次型为标准形与规范形. 配方法和初等变换法.关于初等变换法: 二次型化为标准形与规范形时,二次型的矩阵是合同的.AC C A T →,就来看看B AC C T=的含义.C 可逆,则可以写成初等矩阵的乘积.设s P P P C "21=,则s TTTs TP P AP P P P AC C ""2112=,只要看AP P T 的作用即可,其中P 是一个初等阵.若))((c i P P =,PAP AP P T =相当于第i 行, 第i 列都乘常数c .⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=ni in ii i i T ca ca a c ca ca AP P #""#211.若))(,(c j i P P =,则AP P T相当于第i 列的c 倍加到第j 列后,第i 行的c 倍加到第j 行. 若),(j i P P =,则PAP AP P T=相当于互换i j ,列后,再互换i j ,行.故AC C T的含义就是对A 实施列变换的同时,对A 实施相同的行变换.则得到的矩阵就是AC C T. 而二次型化为标准形,就是矩阵化为对角阵,从而初等变化法化二次型为标准形的过程就是: 对分块阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛E A ,实数列变换,同时对A 的位置实施相应的行变换,把A 的位置化为对角阵D ,则E 的位置化为的矩阵C 就满足D AC C T=.实际上,若假若实施s P P P ,,,21"列变换,则有s P P P E A ,,,21"⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛,若同时A 的位置实施相应的行变换则有s TT T s P P P E A P P P ,,,2112""⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛,即 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛C D C AC C EC AC C C E A C P P P E A P P P T T T s TT T s ,,,2112"". 而求二次型的规范形,如上的过程化为对角阵后,继续化对角阵为对角线元素为0,1(复数域)或者0,1,1−(实数域)的方阵.结论: (1) 任一对称阵都可合同对角化.(2) 复数域上,两个矩阵合同当且仅当秩相等.(3) 实数域上,两个矩阵合同当且仅当秩相等,且正惯性指数相等. (5) 二次型的正定与正定的矩阵. 对实二次型AX X X f T=)(,(1) 若任给0≠X ,有0)(>X f ,且0)(=x f ⇔0=X . 正定二次型,A 正定矩阵. (2) 若任给0≠X ,有0)(≥X f . 半正定二次型,A 半正定矩阵.(3) 若任给0≠X ,0)(<X f ,且0)(=x f ⇔0=X . 负定二次型,A 负定矩阵. (4) 若任给0≠X ,有0)(≤X f . 半负定二次型,A 半负定矩阵.(5) 若存在21,X X ,有0)(,0)(21<>X f X f ,则二次型不定.根据二次型在实数域上的规范形的特点,我们有: （二次型矩阵↔标准形矩阵↔规范形矩阵）正定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀>,0,↔E =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛111%. 半正定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀≥,0,↔⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E . 负定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀<,0,↔E −=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−111%. 半负定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,其中i d i ∀≤,0,↔⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−000r E . 不定: A ↔⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AC C %21,存在0,0<>j i d d ,↔⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−0pr pE E ,其中0,0>−>p r p . 特别的: 假设A 是对称阵,则A 正定.⇔AX X X f T =)(正定. ⇔存在可逆阵C ,使得),,,(21n T d d d diag AC C "=,其中i d i ∀>,0.⇔存在可逆阵C ,使得E AC C T =.⇔存在可逆阵C ,使得C C A T =.⇔正惯性指数为n A r ==)(⇔顺序主子式全大于零⇔主子式全大于零⇔特征值全大于零.A 半正定⇔AX X X f T =)(半正定. ⇔存在可逆阵C ,使得),,,(21n T d d d diag AC C "=,其中i d i ∀≥,0.⇔存在可逆阵C ,使得000rTE C AC ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠⇔存在矩阵C ,使得C C A T=. ⇔正惯性指数为n A r <=)(⇔主子式全大于等于零⇔特征值全大于等于零. A 负定⇔A −正定. A 半负定⇔A −半正定.三. 实对称阵的性质:(1) 实对称阵可以相似对角化. (2) 实对称阵的特征值皆为实数. (3) 实对称阵属于不同特征值的特征向量正交.施密特正交化:给出nR 中一组基n ααα,,,21",可化为一组标准正交基n e e e ,,,21".过程:n ααα,,,21"→正交基n βββ,,,21"→标准正交基n e e e ,,,21" 11αβ=, 2122111(,)(,)αββαβββ=−, 313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=−−,121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)k k k k k k k k k αβαβαββαβββββββββ−−−−=−−−−".121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n n αβαβαββαβββββββββ−−−−=−−−−".令i ii e ββ1=,则n e e e ,,,21"为标准正交基.