第二部分 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想

点拨数学有数充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果．如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误．例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持．同学们，数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外．我们在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法．正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第二篇：转化与化归思想在握，何愁函数问题！■王佩其函数问题，是高考命题的核心问题之一．一般来说，高考中的函数问题综合性强，难度大，此类问题不仅考查了丰富多彩的函数知识，同时考查了考生的分析问题和解决问题的综合能力和创新能力．面对纷繁复杂的函数问题，我们该怎么办？转化与化归是“王道”！一、将数学表达式等价转化例1．已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，f（x）且［0，＋∞）在上是增函数．当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞f（0）对所有的θ∈［0，π2］均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解析：假设存在适合条件的m，由f（x）是R上的奇函数可得f（0）＝0．又在［0，＋∞）上是增函数，故f（x）在R上为增函数．由题设条件可得f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞0．又由f（x）为奇函数，可得f（cos2θ－3））＞f（－4m＋2m cosθ）.∵f（x）是R上的增函数，∴cos2θ－3＞－4m＋2m cosθ.即cos2θ－m cosθ＋2m－2＞0．令cosθ＝t，∵0≤θ≤π2，∴0≤t≤1．于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－m t＋2m－2＞0恒成立．∴t2－2＞m（t－2），即m＞t2－2恒成立．又∵t2－2t－2＝（t－2）＋2t－2≤4－22姨，当且仅当t＝2－2姨时取等号．∴m＞4－22姨．∴存在实数满足题设的条件，m＞4－22姨．点评：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，本题借助换元，将复杂的三角问题转化为普通的函数问题．二、利用特殊化将抽象向具体转化例2．若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）A．x2＋x－15B．x2＋x＋15C．x2－15D．x2＋15解析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解，即x－g（x）＝0有实数解．这样很明显得出结论，B选项能使x－g（x）＝0没有实数解，故本题选B．点评：从抽象到具体，再到抽象，能使我们从心理上感到非常轻松．像这样常见的抽象函数式有一次函数型：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m．对数函数型：f（xy）＝f（x）＋f（y）．幂函数型：f（x＋y）＝f（x）f（y）把抽象问题具体化是数学解题中常用的化归途径，它能帮助我们对抽象问题的理解和再认识，从而建立抽象语言与具体事物间的联系，实现抽象向具体的化归．三、通过换元实现函数之间的转化例3．已知函数f（x）＝（1）x，x∈［－1，1］，函数g（x）＝f2（x）－2af（x）＋3的最小值为h（a）．（1）求h（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为［n，m］时，值域为［n2，m2］．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．解析：（1）由f（x）＝（1）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t＝（13）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）．因为x∈［－1，1］，所以（13）x∈［13，3］.设（13）x＝t，t∈［13，3］，则g（x）＝φ（x）＝t2－2at＋3＝（t－a）2＋3－a2．当a＜13时，h（a）＝φ（13）＝289－23a；当1≤a≤3时，h（a）＝φ（a）＝3－a2；当a＞3时，h（a）＝φ（3）＝12－6a．所以h（a）＝28－2a，（a＜1）3－a2，（13≤a≤3）12－6a.（a＞3∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈）34广东教育·高中2015年第2期GUAN G D ONG JIAO YU GAO ZHONG（2）由（1）知当m＞n＞3时h（a）的表达式，考察h（a）在［n，m］上的单调性，结合其值域［n2，m2］，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．因为m＞n＞3，a∈［n，m］，所以h（a）＝12－6a．因为h（a）的定义域为［n，m］，值域为［n2，m2］，h（a）且为减函数，所以12－6m＝n2，12－6n＝m2∈，两式相减得6（m－n）＝（m－n）（m＋n）.因为m＞n，所以m－n≠0.故有m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在．点评：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．四、正难则反转化例4．若对于任意t∈［1，2］，函数g（x）＝x3＋（m＋2）x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g（x）在区间（t，3）上为单调函数．g′（x）＝3x2＋（m＋4）x－2，若g（x）在区间（t，3）上上总为单调函数，则：①g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g′（x）≤0在（t，3）上恒成立．由①得3x2＋（m＋4）x－2≥0，即m＋4≥2x－3x当x∈（t，3）时恒成立，∴m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2－3x当x∈（t，3）时恒成立，则m＋4≤2－9，即m≤－37．∴函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为－373＜m＜－5．点评：正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．五、主与次的转化例5．