分类讨论思想

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答;实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略;二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等;2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等;3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等;4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等;5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法;有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出;五、分类讨论解题的步骤1.确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论;2.对所讨论的对象进行合理的分类;3.逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决;4.归纳总结：将各类情况总结归纳;六、常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等;七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象;即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标;第二步：根据公式、定理确定分类标准;运用公式、定理对分类对象进行区分; 第三步：分类解决“分目标”问题;对分类出来的“分目标”分别进行处理; 第四步：汇总“分目标”;将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理;。

分类讨论思想工作总结报告思想工作总结报告一、思想工作的重要性思想工作是指通过教育、引导、激励等手段，对个体或集体内部的思想、意识和价值观进行管理和指导，以达到充分发挥个体潜力、保持集体团结、促进社会和谐发展的目标。

思想工作的重要性主要体现在以下几个方面：1. 价值引领：思想工作能够引导个体正确的价值观和人生观，使其形成正确的思想认知，确立正确的人生目标，从而推动个人的全面发展和社会的健康发展。

2. 统一思想：通过思想工作，能够使整个集体形成共同的思想理念和目标，加强内部凝聚力和向心力，提高工作效率和工作质量。

3. 心理健康：思想工作能够关注个体的心理健康，预防和化解心理问题，提高员工的工作积极性和工作热情，推动工作的顺利进行。

4. 促进和谐：思想工作能够提倡和倡导团队协作、和谐相处的价值观念，消除内部矛盾和冲突，营造一个积极向上、团结友爱的工作氛围。

二、分类讨论思想工作针对不同的工作场景和对象，思想工作可以进行分类讨论，以下以教育思想工作和企业思想工作为例进行分类讨论。

1. 教育思想工作教育思想工作是指在教育机构内对学生进行思想教育、价值观培养及心理健康指导的工作。

教育思想工作的主要任务包括：（1）价值观引领：通过课堂教育、校园文化建设等手段，引导学生形成正确的价值观念，培养学生的责任感、奉献精神和公民意识。

（2）心理辅导：关注学生的心理健康，开展心理辅导和心理疏导工作，帮助学生解决学习、人际关系等方面的问题。

（3）个性发展：尊重学生的个性差异，鼓励学生发展自己的特长，提供适宜的发展环境和机会，促进学生全面成长。

2. 企业思想工作企业思想工作是指在企业内部对员工进行思想教育、团队建设和职业发展指导的工作。

企业思想工作的主要任务包括：（1）价值观塑造：通过企业文化建设、内部培训等方式，塑造企业员工正确的价值观念，提高员工的职业道德和责任心。

（2）团队建设：加强内部沟通和协作，促进团队合作和团队精神的形成，凝聚员工凝聚力，共同推动企业的发展。

分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。

二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。

3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。

4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。

5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。

三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。

七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。

即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。

第二步：根据公式、定理确定分类标准。

运用公式、定理对分类对象进行区分。

第三步：分类解决“分目标”问题。

对分类出来的“分目标”分别进行处理。

第四步：汇总“分目标”。

浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用一、引言二、分类讨论思想的概念和特点分类讨论思想是指将问题进行分类归纳，再逐个分别讨论的一种思维方式。

它包括将一般问题分为特例问题，将问题细分为几个部分，细分后各个部分问题易于解决。

分类讨论思想可以帮助人们清晰地认识问题的本质，从而找到解决问题的方向，提高问题解决的效率。

（1）清晰明了：分类讨论思想可以将复杂的问题分解为若干简单的部分，每个部分更易于理解和处理。

（2）有利于系统化：分类讨论思想有利于系统地整合和总结问题，更加有助于理清问题的脉络。

（3）提高解决问题的效率：分类讨论思想可以通过分析各种情况，找到解决问题的最佳途径，提高解决问题的效率。

1. 分类讨论思想在解题方法中的应用数学解题本身就是一个分类讨论的过程，通过将问题分解为简单的部分，利用不同的方法和途径来解决问题。

在高中数学教学中，老师可以引导学生运用分类讨论思想，合理地划分解题的步骤和方法，从而更好地解决问题。

在高中数学教学中，许多概念和定理都是通过分类讨论的方式进行讲解和理解的。

在集合论中，老师可以引导学生从分类讨论的角度去理解交集、并集、差集、补集等概念；在函数的讲解中，也可以通过分类讨论的方式帮助学生更好地理解函数的性质和特点。

在高中数学中，很多问题都可以通过分类讨论的方式来解决。

例如在数列和数学归纳法中，根据数列的前n项的和的差异，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他数列，分别对每种数列进行分类讨论，从而更好地解决各类数列的问题。

