二次型与对称矩阵习题

第六章 二次型本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.§1 二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数+++= 2222211121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122222--++++ (1)若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成j i nj i ij n x x a x x x f ∑==1,21),,,( (2)称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵，并求出二次型的秩.解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=14002202214~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3.§2 化二次型为标准型一、二次型合同矩阵二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 即用(3)代入(1),还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作Cy x =,其中矩阵)(ij c C =,把可逆的线性变换Cy x =代入二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,得二次型ACy C y Cy A Cy Ax x x x x f T T T T n ===)()(),,,(21定义 1 两个同阶方阵A B 、,若存在可逆矩阵C ,使B AC C T=,则称矩阵A B 、合同.若A 为对称矩阵,C 为可逆矩阵,且B AC C T=.则B 亦为对称矩阵,且).()(A r B r =证 因为A 是对称矩阵, 即A A T=,所以B AC C C A C AC C B T T T T T T T T ====)()(即B 为对称矩阵. 因为AC C B T =,所以)()()(A r AC r B r ≤≤.因为11)(--=BC C A T ,所以)()()(1B r BC r A r ≤≤-, 故得).()(B r A r = 主要问题：求可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使222221121),,,(nn n y k y k y k x x x f +++= (4) 称(4)为二次型的标准形.也就是说,已知对称矩阵A ,求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理2 任意二次型j inj i ij x x af ∑==1,)(ji ij a a =,总有正交变换Py x =,使f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ,其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.推论 任给n 元二次型Ax x x f T=)(,总有可逆变换Cz x =使)(Cz f 为规范形.二、二次型的合同标准形1、拉格朗日配方法化二次型成标准型(1) 对有完全平方的二次型,每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方,而使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量.然后对剩下的不是完全平方的部分再按照此处理,直到全部配成完全平方为止,这样做,是为了保证所得的线性变换是非异的.如果不这样做,最后就需要检验所得的线性变换是否非异.例2 用配方法化二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准形.解 由于f 中含变量型1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得32312123222182292x x x x x x x x x f +++++=322322232168)(x x x x x x x +++++=上式右端除第一项外已不再含1x .继续配方，可得232322321)3()(x x x x x x f -++++= 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232113x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321132y x y y x y y y x 就把f 化成标准形（规范形）,232221y y y f -+=所用的变换矩阵为).0(100310211≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C C(2) 如果所给的二次型全由混合项组成,而没有平方项,例如133221321),,(x x x x x x x x x f ++=,则需要先做类似于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x 之类的非异线性变换,使变换后的二次型由平方项,再按(1)处理.二次型经非异线性变换化为标准型后,还可以再作非异线性变换,化为标准形.例3化二次型3231212x x x x x x f -+=成标准型，并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项，所以令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211yx y y x y y x 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x 代入3231212x x x x x x f -+=得323122213y y y y y y f ++-=在配方,得.2)23()21(23232231y y y y y f +--+= 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333223113332231123212321z y z z y z z y y z y y z y y z即.10023102101321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z y y y得2322212z z z f +-= 所用变换矩阵为.10011121110023102101100011011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C )02(≠=C2、正交变换化二次型成标准型寻求正交变换,化二次型为标准型,其步骤如下： (1) 写出二次型的矩阵A ,求0-=A E λ的所有相异的根n λλλ,,,21 (n s ≤,n 为A 的阶数)；(2) 对每个i λ(s ,,2,1 =i )求齐次线性方程组0)(=-x A E i λ的基础解系.如果i λ,基础解系只含1个解向量,则单位化.如果i λ,基础解系含有多于1个的解向量,则规范化,这样,总共得到n 个两两正交的单位向量.(3) 以所得的n 个两两正交的列向量得到矩阵P ,则P 为正交矩阵,正交变换Py x =化二次型Ax x T为标准形y y TΛ为对角阵,主对角线上第i ),,2,1(n i =个元素是P 的第i 个列向量所对应的特征值(k 重特征值出现k 次).经正交变换得到的标准形后,还可以再作非异的线性变换将标准后,还可以再作非异的线性变换将标准形化为规范形.但这一变换已不再是正交变换了.换言之,经正交变换,二次型一定可以化为标准型,但未必能化规范形.例4求一个正交变换Py x =，化二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=为标准形.解 (1)写出二次型f 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A (2) 求矩阵A 的特征值,写出特征多项式λλλλλλλλλλ------=-------=-------204622412204222212424222212)2)(7(6241)2(λλλλλ-+-=------=故特征值为2,7321==-=λλλ(3) 求矩阵A 的特征值所对应的特征向量 ①当71-=λ时, 解方程0)7(=+x E A ,由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001102101~5424522287r E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211ξ.②当232==λλ时, 解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000221~4424422212r E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102,01232ξξ.(4) 将32,ξξ正交化：取22ξη=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5425101254102],[],[2223233ηηηξηξη(5) 将321,,ηηξ单位化,得,22131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξp ,01251222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ηηp .542531333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηηp(5) 可得正交矩阵P.53503253451325325231),,(321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==p p p P 若令Py x =则Ax x x x x x x x x x x x x x f T =++---=32312123222132184422),,(233222211y y y APy P y T T λλλ++== 2322212271y y y ++-= 注 用正交变换法化二次型成标准型后,其平方项的系数就是矩阵A的特征值.而变换矩阵的各列,分别是这些特征值对应的规范正交的特征向量.例 5 已知,1001110101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a a A 二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2.(1) 求实数a 的值.(2) 求正交变换Qy x =将f 化为标准型. 解(1),3111101021001110101111010010122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a a a a a a a a A A T x A A x T T )( 秩为22)()(==∴A r A A r T可得 1-=a .(2) 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==422220202B A A T由0)6)(2(422220202=--=-------=-λλλλλλλE B解之得.6,2,0321===λλλ① 当01=λ时,由0)0(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11-1-1ξ.②当22=λ时,由0)2(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011-2ξ.③当63=λ时,由0)6(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ.将321,,ξξξ单位化,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==211613,011-212,11-1-313322111ξξξξξξr r r令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6203161210612131),,(321r r r Q . 则Qy x =时,可得标准型232262y y Bx x f T +==. 例6 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-,若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 解 若二次型f 的规范形为2212y y +,说明f 两个特征值为正,一个为0.当2=a 时,三个特征值为 0,2,3,这时,二次型的规范形为2212y y +.§3 二次型及实对称矩阵的正定性二次型的标准形不是唯一的.标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的.一、惯性定理定理3(惯性定理) 设有实二次型Ax x f T =它的秩是r ,有两个实的可逆变换Cy x =与Pz x =.使)0(,2222211≠+++i r r k y k y k y k 及,2222211r r y z z z +++ λλ)0(≠i λ则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等. 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数.例7 二次型,2223),,(323121232221321x x x x x x x x x x x x f +++++=求f 的正惯性指数.解：方法一：3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 2223212)(x x x x +++= 令⎪⎩⎪⎨⎧==++=33223211xy x y x x x y , 则22212y y f +=.故f 的正惯性指数为2.方法二：f 的正惯性指数为所对应矩阵特征值正数的个数,由于二次型f 对应矩阵.111131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A所以λλλλλλλλλλλ---=---=---=-211231001111310111131111E A λλλ---=2112310)4)(1(2123---=---=λλλλλλ=0 故4,1,0321===λλλ.故f 的正惯性指数为2. 二、正定性的判别定义10 设有实二次型Ax x f T=如果对于任何0≠x ,都有0)(>x f ,(显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称对称阵A 是正定的.记作0>A ；如果对任何0≠x ,都有0)(<x f ,则称f 为负定二次型,并称对称阵A 是负定的,记作0<A .定理4 实二次型Ax x f T=为正定的充分必要条件是:它的标准形的n 个系数全为正,即f 的正惯性指数为n .证 设可逆变换Cy x =使21)()(ini i yk Cy f x f ∑===.先证充分性：设0>i k ),,2,1(n i =,任给0≠x ,故.0)(21>=∑=i ni i y k x f再证必要性: 用反证法,假设有0≤s k ,则当s e y =(单位坐标向量)时,0)(≤=s s k Ce f ,显然0≠s Ce 这与假设f 正定矛盾,故.0>i k推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.定理5 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正.即011>a ,022211211>a a a a,01111>nnn na a a a ; 对称阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.即，0)1(1111>-nrn rra a a a ),,2,1(n r =.这个定理称为霍尔维兹定理.注：对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念.例8设实二次型312322212x cx ax bx ax f +++=,当该二次型为正定二次型,c b a ,,应满足的条件?解 写出f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c b c a A 0000因为该二次型为正定二次型,所以0)(,0,022>-=>>∴b c a A ab ac b a ,,∴应满足0,>>b c a .定理6实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵C ,使C C A T =,即矩阵A 与单位矩阵合同.证明 先证充分性：若存在可逆矩阵C ,使C C A T=,任取非零向量x ,则0≠Cx (如果0=Cx ,由C 可逆,则0=x 矛盾),对任取的0≠x ,有0)()()(T >====Cx Cx Cx Cx C x Ax x x f T T T,从而矩阵A 正定.再证必要性：设对称矩阵A 为正定矩阵,因为A 为对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使A 对角化,即),,,(21n T diag AQ Q λλλ =Λ=,其中n λλλ,,,21 为A 的特征值,而A 是正定矩阵,所以0>i λ,记),,,(211n diag λλλ =Λ.则Λ=Λ21,从而T T T Q Q Q Q Q Q A ))((1111ΛΛ=ΛΛ=Λ=令T Q C )(1Λ=,则C 可逆,而且得到C C A T=. 所以可得EC C A T=,故矩阵A 与单位矩阵合同.定理7实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在正定矩阵B ,使2B A =.证明 因为A 是正定矩阵，所以矩阵A 可以正交相似对角化。

