1-3专题3 分类讨论思想

思想方法第3讲分类讨论思想 思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为( )A ．x ＝0B ．15x －8y －8＝0C ．3x －4y ＋4＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －4＝0或x ＝0________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则下列选项不正确的是( )A ．{a 2n －1}是等比数列B.∑i ＝15(a 2i －1＋2)＝－10C ．{a 2n }是等比数列D.∑i ＝110a i ＝52________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n 需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二 由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． 例2设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (x )[f (x )]2＋a的最大值为25，则正实数a ＝________.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．。

第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。

有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法。

是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。

分类讨论思想在数学问题具有明显的。

逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。

解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。

也是高考常考查的知识点。

【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．Δ＜0 Δ＞0 【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. ．【思维提升】涉及到直线的方程问题。

若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。

这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。

【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过()2,0A ,()0,2B ,()2,4C 三点的圆与直线240kx y k -+-=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．无法确定【变式 1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线1:480l ax y ++=与直线2:3(1)60l x a y ++-=平行，则a 的值为（ ）A. 4-B. 3C. 3或4-D. 3-或6【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆1O ：()22325x y +-=，圆2O ：()()2261125x y -+-=，下列直线中，与圆1O ，2O 都相切的是（ ） A ．34370x y +-=B ．34320x y ++=C ．43160x y --=D ．43340x y -+=【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点()2,4P 引圆()()22111x y -+-=的切线，则切线的方程为（ ） A ．2x =-或4340x y +-= B ．4340x y -+= C ．2x =或4340x y -+=D ．4340x y +-=【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．2、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 3、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。

分类讨论的思想（ 一）知识点：所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．基本训练 1 若2log 13a< 则a 的取值范围为（ C ） A 2(,1)3 B 2(,)3+∞ C 2(0,)(1,)3+∞ D 22(0,)(,)33+∞2 已知三条直线3x-y+2=0.2x+y+3=0,mx+y=0不能构成三角形，则m=（ C ） A 3，2，1 B -3，-2，-1 C -3，2，1 D 3，-2.13 已知集合A=2{|(2)210}x m x mx +++≤，B= 2{|(),}3xy y x R =∈，则使A B ⊆成立的实数m的取值范围是（ A ）A [-2，2） B （-2，2] C [-2，2] D [-2，-1）（-1，2]4 与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有（ C0 A 2 B 3 C 4 D 55 抛物线2y ax =的焦点与双曲线3213x y -=的一焦点重合，则抛物线方程为________ 6 函数221(0,1)xx y aa a a =+->≠在区间[-1，1]上的最大值为14，则a=_____1/3,3例1已知函数2()(43)2()f x m x x m m R =--+∈，求f(x ）在区间[0，1]上的最大值。

分类讨论思想训练教案教案教案标题：分类讨论思想训练教案教案目标：1. 帮助学生了解分类讨论的概念和重要性；2. 培养学生的分类思维能力和批判性思维能力；3. 提供学生进行分类讨论的实践机会，培养他们的合作与沟通能力。

教学目标：1. 学生能够定义和解释分类讨论的概念；2. 学生能够运用分类思维进行问题分析和解决；3. 学生能够积极参与和引导分类讨论，展示批判性思维。

教学准备：1. 板书：分类讨论的定义和步骤；2. 分类讨论案例材料：准备一些与学生学习内容相关的案例材料，例如社会问题、科学实验等；3. 分组活动准备：将学生分成小组，每个小组3-4人，确保每个小组都有一名积极的组织者和一名记录员；4. 讨论指导问题：为每个小组准备一些指导性问题，以引导他们进行分类讨论。

教学步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾他们之前学习过的分类知识，例如分类动物、分类数字等。