四、分类讨论思想在高中数学教学中的实际案例1. 实例一：高中数学理论课程中的应用2. 实例二：高中数学解题技巧的教学3. 实例三：高中数学思维训练的案例在高中数学思维训练中，老师可以通过精心设计的案例，来培养学生的分类讨论思维能力。

通过给出一些挑战性较强的数学问题，鼓励学生从分类讨论的角度去解决问题，培养他们的逻辑思维和创造性思维能力。

1. 培养学生的逻辑思维能力2. 提升学生的解题能力通过分类讨论思想的引导和培养，能够提高学生的问题解决能力。

分类讨论思想1. 分类讨论思想的概念。

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。

其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。

2. 分类讨论思想的重要意义。

课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。

因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。

无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。

从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。

分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。

另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。

3. 分类讨论思想的具体应用。

分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。

从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。

分类讨论思想在初中数学中的应用分类讨论思想是初中数学中常用的一种解题方法。

它是指将问题分成几类，分别进行讨论，最后综合各类情况得出结论的思考方式。

分类讨论思想的应用可以帮助我们更好地解决数学问题，提高数学能力。

一、常用的分类讨论思想（一）分情况讨论法所谓分情况讨论法，就是把原问题划分为若干不同的情况，对每种情况分别进行讨论，最后根据所有情况的讨论结果得出原问题的解决办法。

例如：某电影院座位有两种，一种是普通座位，票价为25元；一种是豪华座位，票价为50元。

售票系统统计，当电影院所有座位都售出时，收入最高为1200元，最少为900元。

这时要求你编写程序，计算出电影院的总座位数，普通座位数和豪华座位数分别为多少。

这个问题一共有三个未知量，构成了一个三元一次方程组。

假设总座位数为x，普通座位数为y，豪华座位数为z，则可以列出如下方程组：y+z=x25y+50z=120025y+50z=900很显然，这个方程组无解。

因为一张普通座位和一张豪华座位的票价差距是25元，显然不可能造成1200元和900元这种巨大的差距。

则此时需要用到分情况讨论法。

只使用普通座位的收入为25x，只使用豪华座位的收入为50x，则此时有以下两种情况：①只使用普通座位的情况25x=900，得x=36；知道x=36后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=36；由此可得：y=9,z=27。

②只使用豪华座位的情况50x=1200，得x=24；知道x=24后，已知经过统计全部座位都已售出，故有：y+z=x=24；由此可得：y=24,z=0。

因此，分情况讨论法的最终解决办法是电影院的总座位数是36，普通座位数是9，豪华座位数是27。

（二）合情况讨论法所谓合情况讨论法，就是将原题设想为一个更大的问题，再将其划分为若干个子问题，对每个子问题进行讨论，最后综合所有的子问题的情况，得出原问题的答案。

这种方法主要是利用排除法以及一些特殊的性质。

分类讨论思想一．知识探究：分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。

这种分类讨论题型可以称为概念型。

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。

这称为含参型。

（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

2．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；3．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；4．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）（4）总结概括，得出结论；5．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。

