331 两立体相贯圆柱与平面体圆柱与圆柱相贯

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1.分析确定采用表面取点法。 2.画出相贯立体的投影轮廓 。 3.求相贯线的投影
☆ 找特殊点 ☆ 补充中间点 ☆判别可见性、光滑连2 接
4.整理相贯立体在各 投影中的投影轮廓线
3
1.两圆柱正交相贯的基本形式及其投影特点
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
4
1.两圆柱正交相贯的基本形式及其投影特点
一、利用积聚性法求相贯线的投影
两相贯立体中只要有一正圆柱轴
线垂直于某一投影面，就可以利圆柱
面投影的积聚性得到相贯线的一个投
影。然后，用表面取点的方法求出相
贯线的其他投影。
确定交线
作图过程：
的范围
先找特殊点。 补充中间点。
确定交线的 弯曲趋势
圆柱与圆柱相贯
1. 两圆柱正交相贯
1
例 1 已知正交相贯两圆柱的水平投影和侧面 投影,求正面投影。
交线向大圆 柱一侧弯
交线为两条平面 曲线（椭圆）
5
相贯线投影的近似画法
当两正交圆柱直径不等时，其相贯线的投影可用圆弧近
似代替。 d/2
1′
2′
1〞(2〞)
d/2
4〞
3〞
1′′
2′
3′(4′)
d d
4
1
2
3
三点画圆弧
1
2
以大圆柱半径为半径画弧
6
两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们
直径的相对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱 面的直径相对小变化时对相贯线的影响。这里特别 指出的是，当相贯线（也可不垂直）的两圆柱面直径 相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，

相贯线是由若干段平面曲线 (或直线)所组成的空间折线，每 一段是平面体的棱面与回转体表 面的交线。
2.作图方法
求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。 求出各棱面与回转体表面的截交线。 连接各段交线，并判断可见性。
例1：已知平面立体与曲面立体相贯的H面和W面 投影，补全主视图
相贯线一般为光滑封闭的空间曲
线，它是两回转体表面的共有线。
2.作图方法
表面取点法 利用投影的积聚性直接找点。 用辅助平面法。 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、 大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影 的特点，从而选择适当的方法作图。
利用表面取点法求作相贯线
如果两回转体相交，其中有一 个是轴线垂直于投影面的圆柱，则 相贯线在该投影面上的投影积聚在 圆柱面上。利用回转体表面取点的 方法可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点的投 影求其它投影的方法，称为表面取 点法。
第二节 立体的相贯简介
一、
相贯的概念及其特点
相贯线——两立体相交，在立体表面留有的交线。
相贯线的形状取决于参与相交的两立体的形状 和两立体之间的相对位置。
参与相交的两立体不同，相贯线又可分为：
1、两平面体相贯线
2、平面体与曲面体相贯线
3、两曲面体相贯线
㈠ 两平面立体相贯线的性质
1、相贯线是两立体表面的公有线；相贯线上的点是两立体 表面的公有点。 2、相贯线的形状为空间多边形。
垂直相交两圆柱直径相对变化时的相贯线 水平圆柱较大 两圆柱直径相等 上下两条空间曲线 两个互相垂直的椭圆 水平直径较小 左右两条空间曲线
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。

1.
2.
12
3.
13
判断交线的弯曲方向，只找特殊点
4.
5.பைடு நூலகம்
6.
1429
15
机械制图mechanicaldrawing31平面立体的投影32曲面立体的投影第3章立体的投影233两立体相交平平相交曲曲相交平曲相交33两立体相交相贯3空间折线多段截交线的组合空间曲线空间折线多段截交线的组合空间曲线?交线为二表面的共有线公有性表面性闭合性交线为二表面的共有线公有性表面性闭合性?交线为二表面的共有线公有性表面性闭合性交线为二表面的共有线公有性表面性闭合性?求交线实质是求二表面的共有点?圆柱与长方体相交相贯4思维拓展?平面体与圆柱相切如何绘制
两外表面相交
外表面与内表面相交
两内表面表相交
投 影 图
8
例:两圆柱相贯，求相贯线.
空间及投影分析 两空心求圆相柱贯相线交的投影 求内利圆用柱积表聚面性的表交面线取点法
☆ 找特殊点 ☆ 补充中间点 ☆ 光滑连接
9
作业：P29 判断交线的弯曲方向，只找特殊点
11
5-7 完成交线的投影。 判断交线的弯曲方向，只找特殊点
第三章 立体的投影 Chapter3 Projection of Solid
课程：机械制图 (Mechanical Drawing)
1
第3章 立体的投影 3.1 平面立体的投影 3.2 曲面立体的投影 3.3 两立体相交
2
3.3 两立体相交(相贯)
平平相交
平曲相交
曲曲相交
空间折线
多段截交线的组合
空间曲线
交线为二表面的共有线 (公有性、表面性、闭合性)
求交线实质是求二表面的共有点
3