并且有311211111113222222333(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)1212(,)101(,,,)(,,,)001001n n n n n αβαβαβββββββαβαβββββαβββαααβββ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠""""""""""",121212(,,,)(,,,)n n n e e e ββββββ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠""%,则 311211113222233(,)(,)(,)1(,)(,)2(,)121230(,,,)(,,,)0000n n n n n n e e e αβαβαββββαβαβββαββααααααα⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠"""""####".相差一个主对角线全为正的上三角阵. 主轴定理: 任一实二次型都可经正交线性替换化为标准形,即实对称阵都可正交对角化.实对称阵正交对角化的过程: (1) 求特征值:sn s n n A E )()()(2121λλλλλλλ−−−=−"(2) 任给i ,求0)(=−X A E i λ的基础解系: i in i i X X X ,,,21",施密特正交化,化为i in i i ηηη,,,21". (3) 则s sn s s n n ηηηηηηηηη,,,,,,,,,,,,21222211121121""""为A 的n 个线性无关的特征向量,令),,,,,,,,,,,,(21222211121121s sn s s n n Q ηηηηηηηηη""""=,则Q 为正交阵,并且有⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=s n s nn T E E E AQ Q λλλ%2121. 应用:化简直角坐标系下二次曲面的方程.0222222321231312233222211=++++++++++d z b y b x b yz a xz a xy a z a y a x a ,令⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=z y x X ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321b b b β,则02=++d X AX X T T β.对A ,存在正交线性替换⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛111z y x C z y x ,化AX X T 为标准形213212211z y x λλλ++,则02=++d X AX X TT β化为:02213212211=++++d CY z y x Tβλλλ,即02221*31*21*1213212211=++++++d z b y b x b z y x λλλ从而再根据321,,λλλ的具体取值,运用配方法后,做适当的移轴和转轴变换,化为标准方程.典型例题:一. 二次型的矩阵和非退化线性替换1. (1) 设)(ij a A =是可逆实对称阵,证明二次型nnn n n n nn n a a a x a a a x a a a x x x x x x x f "####""""2122221211211121210),,,(−−−=的矩阵是*A证明: 二次型的形式分块, X A X X A A X AXA X A XX X f T T T T *110)(===−=−−. 而***)()(A A A T T==,*A 也是实对称矩阵,从而二次型的矩阵是*A . (2) 设)(ij a A =,证明如上的12(,,,)n f x x x "是一个二次型.0()T X f X XA=−.若A 可逆,则**1*()22T TT T A A f X XA A X X A X X X −⎛⎞⎛⎞⎜⎟===+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.若A 不可逆,令1A A tE =+,则存在0δ>,当0t δ<<时,1A 可逆,则**1111()22T TT X A A f X X X X A ⎛⎞⎛⎞⎜⎟==+⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠,其左右两边均为t 的多项式,当0t =时候,等式成立,即**1*()22T TT T A A f X X A A X X A X X X −⎛⎞⎛⎞⎜⎟===+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.2. 二次型()()()()222123122313,,f x x x x x x x x x =++−++的秩为_______.3. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值中有m 个零,t 个正实数,则A 的秩为_____,正惯性指数为______,负惯性指数 为_________,符号差为_________. ,,,2n m t n m t t m n −−−+−4. 设()ij A a =是秩为n 的n 阶实对称矩阵,ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式(,1,2,,i j n ="),二次型1211(,,,)n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑".(1) 记12(,,,)Tn X x x x =",试写出二次型12(,,,)n f x x x "的矩阵形式; (2) 判断二次型()Tg X X AX =与()f X 规范形是否相同,并说明理由. 解: (1) 因为()r A n =,故A 可逆,且111()()TT A A A −−−==,***()()T T A A A ==,实对称,则111211121121222122221121211(),n n n n TT T n n nn nnnn A A A A A A A A A A A A f X X X X X X A X A A A A A A A A −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠""""######"" 因此,二次型f 的矩阵表示为1,TX A X −,二次型的矩阵为1A −. (2) 因为1,A A −均是可逆的实对称矩阵,且1111()()TT A AAA A −−−−==,所以A 与1A −合同,于是()g X 与()f X 有相同的规范形.二. 二次型的标准形和规范形.1. 化二次型23323121321262),,(x x x x x x x x x x f ++−=为标准形 配方法: )69()3(2),,(222121221321321x x x x x x x x x x x x f +−−+−+=2213222121)3(89x x x x x x x +−+−+−=221322221)3(97)94(9x x x x x x +−++−−=,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−==−=213322211394xx x y x y x x y ,即X Y ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1130100194.