2. 引出分类讨论的概念，并解释其在解决问题和批判思考中的重要性。

讲解（10分钟）：1. 板书展示分类讨论的定义和步骤，并解释每个步骤的含义。

2. 通过示范一个案例，解释如何进行分类讨论，并强调每个小组成员的角色和责任。

实践（25分钟）：1. 将学生分成小组，并分发案例材料。

2. 指导学生按照分类讨论的步骤进行讨论，确保每个小组都有机会表达观点和提出问题。

3. 教师巡视各小组，提供必要的指导和帮助。

总结（10分钟）：1. 邀请每个小组分享他们的讨论结果和结论。

2. 引导学生总结分类讨论的优势和挑战，并讨论如何改进分类讨论的技巧和效果。

3. 强调分类讨论对于培养批判性思维和合作能力的重要性。

拓展活动：1. 鼓励学生在其他课程中运用分类讨论的技巧，例如历史、科学等。

2. 提供更多的案例材料，让学生继续进行分类讨论的实践。

评估方式：1. 观察学生在小组讨论中的参与度和表现；2. 收集学生的分类讨论记录和结论，评估他们的分类思维和批判性思维能力；3. 提供反馈和建议，帮助学生改进分类讨论的技巧。

分类讨论思想的教案教案标题：分类讨论思想的教案教学目标：1. 了解分类讨论思想的概念和重要性。

2. 学习如何进行分类讨论，并能运用分类讨论思想解决问题。

3. 培养学生的批判性思维和合作能力。

教学内容：1. 介绍分类讨论思想的定义和背景知识。

2. 分类讨论的步骤和技巧。

3. 示例案例分析和讨论。

教学步骤：引入（5分钟）：1. 引发学生对分类讨论思想的兴趣，可以通过提问或分享一个相关的真实案例。

2. 解释分类讨论思想的定义和重要性，说明它在解决问题和批判性思维中的作用。

知识讲解（10分钟）：1. 介绍分类讨论的步骤：确定主题、收集信息、分类整理、讨论和总结。

2. 解释如何有效地分类整理信息，包括根据相似性、重要性、优先级等进行分类。

3. 提供一些分类讨论的技巧，如提出问题、引用例证、分析对比等。

示例案例分析和讨论（15分钟）：1. 给出一个与学生熟悉的案例，例如环境保护、社会问题等。

2. 引导学生根据分类讨论思想的步骤，对案例进行分类整理。

3. 学生分组讨论各自的分类结果，并就各自的分类进行辩论和交流。

4. 整合各组的讨论结果，总结出最佳的分类方案。

练习和巩固（15分钟）：1. 学生分组进行小组练习，选择一个新的案例，并运用分类讨论思想解决问题。

2. 每个小组向其他小组展示他们的分类方案，并进行讨论和评价。

总结和反思（5分钟）：1. 总结分类讨论思想的重要性和应用。

2. 鼓励学生反思他们在分类讨论过程中的经验和收获。

3. 提供反馈和建议，以便学生进一步提高他们的分类讨论技巧。

教学资源：1. PowerPoint演示文稿或白板。

2. 真实案例材料。

3. 分组讨论活动的工作表。

4. 评价和反馈表格。

教学评估：1. 观察学生在分类讨论过程中的参与程度和合作能力。

2. 评估学生对分类讨论思想的理解程度，可以通过小组练习和展示进行评价。

3. 收集学生的反馈和建议，以改进教学方法和教案设计。

教学扩展：1. 鼓励学生在日常生活中运用分类讨论思想解决问题。

1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．变式训练1 设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．变式训练2 在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，求证：x ＝y .题型三 根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．变式训练3已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第3讲 分类讨论思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )．。

专题1 分类讨论思想名师专题讲座分类讨论是一种重要的数学思想，也是近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一要准确，二要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有疏漏。

在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同地情况作出符合题意的解答。

例如，对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍;在不同的取值范围内，将代数式表达成不同的形式；对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。

许多中考题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。

分类的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个标准；分类讨论应逐级进行。

历年考题评析例1 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、D 不重合），过点A 作AF ⊥AE ，交边CB 的延长线于点F ，联结EF ，交边AB 于点G 。

设DE=x ，BF=y 。

（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域。

（2）如果AD=BF ，求证：△AEF ∽△DEA.(3)当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE 的长；如果不能，请说明理由。

