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第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交

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第3章曲面立体

第3章曲面立体
截交线上有一些能够确定截交线的大致形状和范围的特
殊点，如回转面转向轮廓线上的点，截交线在对称线上的顶 点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。其他 点是一般点。求作曲面体截交线的投影时，通常应先求出截
交线上特殊点的投影，然后在特殊点较稀疏处按需要求出一 些一般点，最后将特殊点和一般点依次连接并判别可见性，
利用积聚投影求两圆柱的相贯线
三通管（两空心圆柱）的相贯线
3.6.2 用辅助平面法作相贯线
假想用一辅助平面截断相贯的两曲面体，则可同时 得到两曲面体的截交线，这两曲面体的截交线的交点，就 是辅助平面和两曲面体表面三个面的共有点，即相贯线上 的点。若用若干辅助平面截断两曲面体，就可得到相贯线 上的若干点，把这些点连接起来，就能求得相贯线。
第3章 曲线、曲面及曲面立体
3.1 曲线 3.2 曲面的形成和分类 3.3 回转体及其表面上的点 3.4 曲面立体的截交线 3.5 平面立体与曲面立体相交 3.6 曲面立体与曲面立体相交
由各种曲线、曲面和曲面体组成的建筑物
3.1 曲线
3.1.1 曲线的形成与分类
1. 曲线的形成 曲线可以看成是点的运动轨迹（图3.1a）， 也可以是两曲面或平面与曲面相交而形成（图3.1b）。
4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理加深轮廓线。
39
3.4.3 球的截交线
平面切割球时，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。 当截平面平行投影面时，截交线圆在该投影面上的投影 反映实形； 当截平面垂直于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影积聚成为一条长度等于截交线圆直径的直线； 当截平面倾斜于投影面时，截交线圆在该投影面上的投 影为椭圆。
螺距P
返回

3[1].4 两曲面立体相交

3[1].4 两曲面立体相交
2"
y
4" PW1
5"
PW2 3" PW3 2 求出相贯线上的
特殊点Ⅰ 特殊点 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ； 3 求出若干个一般 点Ⅳ 、Ⅴ； 4 光滑且顺次地连 接各点， 接各点 ， 作出相贯 线 ， 并且判别可见 性； 整理轮廓线。 5 整理轮廓线。
15
1 分析 相贯线的 侧面投影已知， 侧面投影已知 ， 可 利用辅助平面法求 共有点； 共有点；
2"
y y
5
3
4
y
2
1
4 光滑且顺次地连 接各点， 接各点 ， 作出相贯 线 ， 并且判别可见 性； 整理轮廓线。 5 整理轮廓线。
16
用水平面作为辅助平面求共有点
y
例题6 例题6
分析并想象出物体相贯线投影的形状
17
y
y
求出相贯线上的特殊点A 2 求出相贯线上的特殊点 、B、 C； 、 ； 求出若干个一般点D、 3 求出若干个一般点 、 E ； 4 光滑且顺次地连接各点 作出相贯线， ， 作出相贯线 ， 并且判别 可见性； 可见性； 5 整理轮廓线。 整理轮廓线。
a c
b y d e
y
12
利用辅助平面法求相贯线
1
曲面立体相贯的三种基本形式
1 2 3 两外表面相交； 两外表面相交； 外表面与内表面相交； 外表面与内表面相交； 两内表面相交。 两内表面相交。
2
曲面立体相贯线的性质图例
3
相贯线的特殊情况 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆， （1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆，并 且该圆垂直于公共轴线。 且该圆垂直于公共轴线。 当公共轴线处于投影面垂直位置时， 当公共轴线处于投影面垂直位置时 ， 相贯线有一个投影 反映圆的实形，其余投影积聚为直线段，例图； 反映圆的实形，其余投影积聚为直线段，例图；

曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线.

曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线.

1
d
f
e
29
平面体与曲面立体相交 交线 （相贯线）
共性
交线为二表面所共有线 求交线的本质 求二表面的共有点
本节重点讨论：求交线的基本方法
30
求交线的基本方法
作图步骤看动画演示
31
求交线的基本方法
例
此段外形轮廓线消失
（直线）构成的封 交线投影分析 实质是求平面体 闭的空间折线 交线的投影作图 各表面与回转体 H、 W投影已知 求V投影 求截交 的交线
特殊点 外形轮廓线 中间点 终止点 光滑连接曲线 截交线投影 虚实分界点 交线可见性
11
例 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
3’
2’ 1’5”4” (4’)(5’)
3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
5 4 3 2 1 4 5
内、外交线分别求解 注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线
7
4、平面与圆锥体相交 平面P与圆锥面的交线
P
P