即Y X ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=13010013194,二次型化为2221237()99g Y y y y =−++. 初等变化法:二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=113101310A ,则⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−1170140011000100025113010001100014049100010001113101310. 2. 求二次型n n n x x x x x x x x x f 212432121),,,(−+++=""的秩和正负惯性指数.解: 作1122123344342121221212n n n n n nx y y x y yx y y x y x x y y xy y −−−−=+⎧⎪=−⎪⎪=+⎪=−⎨⎪⎪=+⎪⎪=−⎩"""",二次型化为2221224232221)(n n y y y y y y Y g −++−+−=−",正=负=n . 3. 秩为n 的n 元实二次型()f X 与()f X −合同,则()f X 的正惯性指数为_________.2n 秩为n ,则正负惯性指数之和为n ,设p q n +=,而()f X −的正负惯性指数为,q p ,但是()f X 与()f X −合同,则,,p q q p ==从而2n p =. 4. 计算实二次型的符号差: 323121321622),,(x x x x x x x x x f −+=解: ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−143112160000002431111220200021000100010313011102521212125212121 5. 求实二次型∑=++=nj i jin xx j i ij x x x f 1,21)(),,,(λ"的秩与符号差.证明秩与符号差与λ无关.二次型的矩阵:⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−++++−+−−+−++−+−++++−+++++−++=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A 212)1(22112)1(22)1(1)1(2)1(221)1(244321)1(32222λλλλλλλλλλλλλλλλ""####"". 21112100110001000010000λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++++−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠""""########""""100010000⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠""###",秩为2,符号差为0. 6. 设A 是n 阶可逆实矩阵,求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=00T AA B 的正负惯性指数. 证明: 合同变换把⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=00TA AB 化简.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛A A EA A A E AA EA A T T TT T 21002100200 A 可逆,则A A T 正定,从而A A T21−负定,而单位阵E 正定,故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−A A E T 00的正负惯性指数都为n ,故B 的正负惯性指数都为n .7. 实数域上n 阶对称矩阵按合同分类有几类?复数域上n 阶对称矩阵按合同分类有几类? 解:根据秩及规范形的特点:分别为2)1(+n n ,1+n . 8. 假设AX X X f T=)(是一个实二次型,若有n 维实向量21,X X 使得0,02211<>AX X AX X TT,证明:存在n 维非零实列向量0X ,使得000=AX X T.证明:对)(X f ,存在非退化线性替换CY X =,使得二次型化为规范形221221)(r p p y y y y Y g −−−++=+"",由于存在21,X X 使得0,02211<>AX X AX X TT,则规范形中,0,0>−>p r p ,从而令T Y )0,,0,1,0,,0,1(0""=,有0)(0=Y g ,令00CY X =,则0)()(00==Y g X f .9. 假设AX X f T =是一个实二次型,且0<A ,证明:存在非零列向量X ,使得0<AX X T.证明: 0<A ,则A 可逆,从而存在非退化线性替换CY X =,化为221221)(n p p y y y y Y g −−−++=+"",并且n p <,即负惯性指数0>,取T Y )1,0,,0(0"=,则01)(0<−=Y g ,令00CY X =,则01)()(00<−==Y g X f .10. 设A 是n 阶反对称实矩阵,证明:(1) 对任意n 维非零实列向量X ,都有0)(>+X A E X T.(2) A E A E −+,可逆.证明: (1) 对反对称矩阵A 及任意非零实列向量X ,都有0=AX X T,从而0)(>=+X X X A E X TT. (2) 设A E +不可逆,则A E +有零特征值,存在非零向量X ,使得0)(=+X A E ,则0)(=+X A E X T矛盾.A 反对称,则A −也反对称.11. 设A 为n 阶对称阵,复二次型AX X T在非退化线性替换下化为22221r y y y +++")(n r <,求齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系.证明: 对A ,存在可逆矩阵P ,使得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000rT E AP P ,则11000)(−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=P E P A r T ,此时 0=AX 即0000)(11=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−X P E P rT ,即00001=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−X P E r,令Y X P =−1,则0000=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Y E r . 求0000=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Y E r的基础解系即可.即011====r y y y ".此时基础解系为n r r εεε,,,21"++,则0=AX 的一个基础解系为n r r P P P εεε,,,21"++.12. 