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理论力学动力学部分6单自由度系统的振动

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单自由度振动系统

单自由度振动系统
x2
n
x0
sin n t
系统总响应
振动系统总的响应=上述两部分响应之和
x x1 x2 x0 cos nt
n
x0
sin nt
叠加性是线性系统的重要特征
数字特征
A ——振幅，振动物体离开静平衡位置的最 大位移 ——圆频率 n T ——振动周期，旋转矢量转动一周 （ 2 ），振动物体的位移值也就重复一次， 振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔 f ——振动频率，单位时间内完成的振动的 次数
总动能： Ts Tm 1 1 lx 2 1 mx 2 1 m 1 l x 2 T 23 2 2 3
系统微分方程
系统的势能：
由： 微分方程：
1 2 U kx 2
d T U 0 dt
1 x m l kx 0 3
例三
如右图，弹簧 在静平衡位置 长度为 l ，单 位长度的质量 为 ，求系统 的固有频率。
基本假设
假设系统的变形是线性的，即当弹簧下段 的位移为 x 的时候，在距离弹簧上端 u 的截 u 面振幅为 l x ，假定系统的速度分布也满足 线性要求（在端点处显然成立）
0
0
设质量块的位移为 x ，速度为 x ，
1 f T
固有特性
n
k m
m T 2 n k 2
1 n 1 f T 2 2 k m
可见，上述三个量都由振动系统的参数确定，而 与初始条件无关，是系统的固有特性，因而又称 作：固有圆频率、固有周期和固有频率
系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位
系统参数对振动特性的影响

五六七总结

五六七总结

机械振动基础当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化时，称之为振动。

振动是社会生活和工程问题中普遍存在的一种现象，力学和机械系统中的振动称为机械振动。

在研究一个具体的力学或机械系统的振动时，常常将系统抽象为较简单的力学模型，利用力学理论建立系统的运动方程，然后利用数学工具求解，分析结果并与实验结果进行比较。

机械振动理论作为动力学的一个专题，现已发展成为一个独立的分支学科。

在理论力学中仅仅限于介绍一些振动理论中常用的方法及对一些振动现象作简单讨论。

一、线性振动系统的弹簧-质量模型在力学系统中，产生振动的基本要素是有质量的物体和产生弹性恢复力的元件。

所以在机械振动研究中，都是将系统抽象成弹簧-质量模型。

二、 弹簧－质量系统的自由振动系统受初始扰动，仅在恢复力作用下产生的振动称为自由振动。

如果将坐标原点取在系统的静平衡位置，单自由度系统的振动微分方程都可以写成如下标准形式：(13-1) 对于弹簧-质量系统，，其中m 是物块的质量，k 是弹簧的刚度系数，称为系统的固有频率，写出系统的标准振动(微分)方程（13－1），就可以求解出系统的固有频率。

由常微分方程理论，上述方程有如下形式的解：(13-2)其中是积分常数，由运动的初始条件(也称初始扰动)确定。

显然，系统的运动是以静平衡位置为中心的简谐运动。

值得一提的是，如果坐标原点不是取在系统的静平衡位置，则系统的运动微分方程会略为复杂一点，但最终得出的解仍然表示系统以静平衡位置为中心作简谐振动。

所以系统的运动规律与坐标系的选取无关。

不过，在机械振动理论中，不论是单自由度，还是多自由度或连续体，一般都是取系统的静平衡位置为坐标原点，这样选取可使得方程和解的表达式较简洁。

02=+x xω mk =2ωω12sin cos sin()o x c t c t A t ωωωϕ=+=+12,,,o c c A ϕ三、振动系统的特征量周期：系统振动一次所需的时间，记为T ，其单位是秒(s)。

