【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想

第3讲分类讨论思想、转化与化归思想一、分类讨论思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解.解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出.思想方法诠释1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论.思想分类应用应用一由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论【例1】(1)(2020安徽合肥二模,文10)记F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,若C上存在点M满足=0,则实数m的取值范围是()A.∪[2,+∞)B.∪[2,+∞)C.∪(1,2]D.∪(1,2](2)设等比数列{a n}的公比为q,前n项和S n>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是.思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.【对点训练1】(1)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020广东茂名一模,理12)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)有四个零点,则a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(e,+∞)C.(4,+∞)D.(4,e2)应用二由参数引起的分类讨论【例2】设函数f(x)=ln(x+a)+x2.若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.【对点训练2】(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=m ln x-x+(m∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)略应用三由图形位置或形状引起的分类讨论【例3】设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为.思维升华圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.【对点训练3】设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于.应用方法归纳1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.二、转化化归思想使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.思想方法诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法;(10)参数法.思想分类应用应用一特殊与一般化【例1】(1)(其中e为自然常数)的大小关系是()A. B.C. D.(2)(2020河北武邑中学三模,16)已知实数a,b,c,d满足=1,其中e是自然对数的底数,那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为.思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.【对点训练1】(2020湖南长郡中学四模,11)若0<x<1,则的大小关系是()A.B.C.D.应用二命题等价转化【例2】(2020上海考前压轴卷,11)已知a,b,2c是平面内三个单位向量,若a⊥b,则|a+4c|+2|3a+2b-c|的最小值是.思维升华本例题充分体现了命题等价转化的重要性,首先将条件“三个向量都是单位向量及a⊥b”,等价转化为“2c=e及a=(1,0),b=(0,1)”,这样就达到了变陌生为熟悉的目的;其次将“|a+2e|”等价转化为“|2a+e|”,为求最值创造了有利条件同时也简化了运算;然后将“两向量模的和的最值”等价转化为“两根式和的最值”,最后根据两根式和的几何意义,将问题等价转化为两点的距离.【对点训练2】(1)已知在(-∞,1]上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为()A.[-]B.[1,]C.[2,3]D.[1,2](2)(2020河北武邑中学三模,5)若数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a2=2,(S n+1)(S n+2+1)=,则S n=()A. B.2n-1C.2n-1D.2n-1+1应用三常量与变量的转化【例3】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5,其中f'(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围为.思维升华在处理多变量的数学问题中,在常量(或参数)在某一范围取值的前提下求变量x 的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.【对点训练3】设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.应用四函数、方程、不等式之间的转化【例4】已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则a的取值范围是() A.[1,+∞) B.[-1,4)C.[-1,+∞)D.[-1,6]思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将不等式证明问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.【对点训练4】(1)(2020山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c(2)已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t∈[-1,+∞),使得对任意的x∈[1,m],m∈Z,且m>1,都有f(x+t)≤3e x,求m的最大值.应用五正难则反的转化【例5】若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3++2x2-2x在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是.