高考数学化归与转化思想及方法讲解化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题.下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.1.用构造法实现化归与转化例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ）0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y .<C 0 x y .>D分析：已知不等式两边都含有y x ,两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为yyxx 3232->---，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数xxx f --=32)(，通过构造函数,把不等式问题化归为函数单调性问题.解：把原不等式化为y yxx3232->---，即)(3232y yxx ----->-.设.32)(xx x f --=因为函数xx--3,2均为R 上的增函数,所以xxx f --=32)(是R 上的增函数. 不等式)(3232y yxx----->-即)()(y f x f ->,0>+->∴y x y x 即,故选B .2.转换变量实现化归与转化例2设1log)2()(log 222+--+=t x t x y ,若t 在]2,2[-上变化时,y 恒取正值,求x 的取值范围.分析:本题中,如果把y 看作x 的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题,解法较为复杂.由于t 在]2,2[-上变化,所以如果转换思维角度,把y 看作t 的函数,则y 就是关于t 的一次函数或常数函数.原命题的陈述方式变为:关于t 的函数y ，当自变量t 在]2,2[-上变化时，y 恒大于零，求字母x 的取值范围.从而有以下简捷解法. 解:设.1log2)(log)1(log)(2222+-+-==x x t x t f y 则)(x f 为一次函数或常数函数.当]2,2[-∈t 时,0)(>x f 恒成立,则⎩⎨⎧>>-,0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-01log3log 4log22222x x x ,解得1l o g 2-<x 或210,3log2<<∴>x x 或8>x ,所以x 的取值范围是).,8()21,0(+∞3.用换元法实现化归与转化例3已知,R a ∈求函数)cos )(sin (x a x a y --=最小值.分析:把函数)cos )(sin (x a x a y --=展开后,可以观察到该函数是关于x x x x cos sin cos sin +⋅与的三角函数式,因此可以把x x cos sin +看作一个量,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题. 解:设xx t cos sin +=,则].2,2[),4sin(2-∈+=t x t π而),1(21]1)cos [(sin 21cos sin 22-=-+=⋅t x x x x所以x x x x a a t f y co s s i n )c o s (s i n )(2⋅++-==2121)1(212222-+-=-+-=a at t t at a ].2,2[,2121)(2122-∈-+-=t a a t（1）若22≤≤-a 时，当;2121)(,2m i n -==a t f a t （2）若2>a 时，)(t f 在]2,2[-上单调递减，;212)2()(2m in +-==a a f t f （3）若2-<a ，)(t f 在]2,2[-上单调递增，212)2()(2min ++=-=a af t f .4．用数形结合实现化归与转化例4 已知不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,求实数a 的取值范围. 分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数22)(,)12()(ax x g x x f =-= 的大致图像（如图1所示）,从图像上可以看到,要使不等式成立,必须 0>a ,而且满足22)12(x a x ⋅<-的图像在y 轴的右边,由此看到，解集中三个整数解分别为3,2,1，而4不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数a 的取值范围. 通过数形结合,把求不等式中字母a 的问题,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题. 解:在同一坐标系中画出22)(,)12()(ax x g x x f =-=（0>a ）的大致图像图像,如图1所示.从图1中看到,要使不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是3,2,1.所以⎩⎨⎧≥<)4()4()3()3(g f g f 即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅<22224735a a 解得.1649925≤<a 这就是实数a 的取值范围. 5.用分离变量法实现化归与转化例5 若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立,则a 的最小值为 .分析:要求a 的最小值,需要求出a 的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐.若把字母a 单独分离出来,放于不等式的一边,则另一边是关于x 的函数关系式.通过求函数式的值域或范围,可以求得字母a 的取值范围.解:因为]21,0(∈x ,所以可以把不等式012≥++ax x 化为:)1(x x a +-≥.设x x x f 1)(+=, ]21,0(∈x .