2020年高考数学二轮复习专题9第3讲分类讨论思想同步练习新人教A版

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第3讲分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1．已知函数f（x）＝x2＋(a＋1）x＋ab，若不等式f（x）≤0的解集为{x|－1≤x≤4｝，则a＋2b的值为( )A．－2 B．3C．－3 D．2解析：选A。

依题意，－1，4为方程x2＋（a＋1)x＋ab＝0的两根，所以错误!解得错误!所以a＋2b的值为－2，故选A.2．在等差数列{a n}中，a2,a2 018是函数f（x）＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则log错误!a1 010的值为( ）A．－3 B．－错误!C．3 D.错误!解析：选B.f′(x)＝3x2－12x＋4，因为a2，a2 018是函数f（x）＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点,所以a2，a2 018是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a2＋a2 018＝4。

又因为数列｛a n｝为等差数列，所以a2＋a2 018＝2a1 010,即a1 010＝2，从而log错误!a1 010＝log错误!2＝－错误!。

3．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q,则错误!＋错误!等于（）A．2a B。

第三讲分类讨论思想分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的难点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．预测2016年的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其是导数与函数问题)，将有一道进行分类求解的难度大的题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题．分类讨论解决的主要问题分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．分类讨论的类型1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a .(×) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)．(×)(4)当n >0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f (x )＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±22.(×) (6)已知f (x )＝x 2－4x ＋5，x ∈[0，3)，则f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (3)＝2.(×)1．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有(B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由2x 2－y 2＝2，得x 2－y 22＝1. 当l 无斜率时，|AB |＝2b 2a＝4，符合要求． 当l 有斜率时，若A 、B 两点都在右支上，则|AB |>4不符合要求，A 、B 在左、右两支上，有两条，所以共3条．2．已知正三角形ABC 的边长为3，到这个三角形的三个顶点距离都等于1的平面的个数是(D )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个解析：对三个顶点和平面的位置分类：在平面同一侧有2个，在平面的两侧有6个． ∴共有2＋6＝8个．3．满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数有(B )A ．14个B ．13个C ．12个D ．10个解析：方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解，分析讨论．①当a ＝0时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解，此时b 可以取4个值，故有4个有序数对；②当a ≠0时，需要Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．∵(a ，b )共有4×4＝16个实数对，故答案应为16－3＝13.4. (2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＜0，f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解得f (a )≥－2，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2. 故a 的取值范围是(－∞，2]．答案：(－∞，2]。

卜人入州八九几市潮王学校【专题九】分类讨论的思想【考情分析】高考中的分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考察学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原那么、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的HY，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.〞【知识交汇】所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进展统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的一样点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进展研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想〞．1.分类讨论的思想方法是数学的根本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析才能和分类技巧；⑷分类讨论的思想与消费理论和高等数学都严密相关。

