第3章 平稳线性ARMA模型(2)--AR模型

第三章 平稳ARMA 过程一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。

通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念。

§3.1 预期、平稳性和遍历性 3.1.1 预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：},,,{21T y y y这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。

例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。

对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。

定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P Ω上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。

例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为： ]21exp[21)(22t t Y y y f t σσπ=此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。

定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征： (1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：⎰==+∞∞-tt Y t t t dy y f y Y E t )()(μ 此时它是随机样本的概率极限：∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1)(1lim )((2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛):20)(t t t Y E μγ-=例3.3 (1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差分别为：μεμμ=+==)()(t t t E Y E 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值和方差分别为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()( 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E3.1.2 随机过程的自协方差将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。

平稳AR模型知识点总结一、AR模型的定义AR模型是一种描述时间序列数据动态特征的模型，它假设当前时刻的观测值可以由之前时刻的观测值线性组合得到。

具体来说，平稳AR(p)模型可以表示为：\[X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t\]其中，\(X_t\)是当前时刻的观测值，\(c\)是常数项，\(\phi_1, \phi_2, ..., \phi_p\)是模型的参数，\(X_{t-1}, X_{t-2}, ..., X_{t-p}\)是之前时刻的观测值，\(\varepsilon_t\)是一个白噪声误差项。

这里的p代表了模型的阶数，即模型考虑了之前p个时刻的观测值。

二、平稳AR模型的特性平稳AR模型有一些重要的特性，对于理解和分析AR模型非常有帮助。

1. 平稳性：AR模型的平稳性是一个重要的性质，它要求模型的参数要满足一定的条件才能保证模型是平稳的。

平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内是相似的，不随时间变化而发生明显的变化。

对于AR模型来说，要求其参数满足的条件是其特征根要在单位圆内，即\(|\phi_1| < 1, |\phi_2| < 1, ..., |\phi_p| < 1\)。

只有当这个条件满足时，AR 模型才具有平稳性，否则就会出现时间序列数据的不稳定性。

2. 自回归结构：AR模型的自回归结构是模型的核心特性，它描述了当前时刻的观测值与之前时刻的观测值之间的关系。

这种自回归的结构可以帮助我们理解时间序列数据的动态特性，进行预测和分析。

3. 白噪声残差：AR模型的误差项\(\varepsilon_t\)通常假设是服从均值为0、方差为\(\sigma^2\)的白噪声分布。

这意味着模型的残差是独立同分布的，没有自相关性和序列相关性，对于模型的有效性和预测性能至关重要。

第3章平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。

本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。

型来息。

t x 为t x 的1阶差分： ▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2tx 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。

记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分kt x 为t x 的10,,1t = 10,,2 = 即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t = 2步差分：▽29x x x 133=-= ▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相x因此，15-18+6=343-30+9=222.k 步差分▽k =t k t k t k t t x )B 1(x B x x x -=-=--三、线性差分方程在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA模型都是一个现象差分方程。

因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程的性质。

为了更好地讨论ARMA 模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。

设,，方程两边同除以，得特征方程（这是一个一元p次方程，应该至少有p个非零实根，称这p个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。

欢迎共阅t P p t tt t t x B x x B x Bx x ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。

3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x 以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。

记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B in i i nni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。

这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。

第三章 ARMA 模型的特性本章为本书重点之一，主要掌握三类模型的格林函数形式、平稳性和可逆性条件、AFC 和PAFC 的形式和特点。

第一节 线性差分方程一、 后移(Backshift)算子:1. 定义：后移算子B 定义为1t t BX X -=，从而m t t m B X X -=。

2. 后移算子的性质：(1) 常数的后移算子为常数：Bc c =(2) 分配律：()m n m n t t t t m t n B B X B X B X X X --+=+=+ (3) 结合律：()m n m n m t t t n t m n B B X B B X B X X ---=== (4) 后移算子B 的逆为前移算子11t t B X X -+=(5) 对于1ϕ<，无限求和得2233(1 (1)t X B B B X Bϕϕϕϕ++++=-前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为：()t t X B a θ=()t t B X a ϕ= ()()t t B X B a ϕθ=其中：212()1n n B B B B ϕϕϕϕ=----212()1m m B B B B θθθθ=----二、 线性差分方程11221122t t t n t nt t t m t mX X X X a a a a ϕϕϕθθθ----------=---- 可将写成()()t t B X B a ϕθ=这里212()1n n B B B B ϕϕϕϕ=----212()1m m B B B B θθθθ=----差分方程通解为：()()t X C t I t =+ 这里，C (t)是齐次方程解，I (t)是特解。

三、 齐次方程解的计算无重根 考虑齐次差分方程 ()0t B X ϕ= 其中12()(1)(1)(1)n B G B G B G B ϕ=---假定G 1，G 2，…，G n 是互不相同，则在时刻t 的通解：1122t t t t n n X A G A G A G =+++ 其中A i 为常数（可由初始条件确定）。