第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示[达标训练题]A 组一、填空题1．下列各式中 等于22212154x x x x ++.（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215221),(x x x x ；（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215311),(x x x x ；（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21215481),(x x x x ；（D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21215221),(x x x x . 2．上题中 是二次型22212154x x x x ++的矩阵. 3．二次型222121462x x x x ++的矩阵是 .4．二次型23323121432122),,,(x x x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 .5 二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21214221),(x x x x 的矩阵是 . 6．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4331对应的二次型是 . 7．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131对应的二次型是 . 8．二次型经线性替换化为 . 二、判断题1．二次型AX X f '=经线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则 ①B A ,等价；②B A ,合同.2．二次型AX X f '=经非退化线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则①B A ,等价；②B A ,合同.3．若二次型BX X AX X f '='=，则B A =. 4．B A ,合同，则B A ,等价. 5．B A ,等价，则B A ,合同. 三、解答题1．若21,A A 合同，21,B B 合同，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A 合同. 2．证明：如果A 是n 级对称矩阵，且对任意n 维向量X ，有0='A X X ，则0=A .B 组1．（选择）实方阵A 与单位矩阵E 合同，则必有 成立. （A ）0<A ；（B ）0=A ；（C ）0>A ；（D ）不能确定. 2．证明：E E -,在复数域上合同，但在实数域上不合同. 3． 举例说明，B A ,合同，存在可逆矩阵,C 使AC C B '=，这里的C 不是唯一的.§1 二次型的矩阵表示[达标训练题解答]A 组一、填空题1．（A ）（B ）（C ）（D ）； 2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4332；4.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001121010102110；5.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4001； 6， 22212146x x x x ++； 7.22212122x x x x ++; 8.二次型. 二、判断题 1.F ； 2.T ； 3.F ；4.T ； 5.F. 三、解答题1．证明 根据条件存在可逆的21,C C ，使2222111,B BC C A C A C ='='，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100C C C ，则C 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'2211B A C B A C .故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛22B A 合同.2．证明：如果取Ti X )0,0,1,0,0()( =利用已知条件可以得出),2,1(0n i a ii ==，在取T j i X )0,0,1,0()()( =，利用已知条件容易得出)(0j i a ij ≠=.证毕.B 组1．（C ）2. 证明：在复数域上取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i C ，即得E EC C -='.而在实数域上对任意的可逆矩阵C ，EC C '的主对角线上元素是C 的行向量元素的平方和，不可能是-1.故E EC C -='不成立.3．例如，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2001B A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121C ，则B AE E AC C ='='.§2 标准形[达标训练题]A 组1． 分别用配方法和合同变换法将下列二次型化为标准形，并求所用的线性替换：（1）32312122216223x x x x x x x x -+--；（2）323121224x x x x x x --.2． 求证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 用合同变换将下列对称矩阵为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022,542452322B A4． 证明：秩为r 的对称矩阵可以表示成r 个秩为1的对称矩阵之和.B 组1． 化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++；（2）112221+-+++n n n n x x x x x x .2． 证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同，其中11A 为可逆的对称矩阵.§2 标准形[达标训练题解答]A 组1．解（1）用配方法：23223212332223231213322213231212221)21(4)()41(4)222(6223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=++--+-++=-+--⎪⎩⎪⎨⎧==+=+-33232132121z x z x x z x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232112123z x z z x z z z x ， 则22213231212221416223z z x x x x x x x x -=-+--.(2)用合同变换法二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，对A 施行合同变换： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10021102311000040001100010111020040001100010001031331111，所以令CY X =，则2221323121222146223y y x x x x x x x x -=-+--.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10021102311C .（2）配方法 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211xy x x y x x y ，则23222123222312322233121322221323121242)21(42)41(4444224z z z y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x --=---=--+-=--=--其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=332231141yz y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=33323118583z x z x z z x .合同变换法：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011102120A ，对A 施行合同变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1001032115121151000500041004121141211412102150004100011001011142124100010001011102120，所以令CY X =，2322213231215154224y y y x x x x x x --=--，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10010321151211C . 2.证明：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21对应的二次型是2222211)(n n x x x X f λλλ+++= .作非退化的线性线性替换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===in n i i x y x y x y 2121，则二次型化为2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= ，而2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i i λλλ 21.故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321031113500030002100010111320230002100010001542452222E A ，取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10032103111C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='3532AC C . （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210211000010002100010011020210002100010001020212022E B .， 取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211C ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='012BC C . 4． 证明：设A 为秩为r 的矩阵，则存在可逆矩阵C ，使Cd d C A r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=001，令rr r DD D d d d d++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111000000，则C D C C D C C D C A r '++'+'= 21，其中),,2,1(r I C D C i ='为秩为1 的矩阵.B 组1． 解（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++23232232113)4()(2x x x x x x --++-= 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y C x x x ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100410311C . （2）112221+-+++n n n n x x x x x x ，令2211n y y x +=,2,1++=n n n y y x211++-=n n n y y x yy y x nn 2,,212-= ，则2221224232221112221n n n n n n y y y y y y x x x x x x -++-+-=+++-+- .所用的非退化的线性替换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==2121212121212121, C CY X 2 . 证明：因为=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫⎝⎛--212111122211211212111100E A A E A A A A E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211112221100A A A A A ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A A A A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同.§3 唯一性[达标训练题]A 组一、填空题1．秩为r 的复二次型的规范形 ，秩为r 的复对称矩阵合同于对角矩阵 .2．复n 对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .3． n 级实对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .4． n 级复对称矩阵按合同分类共有 类. 5．n 级实对称矩阵按合同分类共有 类. 二、解答题1． 写出下列复二次型的规范形(1)22212)1()(ix x x i x f +--=; (2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=. 2.将实二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=化为标准形，并求其秩、正负惯性指标和符号差.2． 实二次型的秩为r ，正负惯性指标分别为q p ,，证明r 与q p -有相同的奇偶性，且r q p r ≤-≤-. 4．nn KS S ⨯∈='，证明；存在nn KA ⨯∈，使A A S '=.B 组1． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A ，证明；B A ,在实数域上合同，并且求一实可逆矩阵P 使B AP P ='.2． 证明：任何一个n 级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一..12,1000000;2,00+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛v n E E v n E E v v v v3． 证明：一个n 级实可逆矩阵必合同于下列形式的矩阵之一,000000,00000022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v n v vv n v v E E E E E E4． 设n 元实二次型f f -,可以经过非退化的线性替换互化，问f 的符号差应满足什么条件.§3 唯一性[达标训练题解答]A 组一、填空题 1.221r y y ++ ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 ； 2.有相同的秩，秩相同；3.秩与惯性指标形同，秩与惯性指标相同；4.1+n ；5.)1(21+n n .二、 解答题1．解（1）22212)1()(ix x x i x f +--=矩阵的秩为 2 ，所以它的规范型是2221y y + .(2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 4 ，所以它的规范型是24232221y y y y +++.2．解 利用配方法或合同变换法容易求出它的规范型为：232221y y y -+，故其秩是3，正惯性指标2，负惯性指标为1，符号差1.3．证明：因为,2p r q p -=-所以r 与q p -有相同的奇偶性.又因为r q r p ≤≤≤≤0,0，所以r q p r ≤-≤-.4．证明：设矩阵的秩为r ，则BC C S '=，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011 B ，显然B B =2，因此BC A A A BC BC BBC C BC C S ='='='='=,)()(.B 组1．解 容易利用合同变换把⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A 化成与它们合同的标准型.然后求出可逆矩阵 P 使B AP P ='.2．证明：法一）由复对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩，于是对可逆的复对称矩阵如果是偶数级的合同于00v vE E ⎛⎫⎪⎝⎭，如果是奇数级的则合同于0000.001vv E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭法二）对于2n v =11221100022v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 在复数域上v v v v v v v v E E E E iE E iE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用传递性，2n v =得证.21n v =+，只需考察000001v v E E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭即可.3．证明：由111110*********222⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭设实对称矩阵A 的正、负惯性指标分别是,p q当2np q v===，A 与矩阵vv E E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同，于是A 与矩阵v v E E ⎛⎫⎪⎝⎭合同；p q n p v >=-=时 2q n qq E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭与2q qn q E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，A 与矩阵200v v n v E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭合同；v p q n p =<=-00vn v E E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭与2v vn v E E E -⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭合同A 与20000v v n v E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭合同.4．显然秩相同，符号差相反.§4 正定二次型[达标训练题]A 组一、填空题1． 二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组 的 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，f 的规范形是 .2． 二次型),,,(21n x x x f 称为半正定的如果对任意一组 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，其规范形为 .3．负定二次型的规范形是 .4．设B A ,是n 级正定矩阵，下列矩阵 是正定的.)0,(),0(,,,,,,,,1*>+≠'±''-l k lB kA C AC C B A AB A A kA A A A A n . 二、解答题1. 用三种方法证明二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=是正定的.2． t 取何值时，二次型32312123222132122232),,(x tx x x x x x x x x x x f +-+++=是正定的.3．若A 是可逆方阵，证明A A A A '',正定.B 组1． 判断下列二次型是否正定（1）∑≠=ji ji n x x x x x f ),,,(21 ；（2）∑∑≠=+=j i ni ji in x x x x x x f 1221),,,( .2． 假设二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组全不为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f ，问),,,(21n x x x f 是否为正定.3． 证明n 级实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的任意主子式全大于零.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.4． 证明n 级实对称矩阵A 半正定的充分必要条件是它的任意主子式非负.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.5． 设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，证明nn a a a A 2211≤，等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵.§4 正定二次型[达标训练题解答]A 组一、填空题1．