10.2单自由度体系的自由振动

根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为平衡 问题来处理。
但这是一种动平衡，是引进 惯性力条件下的平衡。
动力计算两个特点：

1、在所考虑的力系中包括惯性力。
2、这里考虑的平衡是瞬时平衡， 动内力和动位移均为时间的函数。


五、常见动载及分类

1、周期荷载
（1）简谐周期荷载（本章重点）
（2）一般周期荷载
1.自由振动微分方程（含有y 与ÿ 的方程）
1）动位移方程（柔度法） 2）动平衡方程（刚度法）
自由振动时 的运动方程
柔度法求运动微分方 程
刚度法求运动微分方 程
y m y


1 y y0 m
2
1 设 m
2

y y 0

ky m y 0
BA
=
mP
A EI l B EI
l 2
C
1.当弹簧与质点直接相连时
并联
并联
并联
串联
串并联
k总 k1 k2 kn
总 1 2 n
m
并联
串联 m
2.当弹簧与质点不相连时
m EI l l /2 l /2 k1
12 EI k1 3 5l
24 EI 3 5ml
2 0 2
y0 arctan v0
自振周期
T
2

频率
1 f T 2
自振圆频率
（简称自振频率）
2 f
wenku.baidu.com
结构自振频率ω的性质
1. 只与质量和结构刚度（柔度）有关， 与外界干扰无关。 2. 与m的平方根成反比（m大， ω 慢） 与k的平方根成正比（k大， ω快）
n=2
m m m m
EI= 常数
n=3
m
m
EI= 常数
m
n=4
m
EI
EI
m
EI1=∞
m
n=2
m
EI
m
EI1=∞ EI1=∞
m
n=1
动力自由度与几何构成自由度的区别
动力自由度 ：1.以质点为研究对象 2.弹性体系 几何构成自由度 ：1.以整个体系为研究对象 2.刚性体系
动力自由度的特点：
1.与质量的分布、体系的支承和刚度有关 2.与有无多余约束无确定关系
3. ω是结构动力特性的重要数量标志。
动力反应与外表无关，与ω有关 。 两个ω相似的结构，其动力反应相似。
振动方向与重力方向相同时 动位移是以静平衡位置作为原点
m
A
l 2
C
l 2
B
已知EI=常数、y0、v0 求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3 48EI
柔度法
思考：为何要确定质点的位置呢？
1.忽略杆的质量 2.考虑杆的质量
无限自由度 集中质量法 广义坐标法
有限元法
集中质量法
广义坐标法
有限元法
例：
若无特殊说明，均是不考虑杆的质量
m1 m2 m3
EI
n=3
例：
m1 m2
m3
EI=∞
n=1
例：
m1 m2
m3
EI
n=3
EI= 常数
n=3
m
EI= 常数
柔度系数的意义
刚度系数的意义
刚度法
m
A
l 2
C
l 2
B
已知EI=常数、y0、v0 求结构的自振频率、质点动位移
7l 3 768EI
柔度法
MP图与右面两个图中的任何一个 图乘也可以吗？为什么？
这个结构用刚度法有点麻烦，因为刚度系数不好求。
结论： 若质点处除了有单位线位移，还有未知的角位移的话， 用刚度法可以，但有点麻烦，建议用柔度法。
2 a
思考：1)该题的若不考虑杆的质量
k 成立吗？ m
2)若还是不考虑杆的质量，但质点移动跨中 了，该公式还成立吗？
×
m
m
EI=∞
l l
2m
K
l
求运动微分方程和自振频率 若杆的质量为 m
杆的受力图
m
EI=∞
l l
2m
K
l
求运动微分方程和自振频率
暗含着：不考虑杆的质量
4k 0 3m
m
A
l 2
C
l 2
B
已知EI=常数、y0、v0 求结构的自振频率、质点动位移
l3 192EI
192 EI k 3 l
思考：这个体系用刚度法和柔度法哪个更简单些呢？ 你能将刚度系数和柔度系数快速求出来吗？
1.水平振动时 2.竖向振动时
72 EI 24 EI 3 3mH mH 3
FP(t)
t 简谐荷载
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载

非周期性的爆炸荷载

3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
六、动力计算自由度
自由度：结构（体系）在变形过程中，确定全部
质量位置 所需要的独立参数的数目。 若只是质点， 则动力计算自由度质点处的独立线位移个数
m EI l l /2 l /2
48EI 3 5ml
多个质点的单自由度体系的自由振动

1 m k 该公式不能用了，为什么呢？ m 怎样求出自振频率呢？
多质点的单自由度体系的自振频率求解方法： 1）写出运动微分方程（柔度法或者刚度法）
2）将其整理成
y ay 0
..
的形式，则
第十章 动力计算基础
§10-1 动力计算的特点及动力自由度
一、静荷载：不使结构产生显著的加速度
动荷载（动力作用）：使结构产生显著的加速度，
惯性力(- m ÿ )不容忽视
二、动力反应：动内力和动位移的计算 三、动力计算的目的：找出动内力和动位移的变化 规律，并用最大值指导设计
四、动力计算的方法：

3.与质点的数目不一定相等
回顾高数： 二阶常系数齐次线性微分方程的解

y p y qy 0

§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m） 2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
k
1

单个质点的单自由度体系的自由振动


k y y 0 m
k m
2
y y 0
2
ω为自振圆频率，简称自振频率

1 m
k m
自振频率
2、自由振动微分方程的解
y t y0 cos t
v0

sin t
yt A sin t
A v0 y

4k 3m
m
2m
K
EI=∞
l
2l
暗含着：不考虑杆的质量
4k 0 17 m

4k 17m
若杆的质量为 m ，自振频率又为多少呢？
m
m
双质点的单自由度体系
k 1 成立吗？ m m
×