已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f（x）的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，令φ（a）＝（3－x）a＋＋3x2－5，－1≤a≤1．对－1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0，∴φ（1）＜0，φ（－1）＜0∈，即3x2－x－2＜0，3x2＋x－8＜0∈，解得－2≤x≤1．故当x∈［－2，1］时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0．点评：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，本题中通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［－1，1］内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．六、函数、方程、不等式之间的转化例6．设f（x）＝ln（x＋1）＋x＋1姨＋ax＋b（a，b∈R，且为常数），曲线y＝f（x）与直线y＝3x在（0，0）点相切．（1）求a，b的值；（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜9xx＋6．解析：（1）把函数问题转化为方程问题．由y＝f（x）的图像过点（0，0），代入得b＝－1．由y＝f（x）在（0，0）处的切线斜率为32，知y′│x＝0＝（1＋12x＋1姨＋a）│x＝0＝3＋a＝3，得a＝0．（2）把不等式问题转化为函数单调性问题．证：由基本不等式，当x＞0时，2（x＋1）·1姨＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1姨＜x＋1.记h（x）＝f（x）－9xx＋6，则：h′（x）＝1x＋1＋12x＋1姨－54（x＋6）2＝2＋x＋1姨2（x＋1）－54（x＋6）2＜x＋64（x＋1）－54（x＋6）2＝（x＋6）2－126（x＋1）4（x＋1）（x＋6）2.令g（x）＝（x＋6）3－216（x＋1），则当0＜x＜2时，g′（x）＝3（x＋6）2－216＜0.因此g（x）在（0，2）内是减函数，又由g（0）＝0，得g（x）＜0，所以h′（x）＜0．因此h（x）在（0，2）内是减函数，又由h（0）＝0，得h（0）＜0．于是当0＜x＜2时，f（x）＜9x．点评：函数、方程、不等式，三者之间存在着“天然”的联系，利用这种联系是破解函数问题的“法宝”．函数与导35广东教育·高中2015年第2期广东教育·高中2015年第2期点拨数学有数图2yyO－2Q P 2P 1数的综合性问题，历来是高考的压轴题．解决这类问题要注意：（1）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；（2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化，如本例中，将不等式问题转化为研究函数的单调性和最值问题．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第三篇：三角函数，善于转化才会赢■毛美芳三角函数，作为第二类基本初等函数，是高考的必考内容，在高考中往往以中档题的身份“闪亮登场”．高考三角函数题难度虽然不大，但如果不善于转化，也很难“笑到最后”．三角函数，善于转化才会赢．那么，三角函数问题该如何转化呢？一、通过统一函数名转化函数的结构例1．求函数y ＝5sin x ＋cos2x 的最值．解析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一．y ＝5sin x ＋（1－2sin 2x ）＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2（sin x －54）2＋338．∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π（k ∈Z ）时y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π（k ∈Z ）时y m ax ＝－2×1＋33＝4．点评：对于三角函数的最值问题，往往可以利用三角恒等变换公式，将其转化为形如y ＝A sin （ωx ＋φ）＋b 或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 等形式，进而采用相应的方法求最值．二、利用数形结合转化函数的表现形式例2．当0≤x ≤1时，不等式sin πx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：作出y 1＝sin πx 2与y 2＝kx 的图像，要使不等式sin πx 2≥kx 成立，由图1可知，需k ≤1．点评：图像是函数的另一种表现形式．数形结合可将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，本题将不等式转化成两个函数图像的位置关系，当0≤x ≤1时，不等式sin πx ≥kx 恒成立，即当0≤x ≤1时，函数y 1＝sin πx 2的图像在函数y 2＝kx 的上方．作出两函数图像后比较，即可轻易得出k ≤1．三、将三角方程有解问题转化为函数值域问题例3．若方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，等价于求a ＝8的值域．∵3sin x ∈［13，3］，∴2·9sin x ＋4·3sin x ＋1∈［239，31］，则a 的取值范围为8≤a ≤72．点评：“方程”变“函数”，“范围”变“值域”，体现了方程与函数的“内在联系”．四、将三角函数问题最值转化为解析几何问题例4．求函数y ＝3姨cos x 2＋sin x的最大值和最小值．解析：联想斜率公式k ＝y 1－y 2x 1－x 2，将原式变形为y 3姨＝cos x －0，则求y 的最值可转化为求点（sin x ，cos x ）与点（－2，0）的连线的斜率范围．设点P （sin x ，cos x ），Q （－2，0），则y 3姨可看成单位圆上的动点P 与点Q 连线的斜率，如图2：设直线OP 1的方程为y＝k （x ＋2），即kx－y＋2k ＝0，则圆心（0，0）到它的距离d ＝│2k │k 2＋1姨＝1．解得k 1＝－3姨3或k 2＝3姨3，所以－3姨3≤y 3姨≤3姨3，即－1≤y ≤1．故y m ax ＝1，y min ＝－1．点评：这类问题的特点是三角函数式以分式形式出现，且分子分母分别是cos x 和sin x 的一次式．五、通过合理变角转化例5．已知tan （α－β）＝1，tan α＝17，且α∈（0，π），β∈（π，π），求α－2β．解析：α－2β＝（α－β）－β，而已知条件没有β的三角函数式，所以首先要求出tan β的值，然后再根据已知条件利用两角差的正切公式，通过求tan （α－2β）的值进而求出α－2β的度数．∵tan （α－β）＝15，tan α＝177，图1xyy 1＝sin πx2y 2＝kx36。