因为xx x f 1)(+=在]21,0(∈x 时单调递减,所以25)1( ,25)(-≤+-≥x x x f .要使不等式)1(xx a +-≥对一切]21,0(∈x 成立,则25-≥a ,所以a 的最小值为25-.6.用特殊化法实现化归与转化例6 已知|,0,3||,1|=⋅==OB OA OB OA 点C 在ABC ∠内,且30=∠AOC .设),(R n m OB n OA m OC ∈+=,则=nm ( )31 .A 3 .B 33.C 3 .D图1解析：本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把OB n OA m OC +=两边平方后，得到n m ,关系式，从中求出nm ,比较繁琐.现在如果把n m ,特殊化,如取1=m 则OB AC //.由AC OA AOC OA ⊥=∠=,30,1|| 得33||=AC ,所以31=n ,则3=nm ,由此判断选择支D C A ,,错误,故B 正确.7.用导数实现化归与转化例7 已知函数22()ln (0)f x x a x x x=++>， （I ）令1a =，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.分析:本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（I ）中,把1a =代入函数的解析式后,再求函数的导数,得()f x 在2x =处的切线斜率,最后写出方程.在（Ⅱ）中,先求函数22()ln (0)f x x a x x x=++>的导函数)(x f ',再令0)(≥'x f 在[1,)+∞上恒成立,求得a 的取值范围. 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题,化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一. 解:（I ）由2222()ln ,'()2af x x a x f x x x x x=++=-+得切线的斜率k '(2)4f ==切点坐标（2，5+ln 2）， 所求切线方程为(5ln 2)4(2)y x -+=-,即02ln 34=+--y x（Ⅱ）若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220ax x x-+≥在[1,)+∞上恒成立 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立.令22()2,x x xϕ=-上述问题等价于m ax (),a x ϕ≥而22()2x x xϕ=-为在[1.)+∞上的减函数， 则max ()(1)0,x ϕϕ==于是0a ≥为所求.8.用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例8已知数列{}n a 的前n 项和322+=n S n ,求数列{}n a 的通项n a .分析:数列{}n a 的前n 项和已知,根据前n 项和定义n n a a a S +++= 21得,当2≥n 时,1--=n n n S S a ,把数列{}n a 的前n 项和问题转化为数列的通项问题. 这是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.解:因为322+=n S n ,所以当2≥n 时, 1--=n n n S S a 243)1(23222-=---+=n n n , 又当1=n 时,53211=+==S a ,所以⎩⎨⎧=≥-=1,52,24n n n a n .9.利用命题的否定或反证法实现化归与转化例9 已知下列三个方程: 03442=+-+a ax x , 0)1(22=+-+a x a x ,0222=-+a ax x 至少有一个方程有实数根,求实数a 的取值范围.分析:若从题设入手,三个方程至少有一个有实数根,则需要分为三类,即有一个方程有实根,有两个方程有实根, 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况,比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即:三个方程都没有实根.求得a 的范围后,再在R 上求补集.该转化较好的体现了正难反则易的思想.解:假设三个方程均无实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<--<-<+--）（）（）（30)2(4)2(2 041)-(a 1 0)34(4)4(2222a a a a a ，解（1）得：,2123<<-a 解（2）得：,311>-<a a 或解（3）得：.02<<-a 所以三个方程均无实数解时.123-<<-a 因此三个方程至少有一个实数解时a 的取值范围是123-≥-≤a a 或.10.利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点C B A P 、、、,如果PC PB PA 、、两两互相垂直，如图2所示,且,a PC PB PA ===那么这个球面的面积是( )223.a A π 223 .a B π 23 .a C π 2433.a D π解析:本题若只从题设条件入手,不易确定PC PB PA 、、与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算.若类比我们熟悉的球与多面体的组合体,则可以联想到球的内接正方体. PC PB PA 、、看作正方体顶点P 处的三条棱（如图3）,正方体的体对角线PD 就是球的直径. 通过类比, 确定了球心及半径与已知条件的关系,把问题转化为球的内接正方体P C B AD图3P ABC图2问题.所以球的半径a r 23=,球的表面积2234a rS ππ==.故选C .化归与转化的思想贯穿于解题行为的始终,化归与转化的方法精彩纷呈,不胜枚举.让我们深刻理解化归与转化的精髓,把握化归与转化的方法,进一步提高分析问题和解决问题的能力.。
