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第二章 平稳时间序列模型本章将介绍Box-Jenkins 方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。
2．1 平稳性时间序列t y 的均值和协方差 ()t t E y μ=,cov(,)[()()]t s t t s s t s y y E y y μμγ=--=一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。
如果这个过程是正态过程， ,,t t s μγ可以完全刻画这个随机过程的分布性质。
如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。
下面的问题是如何来估计t μ，对于一些过程我们可以得到大量的实现（反复做观测）,1,2,,.1,2,,.jt y t n j k ==那么，t μ的估计是11ˆkt jt j y k μ==∑但对大多数过程来说，得不到更多的实现。
如，不可能把经济停下来，然后重新开始观测。
对一个实现，不可能估计出t μ。
为了克服这个困难，时间序列分析要做如下的假设：均值和方差不随时间而改变。
如果对任何t, t-s, 都有μ==-)()(s t t y E y E222)()(y s t t y E y E σμμ=-=--s s j t j t s t t y y y y γ==----),cov(),cov(这里 2,y μσ都是常量，与时间无关，s γ是依赖于s 的常量。
这样的随机过程称为协方差平稳。
可以简单地说，如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。
在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程。
（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）。
一个更进一步的假设是遍历性（ergodic ）。
这是一个较难理解的一个概念。
遍历性是指，按时间平均11nn t t y y n ==∑是总体均值μ的无偏、一致估计。
即(),()0,()n n E y Var y n μ=↓→∞。
时间序列分析21212123,,,;,,,;4p q a ϕϕϕθθθσ↓↓⋅⋅⋅⋅⋅⋅↓．模型建立（特点、条件、性质）．模型识别（确定模型的类别、阶数，所用工具：自相关函数、偏相关函数）．模型参数估计（如何用样本作估计）．平稳随机序列的预报（递推，直接）ARMA 模型的建立（2课时）一．自回归模型1. 定义：设{t X }为零均值的平稳时间序列。
阶数为P 的自回归模型定义为：1122...t t t p t p t X X X X a ϕϕϕ---=++++ AR （p ）模型其中（1）[]0t E a =2[]0a t s t s E a a t sσ⎧==⎨≠⎩[]0,s t E a X s t =>（注：{,0,1, 2...}t a t =±±是白噪声，亦称新信息序列，在时间序列分析预报理论中有重要应用。
） （2）常数p （正整数）叫做阶数；（3）{,1,2...}k k p ϕ= 称为自回归系数。
2. 引入延迟算子概念：1t t BX X -= B ：一步延迟算子212()t t t t B X B BX BX X --===k t t k B X X -= k B ：k 步延迟算子AR （p ）模型引入延迟算子：()t t B X a ϕ=其中，1()1...P P B B B ϕϕϕ=---（1）()0B ϕ=的根全在单位圆外即所有的根的模大于1，称此条件为AR （p ）模型的平稳性条件。
（2）在满足平稳性条件时，1()B ϕ-存在且一般为B 的幂级数，则1()t t X B a ϕ-=为AR （p ）模型的逆转形式。
AP （p ）模型可以看作是把相关的{t X }变为一个不相关序列{t a }的系统。
二．滑动平均模型1. 定义：设{}t x 为零均值的实平稳时间序列，阶数为q 的滑动平均模型定义为1122t t t t q t q X a a a a θθθ---=--- MA(q)模型其中：{,1,2,3}k k q θ= 成为滑动平均系数 2. 引入延时算子MA(q )模型引入延迟算子：()t t X B a θ=其中，1()1q q B B B θθθ=---（1）()0B θ=的根全在单位圆外，即所有根的模大于1，则称此条件为MA(q )模型的可逆性条件。
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：Xt=Q XJ t（2.1.1）常记作AR（1）。
其中｛XJ为零均值（即已中心化处理）平稳序列，中为人对X一的依赖程度，£t为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果X t与过去时期直到Xt-p的取值相关，则需要使用包含X t_ j……乂巾在内的p阶自回归模型来加以刻画。
P阶自回归模型的一般形式为：X t=^1 X t1+^2Xt）…+①X t +£t （2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。
设 B 为滞后算子，即 BX t=X t『则 B（B k-1X t）=B k X t=X t k B（C）=C（C 为常数）。
利用这些记号，(2.1.2)式可化为：X t=^1BX t+^ 2B2X t+^ 3B a X t+ ........... +Q B p X t+£t从而有：(1p /① 2B2- .......... P B P) X t=£t记算子多项式①(B) = (1-y 1B-^ 2B 2-……p p B p )，则模型可以表 示成①(B) X t =£ t (2.1.3)例如，二阶自回归模型X t =0.7X t i +0.3X t 2+0.3X t3+ £ t 可写成 (1-0.7B-0.3B 2)X=£ t t二、滑动平均模型(MA)有时，序列X t 的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况 下，X t 可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t =£ t -0 F t i -0 2£ t2- ..... -0 £ t ⑵ 1.4)此模型常称为序列X t 的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q 为滑动 平均的阶数，0」0 j ・0 q 为参滑动平均的权数。