第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。

高三数学思想、方法、策略专题第三讲 转化与化归思想一．知识探究：等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

1．转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

第2讲 解题有道——四大数学思想思想概述 高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识、数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一 函数与方程思想函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、互为所用的. 应用1 求解不等式、函数零点的问题【例1】 (1)设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A.e a －1<a <a e B.a e <a <e a －1 C.a e <e a －1<aD.a <e a －1<a e(2)(2019·浙江新高考联盟考试)已知函数h (x )＝x ln x 与函数g (x )＝kx －1的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e －1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e C.(1，e －1]D.(1，＋∞)解析 (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0， 则f ′(x )＝e x －1>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ， 从而e a －1>a >a e .(2)令h (x )＝g (x )，得x ln x ＋1＝kx ， 即1x ＋ln x ＝k .若方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则函数f (x )＝ln x ＋1x 与y＝k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不相同的交点，f ′(x )＝1x －1x 2，令1x －1x 2＝0可得x ＝1，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，f ′(x )>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f (1)＝1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e ，f (e)＝1＋1e ，又－1＋e>1＋1e ，所以，函数的最大值为e －1.所以关于x 的方程x ln x －kx ＋1＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .答案 (1)B (2)B探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( )A.0B.π4C.π2D.3π2(2)(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析 (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ， 令y 1＝x 2－π4，y 2＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上单调递增.若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立， 则f (x 2＋x )<－f (x －k )f (x 2＋x )<f (k －x )x 2＋x <k －x ，故问题转化为存在x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ， 即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1. 故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (1)C (2)A应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)求nS n 的最小值.解 (1)∵S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3， ∴a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3， 又{a n }是等差数列，则公差d ＝a 6－a 5＝1， 由于S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n2.(2)由(1)知nS n ＝n 3－5n 22，设f (x )＝x 3－5x 22， 则f ′(x )＝32x 2－5x (x >0)，令f ′(x )>0，得x >103；令f ′(x )<0，得0<x <103.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，又f (3)＝－9，f (4)＝－8.∴当n ＝3时，nS n 取到最小值－9.探究提高 1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n 项和公式求出nS n ，构造函数，运用单调性求最值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n 的取值为正整数，涉及的函数具有离散性特点.【训练2】 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，ka n ，S n ，－1成等差数列，求实数k 的值.解 (1)∵a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝4，a 1（q 2－q ）＝6，∵q >0，∴q ＝3，a 1＝1，∴a n ＝1×3n －1＝3n －1(n ∈N *)， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n ＝3n －1，S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12，∵ka n ，S n ，－1成等差数列，∴2S n ＝ka n －1. 则2×3n －12＝k ·3n －1－1，解得k ＝3.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k2＝21＋41k ＋4k≤22，当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号.所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】 已知圆M ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 1：x －3y ＋4＝0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于点B ，且动点N 满足AB →＝2NB →，设动点N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于P ，Q 两点，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的最大值.解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AB ⊥x 轴于B ，所以B (x 0，0)， 由已知得，r ＝|4|1＋3＝2，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. 因为AB→＝2NB →， 所以(0，－y 0)＝2(x 0－x ，－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，又A 点在圆上，所以x 20＋y 20＝4，即动点N 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l ：3x ＋y ＋m ＝0，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立直线l 与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得13x 2＋83mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝192m 2－4×13×(4m 2－4)＝16(－m 2＋13)>0， 解得m 2<13，x 1＋x 2＝－83m13，x 1·x 2＝4（m 2－1）13，又点O 到直线l 的距离d ＝|m |2， |PQ |＝2|x 1－x 2|＝813－m 213， 所以S △OPQ ＝12·|m |2·813－m 213＝2m 2（13－m 2）13≤113(m 2＋13－m 2)＝1，当且仅当m 2＝13－m 2，即m ＝±262时，等号成立. 所以△OPQ 面积的最大值为1. 类型二 数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 应用1 数形结合思想在函数与方程中的应用【例4】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.10(2)(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 上点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案 (1)C (2)C探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解. 2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－x ）12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0，1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点. 答案 B应用2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例5】 (1)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A.－2 B.－32 C.－43D.－1(2)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是()A.25B.5C.4D.1解析 (1)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB→＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ).所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32.当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB→＋PC →)取得最小值－32.(2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0表示的平面区域(如图阴影部分).x 2＋y 2的最小值表示阴影部分(含边界)中的点到原点O (0，0)的距离的最小值的平方.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1，2). ∴(x 2＋y 2)min ＝|OA |2＝12＋22＝5. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.平面向量中数形结合关注点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.【训练5】 (1)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.(2)(2019·长沙调研)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2D.22解析 (1)在同一坐标系中，作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图.依题意可知2a ≤2－2a ，解得a ≤12.(2)因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c ).