设AX X X f T=)(是实二次型,若A 的前1−n 个顺序主子式11,,−n P P "非零,求证:经过可逆线性替换,f 可化为下标准形212212211n n n y P P y P P y P f −+++=",其中A P n =. 证明: 归纳法: 1=n ,2111)(x a X f =,假设结论对1−n 阶二次型成立,则对n 阶二次型AX X X f T=)(,对A 分块, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=nn Ta A A ββ1,则1A 的各阶顺序主子式是A 的1−n 个顺序主子式11,,−n P P ", ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−ββββ111100A a A a A A T nn nn T即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ββββββ111111111101010A a A A E a A A E T nn n nn T T n ， 并且有)(0111111ββββ−−−=−=A a A A a A A TnnT nn ,则1111−−==−n nTnn P P A A A a ββ.对1A ,应用归纳假设,存在可逆阵1Q ,使得121121111D P P P P P Q A Q n n T=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−−%,则 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−−12111111111111001010100n n n n n nn T T n TP P P P PQ A E a A A E Q %ββββ. 令⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−100101111Q A E C n β,则做CY X =,在此替换下,二次型化为212212211n n n y P P y P P y P f −+++=". 设三阶实对称阵A 的顺序主子式为1232,2,3P P P ===−,给出()Tf X X AX =的一个标准形.222123322f y y y =+−. 13. 设A 为n 阶复对称矩阵且秩为r ,证明T T A T=,其中T 是秩为r 的n 阶矩阵.证明:对A ,存在复可逆矩阵C ,使得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=000rT E AC C ,则 1111000000)(000)(−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C E E C C E C A rr T rT ,取1000−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C E T r ,则有T T A T=. 三. 实对称矩阵的正交对角化.1. 用正交线性替换化二次型323121232221844552x x x x x x x x x f −−+++=为标准形.解: 二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=542452222A ,求特征值:)10()1(1004922425424522222−−=−−−−−=−−−−−=−λλλλλλλλλA E . 对1=λ,0)(=−X A E ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−000000221442442221A E , 基础解系:TTX X )1,0,2(,)0,1,2(21=−=.正交单位化: 12,T Te e ==.对10=λ,0)10(=−X A E ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−000110102542452228A E ,基础解系, T X )2,2,1(3−=,正交单位化:T e )32,32,31(3−=,则令0Q ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎝,有⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1011AQ Q T .令QY X =,则二次型化为 23222110)(y y y Y g ++=.2. 实二次型323121232221321222),,(x x x x x bx x ax x x x x f +++++=经正交替换化为标准形22212y y +,求b a ,.解: 由于22212y y +是经正交线性替换化为的标准形,则0,2,1是二次型矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a b b A 的特征值,从而32=+a ,即1=a ,2(1)0A b =−−=,从而1=b .3. 已知(1,2,2)Tα=−是二次型2221231213234448TX AX ax x bx x x x x x x =++−+−矩阵A 的特征向量,求正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换.解: 二次型矩阵2224424a A b −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,设(1,2,2)Tα=−是矩阵A 属于特征值λ的特征向量,则2211244222422a A b λ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−−−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠,即81821022a b λλλ+=⎧⎪−=−⎨⎪+=⎩得9,1,4a b λ===,从而122244244A −⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.由特征多项式2122244(9)244E A λλλλλλ−−−=−=−−−,可知矩阵A 的特征值为0,0,9.对0λ=,得0AX =的基础解系12(2,1,0),(2,0,1)TTαα==−.Schmidt 正交化,即11βα=,1222111(,)1(2,4,5)(,)5T ααβαααα=−=−.单位化,得1231(1,2,2),2,2),2,4,5)3T T T γγγ=−=−=−,令123(,,)Q γγγ=,则 900T Q AQ ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,做线性替换X QY =,则有二次型化为标准形21()9g Y y =.4. 设实对称阵,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=1111111111111111A ,(1) 求A 的特征根及相应的线性无关的特征向量.(2) 求正交阵Q ,使得AQ Q T是对角阵.