非零的，0>，22221n y y y +++ ；2.实，非零的，0≥，)(22221n r y y y r ≤+++ ； 3.22221n y y y ---- ；4.)0,(),0(,,,,1*>+≠''-l k lB kA C AC C A A A A n . 二、解答题1．解：（1）配方法=--+++=323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f 2221(2x x +)22232312123x x x x x x x --++2323322235)9434((3x x x x x ++-+=2321)(2x x x --+2323235)32(3x x x +-=232221y y y ++. 所以正定.（2）合同变换法对二次型矩阵进行合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1530152310151312110001000110032103111350030002100010111320230002100010001542452222，即二次型矩阵 是正定的，从而二次型正定.（3）求二次型矩阵的特征值，容易得出二次型矩阵的特征多项式为)9)(2)(1(---x x x .矩阵的特征值都是大于0的，从而二次型正定.2．解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121111t t A ，12,1,1221++-==∆=∆t t A显然当2121012.,02+<<-⇔<-->t t t e i A 时二次型正定. 3． 证明：利用若实对称矩阵与单位矩阵合同则正定得出结论显然成立.B 组1．解（1）二次型矩阵的k 级主子式为0)21(021212102121210)(≠-==∆k k k k.因此二次型不是正定、半正定的，也不是负定半负定的.（2）二次型矩阵的k 级主子式为0)211()21(121212112121211)(>-+==∆k k k k，所以二次型正定.2．解：正定二次型指二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组不全为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f .因此该题给出的条件不能说明),,,(21n x x x f 是否为正定.同时容易举出反例.3．证明n 级对称矩阵正定，而)0(212112*********n i i i a a a a a a a a a A k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k ≤<<<≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 为A 的任意主子式所对应的一个k 级矩阵，二次型),,,(21n x x x f ，为正定，则对于任意不全为0 的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ，从而对于任意不全为零的实数n i i i c c c ,,,21 都有)0.,0,,0,,0,,0,,0(1> k i i c c f 但对于文字为ni i i x x x ,,,21 而矩阵为k A 的二次型)0,,0,,0,0,0,,0(),,,(121 k n i i i i i x x f x x x g =，显然是正定的，故k A 的行列式大于0.4．证明 必要性 令n k n i i i k ,,2,1,021 =≤<<<≤且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n nn n a a a a a a a a a A 21222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k a a a a a a a a a A 2112221212111.设它们对应的二次型分别是),,,,(21n x x x f ),,(11k i i x x f . 若A 是半正定，即f 半正定，从而1f 半正定.于是存在实可逆矩阵k C ，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='k ii k k kC A C λλ 1)0(≥j i λ，从而02≥='k k k k kA C C A C ，故得0≥k A .充分性 设A 的主子式全大于或等于0， 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m m a a a a B 1111，则mm m m mmm m m mm m p p p a a a a a a a a a B E ++++=+++=+--λλλλλλλ111212222111211.其中i p 是m B 的一切i 级主子式之和. 故0≥i p ，从而当0>λ时0>+m m bB E λ.即对一切正实数λ，A E +λ正定.如果A 不是半正定，则存在不为0 的实向量Tn c c c X ),,,(210 =有00<-='a AX X ，于是取01200>='=∑=ni icaX X aλ，0)(00=+'X A E X λ，这与对一切正实数λ，A E +λ正定矛盾.故A 是半正定的.5．证明：设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，首先我们证明二次型0),,(1111111nnnnn n n y y y a a y a a y y f=负定.事实上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--Y A Y Y O AY A E Y Y A 11100，从而Y A Y A f 1-'-=，所以f 负定.其次我们证明1-≤n nn A a A ，其中1-n A 是1-n 级顺序主子式.由于11,11,11,11,1111,1,11,11,111,111000------------+=+=n nn nnn n n n n n n n n n n n n n n n n A a D a a a a a a a a a a a a a a a A其中),,(1,1,11,11,111,111,11-------==n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a f D.由于A 正定，从而1-n A 正定.因此由上面证明可知0≤D .即1-≤n nn A a A .显然当A 的第一行第一列除11a 外全为0 时等号成立.最后利用数学归纳法，就可以证明本题的结论.即nn a a a A 2211≤，且等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵第五章 测试题A 卷一、填空题1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213821),(),(x x x x x x f 的矩阵是 ，当 时，线性替换CY X =是非退化的.2．21222132166),,(x x x x x x x f ++=的矩阵是 ，矩阵表示式是 .3．若B A ,是n 级正定矩阵，则AB B A B A ,,,1-'-中 不是正定的.4．两个实二次型经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .5．实二次型),,,(21n x x x f 是不定的，其规范形是 （q r ,分别是f 的秩与正惯性指标）.二、解答题1．用非退化的线性替换化下列二次型为标准形： （1）（配方法）4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=；（2）（合同变换法）433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=. 2．t 取何值时，3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3．设A 是实反对称矩阵，证明2A E -正定.4．证明：22,(0)a b ac bc c bc c A B c b c bc c c ⎛⎫+++⎛⎫==≠⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭合同.5．令R a a a n ∈,,,21 ，证明：212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--正定的充要条件是0)1(1211≠-++n n a a a . B 卷一、选择填空1．A 是n 级反对称矩阵，对任意的n 维向量X 都有AX X '. （A ）0>；（B ）0<；（C ）等于0；（D ）不确定.2．实二次型可以分解为两个不成比例的实系数多项式，则它必有 .（A ） 秩为2；（B ）秩为0；（C ）秩为2符号差为0；（D ）秩为1.3．二次型f 经非退化的线性替换化为g ，则它们的矩阵B A ,满足 .（A ）等价； （B ）合同； （C ）存在P ， 使AP P B 1-=；（D ）存在Q P ,，使Q P PAQ B ,(=可逆）.二、 解答题1． 设A 为实对称方阵，证明，当ε充分小时，A E ε+是正定的. 2． 设S 是n 级复对称矩阵，证明存在复矩阵A ，使A A S '=.3． 设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'第五章 测试题解答一、 填空题1.0,3521≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；2.XX ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6331,6331；3.B A -；4.有相同的秩与正惯性指标； 5.rp p y y y y ---+++ 11. 二、解答题1．解：用配方法4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=+=43433212211y y x y x y y x y y x ，则2423222124243232231242443232332222331214323323122214332214141)21()21()21(41)41()41()41(z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x -+-=--+---=-+-+++-+-=-+---=++其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=44433322311212121y z y y z y y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432432111002121000211102111x x x x z z z z .2．解：用合同变换法：433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100112002110011，下面对矩阵作合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001311023210232114000031000030000110000311003210032111100131000030000110001100010001111001120023000011000010000100011110011100100000110000100001000011100111001110011故作线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1000110210211,313232C CY X ，二次型化为242322214313y y y y +-+.2.解：二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t 11112125，显然其一级、二级顺序主子式大于零，其行列式为2-t 故当2>t 时二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3． 证明： A 是实反对称矩阵， 容易证明2A E - 是实对称矩阵，对任意的n 维向量0≠x 有，0)()()()(2>'+'='+'=-'Ax Ax x x x A A E x x A E x .故 2A E -正定.4． 证明:对矩阵a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭作合同变换 222a b ac bc ac bc c bc c A Bb c bc c bc c c ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭)0(22,2≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c c c bc c bc c bc ac B c b b a A5． 证明：充分性：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=n n n x x a y x a x y x a x y 132222111 ，则二次型212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=-- 化为221n y y ++ ，容易计算线性替换的矩阵行列式等于0)1(1211≠-++n n a a a ，所以所给的线性替换是非退化的，因此二次型是正定的.必要性 若0)1(1211=-++n n a a a ,则线性替换不是非退化的,因此存在不全为0 的12,,,n x x x ,使1122231110,0,0,0n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=+=+=+=故与正定矛盾,所以0)1(1211≠-++n n a a aB 组一、选择填空 1.（C ）；2.（C ）； 3.（A ）（B ）（D ）.二、解答题1．证明 由于对任意的正实数ε，)1(A E A E +=+εεε成立，所以当ε充分小时ε1充分大，利用北大高等代数教材习题知：AE +ε1为正定矩阵.故A E ε+是正定的.2．证明：设S 是n 级复对称矩阵，则存在可逆的复矩阵C 使A A C E C E C E E C C E C S r r r r r '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=)0()0(000.3.设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'证明：j nj i i j i nj i ijnj i j i ijx x a x x ax x aAX X ∑∑∑===≤=='1,1,1,=+≤∑=nj i ji x x a 1,222XX c x an x n x n a ni i n j j n i i '==+∑∑∑===121212)(2，其中ij a a max =.。

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

1.设二次型()12,,,n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵110111111011A -⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式.解：()222121212231,,,222.n n n n f x x x x x x x x x x x x -=+++----2设二次型()212111,,,nnn ii n i i i f x x x axb x x -+===+∑∑ ,写出二次型f 的矩阵.解：设二次型f 的矩阵为A ,当2n m =时,ab a b A b a b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；当21n m =+时,.a b a b A a b b a b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.证明实二次型211mn ij j i j f a x ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑的秩等于矩阵()ij m nA a ⨯=的秩.证：令()()()121211,2,,,,,,,,,ni ijjmnj y a x i m Y y y X x x x =''====∑则Y AX =,而21.mii f yY Y X A AX ='''===∑因此,二次型f 的矩阵是A A ',而秩()A A '=秩()A ,所以f 的秩等于秩.A4．设A,B 是两个复n 阶对称矩阵,则A 与B 合同⇔秩A=秩B证：必要性：因为A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使得设A =秩A P BP '=,故秩A =秩B充分性：设秩A =秩B r =,则A 合同于000r E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 合同于000rE ⎛⎫⎪⎝⎭,由合同的对称型与传递性知A 合同与B .5.将二次型()2121213233,,,4223n f x x x x x x x x x x =--+ 化为标准型,并写出相应的非退化线性替换.答：初等变换法,对矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭的列,行做同步初等换变换（即设1T 为初等矩阵,则用11T 与1T 左,右乘A ）,将A 化为对角矩阵,即30002110020131130081000010100150011123⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,于是,非退化线性替换1122330010151123x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭将二次型化为标准型2221231383f y y y =-+.6.用非退化线性替换化下列二次型为标准型（并写出相应的非退化线性替换）；1）21n i i x d -∑+1ni j i j nx x ≤≤≤∑；2）_1ni i j n x x ≤≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭∑,其中,()_121n x x x x n =+++解：1）设原式为f,经过展开配方整理得()22222212123311143212nn i in n n i i n n f x x x x x x x n n n -==⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ . 令2112222311131nii n i i n n nn n y x x y x x y x x n y x ===--⎧=+⎪⎪⎪⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎩∑∑ , 则非退化线性替换,112312231111111231111311n n n nn n n n n x y y y y y n nx y y y yn n x y y nx y ----⎧=-----⎪-⎪⎪=----⎪-⎪⎨⎪⎪=-⎪⎪=⎪⎩, 将二次型f 化为标准型()2222121314212n n n n f y y y y n n-+=++++- 2）令112211n n n n y x xy x x y x x y x --=--=-=⎧=-⎪⎪-⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎩, 则11221232111222nii n ii n n i n n i n n x y y x y y yx y y y x y ===--=-==⎧=+⎪⎪⎪⎪++⎪⎨⎪⎪⎪++⎪⎪⎩∑∑∑ , 注意到1nii yx -==∑,故原式22111122211111112n n n n n i n i i i i i j i i i i i i j n f y y y y y y y y ----=====≤≤≤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑,由1）知,线性替换112312231111112311131n n n n n n y z z z z n y z z zn y z y z ----⎧=----⎪-⎪⎪=---⎪-⎨⎪⎪=⎪⎪=⎩, 将二次型f 化为标准型()2221213221n n f z z z n -=+++- , 由1,2）可得所用非退化线性替换为11223311200013100121410123111123100001n n n n x z x z x z x z n x z n --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭7.