10.2单自由度体系的自由振动

第10章 结构的动力计算习题解答习题10.1 是非判断题(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。

（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。

（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。

（ ）(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。

（ ）(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。

（ ） (6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。

（ ）(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。

（ ）【解】(1) 错误。

体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。

(2) 错误。

由阻尼结构的自振频率2r 1ωωξ=-可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。

(3) 正确。

(4) 错误。

由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。

(5) 正确。

(6) 正确。

(7) 正确。

习题10.2 填空题(1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为__________。

(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。

(3) 若要改变单自由度体系的自振周期， 应从改变体系的__________或__________着手。

(4) 若由式()211βθω=-求得的动力系数为负值，则表示__________。

(5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。

c k WF sin θ tP 12-2(5)习题 图习题10.2(5)图(6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI ＝常数)，其质量矩阵[M ]=__________。

mm2m12-2(6)习题 图mF sin θ tP 12-2(7)习题 图习题10.2(6)图 习题10.2(7)图(7) 习题10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI ＝常数。

单自由度体系（Single Degree of Freedom System, SDOF）是工程动力学中的一个重要概念，它对于描述系统的振动特性有着重要的作用。

在自由振动过程中，速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。

本文将从单自由度体系自由振动的基本原理入手，探讨速度相位与位移相位之间的关系，希望通过本文的介绍，读者能够对这一问题有更加清晰的认识。

一、单自由度体系自由振动的基本原理1. 自由振动的基本概念自由振动是指在没有外界干扰的情况下，系统在一定的初位移或初速度作用下，由于其自身的惯性和弹性特性而产生的振动现象。

在工程领域中，自由振动是一种非常常见的振动形式，因此研究自由振动对于工程设计和分析有着重要的意义。

2. 单自由度体系的定义单自由度体系是指系统中只有一个自由度可以自由变化的体系。

在动力学领域中，单自由度体系被广泛应用于描述各种机械、土木和航空航天结构的振动特性。

它是一种简化模型，但对于许多实际工程问题的分析具有较高的适用性。

3. 自由振动的基本方程单自由度体系的自由振动可以通过一阶微分方程来描述。

其基本方程可以表示为：\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\]其中，\(m\)为系统的质量，\(c\)为系统的阻尼系数，\(k\)为系统的刚度，\(x\)为系统的位移函数，\(t\)为时间。

二、速度相位与位移相位的定义1. 速度相位的定义在振动过程中，速度相位是指速度\(v\)相对于位移\(x\)的相位差。

通常用一个角度来表示，它可以用来描述振动的快慢和超前滞后关系。

2. 位移相位的定义位移相位是指位移\(x\)相对于某一固定参考点的相位差。

它也通常用一个角度来表示，可以用来描述振动的相对位置。

三、速度相位与位移相位的关系速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。

在自由振动过程中，它们之间满足以下关系：\[tan(\phi_v-\phi_x)=\frac{2\zeta}{1-\omega^2}\]其中，\(\phi_v\)为速度相位，\(\phi_x\)为位移相位，\(\zeta\)为系统的阻尼比，\(\omega\)为系统的固有频率。

y sy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。

可分为自由振动、受迫振动。

又可分为无阻尼振动与阻尼振动。

常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。

振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。

若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。

物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。

其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。

而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。

因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。

影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。

现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。

主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。

一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg ，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。

若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。

由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。

在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。

1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。

单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。

在模型建立过程当中，可以直接进行建立。

在运行时，只需将c=0即可。

ω增加，单位时间内振动次数增加。

无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。

初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。

由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。

于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。

二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。

由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。

有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。

解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。

当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。

《结构力学》教学大纲一、本课程的性质与任务本课程为土木工程专业本科生的一门主要技术基础课。

通过本课程的教学，使学生了解杆件体系的组成规律，了解各类结构的受力性能，撑握杆件结构的计算原理和方法，培养分析与解决工程实际中杆系结构力学问题的能力，为学习后续有关专业课程以及将来进行结构设计和科学研究打下力学基础。

二、本课程的教学内容、基本要求及学时分配1．绪论（4学时）（1）教学内容1.1结构力学的学科内容和教学要求。

1.2结构力学计算简图及简化要点。

1.3杆件结构的分类。

1.4荷载的分类。

（2）教学要求了解结构力学的任务以及与其它课程的关系，正确理解结构计算简图的概念、简化要点和条件，了解荷载的分类。

2.几何构造分析（6学时）（1）教学内容2.1几何构造分析中的几个基本概念。

2.2平面几何不变体系的组成规律。

2.3平面杆件体系的计算自由度。

（2）教学要求理解几何不变体系、几何可变体系、几何瞬变体系、自由度（静力自由度）约束及其类型等基本概念。

正确理解和应用几何不变体系的组成规则（两刚片法则、三刚片法则、二元体法则），会计算平面杆件体系的计算自由度。

3.静定结构的内力计算（14学时）（1）教学内容3.1梁的内力计算的回顾。

3.2静定多跨梁的组成、计算和内力图的绘制。

3.3静定平面刚架的内力计算和内力图的绘制。

3.4三铰拱的特点和内力计算。

三铰拱的合理拱轴曲线。

3.5静定平面桁架的特点、组成及分类。

用结点及截面法计算桁架的内力，结点法和截面法的联合应用。

3.6静定组合结构的特点、计算和内力图的绘制。

3.7静定结构的一般性质。

（2）教学要求巩固在材料力学中已经建立的截面法的概念与方法，并把它推广应用在结构计算上。

熟练掌握杆件上的荷载与内力的微分关系、增量关系，并用以定性分析内力图的形状。

熟练掌握分段叠加法作弯矩图的方法。

正确、灵活选取和画出隔离体图，熟练掌握应用隔离体图和平衡条件计算结构支反力、内力的方法；熟练掌握静定梁、静定刚架内力计算和内力图的绘制以及静定平面桁架内力的求解方法；掌握静定组合结构、三铰拱的内力计算和内力图的绘制方法；了解静定结构的力学特征。

第10章结构动力计算基础主要内容
§10-1 动力计算的特点和动力自由度§10-2 单自由度体系的自由振动§10-3 单自由度体系的强迫振动§10-4 阻尼对振动的影响§10-5 多自由度体系的自由振动§10-6 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动
§10-7 振型分解法
①：自由振动微分方程的建立②：自由振动微分方程的解③：结构的自振周期及例题分析
y(t) m
A 0∙∙
A 0∙∙
m
m
3
224mh
T EI
π
=
补充：简谐自由振动特征
由式(e )
)
sin()(αω+=t A t y 可得，加速度为：
)sin()(2
αωω+-=t A t y
)
sin()()(2
αωω+=-=t mA t y m t I 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变
化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。

惯性力为：
它们的幅值产生于1)sin(=+αωt 时，其值分别为：
=
y A
2
=- y A ω
2
= I mA ω
既然在运动的任一瞬时质体都处于动平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t ，结果把微分
方程转化为代数方程了，使计算得以简化。

A C
D
12
C
1
m。