P轴线 交线为圆
P∠轴线 > 交线为椭圆
8
平面P与圆锥面的交线
P
P


P ∠轴线 = 交线为抛物线
P ∠轴线 0 < 交线为双曲线
9
平面P与圆锥面的交线
P
归纳
P轴线 交线为圆 P∠轴线 > 交线为椭圆 P∠ 轴线 = 交线为抛物线 P∠轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
10
P过锥顶 交线为直线
例 求截交线
椭圆短轴的投影 是什么点？
P
P
椭圆画法

工程制图(英汉双语对照)第3章平面与曲面立体相交 2

工程制图(英汉双语对照)第3章平面与曲面立体相交 2

双曲线+直线
P 平行于轴线；
截交线的投影形状 ④Parabola+straight line: P parallel with a contour line.
抛物线+直线
P 平行于一条轮廓线；
⑤Isoceles triangle:P across the apex point. 等腰三角形 P 通过锥尖。
①Circularity: P perpendicular to the axis.
圆形
P 垂直于轴线；
②Ellipse: P tilted to the axis. 椭圆 P 倾斜于轴线；
Shape of the projection of intersection lines
③Hyperbola+ straight line:P parallel with axis.
显
求圆柱筒被截切后的H 、W 面投影。
示
后
Example3. Draw V，H views of the cutting cone.
面
求圆锥体被截切后的H、W 面投影。
内
容
Example4. Draw V，H views of the cutting half sphere。
求半圆球体被截切后的H、W 面投影。
(2) Draw special points. 求特殊位置各点（顶、拐点）的投影；
(3) Distinguish its visibility. 判别可见性后，按顺序连接各点的投影； 请
(4) Complete the projection. 根据立体和截交线的二投影求出第三投影； 点
(5)
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第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交

第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交

5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段

两曲面立体相交

两曲面立体相交

3.2两曲面立体相交
3.3.1 概述
相贯线：两立体表面的交线称为相贯线。

相贯线性质：
1.共有性：相贯线上的点一定是形体表面的共有点。

2.封闭性:由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。

(1)平面立体与平面立体相交: 其相贯线为封闭
的空间折线或平面折线。

(2)曲面立体与曲面立体相交: 相贯线一般情况
(3)下是封闭的空间曲线。

特殊情况下是平面曲线
或直线.
3.3.2 相贯线作图方法及举例
例
外，还有以下两种情况：
（1）圆柱孔与实心圆柱相交
（2）两圆柱孔相交
3.3.2 相贯线的特殊情况
两回转体相交，在一般情况下其相贯线为空间曲线，但在特殊情况下相贯线也可能是平面曲线或直线。

下面介绍几种情况
1. 同轴的两回转体相交，相贯线为垂直于轴线的圆。

当轴线平行于某一投影面时，其相贯线在该投
2.同切于球面的两回转体相交，其相贯线为椭圆（1）当两圆柱轴线相交、直径相等、同切于一球面时，其相贯线为两大小相等的椭圆。