平面立体和曲面立体相交，也称相贯，所得的相贯线一般是 由若干段平面曲线或平面曲线和直线所围成。
1．平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法 2．例题
1．平面体与曲面体相贯线的特点及求作方法
相贯线的形状 相贯线是由若干段平面曲线或 平面曲线和直线所组成。各段平面曲线或直线， 就是平面体上各侧面截割曲面体所得的截交线。 每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的 侧棱与曲面体表面的交点；
（7）整理轮廓线。
二．例题
[例题1] 求两柱形屋面的相贯线
d' b' a' e' c' b"(c')
a"
d"(e")
d b
a
e
c
[例题2] 求直立圆柱和直立圆锥的相贯线
1' 2' 10' 3' 9' 8' 7' 6' 4' 9" 4" 5" 6" 1" 2" 10"
3"
5'
8" 7"
9 8 7 6 5
3' 4'
1'
QV RV
解题步骤 1"
4"
3"
QW
5'
2'
RW
5"
2" y y
1．分析 相贯 线的三个投影均 未知，可利用辅 助平面法求共有 点； 2 ． 求 出相 贯线 上特殊点Ⅰ 、 Ⅱ 、Ⅲ； 3．求出若干个 一般点Ⅳ 、Ⅴ；
y
1 y
2
5 3 4
4 ． 光 滑且 顺次 地连接各点，作 出相贯线，并且 判别可见性； 5 ． 整 理轮 廓素 线。

3.圆锥或圆柱与圆球相交 回转体轴线过球心的相贯线是一个垂直于轴线 的圆。根据这个圆相对于投影面的位置，其投影可 能是直线、反应实形的圆或椭圆
回本节 回本讲
3.圆锥或圆柱与圆球相交
如图所示的手柄，手柄 轴线过球心，其相贯线 是垂直于手柄轴线的圆。 图中的轴线是正平线， 相贯线是正垂圆，其V面 投影为直线，H面投影为 椭圆。
1、柱、柱相贯
已知两圆柱的三面投影，求作相贯线。
回本节 回本讲ຫໍສະໝຸດ 1、柱、柱相贯分析：
由投影图可知，直径不同的两圆柱轴线垂直相交，相贯线为前 后左右对称的空间曲线。由于大圆柱轴线垂直于W面，小圆柱 轴线垂直于H面，所以，相贯线的W面投影为一段圆弧，H投影 为圆，只有V面投影需要求。
方法：表面取点法 步骤：
圆锥与球的相贯线
回本节 回本讲
3、圆锥或圆柱与圆球相交
方法：辅助平面法
步骤：
1）求特殊点
2）求一般点
3）判断可见性 4）光滑连接
回本节 回本讲
3.圆锥或圆柱与圆球相交（辅助平面法）
1）求特殊点
2）求一般点
回本节 回本讲
3.圆锥或圆柱与圆球相交（辅助平面法）
3）判断可见性 4）光滑连接
回本节 回本讲
四、常见相贯类型
按照相贯体的形状特性，常见的相贯类型分为：
1 2 3 4 5
柱、柱相贯 锥、柱相贯 锥、锥相贯 柱、球相贯 锥、球相贯
回本节 回本讲
1、柱、柱相贯
（1） 位置分类： 按照圆柱体的相对位置不同，柱柱相贯分为：
1） 2） 3） 4） 垂直正交 垂直交叉 倾斜相交 倾斜交叉
回本节 回本讲
在此主要讨论正交问题
二、曲面立体与曲面立体相交