思维升华否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.【对点训练5】安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字作答)应用方法归纳1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用),角度的转化,函数的转化,通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为由其导函数f'(x)构成的方程、不等式问题求解.第3讲分类讨论思想、转化与化归思想一、分类讨论思想思想分类应用【例1】(1)A(2)(-1,0)∪(0,+∞)解析(1)当焦点在x轴上时,a2=m,b2=1,m>1,由对称性可知当M为上下顶点时,∠F1MF2最大,因为=0,则∠F1MF2,∠F1MO,所以tan∠F1MO=tan=1,即1,解得m≥2;当焦点在y轴上时,a2=1,b2=m,0<m<1,当M为左右顶点时,∠F1MF2最大,因为=0,则∠F1MF2,∠F1MO,所以tan∠F1MO=tan=1,即1,解得0<m,故选A.(2)由{a n}是等比数列,S n>0,可得a1=S1>0,q≠0,当q=1时,S n=na1>0,符合题意;当q≠1时,S n=>0,即>0(n=1,2,3,…),则有或由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).对点训练1(1)C(2)C解析(1)当a=0时,f(x)=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)=(-ax+1)x=-a x,结合二次函数的图象可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的大致图象如图.函数f(x)在区间(0,+∞)上有增有减,所以a≤0是函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增的充要条件,故选C.(2)当a=0时,f(x)=函数f(x)无零点,舍去.当a<0,且x≤1时,f(x)=ax2-ax+1为开口向下,对称轴为x=的二次函数,f=a-a+1=-a+1>0,f(1)=a-a+1=1>0.则x≤1时,函数f(x)与x轴只有一个交点;当a<0,且x>1时,f(x)=x-a ln x.f'(x)=1->0,故函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)>f(1)=1,即x>1时,函数f(x)与x轴无交点;则当a<0时,函数f(x)有一个零点.与题意不符,舍去.当a>0,且x≤1时,f(x)=ax2-ax+1为开口向上,对称轴为x=的二次函数.f=a-a+1=-a+1,f(1)=a-a+1=1>0.函数f(x)在(-∞,1]最多有两个零点;当a>0,且x>1时,f(x)=x-a ln x.f'(x)=1-令f'(x)=0,得x=a,当0<a≤1时,f'(x)>0,在(1,+∞)内单调递增,与已知矛盾,不符合题意,舍去;当a>1时,x∈(a,+∞)时,f(x)单调递增,x∈(1,a)时,f(x)单调递减,f(a)=a-a ln a,函数f(x)在(1,+∞)最多有两个零点.若使得函数f(x)有四个零点,则需解得a>4.故选C.【例2】解f(x)的定义域为(-a,+∞),f'(x)=,记g(x)=2x2+2ax+1,其判别式为Δ=4a2-8.①若Δ≤0,即-a时,f'(x)≥0在(-a,+∞)上恒成立,所以f(x)无极值.②若Δ>0,即a>或a<-时,g(x)=0有两个不同的实根x1=和x2=,且x1<x2,由根与系数的关系可得(ⅰ)当a<-时,有x1+a<0,x2+a<0,即x1<-a,x2<-a,从而,f'(x)=0在(-a,+∞)上没有实根,所以f(x)无极值.(ⅱ)当a>时,有x1+a>0,x2+a>0,即x1>-a,x2>-a,从而,f'(x)=0在(-a,+∞)上有两个不同的根,且f(x)在x=x1,x=x2处取得极值.综上所述,f(x)存在极值时,a的取值范围为(,+∞).f(x)的极值之和为f(x1)+f(x2)=ln(x1+a)++ln(x2+a)+=ln[(x1+a)(x2+a)]+-2 x1x2,而ln[(x1+a)(x2+a)]=ln,(x1+x2)2-2x1x2=(-a)2-2=a2-1,所以f(x1)+f(x2)=ln+a2-1>ln+1=ln对点训练2解(1)由题意得x∈(0,+∞),f'(x)=-1-=-,令g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4).①当0≤m≤4时,Δ≤0,g(x)≥0恒成立,则f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当m<0时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m<0,x1x2=m<0,则x1<0,x2>0,所以当x时,g(x)<0,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x时,g(x)>0,f'(x)<0,f(x)单调递减.③当m>4时,Δ>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m>0,x1x2=m>0,则x1>0,x2>0,所以x时,g(x)>0,f'(x)<0,f(x)单调递减;x时,g(x)<0,f'(x)>0,f(x)单调递增;x时,g(x)>0,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当0≤m≤4时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.当m<0时,x时,f(x)单调递增;x时,f(x)单调递减.当m>4时,x∈0,时,f(x)单调递减;x时,f(x)单调递增;x时,f(x)单调递减.【例3】或2解析由题可得c=若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,解得|PF1|=,|PF2|=,所以若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.综上知,的值为或2.对点训练3解析不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t,其中t≠0.