理论力学 第十章振动

理论力学 第十章振动

k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt

单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告

单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定-实验报告
3、根据幅频特性测试数据，在同一图上绘出几条幅频（ ）特性曲线，分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
4、根据相频特性的测试数据，在同一图上绘出几条相位差频率（ 特性曲线，由此分析阻尼的影响并计算系统的固有频率及阻尼比。
5、根据实验现象和绘制的幅频、相频特性曲线，试分析对于不同阻尼的振动系统，几种固有频率和阻尼比测量方法的优劣以及原因。
首先，在水平振动台面上不加任何重物，测量系统在自由衰减振动时的固有频率；之后在水平振动台面上放置一个质量已知的砝码，再次测量系统在自由振动时的固有频率。记录两次测得的固有频率，并根据其估算水平振动台面的等效质量。
4、测定自由衰减振动特性：
撤去水平振动台面上的砝码，调整励磁电流至0.6A。继续使用“自由衰减记录”功能进行测试。操作方法与步骤3基本相同，但需按照数据记录表的提示记录衰减振动的峰值、对应时间和周期数i等数据，以计算系统的阻尼。
假设实验使用的单自由度振动系统中，水平振动台面的等效质量为 ，系统的等效刚度为 ，在无阻尼或阻尼很小时，系统自由振动频率可以写作 。这一频率容易通过实验的方式测得，我们将其记作 ；此时在水平振动台面上加一个已知质量 ，测得新系统的自由振动频率为 。则水平振动台面的等效质量为 可以通过以下关系得到： 。
、 的意义同拾振器。但对激振器说， 的值表示单位电流产生的激振力大小，称为力常数，由厂家提供。JZ-1的力常数约为5N/A。频率可变的简谐电流由信号发生器和功率放大器提供。
4、计算机虚拟设备：
在计算机内部，插有A/D、D/A接口板。按照单自由系统按测试要求，进行专门编程，完成模拟信号输入、显示、信号分析和处理等功能。
6、教师签名的原始数据表附在实验报告最后，原始数据记录纸在实验课上提供，必须每人交一份，可以采用复印、拍照打印等方式进行复制。原始数据上要写清所有人的姓名学号，不得使用铅笔记录。

理论力学动力学部分5达朗伯原理

理论力学动力学部分5达朗伯原理
同时力的作用线通过转轴O。
③当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时， r FIR = 0，M IC = 0 ，惯性力系自成平衡力系。
五 达朗贝尔原理
23
3）平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运 动平面与质量对称平面互相平行。
对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力 系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。
F1 FI1 FNam2m121FIiFmN1iFNFi ai
合力和外约束反力的合力，于是得
F2 a2
i
å
Mår OFr(i
+ Fi
å FrNi )+å
M+r
å FrIi O (FNi
=0 )+å
Mr O
( FIi
)
=
0
即：在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系上的所
有主动力系，约束反力系和惯性力系构成形式上的平
五 达朗贝尔原理
24
解法1：利用达朗伯原理
取系统为研究对象,受力分析及 运动分析如图示：
运动分析：
以轮B为对象，vC = vD + wBr = wAr + wBr 求导得：aC = e Ar + e Br 由达朗伯原理：
åMO(F)
=
0,
1 2
×
P g
×r2
×eA
+
1 2
×
P g
×r2
×eB
-
P ×2r
衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
五 达朗贝尔原理
11
质点系达朗贝尔原理的投影形式
å Fix + FNix + FIix = Fx = 0 i

结构力学-单自由度体系的自由振动

结构力学-单自由度体系的自由振动

mh3 T 2 24 EI
Vibration Characteristic
y(t ) Asin( t )
Acceleration： Inertia Force：
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
这是一个齐次方程，其通解为
y(t ) C1 cost C2 sin t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 C1 y0
(0) v0 y
C2
v0
v0

,
y (t ) y0 cos t

sin t
y (t ) y0 cos t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，
而且惯性力的方向与位移的方向一致。
幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA

2
由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时
l

1 m
EA ml
st Wl T 2 2 g EAg
例: 求图示结构自振频率 。（EI 为常数，杆件自身 质量不计） [分析] 图乘法求位移
A m C l h
1 1 2 2 1 2 h2 B ( h h hl h) (h l ) EI 2 3 2 3 3EI
y y

v0

sin t
T
0
t
y cos t
-y
y

机械振动基础


Td
T
1 2
① 阻尼对振动周期的影响
由
Td
T
1 2
Td T
所以，阻尼使自由振动的周期变长。
☆ 阻尼使周期变长的程度
当 = 0.05 时，Td = 1.00125 T，增大 0.125%; 当 = 0.3 时， Td = 1.048 T ，增大 4. 8 %
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
则此一半长度的弹簧的刚度系数是多少？
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
4 其它类型的单自由度振动系统
■ 扭振系统 扭杆（扭转刚度 kt ） 扭簧产生的力矩:
扭簧
M kt
运动微分方程:
JO kt
kt 0
JO
n2
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
■ 摆振系统
微分方程：J0 mgl k(0 b)b
n c , 2m
2 n
k m
将方程化为标准形式:（阻尼系数n）
x 2nx n2 x 0
■阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
x ert
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
x 2nx n2 x 0
■ 阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
A为振幅， 为初相位角。
设初始条件为: t 0时, x x0, x x0
则有: A
x02
x02
n2
,
tan
x0n
x0
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
3 、弹簧的并联和串联
并