如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。

如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。

如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。

专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．注：能回避分类讨论的尽可能回避．1. 一条直线过点(5,2)且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为________．2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.3.函数f(x)＝ax2－a(a＋1)x＋12(a＋1)的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是________．4.数列{a n}的前n项和为S n＝2n2＋n－1(n∈N*)，则其通项a n＝________.【例1】 在△ABC 中，已知sinB ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．【例2】解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．【例3】设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n>0(n＝1,2，…)．(1) 求q的取值范围；(2) 设b n＝a n＋2－a n＋1，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小. 【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1) 求函数g(x)的解析式；(2) 若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．1. (2009·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．2.(2011·辽宁)设函数f(x)＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．3.(2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为________．4.(2010·福建)函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋lnx ，x>0，的零点个数为________．5.(2011·江西)设f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx.(1) 如果g(x)＝f ′(x)－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式； (2) 如果m ＋n<10(m ，n ∈N ＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b)的长度为b －a)6.(2010·江苏)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x)．如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x ∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f ′(x)＝h(x)(x 2－ax ＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．设函数f(x)＝lnx ＋b ＋2x ＋1(x>1)，其中b 为实数．(1) 求证：函数f(x)具有性质P(b); (2) 求函数f(x)的单调区间．(2011·南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c,2S n ＝a n a n ＋1＋r.(1) 若r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由．(2) 设P n ＝a 1a 1－a 2＋a 3a 3－a 4＋…＋a 2n －1a 2n －1－a 2n ，Q n ＝a 2a 2－a 3＋a 4a 4－a 5＋…＋a 2na 2n －a 2n ＋1，若r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立．(1) 解：n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵ a 1＝c ≠0，∴ 2c ＝ca 2＋r ，a 2＝2－rc . (1分) n ≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，① 2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵ a n ≠0，∴ a n ＋1－a n －1＝2. (3分) 则a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，… 成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)． a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，… 成公差为2的等差数列， a 2n ＝a 2＋2(n －1)． 要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1.即2－rc －c ＝1，r ＝c －c 2. (4分) ∵ r ＝－6，∴ c 2－c －6＝0，得c ＝－2或3. ∵ 当c ＝－2时，a 3＝0不合题意，舍去．∴ 当且仅当c ＝3时，数列{a n }为等差数列. (5分)(2) 证明：a 2n －1－a 2n ＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝c ＋rc －2. a 2n －a 2n ＋1＝[a 2＋2(n －1)]－(a 1＋2n)＝a 2－a 1－2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋r c . (8分)∴ P n ＝1c ＋r c －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n (n －1)2×2＝1c ＋r c －2n(n ＋c －1) (9分) Q n ＝－1c ＋r c ⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 2＋n (n －1)2×2＝－1c ＋r cn ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c . (10分) P n －Q n ＝1c ＋r c －2n(n ＋c －1)＋1c ＋r c n⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1c ＋r c －2＋1c ＋r c n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1c ＋r c －2＋1－rc c ＋r c n.(11分) ∵ r ＞c ＞4，∴ c ＋r c ≥2r ＞4，∴ c ＋rc －2＞2，∴ 0＜1c ＋r c －2＋1c ＋r c<12＋14＝34＜1.(13分)且c －1c ＋r c －2＋1－r cc ＋r c ＝c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c－1＞－1. (14分)又∵ r ＞c ＞4，∴ r c >1，则0＜c －1<c ＋r c －2,0<c ＋1<c ＋rc . ∴c －1c ＋r c －2＜1，c ＋1c ＋r c <1.∴ c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c－1＜1.(15分) ∴ 对于一切n ∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立．(16分)专题七 数学思想方法 第18讲 分类讨论思想1. 已知函数f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|，则f(x)的值域是____________． 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 解析：f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|＝⎩⎨⎧cosx (sinx ≥cosx )，sinx (sinx ＜cosx )，f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.2. (2011·徐州三模)设函数f(x)＝x 2－alnx 与g(x)＝1a x －x 的图象分别交直线x ＝1于点A 、B ，且曲线y ＝f(x)在点A 处的切线与曲线y ＝g(x)在点B 处的切线平行．