解 （1）在矩形ABCD 中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3.即得∠D=∠ABF.AF ⊥AE, ∠EAF=∠BAD=90°.又∠EAF=∠BAE+∠BAF, ∠BAD=∠DAE+∠BAE, ∠DAE=∠BAF.于是，由∠D=∠ABF, ∠DAE=∠BAF,得△DAE ∽△BAF.AD DE AB BF =.由DE=x,BF=y,得34,.43x x y =即得y=y 关于x 的函数解析式是43x y=，定义域为0＜x ＜4.(2)AD=BF,AD=BC,BF=BC.在矩形ABCD 中，AB ∥CD,1.FG FBGE BC==即得FG=EG.于是，由∠EAF=90°,得AG=FG. ∠FAG=∠AFG. ∠AFE=∠DAE.于是，由∠EAF=∠D, ∠AFE=∠DAE,得△AEF ∽△DEA.(3)当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能成为等腰三角形.此时，①当AG=EG 时，DE=9;4②当AE=GE 时，3;2DE =③当AG=GE 时，7.8DE = 名师点拨 此题分类讨论的思想体现在第3小题，注意的问题是等腰三角形只涉及两边相等，可能的情况都要考虑到，否则容易漏解，导致失分.CFx 例2 如图，Rt △ABO 在直角坐标系中，∠ABO=90°，点A （-25，0），∠A 的正切值为43，直线AB 与y 轴交与点C.(1)求点B 的坐标,(2)将△ABO 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在x 轴正半轴上的B '处，试在直角坐标系中画出旋转后的△A B O '',并写出点的坐标.（3）在直角坐标系上是否存在点D 使△ABO 与△CDO 相似？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由.BH ⊥AO 于H,由4tan 4,3,5.3A BH k AH k AB k ====，设则 4tan 3Rt ABO A ∆=在中，， .4100(3)25,tan .,1520,3333,.,,90,44390,.41005253.54154Rt AOC AC A OC OA y kx k k y x ABO A B O AOB A OB AOB A COA A OB A COA OA D D x x CO AO x x OD AB x ︒︒'∆====='''''==∆∆∠=∠∠+∠=∠+''''∠=∠=∠==在中，，设的解析式为则则旋转至在直线上存在点符合条件，设点的坐标为（，），则OD=当时，即，也即161001540035259440010093CO AB x OD AO x =∆∆===∆∆时，COD 与AOB相似，此时D(16,12).当时，即，也即时，COD 与AOB 相似，此时D(,).名师点拨 此题分类讨论的思想体现在第3小题，判断两个三角形相似可能分几种对应情况，对应边对应角均可以变换，不能仅讨论一种情况.例3 见图（a ），在Rt △BAC 中，∠A=90°AB=3，AC=4. ⊙B 与⊙A 外切于点D ，并分别与BC 、AC 边交于点E 、F.(1)EC=x,FC=y,求y 关于x 的关系式，并写出定义域.（2）如果△FEC 与△ABC 相似，求AD:BD.（3）如果⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，求AD:BD.(c)(b)(a)C【解】(1)在Rt △BAC 中，∠ A=90°，AB=3，AC=4，BC=5．⊙B 与⊙A 外切于点D ，并分别与BC 、A C 边交于点E 、F,AD=AF ，BD=BE ，AF+AB+BE=2AB=6，CE+CF=(AB+BC+CA)一(AF+AB 十BE)=6．EC=x ，FC=y ，z+y=6，y=6-x ，2<x<5．(2)如果△FEC ∽△ABC ，那么FC ：AC=EC ：BC ，(6-x)：4= x ：5, 103x =，AD ：BD= 45:4:533=；如果△EFC ∽△ABC ，那么EC:AC=FC:BC ，x:4=( 6-x):5，827,::2:7.333x AD BD ===(3)如果⊙C 与⊙A 、⊙B 都相切，有两种情况：①⊙C 与⊙A 、⊙B 都外切(见图(c))，则CE=CF ，CE=x ，CF=6-x ，x= 6-x ，x =3，AD ：BD=1：2；②⊙C 与⊙A 、⊙B 都内切(见图(c))，则CA+AF=CB+BE ，CA=4，AF=AC-CF=4-6+ x= x -2，CB=5。