已知二次型()2221232323320f x x x ax x a =+++>通过正交替换化为标准形22212325f y y y =++,求出参数a 和相应的正交矩阵.解：二次型矩阵为2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因()()222690E A a λλλλ-=--+-=.已知A 的特征值1231,2,5λλλ===.将11λ=代入上式,解得24a =.又0a >,故2a =.分别求出属于特征值1231,2,5λλλ===的特征值()()()1230,1,1,1,0,0,0,1,1ααα'''=-==.123,,ααα两两正交,在单位化得正交矩阵01000Q ⎛⎫⎪ ⎪ =⎝8.设()1234121314232434,,,f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++,分别在实数和复数域上将它化为规范性,并写出相应的非退化线性替换.解：11223344111122111122100120001x y x y x y x y ⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭, 则二次型化为标准型222212341344f y y y y =--- 1）在实数域上,令11223344,2,,3y z y z y z y z ====,则二次型的规范形为22221234f z z z z =---非退化线性替换为1X C Z =,其中111111311100022020011111110010221001001300020001000C ⎛⎫--- ⎪⎛⎫---⎪⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ - ⎪ ⎪ - ⎪⎪⎝⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭.2）在复数域上,令11223344,2,,3y z y iz y iz y ====, 则二次型的规范形为22221234f z z z z =+++.非退化线性替换为1X C Z =,其中211003000i i i i C i i ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭.9.设000a b A a c b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求可逆矩阵T,使得T AT '为对角矩阵.解：设以A 为矩阵的二次型是()123121323,,222f x x x T XT ax x bx x cx x '==++当0a b c ===时,A=0,T=E 即为所求. 当,,a b c 不全为0时,不妨设0a ≠,令112233110110,001x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 则()()2222212132313133222222222.22b c b c cb f ay ay a b y y b c y y a y y a y y y a a a ++⎛⎫⎛⎫=++++-=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令112233102012001b c a y z b c y z a y z +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 则二次型化为标准型222123222bc f az az z a=--.可逆矩阵 1011211011001112001001001b c c a a b c b T a a +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得22,2,bc T AT diag a a a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭.10.秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和 证：因为对称矩阵A 的秩为r,于是存在可逆矩阵C,使11200rr d d C AC D D D ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪'==+++⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,这里,()1,2,,i D i r = 表示主对角线上第i 个元素为i d ,其余元素为零的对角矩阵.由此,得()()()11111112r A c D C c D C c D C ------'''=+++ .显然,()11ic DC --'的秩为1,且为对称矩阵,故A 可表成r 个秩为1的对称矩阵之和.11.确定实二次型222212212n n f y y y y -=-++- 的秩和符号差.解：做非退化线性替换112212212122212n n n n n nx y y x y yx y y x y y ---=+⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=+⎪=-⎪⎩ , 则二次型(),,f x y z ayz bxz cxy =++,故其秩为2n,符号差为零.12.设11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭是一对称矩阵,且110A ≠,则存在0EX T E ⎛⎫= ⎪⎝⎭使得,1100*A T AT ⎛⎫'=⎪⎝⎭,其中*表示阶数与22A 相同的矩阵. 证：取111120EA A T E -⎛⎫-=⎪⎝⎭, 则()11220111,.1011B C f x B B λλ-⎛⎫⎛⎫===+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.13.证明12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与12n i ii λλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭合同,其中,12,,,n i i i 是1,2, ,n 的一个排列.设两个矩阵分别为A,B 其相应的的二次型分别为2221122,A n n f x x x λλλ=+++ 1222212,n B i i i n f y y y λλλ=+++ 做非退化线性替换,1,2,t t i y x t n == 则B f 化成A f .因此,A,B 合同.14.设B C A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中0111,.1011B C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()f x 是实系数多项式,证明：在实数域上存在实数12,λλ和4阶方阵12,,B B 使得1）()1122f x B B λλ=+；2）12210B B B B ==；3）221122,.B B B B ==证：()()()313E A λλλ-=-+,而A 为实对称阵,故存在正交矩阵T ,()1,1,1,3T AT diag '==-,那么()()()()()()()()()()1,1,1,311,1,1,030,0,0,1T f A T diag f f f f f diag f diag '=-=+-令()()()()12121,1,1,0,0,0,0,1.1,3.B Tdiag T B Tdiag T f f λλ''====-则,()1122,f A B B λλ=+12210B B B B ==；3）100A BD CP MP D -⎛⎫-'=⎪⎝⎭.15.设A,B,C,D 为n 阶对称矩阵,A 合同于B,C 合同于D.试问下列结论是否正确？为什么？1）（A+B ）=(C+D);2)00A C ⎛⎫⎪⎝⎭合同于00B D ⎛⎫⎪⎝⎭. 解：1）不正确. 例如,在复数域上,取10101001,,,,01010110A B C D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则A 与B 合同,C 与D 合同,但是A+B 与B+D 不合同.2 ）正确.因1122,,B Q AQ D Q CQ ''==取可逆矩阵121,1Q Q -⎛⎫ ⎪-⎝⎭则11220000.0000Q Q B A Q Q D C '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16.设分块矩阵M=A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵,其中,D 为非奇异矩阵,则矩阵M 合同与矩阵10.0A BD C N D -⎛⎫-=⎪⎝⎭证：由M M '=知,,,.A A B C D D '''===令矩阵10Ep D C E -⎛⎫=⎪⎝⎭,则100A BD CP MP D -⎛⎫-'=⎪⎝⎭,即矩阵M 与N 合同.17.n 阶矩阵是反对称矩阵的充分必要条件是：对任意n 维列向量X ,都有0X AX '=.证明：充分性：若对任意X 有0X AX '=,设(),iji n nA a e ⨯=表示第i 个分量为1其余分量为零的n 维列向量,,i j X e e =+则()()0i jije e A e e '++=,即0.iijj ij ji aa a a +++=当i=j 时,得0ii jj a a ==；当i j ≠时,得ij ji a a =-,故得A 是反对称矩阵.必要性：若,A A '=-则对任意X 有(),X AX X AX X A X X AX ''''''====-移项后,可得0X AX '=18.如果n 阶对称矩阵A 对任意n 维列向量X 都有0,X AX '=那么A=0..证：因为A A '=,对任意n 维列向量X 都有0X AX '=,由第761条知,A A '=-,即20A =,故0A =.19.n 阶实矩阵A 是对称矩阵的充分条件是2A A A '=.证：必要性：显然.下面证明充分性：设(),ijn nA a ⨯=由于2AA A '=,故有2,trAA trA '=即21111n nn nijij ji i j i j aa a =====∑∑∑∑整理得()20ij ji i ja a ≠-=∑因A 是实矩阵,故()()ij ji a a i j =≠即12,,,,n λλλ .20.设A,B 为n 阶实对称矩阵,λ是AB 的一个非实特征值,X 是AB 对应于λ的一个特征向量,则. 0X BX '=证：在ABX X λ=的两边取共轭转置得X BA X λ''=,所以X BABX X BX λ''=.即X BX X BX λλ''=,()0X BX λλ'-=.因λ是非实数,即0λλ-≠,所以0X BX '=.21.设A 为一个n 阶实对称矩阵,且0A <,则必存在实n 维向量0X ≠,使0.XBX < 证：设222211,p p r f y y y y +=++--- 的n 个实特征值为12,,,,n λλλ 则由120n A λλλ=< 知A 至少有一个实特征值为负,不妨设10.λ<由第754条的注,存在0β≠,使得10A ββλ'=<.22.设()12,,,n f x x x X AX '= 是一实二次型,若有n 维实向量12,,X X 使11220,0,X AX X AX ''><则必存在n 维实向量00,X ≠使000.X AX '= 证：设秩A=r,则存在非退化线性替换X=CY ,将二次型化为规范形222211,p p r f y y y y +=++--- 由1,p r ≤<若取1211,0,1,r r y y y y -=====则0.f =取()001,0,,0,1,0,,0,0,Y X CY '==≠ 则000.f X AX '==23.设实二次型()2221122,1n n X AX y y y Y BY X X QY QY Y Y λλλ'''''=+++==== ,矩阵A 的特征值12,n λλλ≤≤≤ 则在条件222121n x x x +++= 下,二次型f 的最小值和最大值分别是1λ和2λ.证：存在正交矩阵Q 使()12,,,n Q AQ diag B λλλ'== .作正交替换X=QY,则2221122n n X AX y y y Y BY λλλ''=+++= ,而()1,n Y Y Y BY X AX Y Y X X QY QY Y Y λλ'''''''≤=≤==,故1n X X X AX X X λλ'''≤≤. （1）条件222121n x x x +++= 即1X X '=,因此1n X AX λλ'≤≤.易知上述不等式里X AX '可达到等号,即f 的最小值和最大值分别是1,.n λλ24.设A 是n 阶实对称矩阵,则存在一正实数c,使对任一实n 维向量X 都有X AX cX X ''≤ 证：由767条（1）式,令c={}12max ,,λλ则.X AX cX X ''≤25.设A,B 是n 阶对称矩阵,12,λλ是0A B λ-=的不同根,并且()()1212,,,,,,,n n X x x x Y y y y ''== 分别是()()120,0A B X A B Y λλ-=-=的解,则0,0.X AY X BY ''==证：因为()()()1111,X BY X BY Y BX Y BX Y AX Y AX X AY X BY λλλλ''''''''''=======而12λλ≠,故0,0X BY X AY ''==.26.一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.证：必要性：设()()()11110,,1,2,,n n n n i i f a x a x b x b x a b i n =++++≠= 均为实数.1）若两个一次式系数成比例,即()1,2,,,i i b ka i n == 不妨设0i a ≠,则非退化线性替换()111,1,2,,,n n i i y a x a x y x i n =++⎧⎨==⎩ 化二次型21f ky =,此时f 的秩为1. 2）若两个一次实系数式不成比例,不妨设1212,a a b b ≠则连续进行下列非退化线性替换()111211,,3,,,n n n n i i y a x a x y b x b x y x i n =++⎧⎪=++⎨⎪==⎩ 及()1121,,3,,,n n ii y z z y z z y z i n =+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 化为二次型221212,f y y z z ==-此时f 的秩为2且符号差为0.充分性：1）若f 的秩等于1,则存在非退化线性替换X=CY 化为二次型为()()()()221212121,11,1n n n n f y y y y y y a x a x a x a x =-=-+=++++ .2）若f 的秩等于2,符号差为0,则存在非退化线性替换X=CY 化为二次型为12,,,,n x x x27.设.s p ≤其中()1,2,,i L i p q =+是12,,,n x x x 的一次齐次式,则()12,,,n f x x x 的正惯性指数,p ≤负惯性指数.q ≤证：()11221,2,,,i i i in n L b x b x b x i p q =+++=+ 再设()12,,,n f x x x 的正惯性指数为s,秩为r,则存在非退化线性替换()()11221,2,,,1i i i in n y c x c x c x i n =+++= 使()2222212121222211,,,.n p p p qs s rf x x x L L L L L y y yy +++=+++---=++--- （2）先证.s p ≤用反证法.假设,s p >注意到线性方程组1111111,111,110,0,0,0,n n p pn n s s n n n nn n b x b x b x b x c x c x c x c x ++++=⎧⎪⎪⎪++=⎪⎨++=⎪⎪⎪++=⎪⎩ 的未知量的个数为n,方程个数为,p n s n +-<故次线性方程组存在非零解()12,,,,n a a a 将它代入（2）,得()22221211,,,0.n p p q s f a a a L L y y ++=---=++=22110p p q s L L y y ++======因此,对一组不全为零的数1122,,,,n n x a x a x a === 使得120n y y y ==== ,这与非退化线性替换（1）的条件相矛盾.类似地可证得f 的负惯性指数q ≤.28.任何一个n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：0,0r rE E ⎛⎫ ⎪⎝⎭若n=2r ；0000,01r r E E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭若n=2r+1. 证：设A 为n 阶可逆复对称矩阵.由于两个复对称矩阵合同的充分必要条件是其秩相等,故当n=2r 时,秩(A)=秩0,0r r E n E ⎛⎫=⎪⎝⎭因而A 合同于0;0r r E E ⎛⎫⎪⎝⎭当n=2r+1时,秩(A)=秩0000,001r r E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因而A 合同于0000001r rE E ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.29.任何一个n 阶可逆实对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一：2000000r rn r E E E -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或20000.00r r n r E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 证：设A 为n 阶可逆实对称矩阵.当A 的符号差0,≥且-1的个数为r 时,A 合同于2;rrn r E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭当A 的符号差<0,且1的个数为r 时,A 合同于11n n ij i j i j A g x x A===∑∑令2rr r r E E P E E -⎛⎫=⎪-⎝⎭,则00rr r r E E P P E E ⎛⎫⎛⎫'= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.故存在可逆矩阵20,0n r PQ E -⎛⎫= ⎪⎝⎭使22,r rrrn r n r E E Q E Q E E E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22.r rrrn r n r E E Q E Q E E E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭30设A 是反对称矩阵,则A 合同于矩阵01100110.011000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭证：用归纳法,当1n =时, ()0A =,命题显然成立.