(1) 求函数f(x)，g(x)的解析式；(2) 当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3) 当a<1时，不等式f(x)≥mg(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由f(x)＝x 2－alnx ，得f ′(x)＝2x －a x ，由g(x)＝1a x －x ，得g ′(x)＝1a －12x.又由题意得f ′(1)＝g ′(1)，即2－a ＝1a －1，故a ＝2或a ＝12. 当a ＝2时，f(x)＝x 2－2lnx ，g(x)＝12x －x ， 当a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.(2) 当a>1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－2lnx －12x ＋x ，得 h ′(x)＝2x －2x －12＋12x ＝2(x －1)(x ＋1)x －x －12x＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x x ＋x ＋x ＋1)－x 2x . 由x>0，得4(x x ＋x ＋x ＋1)－x2x >0.故当x ∈(0,1)时，h ′(x)<0，h(x)递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)递增． 所以h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln1－12＋1＝32. (3) a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f ′(x)＝2x －12x ＝4x 2－12x <0，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数，f(x)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12ln2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，g ′(x)＝2－12x ＝4x －12x >0，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， 且g(x)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－22，且g(x)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，要使不等式f(x)≥mg(x) 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，m 为任意实数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，m ≤f (x )g (x )，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋24ln(4e)，所以m ≤2＋24ln(4e)． 3. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1 ⎩⎨⎧a ＜0，a 2≥1 a ≤－1. (2) 当x ≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (a )，a ≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.当x ≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎨⎧ f (－a )，a ≥0，f (a )，a ＜0＝⎩⎨⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0.综上可得f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.(3) x ∈(a ，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a ≤－62或a ≥62时，Δ≤0，x ∈(a ，＋∞)；当－62＜a ＜62时，Δ>0，得：⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a.讨论得：当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； 当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞. 基础训练1. 2x －5y ＝0或x ＋y －7＝0 解析：分直线过原点和不过原点两种情况．2. 43或833解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况． 3. 0≤a ≤1 解析： 由题知ax 2－a(a ＋1)x ＋12(a ＋1)≥0对x ∈R 恒成立，分a ＝0和a ＞0两种情况讨论．4. a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，4n －1，n ≥2且n ∈N * 解析：在使用公式a n ＝S n －S n －1时要注意条件n ≥2，n ∈N *.例题选讲例1 解析：sinB ＝154，a ＜b ，若B 为锐角，则cosB ＝14，由余弦定理得， c 2＋36－2×6×c ×cosB ＝64，即c 2－3c －28＝0，∴ c ＝7；若B 为钝角，则cosB ＝－14，由余弦定理得c 2＋36－2×6×c ×cosB ＝64，即c 2＋3c －28＝0，∴ c ＝3，故边c 的长为7或3.(注： 在三角形中，内角的取值范围是(0，π)，b ＞a ，cosB ＝14，则B 可能是锐角也可能是钝角，故要分两种情况讨论．但本题如改成a ＝8，b ＝6，那情况又如何呢？)变式训练 △ABC 中，已知sinA ＝12，cosB ＝513，求cosC.解：∵ 0＜cosB ＝513＜22，B ∈(0，π)，∴ 45°＜B ＜90°，且sinB ＝1213. 若A 为锐角，由sinA ＝12，得A ＝30°，此时cosA ＝32； 若A 为钝角，由sinA ＝12，得A ＝150°，此时A ＋B ＞180°. 这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见A ≠150°. ∴ cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cosA·cosB －sinA·sinB)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32·513－12·1213＝12－5326.例2 解：(1) 当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1＜0，∴ x ＞1. (2) 当a ≠0时，原不等式化为a(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0， ① 若a ＜0，则原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，∵ 1a ＜0，∴ 1a ＜1，∴ 不等式解为x ＜1a 或x ＞1. ② 若a ＞0，则原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.(ⅰ) 当a ＞1时，1a ＜1，不等式解为1a ＜x ＜1； (ⅱ) 当a ＝1时，1a ＝1，不等式解为 ； (ⅲ) 当0＜a ＜1时，1a ＞1，不等式解为1＜x ＜1a . 综上所述，得原不等式的解集为：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为 ；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1a ＜x ＜1. 变式训练 解关于x 的不等式a (x －1)x －2＞1(a ∈R 且a ≠1)．解：原不等式可化为：(a －1)x ＋(2－a )x －2＞0，① 当a ＞1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0同解． 由于a －2a －1＝1－1a －1＜1＜2，∴ 原不等式的解为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)． ② 当a ＜1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2) ＜0同解． 由于a －2a －1＝1－1a －1，若a ＜0，a －2a －1＝1－1a －1＜2，解集为⎝⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2； 若a ＝0时，a －2a －1＝1－1a －1＝2，解集为 ； 若0＜a ＜1，a －2a －1＝1－1a －1＞2，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1. 