下载文档原格式
第三章 线性平稳时间序列分析在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要的随机序列。
在这方面已经有了比较成熟的理论知识，最常用的是ARMA （Autoregressive Moving Average ）序列。
用ARMA 模型去近似地描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质，也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。
本章将讨论ARMA 模型的基本性质和特征，这是时间序列统计分析中的重要理论基础。
§3.1 线性过程通常假设随机序列是由平稳序列{}t X 与相互独立的冲击或振动{}t ε叠加生成，其中tε是服从某一固定分布的随机变量，实际中由于t ε的独立性及分布情况难以确定，常用白噪声序列来定义。
在正式讨论之前，我们首先给出相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性差分方程，这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简洁和方便，下面是延迟算子的概念。
定义 设B 为一步延迟算子，如果当前序列乘以一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间向过去拨一个时刻，即1-=t t X BX 。
进一步地，对于任意的n ，延迟算子B 满足：22t t n t t nB X X B X X --==一般地，延迟算子B 有如下性质： (1) 01B =；(2) 若c 为任意常数，则()()1t t t B c X c B X c X -⋅=⋅=⋅；(3) 对于任意的两个序列{}t X 和{}t Y ，有()()()11t t t t t t B X Y B X B Y X Y --±=±=±； (4)()()()01!1!!nnni i n B B i n i =--=-∑。
接下来我们讨论求解线性差分方程。
定义 定义如下形式方程为序列{:0,1,2,}t z t =±±的线性差分方程：()11t t p t p z z z h t αα--+++=，其中1p ≥，1,,p αα为实数，()h t 为t 的已知函数。
第三章 平稳ARMA 过程一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。
通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念。
§3.1 预期、平稳性和遍历性 3.1.1 预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：},,,{21T y y y这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。
例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。
对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。
定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P Ω上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。
例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为： ]21exp[21)(22t t Y y y f t σσπ=此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。
定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征： (1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：⎰==+∞∞-tt Y t t t dy y f y Y E t )()(μ 此时它是随机样本的概率极限：∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1)(1lim )((2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛):20)(t t t Y E μγ-=例3.3 (1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差分别为：μεμμ=+==)()(t t t E Y E 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值和方差分别为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()( 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E3.1.2 随机过程的自协方差将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。
第3章平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
型来息。
t x 为t x 的1阶差分： ▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2tx 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。
记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分kt x 为t x 的10,,1t = 10,,2 = 即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t = 2步差分：▽29x x x 133=-= ▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相x因此，15-18+6=343-30+9=222.k 步差分▽k =t k t k t k t t x )B 1(x B x x x -=-=--三、线性差分方程在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA模型都是一个现象差分方程。
因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程的性质。
为了更好地讨论ARMA 模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。
设,，方程两边同除以，得特征方程（这是一个一元p次方程，应该至少有p个非零实根，称这p个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。
第三章 平稳性时间序列模型由于可得到的观测值是有限的，所以我们通常构建有限价的参数模型去描述一个时间序列过程。
本章将引入自回归移动平均（ARMA ）模型，其中包括作为特例的自回归（AR ）模型和移动平均（MA ）模型。
ARMA 模型包含了能描述多种时间序列的一类简约的时间序列过程。
在详细讨论每个过程的特征 [ 根据自相关函数（ACF ）和偏自相关函数（PACF ）] 后，本章将以实例来进行说明。
3.1 自回归过程在 2.6 节中，我们提到在时间序列过程的自回归表达式中，只要有限个权数π非0，即，，，，p p φπφπφπ=⋅⋅⋅==2211以及)(0p k k >=π，则该时间序列过程就被称作p 阶自回归过程或模型，记作AR （p ），表示为t p t p t t a Z Z Z ++⋅⋅⋅+=-∙-∙∙φφ11 （3.1.1） 或t t p a Z B =∙)(φ （3.1.2）其中，μφφφ-=⋅⋅⋅--=∙t t pp p Z Z B B B ),1()(1因为∞<=∑∑=∞=pj j j j 11φπ，所以上述过程总是可逆的。
为了满足平稳性特征，多项式0)(=B p φ的根必须在单位圆之外。
自回归过程可用来描述时间序列的当前值由其滞后期加上随机冲击所决定的情形。
Yule （1927）曾用AR 过程描述了太阳系黑字数变化现象和单摆的特征。
在进行了深入讨论之前，我们先来考虑以下简单情形。
3.1.1 一阶自回归AR （1）过程一阶自回归过程AR （1）可以表示为t t a Z B =-∙）（11φ （3.1.3a ） 或t t t a ZZ +=-∙∙11φ （3.1.3b ）如前面所述，该过程总是可逆的。
为了满足平稳性特征，01=-）（B p φ的根必须在单位圆之外，即应有11<φ。
因为在给定⋅⋅⋅-∙-∙-∙,,,321t t t Z Z Z 的条件下，t Z ∙的分布与在给定1-∙t Z 条件下t Z ∙的分布完全一致，所以AR （1）过程有时也被称作马尔科夫过程。
t Pp t tt t t x B x x B x Bxx ===---221第3章第三章平稳时间序列分析一个序列通过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着有关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }与{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分t p t p x B x )1(-=∇ 2、k 步差分t k k t t t k x B x x x )1(-=-=∇-3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称之p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε (3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