若该曲线为椭圆,则有|PF1|+|PF2|=6t=2a,|F1F2|=3t=2c,e=;若该曲线为双曲线,则有|PF1|-|PF2|=2t=2a,|F1F2|=3t=2c,e=二、转化化归思想思想分类应用【例1】(1)A(2)解析(1)由于,故可构造函数f(x)=,只研究x>0的部分.f(4)=,f(5)=,f(6)=而f'(x)='=令f'(x)>0,得x>2,即函数f(x)在(2,+∞)内单调递增,因此有f(4)<f(5)<f(6),即(2)因为实数a,b,c,d满足=1,所以b=a-2e a,d=3-c,所以点(a,b)在曲线y=x-2e x上,点(c,d)在曲线y=3-x上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是曲线y=x-2e x上的点到曲线y=3-x上的点的距离的平方,最小值即为曲线y=x-2e x上与直线y=3-x平行的切线,因为y'=1-2e x,求曲线y=x-2e x上与直线y=3-x平行的切线,即y'=1-2e x=-1,解得x=0,所以切点为(0,-2),该切点到直线y=3-x的距离为d=,即d为所求两曲线间的最小距离,所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为d2=对点训练1B解析设f(x)=,则f'(x)=,令f'(x)>0,解得x<0,令f'(x)<0,解得x>0,则f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)上单调递减,若0<x<1,则0<x2<x<1<ln3,因此f(x2)>f(x)>f(ln3),即,故选B.【例2】4解析由题意,令2c=e,设a=(1,0),b=(0,1),e对应的点C(x,y)在单位圆上,所以问题转化为求|a+2e|+|6a+4b-e|的最小值.因为|a+2e|=|2a+e|, 所以|a+2e|+|6a+4b-e|=|2a+e|+|6a+4b-e|=, 即表示C点到点(-2,0)和(6,4)的距离之和,过点(-2,0)和(6,4)的直线为x-2y+2=0,原点到直线x-2y+2=0的距离为<1,所以该直线与单位圆相交,所以|a+2e|+|6a+4b-e|的最小值为点(-2,0)和(6,4)之间的距离,即d==4对点训练2(1)B(2)C解析(1)函数f(x)=x2-2tx+1在区间(-∞,1]上单调递减,所以其图象的对称轴x=t≥1.则在区间[0,t+1]上,0距对称轴x=t最远,故要使得对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只要f(0)-f(t)≤2即可,即1-(t2-2t2+1)≤2,解得-t又因为t≥1,则1≤t故选B.(2)∵(S n+1)(S n+2+1)=,令b n=S n+1,∴b n·b n+2=,可得{b n}为等比数列,设其公比为q,b1=S1+1=a1+1=2,b2=S2+1=a1+a2+1=4,∴q==2,∴b n=b1·q n-1=2×2n-1=2n.S n=b n-1=2n-1,故选C.【例3】解析由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.问题转化为对-1≤a≤1,恒有g(x)<0,即φ(a)<0,所以即解得-<x<1.故当x时,对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0.对点训练3(-∞,-1]∪[0,+∞)解析因为f(x)是R上的增函数,所以1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].(*)(*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1,则解得x≥0或x≤-1.即实数x的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).【例4】C解析不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立, 等价于a-2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,则1≤t≤3,∴a≥t-2t2在[1,3]上恒成立,令f(t)=-2t2+t,则f(t)=-2t2+t=-2,∴当t=1时,f(x)取最大值,f(x)max=-1,即a≥-1,故a的取值范围是[-1,+∞).故选C.对点训练4(1)D解析令f(x)=x2-2x lg b+lg b lg c,则lg a为f(x)的零点,且该函数图象的对称轴为x=lg b,故Δ=4lg2b-4lg b lg c≥0.因为b>1,c>1,故lg b>0,lg c>0,所以lg b≥lg c,即b≥c.又f(lg b)=lg b lg c-lg2b=lg b(lg c-lg b),f(lg c)=lg2c-lg b lg c=lg c(lg c-lg b),若b=c,则f(lg b)=f(lg c)=0,故lg a=lg b=lg c,即a=b=c.若b>c,则f(lg b)<0,f(lg c)<0,利用二次函数图象,可得lg a<lg c<lg b或lg c<lg b<lg a,即a<c<b或c<b<a.故选D.(2)解因为当t∈[-1,+∞),且x∈[1,m]时,x+t≥0,所以f(x+t)≤3e x等价于e x+t≤e x,则t≤1+ln x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t∈[-1,+∞),使得不等式t≤1+ln x-x对任意x ∈[1,m]恒成立.令h(x)=1+ln x-x(1≤x≤m).因为h'(x)=-1≤0,所以函数h(x)在[1,+∞)内为减函数.又x∈[1,m],所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得对任意x∈[1,m],t值恒存在,只需1+ln m-m≥-1.因为h(3)=ln3-2=ln>ln=-1,h(4)=ln4-3=ln<ln=-1,且函数h(x)在[1,+∞)内为减函数,所以满足条件的最大整数m的值为3.【例5】解析g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则有两种情况:①g'(x)≥0在(t,3)上恒成立;②g'(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4-3x在x∈(t,3)上恒成立,即m+4-3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4-3x在x∈(t,3)上恒成立,则m+4-9,即m≤-综上所述,函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为对点训练530解析根据题意,用间接法分析:先将甲、乙、丙、丁4人分成3组,再将分成的三组分别参加3个项目,有=6×6=36种不同的安排方案,其中甲、乙参加同一个项目,则丙、丁参加另外的2个项目,有=6种情况,则甲、乙2人不能参加同一个项目的安排方案有36-6=30种.。