2.分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整〞，从而增加了题设条件的解题策略．3.运用分类讨论的思想解题的根本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进展合理的分类〔分类时需要做到不重复、不遗漏、HY统一、分层不越级〕；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4.明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n 项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或者证明方法；⑹其他根据实际问题详细分析进展分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、单项选择题1.(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x 2},B={0,1,2},若A ⊆B ,则实数a 的值为( ) A.1或2 B.0或1 C.0或2D.0或1或22.已知函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)在区间[m ,2m ]上的值域为[m ,2m ],则a=( ) A.√2 B.14C.116或√2 D.14或43.若函数f (x )=12ax 2+x ln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是( ) A.-1e ,1B.-1e,+∞C.(-1,+∞)D.-∞,1e4.(2020安徽合肥二模,文9)已知函数f (x )={log 2x ,x >1,x 2-1,x ≤1,则f (x )<f (x+1)的解集为( )A.(-1,+∞)B.(-1,1)C.(-12,+∞)D.(-12,1)5.已知f (x )=x+1,g (x )=ln x ,若f (x 1)=g (x 2),则x 2-x 1的最小值为( ) A.1 B.2+ln 2 C.2-ln 2D.26.设[x ]表示不超过实数x 的最大整数,如[2.6]=2,[-2.6]=-3.设g (x )=a xa x +1(a>0且a ≠1),那么函数f (x )=[g (x )-12]+[g (-x )-12]的值域为( ) A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{1,-1}D.{-1,0}7.设函数f (x )=x e x -a (x+ln x ),若f (x )≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[0,e]B.[0,1]C.(-∞,e]D.[e,+∞)8.(2020河南新乡三模,理12)已知函数f (x )=x 2-ax (x ∈[1e ,e])与g (x )=e x 的图象上存在两对关于直线y=x 对称的点,则a 的取值范围是( ) A.[e -1e ,e]B.(1,e -1e ]C.[1,e -1e ]D.[1,e +1e]二、多项选择题9.若数列{a n }对任意n ≥2(n ∈N )满足(a n -a n-1-2)(a n -2a n-1)=0,下面选项中关于数列{a n }的命题正确的是( )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差又是等比数列D.{a n }可以既不是等差又不是等比数列10.(2020海南高三模拟,6)关于x 的方程(x 2-2x )2-2(2x-x 2)+k=0,下列命题正确的有( ) A.存在实数k ,使得方程无实根B.存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根C.存在实数k ,使得方程恰有3个不同的实根D.存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根 11.已知三个数1,a ,9成等比数列,则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率为( )A.√5B.√33C.√102D.√312.已知函数f (x )=log 2|x|+x 2-2,若f (a )>f (b ),a ,b 不为零,则下列不等式成立的是( ) A.a 3>b 3B.(a-b )(a+b )>0C.e a-b >1D.ln |ab |>0三、填空题13.已知a ,b 为正实数,且a+b=2,则2a +1b+1的最小值是 .14.函数y=√x 2-2x +2+√x 2-6x +13的最小值为 .15.已知函数f (x )={|x +3|,x ≤0,x 3-12x +3,x >0,设g (x )=kx+1,且函数y=f (x )-g (x )的图象经过四个象限,则实数k的取值范围为 . 16.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点,MN 为圆(x-1)2+y 2=1的一条直径,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想1.D 解析因为当a=0时,A={x|0=x 2}={0},满足A ⊆B ;当a ≠0时,A={0,a },若A ⊆B ,所以a=1或2. 综上,a 的值为0或1或2.故选D .2.C 解析分析知m>0.当a>1时,{a m =m ,a 2m =2m ,所以a m=2,m=2,所以a=√2;当0<a<1时,{a m =2m ,a 2m =m ,所以a m =12,m=14,所以a=116.综上,a=116或a=√2.故选C .3.B 解析f'(x )=ax+ln x ,∴f'(x )>0在x ∈(0,+∞)上成立,即ax+ln x>0在x ∈(0,+∞)上成立,即a>-lnx x在x∈(0,+∞)上成立.令g (x )=-lnx x,则g'(x )=-1-lnx x 2.令g'(x )=0,得x=e .∴g (x )=-lnx x在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.∴g (x )=-lnx x的最小值为g (e)=-1e .∴a>-1e .故选B.4.C 解析∵函数f (x )={log 2x ,x >1,x 2-1,x ≤1,则f (x )<f (x+1),∴当x ≤0时,x+1≤1,则不等式f (x )<f (x+1),即x 2-1<(x+1)2-1,得-12<x ≤0.当0<x ≤1时,x+1>1,则不等式f (x )<f (x+1),此时f (x )=x 2-1<0<f (x+1)=log 2(x+1)在(0,1]上恒成立. 当x>1时,不等式f (x )<f (x+1),即log 2x<log 2(x+1),得x>1.