如图所示，设OC→＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ， 则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ， 所以AC →⊥BC →.又因为OA→⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. 答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)C应用3 圆锥曲线中的数形结合思想【例6】 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________.解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |， 当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12探究提高 1.对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.2.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练6】 (2019·昆明诊断)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195解析 设AB 的中点为D ，则P A →＋PB→＝2PD →，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线且OP ⊥l 时，|P A →＋PB →|取得最小值. ∵圆心到直线l 的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12，∴|P A →＋PB→|的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195.答案 D类型三 分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例7】 若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________. 解析 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m . 解得a ＝2，m ＝12.此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意. 答案 14探究提高 指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.【训练7】 (1)(2019·济南调研)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的取值集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ， 有S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1. 答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由参数变化引起的分类讨论【例8】 (2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围. 解 (1)由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值.若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞).探究提高 1.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.2.如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想.注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”.【训练8】 已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x .若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x(x >0)，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解. 当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故m <18.综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18应用3 由图形位置或形状引起的分类讨论【例9】 (1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A.－12 B.12 C.0D.－12或0(2)设点A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示.由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与直线y 轴或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)当0<m <3时，焦点在x 轴上，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab ≥tan 60°＝3，即3m≥3，得0<m ≤1；当m >3时，焦点在y 轴上，依题设，则ab ≥tan 60°＝3，即m3≥3，得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)，故选A. 答案 (1)D (2)A探究提高 1.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.【训练9】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，则a 的值为________.解析 (1)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. ∴曲线C 的离心率为12或32.(2)由三角形面积公式，得12×3×1×sin A ＝2， 故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13.①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8， 所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝12，所以a ＝2 3.综上所述，a ＝22或2 3. 答案 (1)12或32 (2)22或23 类型四 转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式. 应用1 特殊与一般的转化【例10】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A.2aB.1 2aC.4aD.4 a(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.解析(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝1a y(a>0)，焦点F⎝⎛⎭⎪⎫0，14a.不妨设过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝12a ，∴1p＋1q＝4a.(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).令y＝|a＋b|＋|a－b|＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y2＝10＋225－16cos2θ∈[16，20].由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝20＝25，(|a＋b|＋|a－b|)min＝16＝4，即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2 5.答案(1)C(2)42 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练10】(1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么()A.a1a8>a4a5B.a1a8<a4a5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5(2)(2019·许昌模拟)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C 2的值为( )A.15B.14C.12D.23解析 (1)取特殊数列{a n }，其中a n ＝n (n ∈N *).显然a 1·a 8＝8<a 4·a 5＝20.(2)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边).则由∠C ＝90°，得tan C 2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.所以tan A 2tan C 2＝12×1＝12.答案 (1)B (2)C应用2 正与反、常量与变量的转化【例11】 (1)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________.(2)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞). (2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高 1.第(1)题是把关于x 的函数转化为在[－2，2]内关于t 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以巧妙选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.【训练11】 (1)(2019·日照调研)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.1D.2(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________. 解析 (1)命题的否定：“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，∴m <e |x －1|恒成立，∴m 取值范围为(－∞，1).因此(－∞，1)与(－∞，a )相等，故a ＝1.(2)由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1. 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 应用3 函数、方程、不等式之间的转化【例12】 已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值.解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，∴f (x ＋t )≤3e x e x ＋t ≤e x t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ).∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3. 探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练12】 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1，1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，e ＋1e 解析 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1， ∴f ′(x )＝1x －1＝1－x x ≥0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数， 因此a －1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤f (x )≤f (1)＝a ， 设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1，1]，使得f (x )＝g (y )成立， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e ，⎩⎨⎧a －1e >1e ，a ≤e ，解得2e<a≤e. 答案 B。