在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影和侧面投影均积聚为圆。

（2） 当圆柱与圆锥的轴线相交，且同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆。

在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影仍为椭圆，侧面投影积聚为圆。

3. 轴线相互平行的两圆柱相交；其相贯线为两条平行于轴线的直线。

工程制图第三章小结与习题答案

工程制图第三章小结与习题答案

第三章小结一、基本体及其投影特点1、平面体（1）棱柱体：两底面平行，侧棱面⊥底面。

1）棱柱体投影特点：一个投影反映底面的真形，另两个投影为矩形+棱线。

2）表面上点的投影特性：侧棱线上的点：积聚为底面投影的各顶点；侧棱面上的点：积聚为底面投影的各底边；底面上的点：积聚为侧棱面投影的矩形上/ 下边上。

（2）棱锥体：1）棱锥体投影特点：一个投影反映底面的真形，另两个投影为三角形+ 棱线。

2）表面上点的投影特性：底面上的点：积聚为侧棱面投影的三角形底边上。

2、回转体基本概念：1）回转面：母线绕轴旋转一周形成的面。

2）转向轮廓线：从投影方向看去，回转面可见部分与不看见部分的分界线。

正面投影的转向轮廓线称为正转向轮廓线；侧面投影的转向轮廓线称为侧转向轮廓线。

（1）圆柱体：两底面平行，回转面⊥底面。

1）圆柱体投影特点：一个投影为圆，另两个投影为矩形。

2）表面上点的投影特性：转向轮廓线上的点：积聚在另两个投影的对称中心线上；回转面上的点：积聚在圆周上。

（2）圆锥体：1）圆锥体投影特点：一个投影为圆，另两个投影为等腰三角形。

2）表面上点的投影特性：转向轮廓线上的点：积聚在另两个投影的对称中心线上；回转面上的点：积聚在圆周内。

注意：可根据点或轮廓线的（不）可见性，初步判定其位置。

二、绘制基本体表面上点的投影基本依据：基本体表面点的投影特性。

基本思路：对于特殊点：根据其特性得到；对于非特殊点：借助特殊点作辅助线得到。

具体方法如下：1、平面体最特殊的点：棱线上的点。

（1）棱柱体：先初步判断点的位置（棱线上？侧棱面上？底面上？），然后根据相应的投影特性得出其投影。

（2）棱锥体：①先在已知投影中标出锥体顶点和底面各顶点，并初步判断点的位置；②根据标注的顶点，可得到各棱线上点的投影；③对于侧棱面上的点，可借助棱线上的点做辅助线得到。

辅助线做法有两种：一种是过锥体顶点和该点已知投影作辅助线，交三角形底边于一点；另一种是过该点已知投影作底边的平行线，与棱线相交于一（或两）点。

第三章 集合体

第三章 集合体

例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
1‫׳2 ׳‬ 1‫״‬ 3‫״‬ 5‫״‬ 7‫״‬ 2‫״‬ 4‫״‬ 6‫״‬
3‫׳‬ 5‫׳‬
7‫׳‬
4‫׳‬
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点
2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
6‫׳‬
5
3 1
7 2 6 4
试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的投影。
特征视图
形体的特征视图
特征视图
形体的特征视图
要将几个视图联系起来看
有一个视图相同的不同集合体
2 求一般点。
3 连线。
平面与常见回转面的截交线形状及投影
平面截圆球
截平面截圆球，截 交线为圆。
例:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影
轮廓线怎样处理?
分析:球面被侧平 面截切，侧面投影 为圆；球面被水平 面截切，水平面投 影为圆。
轮廓线要不 要?
求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面截圆球的截交线 两个侧平面截圆球的截 的投影，在俯视图上为 交线的投影，在左视图 部分圆弧，在侧左视图 上为部分圆弧，在俯视 上积聚为直线。 图上积聚为直线。
三视图的画法
4.布置视图 应考虑尺寸标注和标题栏的位置合理布置各
视图位置。画出作图基准线，即对称中心线、主要回转体的轴
线、底面及重要端面的位置线。 5.绘制底稿 6.检查、描深 按标准线型描深。 叠加型组合体应按照形体分析法逐个画出各 底稿完成后，应认真检查，确认无误后，
形体的投影，从而得到整个组合体的三视图。
（五）检查、加深
例：绘出轴承座的三面投影 1) 绘出底板的三面投影
1)、绘出底板的三面投影
2)、绘出圆台的三面投影

曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线

曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线

(5’)
4’Βιβλιοθήκη 1”Pw6”
2” Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
45
46
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
b”
27
例3 完成所示形体的投影图
d’
e’
f’
b’
5’ 2’
1’
a’
s’
4’
3’
6’
c’
f
c
d
6
s
3
2
5
b
14 e
a
28
例题4：已知三棱锥SABC与三棱柱DEF的三面投
影,求作s它’们的f’相贯Pv线。 s”
3’
3”
2’
Qv
14’’d()’ 5’
4” 6’e’ 6”
1”
a’ b’
c’ a”(c ”)
（闭实各H的直、质表交交空线W是面线线间）投求 与投的折构影平 回影投线成已面 转分影的知体 体析作封图
求截交 的交求线V投影 线问题
32
归纳
相交形式
外表面与外表面相交 外表面与内表面相交 内表面与内表面相交
交线相同 求交线的实质相同 求交线的方法相同
33
求：四棱柱与半球体的相贯线。
34
曲面体与曲面体相交

第三章立体的投影

第三章立体的投影

第三章立体的投影基本要求：熟练掌握基本形体的三面投影的特性、平面和立体的截交线的性质和画法、立体相贯线的性质和画法；能判断出立体表面的点、线，会求线与立体的交点。