数学教学中的分类讨论思想“分类”源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中。

在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。

标签：数学教学；数学思想；分类讨论数学思想方法既是数学的基础知识，又是将知识化为能力的桥梁，用好了就是能力。

而“分类思想”是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，它源于生活而用于生活，既是研究数学问题中的最重要思想方法之一，又是一种常用的数学方法。

它对培养学生思维的条理性、缜密性，提高学生全面、周密地分析问题和解决问题的能力起到十分关键的作用.因此数学老师在教学中要注重数学思想方法的概括和总结。

1 什么是分类讨论分类讨论的数学思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。

将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。

在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。

2 为什么要分类讨论2.1 许多定义，定理，公式是分类的（1）数学课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。

初中七年级数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数或将有理数分为整数、分数。

在随后的去括号法则、有理数的乘法、乘方的教学中均可仿照此方法渗透分类的思想。

由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a 的三种情况的分类给出等。

涉及到这些概念时就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。

分类讨论思想参考资料：百度百科1定义每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

2分类时间当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。

分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。

分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。

分类讨论的原则是不重复、不遗漏。

讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。

3分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。

4常见题目近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。

在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.个人水平太低。

5思想运用“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。

有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法。

是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。

分类讨论思想在数学问题具有明显的。

逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。

解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。

也是高考常考查的知识点。

【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．Δ＜0 Δ＞0 【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. ．【思维提升】涉及到直线的方程问题。

若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。

这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。

【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过()2,0A ,()0,2B ,()2,4C 三点的圆与直线240kx y k -+-=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．无法确定【变式 1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线1:480l ax y ++=与直线2:3(1)60l x a y ++-=平行，则a 的值为（ ）A. 4-B. 3C. 3或4-D. 3-或6【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆1O ：()22325x y +-=，圆2O ：()()2261125x y -+-=，下列直线中，与圆1O ，2O 都相切的是（ ） A ．34370x y +-=B ．34320x y ++=C ．43160x y --=D ．43340x y -+=【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点()2,4P 引圆()()22111x y -+-=的切线，则切线的方程为（ ） A ．2x =-或4340x y +-= B ．4340x y -+= C ．2x =或4340x y -+=D ．4340x y +-=【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．2、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 3、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。

[全]高中数学：分类讨论思想（含详细分析和例题解析）所谓分类讨论，就是当题目所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每个类别级别进行研究，得出每一类的结论，最后将各类结果进行综合，得到整个问题的解答。

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。

分类讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略。

在高中数学中，分类讨论时非常重要的一种解题思路，每次高考的数学试卷中，必然会有需要用到这种思想方法的题目。

一、分类讨论的要求及其意义1、分类讨论的要求：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

2、分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等。

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等。

(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。

(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。

(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等。

二、分类讨论思想的原则为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则：(1) 同一性原则：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

高考数学第二轮复习分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。

如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。

如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。

如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

一、方法简解：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。

第3讲 不等式选讲(推荐时间：40分钟)1．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是R ，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.2．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12] 解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]． 3．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a ＝________.答案 －2解析 由－4<ax ＋2<4，得－6<ax <2.当a >0时，－6a <x <2a，与解集(－1,3)不符； 当a <0时，2a <x <－6a，∴a ＝－2. 4．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1,4]解析 由绝对值的几何意义知，|x ＋3|＋|x －1|的几何意义为数轴上点x 到点－3,1的距离的和，则|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.∴a 的取值范围为[－1,4]．5．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.答案 {x |－2≤x ≤5}解析 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．6．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 答案 －7解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7.7．设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．答案 (－3,3)解析 ∵1ax 2－bx ＋c <0的解集是(－1,3)， ∴1a >0且－1,3是1ax 2－bx ＋c ＝0的两根． 则函数f (x )＝1a x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab 2＝1， 且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又∵7＋|t |≥7>1,1＋t 2≥1，则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2，即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0，∴|t |<3，即－3<t <3.8．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧ b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.9．若T 1＝2s m ＋n，T 2＝s m ＋n 2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________． 答案 T 1≤T 2 解析 因为2s m ＋n－s m ＋n 2mn ＝s ·4nm －m ＋n 22mn m ＋n ＝－s m －n 22mn m ＋n≤0. 所以T 1≤T 2.10．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是________． 答案 c解析 由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－－x 21－x ＝x 21－x>0得c >b ，知c 最大． 11．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y 2＋y，则M 、N 的大小关系为__________． 答案 M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y＝M . 12．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋b a ，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________． 答案 M >N 解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，b a ＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋b a ＋a >2a ＋2b ， ∴a b ＋b a>a ＋b .即M >N . 13．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．答案 5解析 ∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3， 从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0，∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5.14．不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (4,6)解析 ⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2， 所以|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，∴4<a <6.15．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知 |x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.。