当n=2时,设1212.0a A a ⎛⎫=⎪-⎝⎭若12a =0,命题成立；若120a ≠,A 的第一行,第一列均乘以112a -,得01,10⎛⎫ ⎪-⎝⎭故A 与0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同.即当1n =或2时,命题都成立.假定n k ≤时命题成立,往证1n k =+时命题成立.设11,11,11,1,1.00k k k k k k k k a a A a a a a ++++⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭若最后一行,一列元素全为零,由归纳假定,命题成立；若最后一行,一列元素不全为零,则经过行,列同时对换,假定,10,k k a +≠于是,110,k k a +-≠去乘最后一行,一列,则A 化成11110110k ka b a b ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭由此将最后两行,两列的其他元素化为零,则A 合同于1,11,10.00000010010k k b b --⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭经过行,列同时对换,将右下角的0110⎛⎫⎪-⎝⎭移到左上角.再有归纳假定即知命题对1n k =+也真,归纳法完成.31.设n 阶是对称矩阵A 是满秩的,ij A 是()ij A a =中元素ij a 的代数余子式,则二次型11n nij i j i j A g x x A===∑∑和二次型f X AX '=有相同的正,负惯性指数.证：因为A 是满秩的,设AX Y =,则1X A Y -=.于是()()1212.2n n N n ++=+++=其中,()12,,,.n Y y y y '= 而1,A A A*-=因此11111,nnijiji j f Y A Y Y A Y A y y A A-*==''===∑∑即()()1212,,,,,,.nnf x x xg y y y = 由于非退还线性替换不改变二次型的秩和符号差,故f 和g 有相同的正负惯性指数.32.如果n 阶实对称矩阵按合同分类,即两个n 阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同,问共有多少类？解：设A 为n 阶实对称矩阵,秩A=r,由742条知,A 仅与下列r+1个对角矩阵之一合同：1220,1,,.00000r r r r E E E E E --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而r 又可以取0,1, ,n 之一,故按合同分类,n 阶实对称矩阵的类数为()()()12121.2n n N n ++=++++=33.设a bi λ=+为n 阶实方阵A 的任一特征值,则11min max ,22i i a μμ≤≤其中,1,,n μμ 为A A '+的 全部特征值.证：存在正交矩阵T,使()()1,,n T A A T diag μμ''+= .设β是A 属于λ的特征向量,即,A βλβ=则()()2.A A a ββλλββββ''''+=+=令()12,,,,n Y T y y y β''== 则()1,,2,n Y diag Y aY Y μμ''=21111;n nni iii i i i i j nu y y xx x +==≤≤≤=+∑∑∑()()2211min max ,nni ii i i i y a y μμ==≤≤∑∑210.ni i y =≠∑所以min 2max .i i a μμ≤≤同乘以12即得欲证的不等式.34.设A,B,AB 都是n 阶实对称矩阵,λ是AB 的一个特征根,则存在A 的一个特征根s,和B 的一个特征根t,使得.st λ=证：由A,B 都相似于对角矩阵及(),AB AB B A BA '''==故存在可逆矩阵T,使()()()()()()()()111111111,,,,,,,,,n n n n T AT diag s s T BT diag t t TAB T T A T T B T diag s t s t -----====由于11,,n n s t s t 为AB 的全部特征值,从而即得结论.35.设A 为n 实对称矩阵,A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.36.判定下列二次型是否正定：（1）211;nnii j i i j nxx x =≤≤≤+∑∑（2）2111;nni i i i i j nx x x +=≤≤≤+∑∑解1）记二次型的矩阵为()ij A a =其中1,;1,2ij i j a i j =⎧⎪=⎨≠⎪⎩设A 的k 阶顺序主子式为,k A 则()110,1,2,,.2kk B k k n ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭由第780条A 为正定矩阵,从而二次型为正定的. 2）记二次型的矩阵为B,并设B 的k 阶顺序主子式为.k B 而110000211100022.10000121000012B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭()110,1,2,,.2kk B k k n ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭因此由第780条知二次型是正定的.37.设0,0B A C ⎛⎫=⎪⎝⎭其中B,C 分别为k 阶和m 阶实对称矩阵,那么1）A 为实对称矩阵；2）B,C 都是正定矩阵⇒A 为正定矩阵；3）B,C 都是半正定矩阵⇒A 为半正定矩阵.证：1）显然.2）()1,,0,n X x x '∀=≠ 其中n=k+m,令()1,,,n X Y Y '''= 其中()()1121,,,,,,k k n Y x x Yx x +''== 则12,Y Y 不全为零,于是11220,X AX Y BY Y CY '''=+>即A 为正定矩阵.3）仿照2）可证.38.当a,b,c 取何值时,二次型223123132ax bx ax cx x +++是负定的？解：设二次型矩阵为A,则0000,00.00a c a c A b A b c a c a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由于-A 正定⇔A 负定,-A 正定的条件是()()()220,0,0,a a b b a c->-->-->即当0,0,a b a c <<>时,此二次型为负定.39.设12,,,n a a a 为n 个实数,当12,,,n a a a 满足什么条件时,二次型()()()()()22221112223111,,n n n n n n f x x x a x xa xx a x x a x--=++++++++ 是正定的？ 解：由于对任意1,,n x x 都有()1,,0n f x x ≥ ,故二次型()1,,n f x x 半正定.()11122231111122,,0100001000010n n n n n n n n f x x x a x x a x x a x x a x a x a x a x --=⇔+=+==+=+⇔⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）因此f 为正定⇔()1,,0n f x x = 仅有零解⇔方程组（1）仅有零解⇔系数行列式D ()112110.n n a a a +=+-≠ 故当()121.nn a a a ≠- 时,二次型f 正定.40.设A 为正定矩阵,则1）()()1,0,,mA kA k Am Z A -*>∈都是正定矩阵；2）()10,m m g x a x a x a =+++ 其中,又至少有一个为正,则()g A 正定.证：1）设A 的全部特征值为12,,,,n λλλ 则由A 正定知()01,2,,.i i n λ>= 因为1A -是实对称矩阵,它的全部特征值为12111,,,,nλλλ 也全为正,故1A -为正定.同样；kA 实对称,其特征值()12,,0m k k k k λλλ> 全为正,故kA 为正定.m A 实对称,其特征值12,,,,m m m n λλλ 全为正,故m A 正定.因为1,A A A *-=而0,A >由前数述可知m A 正定.2）()g A 的全部特征值为()()()()12,,,,0n g g g k λλλ> 由假设知,他们的全为正,故()g A 为正定.41.设A 是实对称矩阵,则存在实数0,0,αβ>>使得22212.n n n nn b b B b b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵.证：设A 的特征值为12,,,,n λλλ ,令(),g x x a =+则()g A E A α=+的特征值为12,,,.n a a a λλλ+++ 取max{},i αλ>则E A α+的特征值全为正,E A α+正定.取1,βα=则0β>,()1.E A E A βαα+=+由10,E A αα>+正定知E A β+也正定.42.主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵.1)设A 是一对称矩阵,T 为特殊上三角矩阵,而,B T AT '=则A 与A 对应的顺序主子式有相同的值；2）如果对称矩阵A 的顺序主子式全不为零,那么一定有一特殊上三角矩阵T 使T AT '成对角形；3）利用以上结果证明：如果实对称矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零,则A 是正定矩阵.证：1）设,k k A B 分别为A 和B 的k 阶顺序主子矩阵,下证,1,2,,.k k A B k n == 令,0kn k T T T -*⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,i T 为特殊上三角矩阵.0,0*****i i ik k k n k n k T T T T A T B T T --⎛⎫⎛⎫''**⎛⎫⎛⎫*== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k k k B T A T '=,两边取行列式,并注意1,k T =得.k k B A =2)设n 阶对称矩阵(),ij A a =因为110,a ≠则对A 的第一行和第一列同时进行相应的第三种初等变换 A,可化为T '其中22212.n n n n n b b B b b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 由假设及1）的结论知11111222212200.0a a ab a a =≠从而220,b ≠把1n B -看成上面的A,1n B -又可化为2220.0n bB -⎛⎫ ⎪⎝⎭这继续样下去,可以讲A 化为对角矩阵.由于每进行一次行,列的第三种初等变换,相当于右乘特殊上三角矩阵T 而左乘T ',又特殊上三角矩阵之积仍为特殊上三角矩阵,因此即得2）.3）由2）的结论知,存在特殊上三角矩阵使()12,,,,n T AT diag λλλ'= 由1）知11121111221220,0,a a a a a λλλ⎛⎫=>=>⎪⎝⎭从而20.λ>这样继续下去证得一切0,1,2,,.i i n λ>= 考虑实二次型,X AX '令X TY =则()2211,n nX AX Y T AT Y y y λλ'''==++ 因此,当0X ≠时有0Y ≠,从而得知0,X AX '>即A 为正定矩阵.43若()11n nij ijijji i j a x x aa ===∑∑是正定二次型,则f 为负定二次型,其中()111121221,111,,,.0nn nn ij j i i j n nn n na a y a a y f y y A y y a a y y y ==-∑证：令(),ijn nA a ⨯=由第402条知()1,1,,,nn ij j i i j f y y A y y ==-∑ 其中ij A 是ij a 的代数余子式.上式说明二次型f 的相应的矩阵为().A *'-由A 正定知A *正定,这样()A A **'-=-负定.故f 为负定二次型.44.设A 为正定矩阵,则1）1,nn n A a P -≤这里1n P -是A 的n-1阶顺序主子式；2）()1122.nn A a a a ≤证：1）设1,n nnA X A X a -='其中()1112,1,,,,.n n n n n n P A X a a a ---'== 于是111,00n n n nnnnA X A X A X A X a a X ---==+''由第791条知1c o c os 1c o s .c o sc o s 1A B A A C B C --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭由A 正定知1n A -正定,从而11n A --正定,1110.n n A X A X ---'>所以1.nn n A a P -≤2）反复利用1）,则2）显然成立45.设()ij T t =是n 阶实可逆矩阵,则()()22211.nij i ni i T t T t t ==≤++∏ 证：因T是n阶实可逆矩阵,所以T T '是正定矩阵,于是21122121*,*n k k nk k nkn k t t T T t ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由第792条知()22211.n i ni i T T T t t ='=≤++∏ 46.设A,B,C 为三角形的内三角,则对任意实数x,y,z 有2222cos 2cos 2cos .x y z xy A xz B zy C ++≥++证：考虑二次型()222,,2cos 2cos 2cos .f x y z x y z xy A xz B yz C =++---其矩阵为1cos cos cos 1cos .cos cos 1A B A AC B C --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭由于A 的全部一阶主子式都等于一,二阶主子式都有形式21c o s ,α-因而221cos sin 0,αα-=≥唯一的三阶主子式22212cos cos cos cos cos cos ,A A B C A B C =----故二次型半正定,所以,对任意实数x,y,z 有(),,0.f x y z ≥故2222cos 2cos 2cos .x y z xy A xz B zy C ++≥++47.t 为何值时,二次型()222123123121323,,5222f x x x tx tx x tx x x x x x =+-+--是半负定的.解：设f 所对应的矩阵为A,则11.115t t A tt --⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎝⎭f 为半负定二次型A ⇔-为半正定矩阵A ⇔-的一切主子式都非负01.5105t t t -≥⎧⇔⇔≤-⎨--≥⎩48.2211nn ii i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑是半正定二次型.证：1）()2221110.nn i i i j i i i j nn x x x x ==≤≤≤⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭∑∑∑49.设A,B 都是n n ⨯实对称B,则A-B 与B-A 均为半正定矩阵.A B ⇔= 证：充分性 显然必要性,令C=A-B.设C 的n 个特征值为1,,,n λλ 那么A-B=B-A 的n 个值为1,,.n λλ-- 由于C 半正定得0,1,2,,i i n λ≥= 再由-C 半正定得0,1,2,,i i n λ-≥= 故0,1,2,,.i i n λ== 则存在正交矩阵T 使得()11,,0.n T CT diag λλ-== 所以C=A-B=0,即A=B.50.设A,B 和A-B 都是半正定矩阵,则.A B ≥ 1）当0,B =结论显然成立.2)当0,B >时,则B 为正定矩阵,由正定矩阵的充分必要条件易得存在正定矩阵G,使得2B G =.由A-B 是半正定知()11G A B G ---半正定矩阵.令 ()1111.C GA B G G AG E ----=-=-（1）由于11G AG--是实对称矩阵,因此存在正交矩阵T,使()()111,,,n T G AG T diag λλ--'= （2）其中,1,,n λλ 为11G AG --的全部特征值.由（1）,(2)得1111n T CT λλ--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（3）因为C 是半正定矩阵,由（3）得10,i λ-≥即1,1,2,,.i i n λ≥= （2）式两边取行列式得111 1.n G A G λλ--=≥ 两边乘以B ,并注意2,B G=得.A B ≥51.设半正定矩阵11122122,A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭其中1122,A A 为方阵,则1122.A A A ≤ 证：由于A 是半正定的,所以1122,A A 也是半正定的.1）若0.A =则结论显然成立.2）若0,A ≠由A 半正定知A 为正定矩阵,从而11A 为正定矩阵.令11112,0EA A T E -⎛⎫-=⎪⎝⎭则111222211120.0A T AT A A A A -⎛⎫'=⎪-⎝⎭(1)两边取行列式得11122221112A A A A A A -=∙-（2）由T AT '半正定知122221112A A A A --半正定,若()()112222221112221112A A A A A A A A ----=,则由798条知12222221112,A A A A A -≥-将它代入（2）式即得结论.52.()hadamard 设()ij A a =为n 阶实方阵,则2211n nij j i A a ==≤∑∏证：令,B A A '=则B 为半正定矩阵,在21122121*,*n k k nkk nnk k a aB a ===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑的两边取行列式,再由799条得2211.n nij j i A B a ===≤∑∏53.设实对称矩阵A 的特征值全部大于a,实对称矩阵B 的特征值全部大于b,则A+B 的特征值全部大于a+b.证：设A 的特征值为1,,,n λλ 则A-aE 的特征值为1,,,n a a λλ-- 由假设知A-aE 的特征值全为正,故A-aE 正定.同理可证B-bE 也是正定.由于（A+B ）-(a+b)E=（A-aE ）+(B-bE),故知（A+B ）-(a+b)E 正定,则（A+B ）-(a+b)E 的特征值为λ-（a+b ）.从而λ>a+b,即A+B 的特征值全部大于a+b.54.()Schur 设n 阶矩阵()(),ij ij A a B b ==均为正定矩阵,(),ij C c =其中,ij ij ij c a b =则C 为正定矩阵.证：由B 为正定矩阵知,存在可逆矩阵P 使得.B P P '=令(),ij P p =则1.nij kikj k b pp ==∑由于是对任意()1,,0,n X x x '=≠有11111n n n nn ij ij i j ij ki kj i j i j i j k X CX a b x x a p p x x =====⎛⎫'== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ ()()()111111111,,,k nnnnnij ki i kj j k kn n k k i j k k k kn n p x a p x p x p x p x A Y AX p x =====⎛⎫ ⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ 其中()11,,.k k kn n Y p x p x '= 由0X ≠及P 可逆易知0.s Y ≠由A 正定知0,s s Y AY '>从而0,X CX '>故知C 是正定矩阵.55.设A,B,是正定矩阵,AB 是正定矩阵的充分必要条件AB=BA.证：必要性,显然,下证充分条件.