综上可得,不等式的解集为(-12,+∞),故选C .5.D 解析设f (x 1)=g (x 2)=t ,所以x 1=t-1,x 2=e t ,所以x 2-x 1=e t -t+1,令h (t )=e t -t+1,则h'(t )=e t -1,所以h (t )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h (t )min =h (0)=2.6.D 解析∵g (x )=a xa x +1,∴g (-x )=1a x +1,∴0<g (x )<1,0<g (-x )<1,g (x )+g (-x )=1.当12<g (x )<1时,0<g (-x )<12,∴f (x )=g (x )-12+g (-x )-12=-1+0=-1;当0<g (x )<12时,12<g (-x )<1,∴f (x )=g (x )-12+g (-x )-12=0+(-1)=-1;当g (x )=12时,g (-x )=12,∴f (x )=0.综上,f (x )的值域为{-1,0},故选D.7.A 解析f'(x )=(x+1)e x -a 1+1x =(x+1)e x -ax ,当a<0时,f'(x )在(0,+∞)上单调递增,且x 趋近于0时,f (x )趋近于-∞;x 趋近于+∞,f (x )趋近于+∞,不合题意;当a=0时,f (x )=x e x ≥0恒成立,因此a=0满足条件;当a>0时,令f'(x )=(x+1)e x -a x=0,解得e x 0=ax 0,ln x 0+x 0=ln a ,x 0>0,则x 0是函数f (x )的极小值点,此时x=x 0,函数f (x )取得最小值, f (x 0)=x 0e x 0-a (x 0+ln x 0)=a-a ln a ≥0,化为ln a ≤1,解得0<a ≤e . 综上可得a 的取值范围是[0,e].故选A.8.D 解析∵f (x )与g (x )的图象在x ∈[1e ,e]上存在两对关于直线y=x 对称的点,由g (x )=e x ,得x=ln y ,∴ln x=x 2-ax在x ∈[1e ,e]上有两解,即a=x-lnx x在x ∈[1e ,e]上有两解,令h (x )=x-lnx x,则h'(x )=x 2+lnx -1x 2.∵k (x )=x 2+ln x-1在x ∈[1e ,e]上单调递增,且k (1)=0,∴当x ∈[1e ,1]时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当x ∈(1,e]时,h'(x )>0,h (x )单调递增.∴h (x )min =h (1)=1,h (x )max =max {ℎ(1e ),ℎ(e )}=max e +1e ,e -1e =e +1e,∴a 的取值范围是1,e +1e .9.ABD 解析因为(a n -a n-1-2)(a n -2a n-1)=0,所以a n -a n-1-2=0或a n -2a n-1=0,即a n -a n-1=2或a n =2a n-1.①当a n ≠0,a n-1≠0时,{a n }是等差数列或是等比数列.②当a n=0或a n-1=0时,{a n}可以既不是等差又不是等比数列.故选ABD.10.AB解析设t=x2-2x,方程化为关于t的二次方程t2+2t+k=0.(*)当k>1时,Δ<0,方程(*)无实根,故原方程无实根.当k=1时,可得t=-1,则x2-2x=-1,原方程有两个相等的实根x=1.当k<1时,方程(*)有两个实根t1,t2(t1<t2),由t1+t2=-2可知,t1<-1,t2>-1.因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x2-2x=t1无实根,x2-2x=t2有两个不同的实根.故选AB.11.BC解析由三个数1,a,9成等比数列,得a2=9,即a=±3;当a=3时,圆锥曲线为x 23+y22=1,曲线为椭圆,则e=√3=√33;当a=-3时,曲线为y 22−x23=1,曲线为双曲线,e=√5√2=√102,则离心率为√33或√102.故选BC.12.BD解析因为f(-x)=log2|-x|+(-x)2-2=log2|x|+x2-2,所以f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)=log2x+x2-2单调递增,所以当x<0时,f(x)单调递减.故由f(a)>f(b),且a,b不为零,可知|a|>|b|>0.当a=-2,b=1时,f(a)>f(b),a3<b3,e a-b=e-3<1,故A,C选项错误.(a-b)(a+b)=a2-b2>0,即|a|>|b|>0,故B选项正确.因为ln|ab |>0,则|ab|>1,可得|a|>|b|>0,故D选项正确.故选BD.13.3+2√23解析∵a+b=2,∴a+(b+1)=3,即a3+b+13=1,∴2a +1b+1=2a+1b+1a3+b+13=23+a3(b+1)+2(b+1)3a+13≥1+2√29=3+2√23,当且仅当a3(b+1)=2(b+1)3a,即a=6-3√2,b=3√2-4时等号成立.14.√13 解析原函数等价于y=√(x -1)2+(0-1)2+√(x -3)2+(0-2)2,即求x 轴上一点到A (1,1),B (3,2)两点距离之和的最小值.将点A (1,1)关于x 轴对称,得A'(1,-1),连接A'B 交x 轴于点P ,则线段A'B 的值就是所求的最小值,即|A'B|=√(1-3)2+(-1-2)2=√13.15.(-9,13) 解析由题意知,要使y=f (x )-g (x )的图象经过四个象限,只需y=f (x )的图象与y=g (x )的图象在(-∞,0)和(0,+∞)都相交且交点个数大于1.当x>0时,f (x )=x 3-12x+3,f'(x )=3x 2-12.易知f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且f (2)<0.又g (x )=kx+1的图象恒过(0,1),设g (x )与f (x )的切点为(x ,y ),则k=3x 2-12,则x 3-12x+3=(3x 2-12)x+1,解得x=1,则k=-9,即过(0,1)且与f (x )=x 3-12x+3(x>0)的图象相切的切线的斜率为-9,若g (x )与f (x )相交且交点个数大于1,则k>-9,同理,当x ≤0时,作出f (x )=|x+3|的图象(图略),数形结合易知k<13.综上,实数k 的取值范围为(-9,13).16.15 解析由题意知,圆心为C (1,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CN ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-1. 设A (x ,y ),所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1)2+y 2-1=x 2-2x+y 2,又x 29+y 25=1,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =49x 2-2x+5,x ∈[-3,3],又因为该二次函数开口向上,且对称轴为x=94,故当x=-3时取最大值为15.。