解:200002001211123122000220111111111111111111111111−−+−−−−−=−−−−−−−−−−=−−−−−−−−−−=−λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()2()4()2(1131)2(3222+−=−−=+−−−−=λλλλλλλ,得特征值2,24321−====λλλλ. 对21=λ,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−000000000000111111111111111111112A E ,得线性无关的特征向量 T T T X X X )1,0,0,1(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(321===.对24−=λ,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−→⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−−=−−000011001010311131111311113111132A E ,得特征向量TX )1,1,1,1(4−=. T )0,0,1,1(1=η,T T T )0,1,21,21()0,0,1,1(21)0,1,0,1(2−=−=η,T T T T )1,31,31,31()0,1,21,21(31)0,0,1,1(21)1,0,0,1(3−−=−−−=η令T e )0,0,21,21(1=,T e )0,62,61,61(2−=,T e )23,63,63,63(3−−=,T e )21,21,21,21(4−=,令⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=2123021636202163612121636121Q ,则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=2222AQ Q T . 5. 设0141340A a a −⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦,正交阵Q 使得T Q AQ 为对角阵,若Q)1,2,1T ,求,a Q解: 由题意,A 对应于1λ的特征向量为)11,2,1,Tξ=故1.A λ=即1014111322,4011a a λ−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可得11,2a λ=−=.对014131,410A −⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦14131(4)(2)(5)41E A λλλλλλλ−−=−=+−−−,得1232,4,5,λλλ==−= 且对应于12λ=的特征向量为)11,2,1Tξ=.由()20,E A x λ−=1234141710414x x x −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦,得24λ=−的特征向量为()21,0,1T ξ=−.由()30,E A x λ−=1235141210415x x x −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦,得35λ=的特征向量为()31,1,1T ξ=−.)))3121231231,2,1,1,0,1,1,1,1TTTξξξηηηξξξ====−==−.取()123,,0,Q ηηη⎞⎟==⎟⎠则245T Q AQ ⎡⎤⎢⎥=Λ=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 6. 3阶正定阵A 的3个特征值是,3,3,6已知T)1,1,1(是A 属于6的特征向量, (1) 求属于3的两个特征向量. (2) 求A .解: 根据实对称矩阵的特点,设正交阵112233x y Q x y x y ⎛⎜=⎜⎜⎜⎝,则有⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=633AQ Q T ,从而 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++00011321321332211232221232221y y y x x x y x y x y x y y y x x x ,取03=x ,得0Q ⎛⎜=⎜⎜⎜⎝,则341131416114A⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠.7. 设A为实对称可逆矩阵,AXXf T=为实二次型,证明:A为正交阵当且仅当可用正交变换化f为规范形. 证明: ⇐. 由条件, 可用正交变换化f为规范形,即存在正交阵Q,使得DAQQ T=为对角阵,且主对角线上元素为1,1−或0,由于A可逆,故D主对角线上元素为1,1−,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−rnrTEEAQQ.则EQEEQQEEQAA TrnrTrnrT=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−,A为正交阵.⇒.A为实对称可逆且正交,实对称阵的特征值皆为实数,正交阵的实特征值为1,1−,从而若A为正交阵,则存在正交阵Q,使得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−rnrTEEAQQ.对二次型f,可用正交变换化为规范形.8. 设3,1,1−是3阶实对称矩阵A的特征值,T)0,1,1(−是A属于3−的特征向量,求A解: 设A属于1的特征向量为21,αα,令T)0,21,21(3−=α,做正交阵),,(321ααα=Q,则有⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311AQQ T,设112233x yQ x yx y⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎝⎠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=++=++2121332211232221232221,11yyxxyxyxyxyyyxxx,化简得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+21212331123212321yxyxyyxx取03=x代入得到TT)1,0,0(,)0,21,21(11==αα,则0011200100121030001010A⎞⎞−⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎠.9. 设实二次型123(,,)Tf x x x X AX=经正交变换化成的标准形为2221232f y y y=−−,*A是A的伴随矩阵,且向量(1,1,1)Tα=−满足*Aαα=,求二次型123(,,)f x x x.