理论力学经典课件-振动


2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos

理论力学---第十五章 单自由度系的振动 [同济大学]


d2x k x 0, dt 2 m
d2x 2 n x 0, dt 2
n2
k , m
F
δs mg k
k
xO

n
v0
s
x mg x
y
A xo (
2π
2
n
v0
)2 ,
ωx α arctan n 0 v0
解 : x c1 cos nt c2 sin nt
第十五章 单自由度系统的振动 §15-1 有阻尼自由振动
1.弹簧力 2.静伸长 3.阻尼力 4. 4 方程
m
Fk k ( s x ),
δs mg k
c Fc
k F
s
x
y
Fc cv
d2 x dx k(x δs ) c mg kx c dx dt 2 dt dt 2 k c x dx 2 2 n , 2n , d 2 2n ωn x0 m m dt dt
m1 m
d T 0, dt d T , m x dt x
V k 2b 2 k1 ( x a )(a )
x0=0 (碰撞时位移、重力不计)
2 ωn
(m1 m) kx 0, x
x A sin(n t )
Ae nTn Ai 1
4 π 2 A2c 2 P 2 4 π 2 2 , T2 g2 Td
c
2 πP 2 2 Td T 2 gATTd
如:=0.05, 10次后振幅仅原4.3%。
Td T
d 2 x 2 Ac dx 2 ωn x0 dt 2 m dt
1
1. 无阻尼的自由振动