主要内容：1、立体的投影；2、平面和立体相交；3、两立体相贯。

3.1立体的投影一、内容：1、平面立体的投影特性、作图方法；2、曲面立体的投影特性、作图方法。

二、要求及重点：要求掌握平面立体、曲面立体的投影特性、作图方法，并能综合运用。

三、教学方式：通过模型、教具、例题及实际绘制，使学生掌握并能综合运用。

四、作业：布置相应的立体投影作业。

3.1立体的投影基本形体：平面体曲面体一、平面立体的投影1、平面立体：表面由平面所围成的几何体。

2、平面立体的投影：就是围成它的表面的所有平面图形的投影。

置下，五棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形——正五边形。

五个棱面的水平投影分别积聚为五边形的五条边。

正面和侧面投影上大小不同的矩形分别是各棱面的投影，不可见的棱线画虚线。

2、作图步骤：如图3-1b、c。

3、棱柱表面上点的投影：如图3-1d。

（二）棱锥棱锥的棱线交于一点。

常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

图3-2 四棱锥三面投影的作图步骤1、投影分析图示四棱锥的底面平行于水平面，水平投影反映实形。

左、右两棱面垂直于正面，它们的正面投影积聚成直线。

前、后两棱面垂直于侧面，它们的侧面投影积聚成直线。

与锥顶相交的四条棱线既不平行、也不垂直与任何一个投影面，所以它们在三个投影面上的投影都不反映实长。

2、作图步骤：如图3-2b。

3、棱锥表面上点的投影：如图3-2c。

二、曲面立体的投影1、曲面立体：由曲面或曲面与平面所围成的几何体。

2、常见的曲面立体是回转体。

回转体：由回转面或回转面与平面所围成的立体，常见的回转体有圆柱、圆锥、球、环等。

回转体的投影就是围成它的回转面或回转面和平面的投影。

1、投影分析如图3-3所示，当圆柱轴线垂直于水平面时，圆柱上、下端面的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。

第3章1组合体12截交线

第3章1组合体12截交线
基本立体的形状及其表面之间的连接关系。
相交 重叠
相交 挖切
穿孔
相切
底板
肋板
P55 图3.2 组合体的形体分析法
直立圆筒
水平圆筒 穿孔
2）线面分析法（挖切类组合体）：
对立体表面、轮廓线、交线等几何要素的空间位置、 形状、相互关系、投影特征等进行分析的分析方法。
s'
s"
u' a' r'
(t') p'
q'
3、分别求出两截平面的其余
两面投影（特殊点在棱线上、
一般点在棱面上），擦去截
a) 题图
切掉的图线，并判断可见性。
解题过程：
水平面DEFI 正垂面FGHI
交线FI
侧
棱
垂
线
面
问题：
为什么擦掉了g"e" ，却不擦掉d"h"？
b) 求作棱线、平面上各交点的投影
c) 完成结果
图2.27 补全三棱锥的投影
归纳平面立体截交线的作图步骤：
P60 [例3.5] 补全立体的三面投影
辅助平面
Ⅰ Ⅴ
Ⅲ
Ⅳ
辅助平面
Ⅱ
纬圆
图3.9 平面与圆锥体相交举例
3）平面与球相交： （截平面多为平行面） P61：表3.4平面与球体相交的各种形式
P61 [例3.6] 补全立体的三面投影
图3.10 平面与球体相交举例
P62 [例3.7] 补出立体的H面投影
a) 圆柱表面上的特殊点
b) 圆柱表面上的一般点
图2.31 圆柱表面上的点与线
2. 圆锥表面上的点与线
(（1234)完作) 圆 特 一锥 殊 般W点面AE、（ (投用用B影辅、素助C线平、法面D）法）