综上所述，当a ＞1时不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)；当0＜a ＜1时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1；当a ＝0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为⎝⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2.例3 解：(1) 因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＞0，即1－q n1－q ＞0(n ＝1,2,3，…)，∴ ⎩⎨⎧ 1－q ＞0，1－q n ＞0(n ＝1，2，3，…)或⎩⎨⎧1－q ＜0，1－q n＜0(n ＝1，2，3，…). 由于n 可为奇数，可为偶数，故q ＞1或－1＜q ＜1且q ≠0. 综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2) 由b n ＝a n ＋2－a n ＋1＝a n (q 2－q)，∴ T n ＝(q 2－q)S n . ∴ T n －S n ＝(q 2－q －1)S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫q －1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1－52S n . 又S n ＞0，－1＜q ＜0或q ＞0，－1＜q ＜1－52或q ＞1＋52时T n ＞S n ；1－52＜q ＜0或0＜q ＜1＋52时，T n ＜S n . q ＝1±52时，S n ＝T n .(注：等差、等比数列的通项、前n 项的和是数列的基础，已知一个数列的前n 项和求其通项时，对n ＝1与n ≥2要分别予以研究，而涉及等比数列求和或用错位相减法求和时，要对公比q 是否为1进行分类讨论．)例4 解：(1) 利用函数图象的对称求解函数的问题．容易求出g(x)＝－x 2＋2x. (2) h(x)＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1，(解法1) 为求实数λ的取值范围，就要对λ的取值分类． (1) 当λ＝－1时，h(x)＝4x ＋1，此时h(x)在[－1,1]上是增函数， (2) 当λ≠－1时，对称轴方程为x ＝1－λ1＋λ.① 当λ＜－1时，需满足1－λ1＋λ≤－1，解得λ＜－1；② 当λ＞－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1＜λ≤0.综上可得λ≤0.(解法2) 由题知，h ′(x)＝－2(1＋λ)x ＋2(1－λ)≥0对x ∈[－1,1]恒成立． 即(1＋x)λ≤1－x 对x ∈[－1,1]恒成立，显然x ＝－1时上式恒成立，λ∈R ， x ∈(－1,1]时，λ≤1－x 1＋x ＝21＋x －1，函数y ＝21＋x－1在x ∈(－1,1]上单调减，函数的最小值为0. ∴ λ≤0，经检验符合题意．(注：两种解法，值得思考，在做分类讨论题时要尽可能回避复杂的讨论．) 变式训练 设0<x<1，a>0，且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小． 解：(解法1) 因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，则0<1－x 2<1. ① 当0<a<1时，由log a (1－x)>0，log a (1＋x)<0， 所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)] ＝log a (1－x 2)>0， 即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.② 当a>1时，由log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0， 得|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x)－log a (1＋x) ＝－log a (1－x 2)>0， 即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.由①②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.(注：在解答该类问题时，首先从概念出发判断出绝对值内的数(或式子)的符号，然后再去掉绝对值符号(这时需按条件进行分类讨论确定)，再按照相关的法则去计算，直至得出结论．其实这道题是可以回避讨论的．)(解法2) 因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，则0<1－x 2<1. |log a (1－x)|＝|lg (1－x )||lga|＝－lg (1－x )|lga|，|log a (1＋x)|＝lg (1＋x )|lga| |log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－lg (1－x 2)|lga|＞0， ∴ |log a (1－x)|>|log a (1＋x)|. 高考回顾1. 132或133 解析：由渐近线方程为3x －2y ＝0知a b ＝32或b a ＝32.2. [0，＋∞) 解析：f(x)≤2得⎩⎨⎧ x ≤1，21－x ≤2 0≤x ≤1或⎩⎨⎧x ＞1，1－log 2x ≤2 x ＞1.3. a ＝－34 解析：分a ＜0和a ≥0两种情况讨论． 4. 2 解析：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋lnx ＝0，解得x ＝100，所以已知函数有两个零点． 5. 解：(1) f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx ，∴ f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n.又∵ g(x)＝f ′(x)－2x －3＝x 2＋(2m －2)x ＋n －3在x ＝－2处取极值， 则g ′(－2)＝2(－2)＋(2m －2)＝0 m ＝3，又在x ＝－2处取最小值－5. 则g(－2)＝(－2)2＋(－2)×4＋n －3＝－5 n ＝2， ∴ f(x)＝13x 3＋3x 2＋2x.(2) 要使f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx 单调递减，则f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＜0.又递减区间长度是正整数，所以f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＝0两根设为a ，b(a ＜b)．即有：b －a 为区间长度．又b －a ＝(a ＋b )2－4ab ＝4m 2－4n ＝2m 2－n(m ，n ∈N ＋)．又b －a 为正整数，且m ＋n<10，所以m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5符合． 6. (1) 证明：f ′(x)＝1x －b ＋2(x ＋1)2＝1x (x ＋1)2(x 2－bx ＋1)． ∵ x ＞1时，h(x)＝1x (x ＋1)2＞0恒成立，∴ 函数f(x)具有性质P(b)．(2) 解：设φ(x)＝x 2－bx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋1－b 24，φ(x)与f ′(x)的符号相同．当1－b 24＞0，－2＜b ＜2时，φ(x)＞0，f ′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＝±2时，对于x ＞1，有f ′(x)＞0，所以此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增； 当b ＜－2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x ＝b2＜－1，而φ(0)＝1. 对于x ＞1，总有φ(x)＞0，f ′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x ＝b2＞1，方程φ(x)＝0的两根分别为：b ＋b 2－42，b －b 2－42， 而b ＋b 2－42＞1，b －b 2－42＝2b ＋b 2－4∈(0,1)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42时，φ(x)＜0，f ′(x)＜0，故此时f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减；同理得：f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增．综上所述，当b ≤2时，f(x)在区间(1，＋∞)上递增； 当b ＞2时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减； f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增．。