由于A,B 均相似于对角矩阵,且AB=BA,从而存在可逆矩阵T,使()()1111,,,,,.n n T AT diag T BT diag λλμμ--== 由A,B 为正定矩阵知0,0,1,2,,.i i i n λμ>>= 但()()111,,,n n T AB T diag λμλμ-= 所以AB 的特征值11,,n n λμλμ 都大于零,故AB 正定.56.设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶实对称矩阵,则必存在n 阶可逆矩阵T,使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= 其中1,,n μμ 是0A B λ-=的n 个实根.证：因为A 合同于E,故存在可逆矩阵P 使得1,P AP E -=由于B 是实对称矩阵,则1P BP -也是实对称矩阵.从而存在正交矩阵Q 使得()()111,,,n QPBP Q diag μμ--= 其中1,,n μμ 为1P BP -的实特征值.令T=PQ,则1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= ()()11,,.n TA B T diag λλμλμ--=--两边取行列式有()()21,n T A B λλμλμ-=-- 故1,,n μμ 为0A B λ-=的全部实根.57.设A 是n 阶正定矩阵,AB 是n 阶实对称矩阵,则AB 是正定矩阵等价于B 的特征值全大于零.证：必要性：由第805条得知1T AT E -=,()()1,,.n T AB T diag μμ'= 由于合同不改变正定性,故0,1,2,,i i n μ>= .所以()1111T AB T T ATT BT T BT ----==可知B 的特征值全大于零.充分性：有必要性证明知（1）式的1,,n μμ 是B 的特征值,而0,1,2,,i i n μ>= ,所以()1TAB T -正定,因而可知AB 也正定.58.设A 是n 阶是矩阵,C 是n 阶正定矩阵,若存在正定矩阵B 使得 ,AB BA C '+=-则A 的全部特征值全小于零.证：由假设及第805条可知存在可逆矩阵使得,T BT E '=()1,,,n T CT diag c c '= 其中1,,n c c 都大于零.用T '左乘,T右乘,A B B A C '+=-两边得()()11,T A T T BT T BT TAT T CT --'''''''==-()()()()111,,.nT A T T A T diag c c --'''''+=-- 任取A 的一个特征值ia b λλ=+,则知11max min 0.22i i c a c -≤≤-<59.设2111,nnii n i i i f a xb x x -+===+∑∑其中a,b 为实数,问a ,b 满足什么条件时,二次型f 正定的.解：设对应的矩阵为A,k ∆为A 的k 级顺序主子式（k=1,2,...,n ）,由735条知：1）当n=2m时,有()22,1,2,,;,1,2,,.k k km k m k a k m a a b k m -+⎡⎢⎢∆==∆=-=⎣故当a >0,220a b ->时,f 为正定二次型.2）当n=2m+1时,有()()()221,1,2,,;;,1,2,,.kk m m km k m k a k m a b a a b a a b k m -++∆==∆=+∆=⎡⎢⎢⎢⎢⎣+-= , 故当a >0,0,0a b a b ->+>时f 为正定二次型.60.设,A A '=则A 可逆等价于存在矩阵B 使得AB B A '+正定.证：必要性：令1B A -=即可.充分性：由于AB B A '+正定,故对任意n 维列向量00,X ≠有()()()()0000000002.X AB B A X AX BX BX AX AX BX '''''<+=+=由此知,00,A X ≠这就是说0A X =只有零解,故A 可逆.61设A 为n 阶半正定矩阵,则1）当B 是n 阶正定矩阵时,,A B B +≥当且仅当A=0时等号成立；2）当0A ≠时1A E +>.证：1）由第805条,存在可逆矩阵T 使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= （1）()()111,,1.n T A B T diag λμμ-+=++ （2）由A 半正定知0,1,2,,.i i n μ>= 于是在（1）,（2）两式两边取行列式可得()()()11110,1,2,,.0.n i i n A μμμ++=⇔==⇔= (3)消去2T即得.A B B +≥由于（3）式成立等号的条件是()()()11110,1,2,,.0.n i i n A μμμ++=⇔==⇔=2)在1）中令B=E 即可.62.设A 是n 阶正定矩阵,B 为n 阶非零半正定矩阵,证明：.A B A B +>+证：由805条知存在可逆矩阵T,使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= 其中0,1,2,,.i i n μ≥= 并至少有一个0k μ>不然B 就等于零.于是()0.0,0.A B X A B X X A X X ''+>+=>∀≠两边消去2T ,即得所要证明.63 设A 是n 阶正定矩阵,B 是非零实反对称矩阵,则0.A B +>证：由B 是反对称矩阵及由第761条知0,X BX '=故由假设A 为正定矩阵得()00100,0.X A B X X AX X ''+=>∀≠(1)若0.A B +=则()0A B X +=由非零解0X .于是()000X A B X '+=,这与（1）式矛盾.（2）若0A B +<,则由第765条知存在10X ≠,使得()110X A B X '+<,这也与（1）式矛盾.故原命题成立.。

实对称矩阵与二次型课后习题详解 习题8.11 求正交矩阵Q 使T Q AQ 化为对角矩阵D ,其中A 为:(1) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)724247⎛⎫ ⎪-⎝⎭(3) 114141411⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ (4) 222254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭(5) 324262423-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(6) 744490405-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(7) 0041001441001400⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ (8) 1333313333133331---⎛⎫⎪--- ⎪⎪--- ⎪---⎝⎭解: (1) 221||43(1)(3)12E A λλλλλλλ---==-+=----所以 121,3λλ==11λ=代入 ()0E A X λ-= ,12120|0x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 1(1,1)Tα=-,标准正交化为:11,1)T η=- 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,121200x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 2(1,1)Tα=,标准正交化为:2T η=取Q ⎛= ⎝, 1003T Q AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2) 2724||625(25)(25)247E A λλλλλλ---==-=+--+所以 1225,25λλ==-125λ=代入 ()0E A X λ-= ,12121824024320x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 14(,1)3Tα=,标准正交化为:13443(,1)(,)5355T Tη==225λ=-代入 ()0E A X λ-= ,12123224024180x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 23(,1)4Tα=-,标准正交化为:24334(,1)(,)5455T Tη=-=-取43553455Q ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,250025TQ AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (3) 11401(1)(4)41||141141411141614E A λλλλλλλλλλ----+----+-=---=--------+-+2325336954(6)(3)(3)4153λλλλλλλλλλλ-+--==--+=--+-++所以 1236,3,3λλλ===-16λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312312354020450x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 1(1,1,1)T α=,标准正交化为:1Tη= 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,1231231232400420x x x x x x x x x --=⎧⎪---=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 2(1,2,1)T α=-,标准正交化为:2Tη= 33λ=-代入 ()0E A X λ-= ,12312312344070440x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩得基础解系, 3(1,0,1)T α=-,标准正交化为:2(Tη=取0Q ⎫⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭,633TQ AQ ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(4) 222222||254011245245E A λλλλλλλλ-----=--=---- 22242401(1)(1)(1110)29249λλλλλλλλλ---=-=-=--+--(1)(1)(10)λλλ=---所以 1231,10λλλ===121λλ==代入 ()0E A X λ-= ,123123123122024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩得基础解系, 12(2,1,0),(2,0,1)T T αα=-=, 正交为:****21121**112522(,)44(2,1,0),(2,0,1)01(,)55101T T αηηηηηη⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 标准化12254(,351513Tηη⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭310λ=代入 ()0E A X λ-= ,123123123822025402450x x x x x x x x x -+=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩得基础解系, 2(1,2,2)T α=--,标准正交化为:3122(,,)333T η=--取115321532033Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭,1110T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(5)(3)(6)024(3)3242||26226242302147E A λλλλλλλλλλ----+----=--=-------2(3)(6)024(3)2262[57](7)2147λλλλλλλλλ----+---=-+---(7)(7)(2)λλλ=--+所以 1237,2λλλ===-127λλ==代入 ()0E A X λ-= ,12312312342402204240x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩得基础解系, 12(1,2,0),(1,0,1)T T αα=-=, 正交为:****21121**114511(,)12(1,2,0),(1,0,1)02(,)55101T T αηηηηηη⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 标准化1241552,351513Tηη⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32λ=-代入 ()0E A X λ-= ,123123123524028204250x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--=⎨⎪---=⎩得基础解系, 2(2,1,2)T α=--,标准正交化为:3212(,,)333Tη=--取215311532033Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,772TQ AQ ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(6) 744744||49049040514(5)(7)504E A λλλλλλλλλ-----=--=-------3224942111191(1)(7)(13)14(1235)54λλλλλλλλλλ--==-+-=-----+-所以 1231,7,13λλλ===11λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312136440480440x x x x x x x --+=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩得基础解系, 1(2,1,2)T α=-,标准正交化为:1212(,,)333T η=-27λ=代入 ()0E A X λ-= ,123123123044042004020x x x x x x x x x -+=⎧⎪---=⎨⎪-+=⎩得基础解系, 2(1,2,2)T α=-,标准正交化为:2122(,,)333Tη=- 313λ=代入 ()0E A X λ-= ,12312136440440480x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩得基础解系, 3(2,2,1)T α=--,标准正交化为:2221(,,)333T η=--取212333122333221333Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1713T Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (7)041014||410140EBE A BE λλλλλλλ-----==----121E B EO OB BE B E B B E λλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以12342121(1)EBO BB B B BEB B Eλλλλλ+++--==---2242224411515153422544441515λλλλλλ---=⋅=-+-- 22(25)(9)λλ=--所以 12335,3,5,3λλλλ===-=-.15λ=代入 ()0E A X λ-= ,134134123124540540450450x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩得基础解系, 1(1,1,1,1)T α=,标准正交化为:11111(,,,)2222Tη= 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,134134123124340340430430x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩得基础解系, 2(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:21111(,,,)2222T η=--35λ=-代入 ()0E A X λ-= ,134134123124540540450450x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩得基础解系, 3(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:31111(,,,)2222T η=--13λ=-代入 ()0E A X λ-= ,134134123124340340430430x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨---=⎪⎪---=⎩得基础解系, 1(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:11111(,,,)2222T η=--取11112222111122221111222211112222Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,5353TQ AQ ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. (8) 13333133||33133331E A λλλλλ+-+--=-+-+1333133331330443313004433313331λλλλλλλλλλ+-+-+-+--=-+++-+-+1336136044(4)0440043323332λλλλλλλλλλ+-++--==++--+---- 22139(4)04(4)[432]335λλλλλλλ+=++=+----3(4)[8]λλ=+-所以 12344,8λλλλ===-=.4λ=-代入 ()0E A X λ-= ,123412341234123433330333303333033330x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩得基础解系, 123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)T T T ααα==-=,标准正交化为:12,(,T Tηη==-3T η=8λ=代入 ()0E A X λ-= ,123412341234123493330393303393033390x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨-+++=⎪⎪-++=⎩得基础解系, 2(1,1,1,1)T α=--,标准正交化为:21111(,,,)2222Tη=--, 取121002 10212Q ⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎭4448T Q AQ -⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭. 2.设,A B 是n 阶实对称矩阵,且.E A E B λλ-=- (1) 证明:存在正交矩阵Q ,使得T B Q AQ =.(2) 设 2332A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 13B ⎛=⎪⎭, 求正交矩阵Q ,使得T B Q AQ =. (1) 证明: 因为,A B 是n 阶实对称矩阵,且特征多项式相同,所以,有完全相同的特征值, 且存在正交矩阵12,Q Q ,使得: 1122,T TQ AQ Q BQ =Λ=Λ 所以1122T T Q AQ Q BQ =.从而有111121121212()()T T T B Q Q AQ Q Q Q AQ Q ----== 取112Q Q Q -=⋅是满足条件的正交矩阵.