位于回转面的轴线时，其交线才是圆。
两回转面的轴线相交。因为用两轴线的交点作为球心，才能保
证球心同时位于两回转面的轴线上。
例：求轴线正交的两圆锥台的相贯线。
三、
立 体 的 投 影
例：求轴线正交的两圆锥台的相贯线。
三、
用辅助平面法求水平 一般辅助球面求一般点 求特殊位置点 最大辅助球面 最小辅助球面 转向轮廓线上的点
三、 辅助
平面
立 体 的 投 影
判断可见性，整理轮廓
例：如图所示，已知立体的正面投影和水平投影，求作 侧面投影。
三、
立 体 的 投 影
分析： 1，立体空间位置分析； 四棱柱的内部被两个相互垂直的 三棱柱穿过。垂直的三棱柱通孔 由两个铅垂面和一个正平面组成， 水平的三棱柱通孔由两个正垂面 和一个水平面组成。
求相贯线的投影：
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
立 体 的 投 影
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 7” 1’ 1”
2”
3”
立 体 的 投 影
4”
6”
5”
1 7 2 6 3 4 5
1，表面取点法 思考题：补全主视图。
三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
原则：
使辅助面与两已知曲面所截出交线的投影时 简单易画的圆或直线。
一般采用平行或垂直于圆柱轴线的辅助平面 一般采用垂直于圆锥轴线或过锥顶的辅助平面
圆柱体
圆锥体 圆球体
一般采用平行于投影面的辅助平面 它们轴线相交且同时平行于某投影面时， 可选球面作辅助面
§ 3-5 两立体相贯 三、

1'
2'
5'
6'
4"
3' (4 ')
4
1
2
1" (2") 5" (6") 3"
分析
一、相贯线的形状…… 二、相贯线的投影特 点……
解题步骤
一、求特殊点 1、最点：高、低、前、 后、左、右； 二、求一般点 三、顺次光滑连接各点， 得相贯线的投影。
53
6
精品课件
例2：圆柱孔与实心圆柱相贯，求其相贯线。
精品课件
§5-1 平面立体与回转体相贯 1、作图方法：
求平面体的棱面与回转体表面的交线
2、作图过程：
1）先找特殊点。 2）再补充中间点。 3）光滑连接各点。 4）补存在棱线、精品轮课件廓线
例1：已知正四棱柱与圆柱体相交，补画俯视 图和主视图上相贯线的投影。
解题步骤
3'
(2') 1'
2 3
2"
3" 1"
解题步骤
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求中间点 ★ 光滑连接各点
精品课件
P
精品课件
例3：已知半圆球与圆柱体相交，补画主视图 和左视图图上相贯线的投影。
空间形状分析
精品课件
精品课件
精品课件
相贯线的特殊情况
1、当两曲面体同时内切一个球时，相贯线为平面 曲线——椭圆。
精品课件
返回
2、当两回转体同轴时，相贯线为平面曲线—— 圆
1● 5
●
2
●
●● 6
3(4 )
1
●(2) ●
5
(6)
4 ●