中小学最重要、最常用的四大数学思想1．转化与化归的思想在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段或方式，将问题进行变更和转化，将问题归结为一类已经解决或容易解决的旧问题，进而实现解决问题的目的，这种想法就是转化与化归的思想方法．例问题ａ：物不过百，其数不知，九九数之余四，七七数之缺五，问物几何？对问题进行变更转化――将“物数加五”得到一个更容易解决的问题ｂ，解决问题ｂ后问题ａ也就自然解决了。

问题ｂ：物不过百，其数不知，九九数之正好，七七数之亦正好，问物几何？2．数形结合的思想数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”——借助于数的精确性来阐明形的某些属性；第二种情形是“以形助数”——借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，从而解决问题。

例：借助左图很容易求出１＋３＋５＋７＋…＋（２ｎ－１）＝；借助右图很容易解释为什么“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方”3.分类讨论的思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法也有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论并不是唯一确定的；有些问题的情况比较复杂，其结论的获得不能以统一的形式进行研究；还有些问题的某个量是用字母表示数的形式给出的，而字母的不同取值也直接影响问题的解决。

解决上述几类问题时我们没有一蹴而就的方法，而要根据问题的特点和要求，将问题分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，再逐一研究解决问题的数学思想称之为分类讨论的思想。

例数一数，图中一共有多少个三角形？里面的三角形太多了，数过没数过很难搞清楚，数到最后眼花缭乱，只有分类讨论，才能有序，不重，不漏。

先以尖角在上或下为标准分成两大类，再在各大类中以边的长短标准分类，有条不紊，逐个搜索，一个不少。

第3讲 几种数学思想在集合中的应用[知识点金]函数思想：就是从分析问题的数量关系出发，建立函数关系，然后用函数的方法去解决问题. 数形结合：是将抽抽象的数学语言与直观图形结合起来，通过数与形的相互转化来解决问题.分类讨论：实质是逻辑划分，它是将整体问题化为部分问题来解决. 转化化归：是将新的问题转化为我们较熟悉的旧的问题加以解决.[例题精析]例1 集合(){}2,2++==mx xy y x A ，(){}2001,≤≤=+-=x y x y x B 且，若φ≠⋂B A ，求m 的取值范围.分析 我们脱去集合的外衣，将其转化为函数与方程的问题.解 由⎩⎨⎧=+-++=0122y x mx x y 得01)1(2=+-+x m x ，可得0≠x ，并且11+--=x x m ，当φ≠⋂B A 时，],2,0(∈x 111-≤+--xx ，即.1-≤m 评注 此解法是函数思想的运用，也可以用二次函数根的分布解决.例2 已知集合M }1),{(<+=y x y x 和N 22)21()21(),{(++-=y x y x+}22)21()21(22<-++y x ，求集合M 和N 的关系.分析与解 我们观察其特点，利用数形结合来解决问题.集合M 表示以)0,1(),1,0(),0,1(),1,0(D C B A --为顶点的正方形ABCD 的内部;集合N 表示以)21,21(),21,21(21--F F 为焦点，长轴为22的椭圆的内部.又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆内部，因此M 是N 的真子集.例3设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围.解 由f （x ）为二次函数知0a ≠令f （x ）＝0解得其两根为1211x x a a ==由此可知120,0x x <>（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>A B φ⋂≠的充要条件是23x <，即13a +解得67a >（ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即11a >解得2a <-综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7-∞-⋃+∞.评注 本题以二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的内在联系为背景，综合考查 了函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想.例4 已知⎩⎨⎧<+++>--05)25(20222x k x x x 的整数解的集合为}2{-，求k 的取值范围.分析 我们利用数轴辅助分析第二个不等式的根的分布情况.解 由022>--x x 得2>x 或1-<x ，又原不等式的整数解只有2-，分析 可得方程05)25(22=+++x k x 的两个跟分别位于)2,3[--与]3,2(-，设5)25(2)(2+++=x k x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧≥<-≥-0)3(0)2(0)3(f f f 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥>≤3194334k k k ，所以.3443≤<k评注 本题借助数轴将原问题转化为二次函数根的分布的问题.例5 02=+-b ax x 的二根为α、β，02=+-c bx x 的二根为γ、δ（δγβα,,,互不相同）.设},,,{δγβα=M ，u 、)(v u M v ≠∈ ，}|{v u x x S +== ，}.