(2) 解: ,A B 有相同的特征值，特制值为：5，-1 对于2332A ⎛⎫=⎪⎝⎭， 5λ=代入()0E A X λ-=得： 1212330330x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系：1(1,1)α=,标准正交化为:1Tη=, 1λ=-代入()0E A X λ-=得：1212330330x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系：1(1,1)α=-,标准正交化为:2Tη=取1Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭有1151T Q AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭对于13B ⎛=⎪⎭， 5λ=代入()0E A X λ-=得：12124040x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得基础解系：1,1)2T α=,标准正交化为:1(,333T Tη==, 1λ=-代入()0E A X λ-=得：12122020x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得基础解系：1()α=,标准正交化为:2T η=取1333333Q⎛⎫⎛⎫-⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有1151TQ AQ⎛⎫= ⎪-⎝⎭由（1）11212111133TQ Q Q Q Q-⎛⎫⎪⎛⎪⎪=⋅===⎪⎪⎭-⎪⎝⎭.3. 设三阶实对称矩阵A的特征值为12311,1,(0,1,1)λλλε=-===是属于1λ的一个特征向量, 求(1) 对应于1的特征向量; (2) 矩阵A解：（1）对应于1的特征向量刚好是和1(0,1,1)ε=正交的向量的全体也就是方程组23x x+=的解得全体，该方程组的基础解系为：23(1,0,0),(0,1,1)T Tεε==-，所以对应于1的全部特征向量为：(1,0,0)(0,1,1),,T Tk l k l+-不全为零.（2）1(0,1,1)ε=标准正交化为1η=12(1,0,0),(0,1,1)T Tαα==-标准正交化为23(1,0,0),(0,T Tηη==取010Q⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭有111TQ AQ-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭1111()1111T TA Q Q Q Q----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0101100011000011010⎛⎫⎛⎪⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎪⎭4.设A是三阶实对称对合矩阵,若()2r A E+=.求A的相似对角形,并求2A E+. 解: 因为三阶实对称对合矩阵A满足:2TA E A A==且,所以T A A E=,即A也是正交矩阵.()2r A E+=说明||0A E+=说明1-是A的一个特征值,而且特征子空间的维数是1维的. 所以1-是单特征根.又A实对称,其特征值均为实数且必定可以对角化, A也是正交矩阵,其特征值只能是1±, 所以其余两个特征值是1(二重根), A的相似对角形为111⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭故2A E+的特征值为3,3,1,且2A E+对称矩阵,相似于331⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭32391A E+==5. 设三阶实矩阵A有三个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.证明: 三阶实矩阵A有三个互相正交的特征向量,故A可以对角化,将这三个向量单位化,得一组由特征向量组成的标准正交基123,,ηηη,取123(,,)Qηηη=,则有1TQ AQ Q AQ-==Λ, Λ是对角线元素是A的特征值组成的对角阵所以11()TA Q Q--=Λ是对称矩阵.6. 证A是n阶投影矩阵,n Rβ∈,令ˆˆ,Aββγββ==-.证明:(1 ) ˆ;γβ⊥(2) ˆβ等于β在()R A上的正交投影.(3) A 正交相似于r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()r r A =. 证明: (1) A 是n 阶投影矩阵,所以2T A A A A ==且ˆ(,)(,)(,)(,)()T T A A A A A A A A γββββββββββββ=-=-=- 20T T T T T A A A A A ββββββββ=-=-=,所以 ˆ;γβ⊥ (2)显然ˆβ()R A ∈,12(,,,)n A ααα=将A 按列分块,1122ˆˆ()()0T T T T T T T T T n n A A A A ααααγββββββαα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,()i R A γαγ⊥∴⊥,因此ˆβ等于β在()R A 上的正交投影. (3) 2T A A A A ==且,所以其特征值只能是 10或,实对称矩阵都可以存在正交矩阵Q 使1T Q AQ Q AQ -=化为对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭属于1的特征向量的个数为()r r E =,属于0的特征向量的个数为n r -,所以A 正交相似于rEO OO ⎛⎫⎪⎝⎭,其中()r r A =.习题8.21 .写出下列二次型的矩阵:(1) 22123231223(,,)224f x x x x x x x x x =++-(2) 222123412313142334(,,,)24282f x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+-.解: (1) 010122021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 1021024024111013A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭2. 写出下列矩阵对应的二次型：(1) 210112023A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(2) 5131171031811012A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭解: (1) 2221231231223(,,)2324f x x x x x x x x x x =++-+(2)2222123412321213142334(,,,)578426222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-++-++. 3．用正交替换法化下列二次型为标准形： (1) 22112269x x x x -+解: (1) 对应的对称矩阵为1339A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭特征多项式21310(10)39λλλλλλ-=-=--A 的特征值为1210,0λλ==110λ=代入()0E A X λ-=121293030x x x x +=⎧⎨+=⎩的基础解系: 11(,1)3T α=-,单位化得:11,1)(3T Tη=-= 20λ=代入()0E A X λ-=121230390x x x x -+=⎧⎨-=⎩的基础解系: 2(3,1)T α=,单位化得:2T Tη==取,Q X AY ⎛== ⎝有2110f y =(2)122322x x x x -对应的对称矩阵为010101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭特征多项式310112(01λλλλλλλλ--=-=+-A的特征值为1230λλλ===1λ=代入()0E A X λ-=1212323000x x x x ⎧-=⎪⎪-++=⎨⎪+=⎪⎩的基础解系:1(1,T α=-,单位化得:1111(1,(,)222T Tη=-=-2λ=代入()0E A X λ-=1212323000x x x x ⎧-=⎪⎪--+=⎨⎪-=⎪⎩的基础解系:2(1T α=-,单位化得:2111((,)2222T Tη=-=- 30λ=代入()0E A X λ-=2132000x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩的基础解系: 3(1,0,1)T α=,单位化得:3T Tη==取11220,1122Q X AY ⎛--⎪== ⎪ ⎪ ⎝有2212f =(3) 2221231213232444x x x x x x x x x ++-++对应的对称矩阵为222212221A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭特征多项式23222222212011221221R R λλλλλλλ+-----++----3222242401(1)(1)(52)23223l l λλλλλλλλλ+----+=+=+-+----55(1)(22λλλ+=+-- A的特征值为12355,,122λλλ+-=== 152λ+=代入()0E A X λ-=得123123123122023220232202x x x x x x x x x ⎧++-=⎪⎪⎪+⎪++=⎨⎪⎪+-++=⎪⎪⎩的基础解系:11,1)T α=-,单位化得:11(,1,1)4T η-=-252λ-=代入()0E A X λ-=得123123123122023220232202x x x x x x x x x ⎧-+-=⎪⎪⎪-⎪++=⎨⎪⎪--++=⎪⎪⎩的基础解系:21,1)T α=-,单位化得:21(1,1)4T η-=- 31λ=-代入()0E A X λ-=123123123322022202220x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+-=⎩的基础解系: 3(0,1,1)T α=,单位化得:3T η=取()123,,,Q X QY ηηη==有2221235522f y y y +-=--(4) 22221234121314232434264462x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+--+-对应的对称矩阵为1132112332112311A --⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭特征多项式2311321123(1)(7)(1)(3)32112311R R λλλλλλλλ+------+-----所以,12341,7,1,3λλλλ===-=-,分别代入()0E A X λ-=求得的特征向量并标准化得:12341111222211112222,,,1111222211112222ηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭取()1234,,,,Q X QY ηηηη==有2222123473f y y y y =+--4． 已知二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++通过正交替换化为标准形22212325,y y y ++求a 的值和所做的正交替换矩阵.解: 由已知条件,有二次型的特征值分别为1231,2,5λλλ===,所以二次型的对应对称矩阵2000303A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式为21232(9)10A a λλλ=-=⋅⋅=从而24,2a a =∴=±2a =时22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++对应对称矩阵200032023A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,11λ=代入()0E A X λ-=:123230220220x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩基础解系: 1(0,1,1)T α=,单位化得:1T η=22λ=代入()0E A X λ-=:123232300002020x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩基础解系: 2(1,0,0)T α=,单位化得: 2(1,0,0)T η=35λ=代入()0E A X λ-=:12323233000220220x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩基础解系:3(0,1,1)T α=-,单位化得: 3(0,T η=取0100,Q X AY⎪⎪==⎪⎪⎭有22212325f y y y=++2a=-时22212312323(,,)2334f x x x x x x x x=+++对应对称矩阵200032023A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,11λ=代入()0E A Xλ-=:12323220220xx xx x-+=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩基础解系:1(0,1,1)Tα=-,单位化得:11,1)Tη=-22λ=代入()0E A Xλ-=:123232300002020x x xx xx x++=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩基础解系:2(1,0,0)Tα=,单位化得:2(1,0,0)Tη=35λ=代入()0E A Xλ-=:12323233000220220x x xx xx x++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩基础解系:3(0,1,1)Tα=,单位化得:3Tη=取0100,Q X AY⎪⎪==⎝有22212325f y y y=++5 已知二次型123(,,)f x x x经正交替换化为222123y y y+-，且二次型矩阵对应11λ=的线性无关向量为12(2,1,0),(0,1,1)T Tαα==，求二次型123(,,)f x x x解: 123(,,)f x x x经正交替换化为222123y y y+-,所以特征值为1,1,-1属于1-的特征向量3123(,,)Tk k kα=与12(2,1,0),(0,1,1)T Tαα==正交,故为方程组12312320000k k kk k k++=⎧⎨++=⎩的解:31(,1,1)2Tα=-,单位化:321122(,1,1)(,,)32333T Tη=-=-将12,αα正交化:****211221**11(,)124 (2,1,0),(0,1,1)(2,1,0)(,,1)(,)555T T T Tαηηηαηηη==-=-=-单位化: 1224,,,1)55T Tηη==-取1312,13123TQ Q AQ⎫⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎪⎪⎝⎭131121131121223333TA Q Q⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭131121131121223333TA Q Q⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎝⎭744999418999481999⎛⎫-⎪⎪⎪=⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭,所以222 1231121322337881161 (,,)999999f x x x x x x x x x x x x=+-+++6. 设A是n阶实对称矩阵，12,,,nλλλ是A的全部特征值，且12nλλλ≤≤≤，证明：对任意n Rα∈有1T T TnAλααααλαα≤≤证明: 因为A是n阶实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q使得12TnQ AQλλλ⎛⎫⎪⎪==Λ⎪⎪⎝⎭对任意nRα∈有11()T T T T TA Q Q Q Qαααααα--=Λ=Λ,记12(,,)T TnQ b b bα=,则2222221122112() T Tn n n Q Q b b b b b b ααλλλλΛ=+++≥+++222222112212()n n n nb b b b b bλλλλ+++≤+++22212()()T T T T T T n b b b Q Q QQ αααααα+++===所以 1T T TnA λααααλαα≤≤7．设A 是n 阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c ，使对任意n R α∈，都有||T T A c αααα≤证明: 由上题,取正实数c 大于A 的所有特征值的绝对值即可.习题8.31 . 