的圆。根据这个圆相对于投影面的位置，其投影可 能是直线、反应实形的圆或椭圆
回本节 回本讲
3.圆锥或圆柱与圆球相交
如图所示的手柄，手柄 轴线过球心，其相贯线 是垂直于手柄轴线的圆。 图中的轴线是正平线， 相贯线是正垂圆，其V 面投影为直线，H面投 影为椭圆。
回转体轴线过球心的相贯线
回本节 回本讲
柱－球相贯
四、常见相贯类型
按照相贯体的形状特性，常见的相贯类型分为： 1 柱、柱相贯 2 锥、柱相贯 3 锥、锥相贯 4 柱、球相贯 5 锥、球相贯
回本节 回本讲
1、柱、柱相贯
（1） 位置分类： 按照圆柱体的相对位置不同，柱柱相贯分为：
1） 垂直正交 2） 垂直交叉 3） 倾斜相交 4） 倾斜交叉
回本节 回本讲
回本节 回本讲
相贯线为平面曲线 相贯线为直线
回本节 回本讲
2. 按照立体的类型，常见的立体相贯有以下三种：
（1）平面立体与平面立体相贯, 如右图,三棱柱与四棱柱相贯； （2）平面立体与回转体相贯,如 右图，四棱柱与半圆柱体相贯； （3）回转体与回转体相贯,如右 图，圆柱体与半园柱体相贯。
由于平面立体可以看作是由 若干个平面围成的实体，所以前 两种相贯情况可归结为求平面与 立体的截交线。本节仅讨论回转 体与回转体相贯。
（3）出现局部形体相交时，要能够“由局部还原整 体”，先进行整体的交线分析，作图时可先整体求解 再取局部的交线。
本讲结束
回本讲
立体与立体相交
一.两立体相贯的相贯线概述
两立体相交称为相贯，其表面的交线称为相贯线。
1、相贯线的性质
（1） 相贯线是两相交回转体 表面的共有线，也是两立体表 面的分界线，相贯线上的点是 两回转体表面的共有点，同时 存在于两形体的表面上。 （2）回转体的表面是曲面， 所以相贯线是曲面与曲面之间 的交线，通常情况下，相贯线 是一条封闭的空间曲线，特殊 情况下，相贯线也可能是平面 曲线或直线。

5(6) 3(4) 1(2) 7 6" 4" 2" 7" 5" 3"
1"
平面立体三棱柱的正
4 2
6 7
面投影积聚,曲面立
体圆柱的水平投影积 聚,已知相贯线的两 投影求第三投影
1 3 5
15
§3－5 两形体表面相交
三、两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线，是两曲面的公共点的连线，在一般情
相贯线为平面图形。
1
§3－5
一、两平面立体相贯
• 求解方法：
两形体表面相交
• 相贯线由空间折线组成，特殊情况下相贯线为平面折线。
交点法：求出两立体中所有参与相贯的棱线与另一立体棱面的贯穿 点。可归结为求解直线与平面的交点。 交线法：直接求出两平面立体棱面的交线。
• 连点的原则：
连点时，只有当两个折点对每一个立体来说都位于同一棱面上才能 相连接（同一折点不能连三条相贯折线）。
5 3 1
2
4
19
【例4】求圆锥与圆柱的相贯线。
解题步骤
1' 4' 3' 1"
5'
2'
PV QV RV
2"
4"
5"
PW QW 3" RW
1. 分析 : 相贯线的 侧面投影已知， 可利用辅助平面 法求共有点； 2.求出相贯线上的 特 殊 点 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 及若干个一般点 Ⅳ,Ⅴ等； 3.光滑且顺次地连 接各点，作出相 贯线，并且判别 可见性； 4.整理轮廓线。
• 判别相贯线的可见性：
由相贯线所在的棱面的可见性决定，两个都可见的棱面相交出的相 贯线才可见，只要有一个棱面是不可见的，则为不可见。

a"(b")
利用四棱柱的四个 侧面投影和圆柱面 投影的积聚性，确 定相贯线的水平投 影和侧面投影，再 求正面投影
C
d
c
a
b
D
B
A
5
平面立体与回转体相贯
圆柱切四棱柱孔图例
6
平面立体与回转体相贯
练练习习
六棱柱与圆柱的相贯线
7
谢谢观看
Thanks for looking
机械制图
MECHANICAL DRAWING
平面立体与回转体相贯
平面立体与曲面立体相交
相贯线
相贯线
两曲立体相交
相贯线
2
平面立体与回转立体的相贯线
平面立体与回转体相贯
每一平面曲线或直线可以认 为是平面立体相应的棱面与 回转体的截交线。
4
平面立体与回转体相贯
求四棱柱与圆柱的相贯线
a'(d')
d"(c") b'(c')