解: 则存在正交阵Q,使得211TQ AQ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,*Aαα=,从而1Aλ=,则2λ=,即(1,1,1)Tα=−是A对应于特征值2λ=的特征向量,故可设112233x y Q x y x y ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠,则222123222123112233123123110,x x x y y y x y x y x y x x x y y y ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=+=⎩,取03=x 代入,得12123x x y y y =−====,代入0Q ⎛⎜⎜=⎜⎜⎝,则211T A Q Q ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠, 20111010111100A ⎛−⎛⎞⎛⎞⎜⎜⎟⎜⎟⎜=−=−⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎟⎜⎠⎝⎠⎠⎝. 10: 设二次型222123123121323(,,)442f x x x x x x x x x x ax x =++−−+经正交变换化为22212333y y by ++,求,a b 的值及所用正交变换.解: 二次型及其标准形的矩阵1222121A a a −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,33B b ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.且A 与B 合同且相似,迹相等,即 36,3b b =+=−,行列式相等,即218827,a a +−−=−得2,10a a =−=,同时(3)1r E A −=,则2a =−.对3λ=,由(3)0E A X −=,得特征向量12(1,1,0),(1,0,1)TTαα=−=−.正交化11βα=,1222111(,)1(1,1,2)(,)2T ααβαααα=−=−.对3λ=−,由(3)0E A X −−=得特征向量3(1,1,1)Tα=.单位化,有1231,0),2),T T T γγγ=−=−=.令123(,,)Q γγγ=,则333T Q AQ ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠,做线性替换X QY =,则有二次型化为标准形222123()333g Y y y y =+−. 四. 矩阵的正定性1. t 取何值时,实二次型是正定的.323121232221321222)(),,(x x x x x x x x x t x x x f −++++=.解: 二次型的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=t t t A 111111,则01>=t P ,0122>−=t P ,0)2()1(23>−+==t t A P,则有2>t . 2. n 阶实对称阵A 正定当且仅当A 的n 个顺序主子式的代数余子式全大于零.证明: 对A ,设k k A p =是A 的k 阶顺序主子式,k A 是前k 行前k 列得到的k 阶矩阵.则对A 进行换行换列的初等变换,使得后k n −行k n −列换到前k 行前k 列,此时矩阵为AP P T,而A 的k 阶顺序主子式的代数余子式就是AP P T的k n −阶顺序主子式,而AP P T与A 合同,从而AP P T正定,故顺序主子式全大于零,即A 的n 个顺序主子式的代数余子式全大于零.3. 实对称阵A 正定,则A 的主对角线上的元素全大于零.证明: 011>a ,考察正定阵),1(),1(i AP i P T,其中),1(i P 是i ,1行的换法初等阵. 4. 正定阵A 的主子式全大于零.把所要考察的k 阶主子式经过行列相同的初等变换,即合同变换,划到前k 行前k 列,所得矩阵为AP P T,正定.5. 设n 阶阵C B A ,,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C B B A D T 正定,证明: T B BA C 1−−也正定. 证明: 首先,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C B B A D T 正定,则D D T =,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛C B B A C BB A T T T T ,从而C A ,都是对称阵.且A 是D 的n 阶顺序主子式,则0>A ,可逆,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−A B BA C B BA C A C B B A TT T 000011, D 与⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−A B BA C T001合同,从而T B BA C 1−−也正定. 6. 下列关于n 阶实对称阵A 的命题等价.(1) A 是正定阵.(2) 存在主对角线元素全等于1的上三角矩阵B ,使得DB B A T=,其中D 是正定对角阵. (3) 存在主对角线元素全为正的上三角阵C ,使得C C A T=.证明: (1) ⇒(2) : 1=n ,则)(11a A =,成立,假设1−n 成立,对A 分块, ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=111A a A Tαα,合同变换: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−αααααααT T T Ta A a a A a A a A 1111111111111110,即 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ααααααT n T n T a A a E a A a E a 11111111111111111101,ααTa A 1111−−也正定,从而存在主对角线元素全等于1的上三角矩阵(单位上三角阵)1B ,使得111111111)()(D B a A B TT =−−−−αα是一个正定对角阵.则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−11111111111111111100001101)(001D a BE a A a E a B n T n TT αααα是一个正定对角阵.令 111111100101−−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛B B E a n α,则B D a B A T ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11100或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=nn Ta A A ββ1,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ββββββ111111111101010A a A A E a A A E T nn n nn T T n , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−ββββββ111111111111001001010100A a D B A E a A A E B T nn n nn T T n T .