曲面立体与平面相交

曲面立体与平面相交

例题：求圆柱截交线
平面和圆锥相交
圆
一对相交直线
椭圆
双曲线
抛物线
依据截平面与圆锥体轴线的相对位置 不同，截交线的形状有以下五种：
2’
5’6’
6”
3’4’
4”
7’8’
1’
8”
8 46
1
2
7 35
平面与圆锥相交
2” 5” 3”
7”
1”
（1）先作出截交线上的特殊点 （2）再作一般点 （3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影 （4）补全侧面转向轮廓线
两平面立体的相贯线
• 相贯线的性质： • 1.表面性 • 2.封闭性（空间折线） • 3.公有性 • 4.均为直线
两平面立体的相贯线
• 求法：棱线交点法
• 1.找棱线； • 2.求交点； • 3. 连接交点，即为相贯
线。 • 交点需在两个表面共有
三、两平面立体的相贯线
• 相贯线的可见性： b′
• 1.取决于相贯线所处立
s′
体表面的可见性。
a′
• 2.若相贯线处于同时可 见的两立体表面上，则 c′
相贯线可见，画成实线； c
其它情况下均为不可见，
画成虚线。
b
s
a
【例】识读相贯线
• 相贯线的读识： • 空间分析 • 1.辨别立体形状； • 2.判断相贯程度； • 投影分析 • 1.寻找相贯线； • 2.确定相贯点； • 3.确定不可见的相贯
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
【例】识读相贯线
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附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
图3-4 斜截圆柱的截交线
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
图3-5 斜截圆柱的截交线
2.平面与圆锥体的截交线 2.平面与圆锥体的截交线
当平面与圆锥体相交时， 当平面与圆锥体相交时，根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状（见下页表3 置不同，截交线有五种形状（见下页表3-1）。 当截交线为圆和直线时，其投影图可直接作出； 当截交线为圆和直线时，其投影图可直接作出；当截交线 为其余的三种曲线时， 为其余的三种曲线时，可用辅助平面法先求得截交线上的若干 个点，然后用曲线板光滑连接起来便得到截交线的投影。 个点，然后用曲线板光滑连接起来便得到截交线的投影。为了 作图方便，通常选择特殊位置的平面作为辅助平面， 作图方便，通常选择特殊位置的平面作为辅助平面，并使其与 立体表面的交线为圆或直线。 立体表面的交线为圆或直线。
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形
图3-14
附：题 5:
求圆锥被正平面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段
圆
三角形
投 影 图
求正垂面P与圆锥的截交线。 例3-3 求正垂面P与圆锥的截交线。 可以看出， 可以看出，此种截交线为 具体步骤如右图： 具体步骤如右图：
6”
5” 4”
4’ 3’ 2’ 1’ 8 1 2 3 4 7 6
7” (7)’
8”
2” 1”
具体步骤如下： 由于平面与圆柱的轴线斜交， 具体步骤如下： 由于平面与圆柱的轴线斜交， 因此截交线为一椭圆。 因此截交线为一椭圆。截交线的正面 （2）再作出适当数量的一 4 补全侧面投影中的转 投影重影为一直线， （1）先作出截交线上的特殊 3 将这些点的投影依次 3” 投影重影为一直线，水平投影与圆柱 般点。 向轮廓线。 般点。 。 向轮廓线 点。 面的投影重影为圆。 面的投影重影为圆。侧面投影可根据 光滑的连接起来。 光滑的连接起来。 圆柱表面取点的方法求出。 圆柱表面取点的方法求出。
2’ 5’6’ 3’4’
7’8’
2” 6”
4”
8”
5” 3”
7”
1’
1” 4 6 2
7
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线 1 3 5
8
Ⅰ
正平线
图 3-6
已知立体的正面投影，试完成H 两面投影。 例3-4 已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影。
1’ (2)’ (8)’
(4)’ 3’
2”
4”
3”
1”
(12)’
7’ 11’
截交线
截平面
截平面
截 面
图 3-1
截交线
1.平面与圆柱体的截交线 1.平面与圆柱体的截交线
根据圆柱体与截平面不同的相对位置，截交线有三种形状，如下所示： 根据圆柱体与截平面不同的相对位置，截交线有三种形状，如下所示： PV PV PV
P
P
P
与轴线垂直
与轴线倾斜
与轴线平行
圆
椭圆
图 3-2
两平行直线
例3-1 求正垂面斜截圆柱体的投影 5’
分析: 分析:球面被侧平面截切
侧面投影为圆； ，侧面投影为圆；球面被 水平面截切， 水平面截切，水平面投影 为圆。 为圆。
轮廓线 要不要?
图3-16
附：题 7:
如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 （2）确定截交线与转向轮廓线的交点。 （3）依次连接各点的水平投影。 （1）先求特殊点。
