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时间序列平稳性分析(课件)时间序列平稳性分析文章结构•时间序列的概念•平稳性检验•纯随机性检验•spss的具体操作1.1时间序列分析的概念•时间序列是一个按时间的次序排列起来的随机数据集合。
而时间序列分析是概率论与数理统计学科的一个重要分支，它以概率统计学为理论基础来分析随机数据序列（或称为动态数据序列）并对其建立相应的数学模型，即对模型定阶，进行参数估计，进一步将用于预测。
在对时间序列进行分析的时候我们的前提任务是如何进行的呢？2.1平稳性检验•••••特征统计量平稳时间序列的定义平稳时间序列的统计性质平稳时间序列的意义平稳性检验概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性概率分布•概率分布的意义随机变量族的统计性质完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定•时间序列概率分布族的定义{ }Ft1,t2,...,tm(x1,x2,...,xm)m(1,2,...,m),t1,2,...,T•实际应用局限性特征统计量•均值t EXt•方差Var(Xt)E(Xt t)xdFt(x)2(x t)dFt(x)•协方差•自相关系数(t,s)E(Xt t)(XS)S(t,s)(t,s)DXt DXs平稳时间序列的定义•严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳•宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。
它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
•满足如下条件的序列称为严平稳序列正整数m，t1,t1,...,tm T,正整数t,有Ft1,t2,...,tm（x1,x2,...,xm）Ft1t,t2t,...,•满足如下条件的序列称为宽平稳序列1)EXt,t T2)EXt,为常数，t T2tmt（x1,x2,...,x3)（t,s）（k,k s t）,t,s,k且k s t T•常数性质•自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关1）延迟k自协方差函数（k）（t,t k）,k为整数2）延迟k自相关系数k（k）（0）自相关系数的性质••••规范性对称性非负定性非唯一性平稳性的检验•时序图检验根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应、无明显该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征•自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。
时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。
在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。
1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。
具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。
此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。
2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。
常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。
ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。
3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。
趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。
4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。
常见的处理方法有差分法、对数变换等。
差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。
5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。
- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。
- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。
第3章平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
型来息。
t x 为t x 的1阶差分： ▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2tx 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。
记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分kt x 为t x 的10,,1t = 10,,2 = 即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t = 2步差分：▽29x x x 133=-= ▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相x因此，15-18+6=343-30+9=222.k 步差分▽k =t k t k t k t t x )B 1(x B x x x -=-=--三、线性差分方程在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA模型都是一个现象差分方程。
因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程的性质。
为了更好地讨论ARMA 模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。
设,，方程两边同除以，得特征方程（这是一个一元p次方程，应该至少有p个非零实根，称这p个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。
第一节线性差分方程一、后移算子B定义为三、齐次方程解的计算1 、AR(n) 过程自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1) Xt= Xt-1+ at 的k阶滞后自协方差为：Xt= 1Xt-1+ 2Xt-2 + at 该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1, 2分别为一般地，n阶自回归模型AR(n) Xt= 1Xt-1+ 2Xt-2 +…nXt-n + at 其中：zi 是AR(n) 特征方程(z)=0 的特征根，由AR(n) 平稳的条件知，|zi|<1; 因此，当zi 均为实数根时，k呈几何型衰减（单调或振荡）；当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项，k呈正弦波衰减。
对MA(1) 过程其自协方差系数为二、偏自相关函数从Xt 中去掉Xt-1 的影响，则只剩下随机扰动项at ，显然它与Xt-2 无关，因此我们说Xt 与Xt-2 的偏自相关系数为零，记为MA(1) 过程可以等价地写成at 关于无穷序列Xt ，Xt-1 ，…的线性组合的形式：与MA(1) 相仿，可以验证MA(m) 过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。
ARMA(n,m) 的自相关函数，可以看作MA(m) 的自相关函数和AR(n) 的自相关函数的混合物。
当n=0 时，它具有截尾性质；当m=0 时，它具有拖尾性质；当n、m都不为0时，它具有拖尾性质从识别上看，通常：ARMA(n ，m) 过程的偏自相关函数（PACF ）可能在n阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes ），但从n阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF ）则是在m阶滞后前有几项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。
对k=1 ，2，3，…依次求解方程，得上述……序列为AR 模型的偏自相关函数。
偏自相关性是条件相关，是在给定的条件下，和的条件相关。
换名话说，偏自相关函数是对和所解释的相关的度量。
之间未被由最小二乘原理易得，是作为关于线性回归的回归系数。
t Pp t tt tt x B x x B x Bx x===---221第3章 平稳时刻序列分析一个序列通过预处理被识不为平稳非白噪声序列，那就讲明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1方法性工具 3.1.1差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时刻指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时刻向过往拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有 延迟算子的性质：1.10=B 2.假设c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B 4.n t t n x x B -= 5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2ARMA 模型的性质 3.2.1AR 模型定义具有如下结构的模型称为p 阶自回回模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
那个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
t Pp t tt t t x B x x B x Bxx ===---M221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
方法性工具 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x 记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t px ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇ 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t nx x B-=5.)!(!!,)1()1(0i n i n CB C B i niinni in-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分ARMA 模型的性质 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t πΛ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφεAR(p)模型有三个限制条件： 条件一：0≠pφ。
这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
条件二：t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。