(2) ⇒(3) B d d d B B d d d B DB B A n T n T T 22121⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==%% C C B d d d d d d B Tn n T =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=%%2121(3) ⇒(1) 0)(>==CX CX CX C X AX X TTTT.正定.7 . 设A 是n 阶实对称阵,若A 正定,求证1−A ,mA A ,*都是正定的. 证明：11111)(−−−−−==AA A AA A AT ,正定.由于0>A ,则1*−=A A A 正定.对A ,存在可逆阵P ,使得⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=n Td d d AP P %21,其中0>i d ,则⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=m n mm m T d d d P A P %21,正定.8. 若B A ,正定,证明B A +也正定.定义证明.9. 设A 是正定阵,证明c X AX X x f T T ++=β2)(的最小值为ββ1−−A c T ,其中),,,(21n T b b b "=β是n 维实列向量.证明: 证明x Ax x x g TTβ2)(+=的最小值为ββ1−−AT即可,做一个变形:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10)1,()(X AX x g TT ββ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−ββββ1000A A AT T ,则 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−ββββββ111001010A AA E A A ET T T .做替换⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−11011Y A E X β,即 β1−−=A Y X ,即β1−+=A X Y ,代入有ββ1)(−−+=A c AY Y x f T T ,从而最小值ββ1−−A c T .10. 若)(ij a A =与)(ij b B =都是n 阶正定阵,证明)(ij ij b a H =也是正定阵.证明: 对正定阵B ,存在可逆矩阵C ,使得C C B T=,设)(ij c C =,则∑==nk kjki ij c cb 1.∑∑∑∑∑∑∑============nk nj i j kj i ki ij nk nj i j i kj ki ij nj i nk j ikj ki ij nj i jiij ij Tx c x c a x x c c a x x c ca xx b a HX X X f 11,11,1,11,))(()(∑=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nk n kn k k n kn k k x c x c x c A x c x c x c 122112211),,,(#",由于C 可逆,在至少有一个⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n kn k k x c x c x c #2211非零,从而0)(>X f .11. (1) 设∑∑≤<≤=+=nj i jini i n xx x x x x f 11221),,,(",证明:f 正定.证明: 二次型的矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=121212112121211"###""A ,1111111111(1)2222222111111000122222211111100022222n n n A +−−+====−""""""#########""", 从而A 的k 阶顺序主子式102k k k P +=>,故f 正定. (2) 判断n 元二次型2112)()1(∑∑==−+ni i ni ix x n 是否正定.12. 设B 是m 阶正定阵,C 是n m ×列满秩实矩阵,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0T C C BA ,证明 (1) CBC T1−是正定阵. (2) 二次型AX X x x x q Tm n =+),,,(21"的正负惯性指数分别为m 与n .证明: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−C B C B C C BT T1000,即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−C B C B E C B E C C BE BC E T T T 11100000, 则⎩⎨⎧==≠>⎩⎨⎧⇔==≠>===−−−000000)()(111X X Y Y Y B Y CX B CX CX B C X T TTT,0=CX 只有零解. B 正定,则1B −正定,C 列满秩,则C B C T 1−正定.13. 设TAC D B C⎛⎞=⎜⎟⎝⎠为正定矩阵,其中,A B 分别为m 阶,n 阶对称矩阵,C 为m n ×矩阵, (1) 计算T P DP ,其中10mn E A C P E −⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦;(2) 利用(1)判断矩阵1T B C A C −−是否为正定矩阵,并证明你的结论. 解: (1) 因为110,0m mTT n n E E A C P P E E C A −−⎡⎤⎡⎤−==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦,所以 111110.000mmm T TT T T n n n E A COE E C A A A C A C P DP E B O E E CB C A C B C A C C A −−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2) 因为D 是正定矩阵,P 是可逆矩阵,所以对于任意非零向量X ,有()()0TTTX P DPX PX D PX =>. 任取()00,0,TT X X y y ⎛⎞=≠=⎜⎟⎝⎠,()00,0,T T y P DP y ⎛⎞>⎜⎟⎝⎠所以有()1000,0,0T T A y B C A C y −⎛⎞⎛⎞>⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠即()10,TTyB C A C y −−>所以1T B C A C −−是正定矩阵.14. (1) 已知A 是n 阶可逆矩阵,证明TA A 是对称、正定矩阵.(2) 设()ijn mA a ×=为实矩阵，证明T A A ,TAA 都是半正定矩阵。