用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并用矩阵验算所有结论: (1)121323422x x x x x x -++解: 做非退化线性替换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩2212132312123123422442()2()x x x x x x y y y y y y y y -++=-++++-222222121311333214444()44y y y y y y y y y y =-++=--+++ 222133214()44y y y y =--++做非退化线性替换113113222233331144z y y y z z z y y z z y y z⎧⎧=-=+⎪⎪⎪⎪=→=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩有22212132312342244f x x x x x x z z z =-++=-++验证:021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵21104010001C ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1212()11101011002111044010110201110010001001110001001T TT C C AC C ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭400040001-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(2)22121213233226x x x x x x x x --+-解: 配方22121213233226x x x x x x x x --+-2222112323232232()()()36x x x x x x x x x x x =--+-----22221232233223()236x x x x x x x x x x =-+-+--- 2221232233()44x x x x x x x =-+---2212323()(2)x x x x x =-+-+作非退化线性替换112311232232233333132212()2x y y y y x x x y x x x y y y x x y ⎧=+-⎪=-+⎧⎪⎪⎪=+→=-⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩有222212121323123226f x x x x x x x x y y =--+-=-验证:021201110A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵21104010001C ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1212()11101011002111044010110201110010001001110001001T TTC C AC C ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭400040001-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭(3)121314232434x x x x x x x x x x x x +++++解: 做非退化线性替换1122123344x y y x y y x y x y =+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩121314232434x x x x x x x x x x x x +++++221212312412312434()()()()y y y y y y y x y y y y y y y y -+++++-+-+221213143422y y y y y y y y =-+++2222113434342342()()()y y y y y y y y y y y =++++-+-+ 222213423344()y y y y y y y y =++----2222213423344413()()44y y y y y y y y y =++---+-2222134234413()()24y y y y y y y =++----作非退化线性替换1134113422223343344444321122z y y y y z z z z y y z z y y y z zz y y z ⎧=++=--⎧⎪⎪⎪=⎪=⎪⎪→⎨⎨=-⎪⎪=+⎪⎪=⎪⎪⎩=⎩ 有2222121314232434123432f x x x x x x x x x x x x z z z z =+++++=---验证:1110222111022211102221110222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第一个线性替换的矩阵为 11100110000100001C ⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪⎝⎭,第二个线性替换的矩阵2310120100100140001C ⎛⎫-- ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭123111310121100231100111010020010100110014400100010001C C C =⎛⎫--⎛⎫--⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪---- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭111303111111222221110331111112222211101100100122244111000010001222TT C AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10000100001030002⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(4) 22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++配方22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++22212342334()22x x x x x x x x =+++++22222123233424244()22()()x x x x x x x x x x x x =++++++-++222212324244()()()x x x x x x x x =++++-++作非退化线性替换112113423243233242344444y x x x y y y y x x x x y y y x x x y y y x x y =+=-+⎧⎧⎪⎪=++=-⎪⎪→⎨⎨=+=-⎪⎪⎪⎪==⎩⎩22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++的标准形为 22221234y y y y =+-+矩阵验证类似上题.2. 用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并利用矩阵验算所得结论: (1) 122211n n n n x x x x x x -++++(2) 211ni i j i i j nx x x =≤<≤+∑∑3. 设二次型21211221(,,)()sn i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑,证明:12(,,)n f x x x 的秩等于如下矩阵A 的秩,其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭证明:12112211221(,,)()()sn i i in n i i in n i f x x x a x a x a x a x a x a x ==++++++∑11221212121(,,)[(,,,)(,,,)]i si n n i i in i in n a x a x f x x x x x x a a a a x =⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 121211()(,,,)s sT T T T T T TT i i i i s i i s A A X A A X X A A X X A A A X A ==⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑T T X A AX =所以,二次型的对称矩阵为T A A ,而()()TR A R A A =,得证.4. 2121(,,)()nn i i f x x x x x ==-∑的秩和正负惯性指数, 其中121()n x x x x n=++解: 由上题,二次型的矩阵为T A A ,故为半正定矩阵,其中,111111111n n n n n A nn nn nnn -⎛⎫--⎪ ⎪- ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ 半正定二次型的秩和正惯性指数相同,均为()()1T R A R A A n ==-.5. 证明: 一个二次型可以分解为两个齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.证明: :⇒根据题意,二次型 1211221122(,,,)()()n n n n n f x x x a x a x a x b x b x b x =++++++如果1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b 线性相关, 此时不妨设1212(,,,)(,,,)n n a a a k b b b =根据题意,这两个向量均不可能是0向量. 不妨设10b ≠作非退化线性替换1112222n nn ny b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩二次型化为 2121(,,,)n f x x x ky = (0)k ≠ 此时二次型的秩是1如果1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b 线性无关关, 此时不妨设12120a a b b ≠作非退化线性替换111222112233n nn nn ny a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩此时二次型化为1212(,,,)n f x x x y y =再作非退化线性替换11221233n ny z z y z z y x y x =-⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩此时二次型化为221212(,,,)n f x x x z z =-所以二次型的秩是2,符号差是0.:⇐二次型的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.所以二次型可以经过非退化线性替换1111122111111221221122222211222211221122n nn nn nn nn n n nn n n n n nn nx c y c y c y y b x b x b x x c y c y c y y b x b x b x x c y c y c y y b x b x b x =+++=+++⎧⎧⎪⎪=+++=+++⎪⎪→⎨⎨⎪⎪⎪⎪=+++=+++⎩⎩化为221212(,,,)n f x x x y y =-或者2121(,,,)n f x x x y =结论得证.6. 如果把n 实对称矩阵按合同分类,可分为几类?解: 把n 实对称矩阵按合同分类,即看其规范形有多少个即可.而规范形由二次型的秩r 和正惯性指数p 确定0=0r p =，共1类1,=01r p =， 共2类 2,=012r p =，， 共3类,=012,,r n p n =，， 共1n +类所以加起来共有(1)(2)2n n ++类7. 证明: 秩为r 的实对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 证明: 设,()T n n A A R r A r ⨯=∈=则存在可逆矩阵C 使得11110[]00rT TT T rr rr E A C C C E E C C E C C E C ⎛⎫==+=++⎪⎝⎭其中, ii E 是只有第i 行i 列的元素为1, 其余元素都是0的n 阶矩阵.显然, (1,2,,)T ii C E Ci n =是秩是1的对称矩阵.习题8.41 求判断下列二次型是否正定：(1) 222123112132233()9912481306071f x x x x x x x x x x x x ++=-++-+；(2）222123112132233()10824228f x x x x x x x x x x x x ++=+++-+. 解:(1) 对应的对称矩阵为99624613030243071A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,而显然其1阶和2阶顺序主子式均大于零.99130712303024130242490996671A =⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯⨯ 918090863468317440=-=>,故正定.(2) 对应矩阵为10412421412141A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭存在主子式2142540141-=-<-,所以不正定.(或计算0A <,即3阶顺序主子式小于0)2. t 取什么值时,下列二次型是正定的:(1) 2221231213235224x x x tx x x x x x +++-+ (2) 22212312132342106x x x tx x x x x x +++++ 解: 对应矩阵为1112125t A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,顺序主子式均大于0,即2110,111t t t t =->∴-<<21112540,125tA t t t -==-->- 综合上述条件知: 405t -<<(2) 对应矩阵为1543531t A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,顺序主子式均大于0,即2140,224t t t t=->∴-<<2154330105531t A tt t ==-+-,两个不等式联合起来无解.所以, 无论t 取什么值时二次型都不会正定.3. 如果,A B 都是n 阶正定矩阵,那么A B +也是正定矩阵. 证明:对于 0()0T T T X X A B X X AX X BX ∀≠+=+>结论成立.4. 设A 是正定矩阵, 整数1,k >证明: (1) kA 也是正定矩阵;(2) 存在正定矩阵B 使得kA B =证明: (1) A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q 使得11221T n n A Q Q Q Q λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(1,2,)i i n λ>=, 此时211211kk kk k n n A Q Q Q Q λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭特征值都大于零,所以kA 正定 (2) 在(1)中, 存在正交矩阵Q 使得11221T n n A Q Q Q Q λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取T B Q Q ⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎝即可. 5. 设A 是n 阶正定矩阵,证明存在一个上三角矩阵R ,使得TA R R =. 证明: A 是n 阶正定矩阵,故存在可逆矩阵C ,TA C C =,对于C 有QR 分解C QR =,其中Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵,这时:()()T T T T T A C C QR QR R Q QR R R ====6. 设A 是实对称矩阵, 证明当t 充分大之后, tE A + 是正定矩阵. 证明: A 是实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q 使得12T n A Q Q λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1122T T n n t ttE Q Q Q Q t λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1T Q Q -=，所以，当12max{,,}n t λλλ>时tE A +的特征值全大于0，故正定.7. 设()ij A a =是n 正定矩阵, 证明: (1) n 元二次型 12(,,,)0n TA Y f y y y Y =其中12(,,,)T n Y y y y =,是负定二次型;(2) 1,nn n A a A -≤这里1||n A -是A 的1n -阶顺序主子式;(3) 1122.nn A a a a ≤证明：(1) 因为1110010001T TT EA Y A E A Y Y A Y Y A Y ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式1000TT A Y A YY A Y-=-所以 1112(,,,)()0T T n TA Y f y y y A Y A Y Y A A Y Y --==-=-所以负定.(2) 将A 分块，利用12(,,,)0n TA Y f y y y Y =负定，11111000n n n n nn n TTTTnnnnnnA A A A A a A a a a ββββββ-----==+≤=(3) 11121122nn n nn n n n nn A a A a a A a a a ----≤≤≤≤8. 设A 是n 阶正定矩阵, β是n 维向量, c 是常数, .T A D c ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明二次函数()2TTp x X AX Xc β=-+在处有最小值,且其最小值1min .T D p A c Aββ-=-+=证明： 因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在正交矩阵Q 使得12,0T T i n A Q Q Q Q λλλλ⎛⎫⎪⎪==Λ> ⎪ ⎪⎝⎭作线性替换X QY =，令***12(,,,)T n Q b b b β=有()2T T T p X Y Y Y Q c β=Λ-+22**111122n n n n y y b y b y c λλ=+--+**2**222111111()()()()nn n n nnb b b b y yc λλλλλλ=-+-+---求驻点后知：***1121212(,,,)(,,,)T T nn nb b b y y y Q βλλλ-==Λ时，也就是11T X QY Q Q A ββ--==Λ=处最小，代入()2T T p X X AX X c β=-+得111()()2()T T p X A AA A c ββββ---=-+111()2()()TTTTTTDA A c c A Aββββββ---=-+=-=9. 设A 是n 阶实对称矩阵,且0,A <证明:必存在n 维向量0α≠,使0T A αα<.证明： A 是n 阶实对称矩阵,且0,A <说明A 不是半正定矩阵，所以存在非退化线性替换X CY =使得222211()p p r f X y y y y +=++---且0r p ->取012(,,,)(0,0,,0,1,00)Tn Y y y y ==其中第1p +个分量为1，其余是0，此时取0CY α=，显然0α≠,且0TA αα<.10. 设二次型()Tf X X AX =,有n 维向量,αβ使0,0.T T A A ααββ><证明: 必存在n 维向量0,γ≠使0T A γγ=.证明： 根据题意，存在非退化线性替换X CY =使得222211()p p r f X y y y y +=++---且0,0p r p >->，取012(,,,)(0,0,,1,1,00)T n Y y y y ==其中第,1p p +个分量是1，其余均为0，此时取0CY γ=，显然0,γ≠使0T A γγ=。

二次型习题一、填空题1. 实二次型222123123121323(,,)33222f x x x x x x x x x x x x =++++-的矩阵为 ．2. 二次型()2111,,nn i i j i i j n f x x x x x =≤<≤=+∑∑的矩阵为 。

3. 二次型22212312323(,,)22f x x x x x x x x λμ=+++是正定的充分必要条件是λ与μ满足 。

4. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20001011k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。

5. 实对称n 阶半正定矩阵A 的秩为n r <，则二次型AX X T 的规范形为 。

6. 实二次型()112323132(),,541433x f X x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为 。

7. n 阶实对称矩阵A 正定，则二次型AX X T 的规范形为 .8. 二次型()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++= 的矩阵为 。

二、选择题1. 设A 是实对称矩阵，二次型()AX X X f '=正定的充要条件是（ ）。

（A)0>A ； （B ）负惯性指数为0 ；（C ）A 的所有主对角线上的元素大于0； （D ）存在可逆矩阵C ，使C C A '=2. 设A 是任意实矩阵,那么二次型()AX A X x f ''=必是（ ）．A 、半正定;B 、半负定;C 、正定；D 、负定;3. 实方阵A 为正定阵，则下列结论正确的是（ ）.A. 0||>AB. 0||<AC. 0||=AD. 不确定4. 已知二次型AX X x x x f T =),,(321通过正交线性替换化为标准形22212y y -，则矩阵A （ ).A 。