|{v u x x P 、==又}12,10,9,8,7,5{=S },35,21,15,14,10,6{=P 求.,,c b a分析与解 我们观察集合P 和S ，发现10是唯一的公共元素，又由韦达定 理δγαβ+==b ，由此可得10==+=b δγαβ.由集合S 各个元素的和为51，即51)(3=+++δγβα，则77=∴=+a βα，又集合P 各个元素的积为3210，即21210)(33=∴=c αβγδ.例6 已知]2,21[=P }.022|{2>+-=x ax x Q（1）若范围；求a Q P ,φ≠（2）若},022|{2=+-=x ax x R 且.,范围求a R P φ≠分析 我们发现利用根的分布讨论较多，能否分离参量呢？解 （1）,φ≠Q P 只要存在]2,21[∈x 使得0222>+-x ax ，即)1(2)1(22222x x xx a -=->，设)1(2)1(2)(2x x x f -=，则)(x f 的值域为]4,21[-，所以只要21->a . (2) ,.φ≠R P 只要存在]2,21[∈x 使得0222=+-x ax ,由第一问可知]4,21[-∈a .[思考交流]思考题 用另一种方法解答例3解 当0a >时，f （x ）开口向上，只要0)1(>f 或0)3(>f ，即022>--a a 或0269>--a a ，又由0a >解得67a >.当0a <时, f （x ）开口向下且对称轴为01<=ax ，所以f （x ）在（1，3）上单调递 减，所以只要0)1(>f ，即022>--a a ，解得2a <-.综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7-∞-⋃+∞.评注 这里我们利用二次函数根的性质及根的分布巧妙解题，减少了计算量.同步检测3 1.已知}023|{23>++=x x x x A }0|{2≤++=b ax x x B ，且}20|{≤<=x x B A }.2|{->=x x B A 求b a ,的值.2.已知抛物线12-+-=mx x y ，点)3,0(),0,3(B A ，求抛物线与线段AB 有两个不同交点时，m 的范围.3.已知集合}),({},9,({2b x y y x N x y y x M +==-==，且φ=⋂N M ，求实数b 的取值范围.4.},,,{4321a a a a A =},,,{24232221a a a a B =.其中4321a a a a <<<，*4321,,,N a a a a ∈，若10},,{4141=+=⋂a a a a B A ，且B A ⋃中所有的元素和为124，求集合A 、B.5.设不等式052<--ax ax 的解集为M ，若M M ∉∈53且，求实数a 的取值范围.6.设a 、,R b ∈ },|),{(Z x b ax y y x A ∈+== },153|),{(2Z x x y y x B ∈+==}.144|),{(22≤+=y x y x C 是否存在a 、b 使且,φ≠B A （a 、b ）C ∈？7.已知}0,062|{2≠<+-=k k x kx x A（1）若),3,2(⊆A 求k 范围， （2）若,)3,2(A ⊆求k 范围； （3）若,)3,2(φ≠ A 求k 范围.参考解答1. 解 }012|{>-<<-=x x x A 或 ],[21x x B =.由]2,0(=B A 知：,22=x 且011≤≤-x ○1 由),2(+∞-=B A 知：121-≤<-x ○2 所以 .11-=x所以 1)(21-=+-=x x a .221-==x x b2. 解 转化为方程组⎩⎨⎧≤≤=-+-+-=)30(,0312x y x mx x y 有两组不同的解，即04)1(2=++-x m x 有两个不同的解，显然0≠x ，并且14-+=xx m ，而=)(x f 14-+x x 当]2,0(∈x 时单调递减，值域为),3[+∞；当]4,2[∈x 时单调递增，值域为]310,3[，由此可得]310,3[∈m .3. 解 集合M 表示圆心在原点半径3 的上半圆（包括端点），集合N 表示斜率为1 的直线，由此可得23>b 或3-<b .4. 解易得9,141==a a ，分为922=a 和923=a 讨论可得：9,4,3,14321====a a a a .5. 解 .35909533<>⇒<--⇒∈a a a a M 或 又.259351251025555<<<≤⇒<≤⇒≥--⇒∉a a a a a M 或又25=a 时，}.5515|{0)5)(5)(51(0255252<<-<=⇒<+--⇒<--x x x M x x x x x 或 .5M ∉ 所以，.259351≤<<≤a a 或6.解 015315322=-+-⇒⎩⎨⎧+=+=b ax x x y b ax y 有解 )15(120)15(1222b a b a -≥⇒≥--=∆⇒ ○1 又 2222144144b a b a -≤⇒≤+ ○2 所以，⎩⎨⎧±==⇒≤-⇒≤+-⇒-≥-10860)6(0361212180144222a b b b b b b代入 ,0910832=+±x 得无整数解,所以不存在.7.解 （1）由,0622<+-k x kx 得622+<x xk ，我们只考虑0>x 情形，则xx x xx f 6262)(2+=+=在[2，3]的最大值为66)6(=f ，最小值为52)3()2(==f f ， 并且)(x f 在]6,0(单调递增，在),6[+∞单调递减，所以，若),3,2(⊆A 必有52≥k . （2）根据第一问分析，若,)3,2(A ⊆则52≤k 并且0≠k .（3）由第一问分析，（3）若,)3,2(φ≠ A 则66<k 并且0≠k .。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅． 【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，4a －2，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。