《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的无阻尼受迫振动

单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。

km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。

简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。

（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。

物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。

F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。

齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。

第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。

第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。

0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。

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Q g
a2
+
J
无阻尼单自由度系统的自由振动
例4.3-14 写出图示系统的微振动微分方程，求其固有圆频率。假设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子之间无滑动；不计绳子与弹簧的质量；轮子是均质的，半径为R，质量为 M；物块质量为m；弹簧的刚性系数为k。
解:分析：由于系统无固定转轴，故无法用动量矩定理。可 以考虑由能量法建立运动微分方程。
n 弹簧的等效刚度系数
u2
k1
u1
u2 keq
fA
Bf
fA
k2
u1 Bf
f1 = k1(u1 -u2 ) f2 = k2(u1 -u2)
f = f1 + f2 = (k1 + k2)(u1 -u2) f = keq (u1 -u2 )
keq = k1 + k2
振动系统的组成
u3
u2
u1
f
A
ku2 3
以平衡位置为坐标系原点。
T
=
1 2
mx& 2
+
1 2
(
1 2
MR2 )( x& )2 R
+
1 2
Mx& 2
=
1 2
(m
+
3 2
M )x&2
V
=
1 2
k[(d
st
+
2x)2
-
d
2 st
]
-
(M
+ m)gx
(m
+
3 2
M
)&x&
+
4kx&&
=
0
=
T 1 2
2kx2 + 2kdst x - (M + m)gx = 2kx2
def
T1 =
2p pd
=
2p = T p2 - n2 1-g 2
无阻尼振动周期
g
=
n p
,阻尼比
阻尼振动周期
在小阻尼情况下，阻尼对周期的影响很小： T1 » T
6
有阻尼单自由度系统的自由振动
④ 引入减幅系数来描述振动衰减的 快慢
相邻的两次振动振幅之比 叫作减幅系数。
h
=
Ai Ai +1
= enT1
特征方程
r1,2 = ±ip
p=
k m
固有频率 单位：rad/s
3
无阻尼单自由度系统的自由振动
p=
k m
对固有频率的正确理解：
固有频率
① 固有频率仅取决于系统的刚度和质量；
② 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
无阻尼单自由度系统的自由振动
x =e-nt(a1cos pdt +a2 sin pdt)
应用初始条件
x(0) = x0 x&(0) = v0
pd =
x
=
e-nt
æ ç è
x0
cos
pd
t
+
v0
+ nx0 pd
sin
pd
t
ö ÷ ø
p2 -n2 (阻尼振动频率)
欠阻尼系统的 自由振动响应
或：
x = Ae-nt sin( pd t + a )
有阻尼单自由度系统的自由振动
2 特征根
&x& +
c m
x&
+
k m
x
=
0
x&&+ 2nx& + p2x = 0
特征方程
r2 + 2nr + p2 = 0
m&x& + cx& + kx = 0
引入
def
n=
c 2m
,
p
=
k m
阻尼系数
代入
x = ert
特征根
r1,2 = -n ± n2 - p2
5
有阻尼单自由度系统的自由振动
(1) 过阻尼情况 (n > p)
r1,2 = -n ± n2 - p2
r1 = -n + n2 - p2
r2 = -n - n2 - p2
特征方程有一对互异实根，故通解为：
x = a e + a e (-n+ n2 - p2 )t 1
(-n- n2 - p2 )t 2
有阻尼单自由度系统的自由振动
图 质量块对初始位移的过阻尼响应 结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 临界阻尼情况 (n = p)
r1,2 = -n ± n2 - p2
n= p
r1,2 = - p
特征方程有一对相等实根，故通解：
x = (a1 + a2t )e - pt
有阻尼单自由度系统的自由振动
0.02 0.01 0.00
m=10 kg, k=1000 N/m, c=200 Ns/m u0 =0.02m, du(0)/dt =0.0 m/s u0 =0.02m, du(0)/dt =-0.5 m/s u0 =0.02m, du(0)/dt =-1.0 m/s
弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力 对弹性元件需要说明几点：
通常假定弹簧是无质量的；
假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；
对于角振动系统，弹簧为扭转弹簧，其刚度系数的物理意义是： 使弹簧产生单位角位移所需施加的力矩
扭转刚度系数的单位：N × m/rad
振动系统的组成
串联
k1
k2
J
q
(b)
串联
k1 m
k2
(c)
并联
振动系统的组成
k1
k2
m
(d)
并联
J
k1 q
k2
(e)
并联
k1
k2
k3
m
k4
(f)
如何等效？
振动系统的组成
k1
k2
k3
m
k1
k3
k2
√
k4
k4
等效刚度
ke
=
(k1 + k2 )k3 k1 + k2 + k3
+ k4
单自由度系统的振动方程
k
c
m
k d st
T
=
2p p
= 2p
m k
无阻尼单自由度系统的固有周期
无阻尼单自由度系统的自由振动
固有频率
f
=
1 T
=
p 2p
f 的单位：Hz
f 表示单位时间内重复振动的次数.
无阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系
x = Asin( pt + a )
求导
x&
=
pA cos(
pt
+a)
二、无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念 •会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
x
1. 固有频率概念的引出
m&x&+ kx = 0
p2
=
k m
k m
&x&+ p2x = 0
x = ert
图 无阻尼单自由度系统
(r2 + p2 )ert = 0
r2 + p2 = 0
2 初始扰动引起的自由振动
运动方程： &x& + p2 x = 0
特征根：
r1,2 = ±ip
通解：
x = a1 cos pt + a2 sin pt x(0) = x0, x&(0) = v0
a1 = x0 ,
a2
=
v0 p
自由振动：
x
=
x0
cos wnt
+
v0 p
sin wnt
无阻尼单自由度系统的自由振动
频率的简谐振动，并且永无休止；
• 初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，
有初始速度即注入了动能。
无阻尼单自由度系统的自由振动
3 简谐振动的特征 (1) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足：x(t + T ) = x(t)
振动周期，单位：秒（s）
x(t + T ) = Asin( pt + a + pT )) = Asin( pt + a ) = x(t)
单自由度系统的振动
主要内容： 一、机械振动基本概念 二、无阻尼单自由度系统的自由振动 三、单自由度系统的阻尼振动 四、单自由度系统的受迫振动
一、机械振动基本概念
定义 振动系统的组成 单自由度系统的振动方程
定义：物体在其平衡位置附近所做的周期性的往复运动 称为振动。
k
m x
q
m x
ke
m x
x
q y
振动系统的组成
u, m
-0.01
-0.02
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
t, s
图 质量块对初始条件的临界阻尼响应
结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
(3)欠阻尼情况 (n < p)
r1,2 = -n ±i p2 - n2