求作半圆头螺钉的投影。 例3-6 求作半圆头螺钉的投影。
水平面截圆球的截交线的投影 两个侧平面截圆球的截交线的 ，在俯视图上为部分圆弧，在侧视 投影，在侧视图上为部分圆弧， 投影，在侧视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。 俯视图上积聚为直线。 图上积聚为直线。
图 3-9
图3-10
附典型例题（三） 附典型例题（
图3-22
辅助平面法求相贯线a 辅助平面法求相贯线
动画
● ● ● ●
P
假想用水平面P截切立体， 面与圆柱体的截交线为两条直线 面与圆柱体的截交线为两条直线， 假想用水平面 截切立体，P面与圆柱体的截交线为两条直线， 截切立体 与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。 与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
图3-23 辅助平面法求相贯线b 辅助平面法求相贯线
● ● ● ●
●
● ● ●
解题步骤： 解题步骤：
●
●
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求中间点 ★ 光滑连接各点
● ●
●
图3-23
表面取点法求相贯线
图3-24
表面取点法求相贯线
三、相贯线的特殊情况
1.等径正交两圆柱的相贯线
图3-25
蒙日定理----如下图所示，圆柱与圆柱相交并共切于球； 蒙日定理----如下图所示，圆柱与圆柱相交并共切于球；圆柱与圆锥 ----如下图所示 相交，也共切于球， 即都属于两回转体相交并共切于球 两回转体相交并共切于球， 相交，也共切于球， 即都属于两回转体相交并共切于球，则它们的相贯线 都是平面曲线----椭圆 因为两回转体的轴线都平行于正投影面为直线， 椭圆。 都是平面曲线 椭圆。因为两回转体的轴线都平行于正投影面为直线，其 水平投影为圆或椭圆
Ⅴ Ⅳ Ⅲ Ⅷ Ⅰ Ⅱ
Ⅵ
5
Ⅶ
图3-3 斜截圆柱的截交线
例3-2 求出带切口圆柱套筒的投影
分 析：
该立体是在圆柱筒的上部 开出一个方槽后形成的 。构成 方槽的平面为垂直于轴线的水 平P和两个平行于轴线的侧平面 Q 。它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱的交线 都有交线，平面P 为圆弧，平面Q与圆柱的交线为 为圆弧，平面Q 直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直 直线，平面Ｐ 线段。 线段。
一椭圆。 由于圆锥前后对称， 一椭圆。 由于圆锥前后对称， 依次光滑连接各点， （3）依次光滑连接各点，即得 故椭圆也前后对称。 故椭圆也前后对称。椭圆的长轴 先作出截交线上的特殊点。 （1）先作出截交线上的特殊点 截交线的水平投影和侧面投影。 截交线的水平投影和侧面投影 。 为截平面与圆锥前后对称面的交。 正平线， 线——正平线，椭圆的短轴是垂 正平线 再作一般点。 （4）补全侧面转向轮廓线。 2 补全侧面转向轮廓线。 再作一般点。 直与长轴的正垂线。 直与长轴的正垂线。
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
第三章
平面与曲面立体相交、 平面与曲面立体相交、 两曲面立体相交
第一节
平面与曲面立体相交 曲面立体相交
第二节
三、回转体的截交线
回转体的截交线一般是封闭的平面曲线， 回转体的截交线一般是封闭的平面曲线，特殊情况下为圆或 直线。作图时，从截平面有积聚性的那个投影入手， 直线。作图时，从截平面有积聚性的那个投影入手，先找出截交 线上的特殊点（最上、最下、最左、最右、最前、 线上的特殊点（最上、最下、最左、最右、最前、最后及转向轮 廓线上的点等) 的投影，再求出若干个一般点的投影， 廓线上的点等 的投影，再求出若干个一般点的投影，并判别可见 最后用曲线板把各点光滑地连接起来，即为截交线的投影。 性，最后用曲线板把各点光滑地连接起来，即为截交线的投影。
最前点 1
最后点 2 最左点 3 最右点 4 2.适当求一般点 适当求一般点 3.连线 连线
最低点 最高点
2 3 1
图3-21 表面取点法求相贯线
4
－－辅助平面法 二、相贯线的求法一－－辅助平面法 例3-8 求圆柱与圆锥正交 的相贯线。 的相贯线。
◆ 空间及投影分析： 空间及投影分析： 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线 它的侧面投影有积聚性， 光滑的封闭的空间曲线。 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性， 正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 解题方法： ◆ 解题方法：辅助平面法
第二节
曲面立体相交
一、相贯线的性质 二、相贯线的求法 三、相贯线的特殊情况 四、影响相贯线形状的因素 五、相贯线画法举例
一、相贯线的性质 1.概念 概念 两立体相交称为 相贯， 相贯，其表面的交线 称为相贯线 相贯线。 称为相贯线。机件上 常见的相贯线， 常见的相贯线，大多 是回转体相交而成， 是回转体相交而成， 本章主要介绍这类相 贯线的性质及画法 性质及画法。 贯线的性质及画法。 相贯线