一、转化与化归思想转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化与化归思想是在研究和解决数学问题时采用某种方式，如借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。

二、数形结合思想在数学学习中，我们会运用到很多数学思想方法，其中数形结合是数学解题中最常用的思想方法之一。

运用数形结合的思想，我们可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，这样很多问题便迎刃而解，且解法容易理解和消化。

数形结合思想当中“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

数形结合思想在中学数学中占有非常重要的地位，我们在应用数形结合思想解决问题，应充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

三、分类讨论思想分类讨论思想也是我们接触接触比较多的数学思想，它是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。

分类讨论思想方法我们在很多数学内容里都能找到它的影子，它依据一定的标准，对问题进行分类、求解。

分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。

分类讨论与转化思想★【概述】1、 对于某个问题的研究分两种或两种以上情形，分别加以讨论的方法，就称为分类讨论法。

分类讨论法对于考察我们全面思考问题、训练思维的完整性有着极其重要的作用，是近年来历届中考必考的重要方法之一。

2、转化：也称化归思想。

当一个问题条件比较复杂，计算或证明比较困难时，通过已知知识间的联系，把复杂问题转换成简单、易于解决的问题，从而达到解题目的的方法。

例如：把二元方程通过消元转化为一元方程解决；把实际问题转化到一个数学模型中解决；转化是研究数学的最基本的方法。

★★【解题基本策略】把所有的情况进行分类讨论，找出满足要求的条件或结论。

通常要把问题进行转化、分解为简单或熟悉的问题解决。

★★★【典型例题解析】【考点题型1】-----几何背景下的分类讨论◆(一）、以等腰三角形为目标的分类讨论【例1】在梯形ABCD 中，AD//BC,AD=3，DC=5，AB=24,045=∠B ,点M,N 分别为线段BC与CD 上的动点，且BM=2CN,(1)、求：cosC 的值(2)、当ΔMNC 为等腰三角形时，求CN 的长。

【点拨】：为使背景图形中隐含条件显性化，将背景分离研究。

动态几何中，需要关注：背景信息、运动规则、运动范围。

【例2】在Rt ⊿ABC 中，090=∠A ,AB=6，AC=8，D,E 分别是AB,AC的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q 、过点Q 作QR//BA,交AC 于R,当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动。

（1）、点D 到BC 的距离DH 的长。

（2）、当⊿PQR 是等腰三角形时，求出所有满足条件的BQ 的值。

【点拨】：1、背景中的隐含条件有：∠PQR=∠C,cosC=542、上述两个例题中，所要讨论的等腰三角形中，都有一个角是定角（度数已知或三角函数可求）因而考虑求这个定角的两边（边长为定值或用某一字母的代数式表示）简称“边角边”法。