图１ 圆 柱与圆 柱 轴线 斜交
作者 简 介 ：杜 海霞 （ １ ９ ７ ８ 一），女 ，陕西 汉 中人 ，副教 授 ，硕 士 ，主要 从事 工 程图 学及 Ｃ Ａ Ｄ研究 ． Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ：５ ６ ３ ８ ３ １ ０ ６ ８ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｎ ｌ
柱 相贯 在公 共 对称 面上 相贯 线 的投 影方 程 的求解 及 特点 分析 ，来 实 现 在多 种情 况下 编程 自动绘 出相 贯体 及 相贯 线 的空 间 图形 和 三 面投影 ．从 而 更加 直观 地 观察 和理 解相 贯 线 的空 间几何 模 型及 其 相 贯 理论 ，并 达 到能 准确判 断 相贯 线投 影 图权 限范 围及 转 向处 位
置 的 目的．
１ 两 回转体相交 时相贯线 的几 何模型
本 文 以圆柱 与 圆柱轴 线倾 斜 相交 为例 （ 见图 １ ），分 析相 贯
线在公共对称面上投影方程的求解及相贯线的特点．
根 据解 析几何 原理， 设２ 个圆 柱轴 线夹 角为ａ （ ０ ＜ ≤ 兀 ／ ２ ） ，
收稿 日期 ：２ ０ １ ６ — １ １ － ２ ５
中 图分 类 号 ：Ｔ Ｈ１ ２ ６ 文 献标 识码 ：Ａ ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ — ９ ８ ３ １ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ２ ． ０ １ ３
Ｔｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｓ ｅ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ｏ ｆ ｃ ｙ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｉ ｎ ｄ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｃ ｙ ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｒ
ｉ ｎｔ ｅ ｒ ｓ ｅ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ｓ ｏ ｎ ｔ ｈｅ ｐｕ ｂ ｌ ｉ ｃ ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｙ ｐ ｌ ａ ｎ ｅ ｉ ｓ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈｅ ｄ．Ｓ ｏ ｍｅ ｓ ｏ ｌ ｕｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ｏ ｆ ｃ ｙ ｌ ｉ ｎｄ ｅ ｒ ａ ｎ ｄ ｃ ｙ ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｓ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ， ｓ ｈａ ｐｅ ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｉ ｒ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｒ ｅ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ， Ｓ Ｏ ｔ ｈ ａ ｔ ａ ｋ ｉ ｎ ｄ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎｇ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕｄ ｅ ｄ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｄｅ ｓ ｃ ｉｐ ｒ ｔ ｉ ｖ ｅ ｇ ｅ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｙ， ｃ ｏ ｍｐ ｕｔ ｅ ｒ ｄ ｒ ａ ｗｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉｎｇ ｒ ｄ ｒ ａ ｗｉ ｎ ｇ ｍａ ｙ ｂ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ．

x z 2 1 2 2 2 r R R r
2
2
接上页
• （3）R<r时，正面投影仍为双曲线，但 以轴为实轴
x z 2 1 2 2 2 r R R r
2
2
例2：求内外圆柱正交时的相贯 线（用简化画法）
• 分析与作图与上例完全相同，但应注意： 这时的大圆柱轴线为铅垂线，小圆柱轴 线为侧垂线，所以相贯线正面投影方向 不同，而且有两支。另外，圆柱内表面 的轮廓线投影应画成虚线。 • 以上证明：当圆柱正交时，相贯线在两 圆柱公共对称面上的投影（此时为正面 投影）为双曲线。当两圆柱直径相差较 大时，允许采用近似画法，即用圆弧代 替双曲线。
五、多体相贯
每个局部都是两体相贯，首先分析 它是由哪些基本体组成的，然后两两进 行相贯线的分析与作图。
例2：求作主视图
5.3 回转体与回转体相贯
1. 相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的 空间曲线，它是两回转体表面 的共有线。
2.作图方法 利用投影的积聚性直接找点。
用辅助平面法。
⒊ 作图过程
先找特殊点。 补充中间点。
确定交线 的范围
确定交线的 弯曲趋势
例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
x y r
z x R r
2 2 2
2
接上页
•（1）R>r时，正面投影为以z轴为实轴的 等轴双曲线
z x 2 1 2 2 2 R r R r
•（2）R=r时，正面投影为通过原点，且 与轴线成角的两直线（空间相贯线为两 椭圆）。
2
2
z x
接上页
•（3）R<r时，正面投影仍为双曲线，但以x轴 为实轴
⒉ 作图
当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步 骤为： ⑴ 找点 ☆ 先找特殊点 特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。 ☆ 补充若干中间点 ⑵连线 ⑶检查、加深 尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。