位错理论

《位错与位错强化机制》杨德庄编著哈尔滨工业大学出版社1991年8月第一版1-2 位错的几何性质与运动特性一、刃型位错2．运动特性滑移面：由位错线与柏氏矢量构成的平面叫做滑移面。

刃型位错运动时，有固定的滑移面，只能平面滑移，不能能交叉滑移（交滑移）。

刃型位错有较大的滑移可动性。

这是由于刃型位错使点阵畸变有面对称性所致。

二、螺型位错1. 几何性质螺型位错的滑移面可以改变，有不唯一性。

螺型位错能够在通过位错线的任意平面上滑移，表现出易于交滑移的特性。

同刃型位错相比，螺型位错的易动性较小。

、位于螺型位错中心区的原子都排列在一个螺旋线上，而不是一个原子列，使点阵畸变具有轴对称性。

2．混合位错曲线混合位错的结构具有不均一性。

混合位错的运动特性取决于两种位错分量的共同作用结果。

一般而言，混合位错的可动性介于刃型位错和螺型位错之间。

随着刃型位错分量增加，使混合位错的可动性提高。

混合位错的滑移面应由刃型位错分量所决定，具有固定滑移面。

四、位错环一条位错的两端不能终止于晶体内部，只能终止于晶界、相界或晶体的自由表面，所以位于晶体内部的位错必然趋向于以位错环的形式存在。

一般位错环有以下两种主要形式：1. 混合型位错环在外力作用下，由混合型位错环扩展使晶体变形的效果与一对刃型位错运动所造成的效果相同。

2. 棱柱型位错环填充型的棱柱位错环空位型棱柱位错环棱柱位错环只能以柏氏矢量为轴的棱柱面上滑移，而不易在其所在的平面上向四周扩展。

因为后者涉及到原子的扩散，因而在一般条件下（如温度较低时）很难实现。

1-3 位错的弹性性质位错是晶体中的一种内应力源。

——这种内应力分布就构成了位错的应力场。

——位错的弹性理论的基本问题是对位错周围的弹性应力场的计算，进而还可以推算位错所具有的能量，位错的线张力，位错间的作用力，以及位错与其他晶体缺陷之间的相互作用等一些特性。

——一般采用位错的连续介质模型（不能应用于位错中心区），把晶体作为各向同性的弹性体来处理，直接采用胡克定律和连续函数进行理论计算。

一、复杂应力状态下应力与应变的关系1. 应力和应变分量直角坐标系和圆柱坐标系的转换：x=rcosθy=rsinθ z=z ——直角坐标转换为圆柱坐标r=(x2+y2)1/2, θ=arctan(y/x), z=z ——圆柱坐标转换为直角坐标2. 广义胡克定律一般来说，金属晶体是各向异性的，其弹性参数随晶体方向而变化，相应有21个独立的弹性系数分量（此时，弹性常数作为张量来考虑）。

随着晶体的对称性的提高，独立的弹性系数的分量减少。

例如，对六方晶体可减少到5个；对立方晶体，可减少到3个。

对于各向同性介质而言，还可以进一步减少到仅有两个弹性系数分量。

常用到的各向同性的弹性系数有：正弹性模数或杨氏模量（E）、剪切弹性模数或切变模量（G）、泊松系数（ν）\拉梅常数（λ）和体弹性模量（B）。

这五个弹性系数间的相互关系如下：E=G(3λ+2G)/(G+λ)=9GB/(3B+G)=2G(1-ν)ν=(3B-2G)/2(3B+G)= λ/2(G+λ)=(E-2G)/2GG=E/2(1+ν)λ=νE/(1+ν)(1-2ν)=2νG/(1-2ν)B=-p/e=(3λ+2G)/3式中，p为内静水压力，它在数值上与平均正应力（三个主应力的平均值）相等，而方向相反。

e为体应变，它在数值上等于三个主应变之和。

只有正应变才造成体应变，而切应变不造成体积的变化。

因此，对于各向同性的弹性体（所有讨论的前提），可以通过以上弹性系数中的某两个加以联系，建立应力-应变关系：ζ11=（λ+2G）+ε11+λε22+λε33ζ22=λε11+(λ+2G)ε22+λε33ζ33=λε11+λε22+λε33ζ23=2Gε23ζ31=2Gε31ζ12=2Gε12或者：ε11=1/E[ζ11-ν(ζ22+ζ33)]ε22=1/E[ζ22-ν(ζ11+ζ33)]ε33=1/E[ζ33-ν(ζ11+ζ22)]ε23=ζ23/2Gε31=ζ31/2Gε12=ζ12/2G二、位错的应力场1. 螺型位错的应力场连续弹性介质模型——可由位错所引起的相对位移出发求得应变——借助胡克定律求得位错的应力场。

（即应变——胡克定律——应力）————连续弹性介质模型1）无限大弹性介质中的螺型位错的应力场螺型位错的应力场中不存在正应力分量。

只有两个切应力分量，ζθz 和ζz θ：0=====zr r zz rr σσσσσθθθ采用直角坐标系时，则螺型位错的应力场是平面应力状态，具有轴对称性。

采用直角坐标时，则螺型位错的应力场可表达为：0=====yx xy zz yy xx σσσσσr →0时，则上述结果无意义。

一般将线弹性解不成立的区域叫做位错中心，其半径r 0常在b 到4b 之间。

2）位于有限大圆柱体中心的螺型位错的应力场当模型中的圆柱体有限时，其圆柱面与两端面均为自由表面，相应的应力分量为零。

所以，计算为错在有限大弹性介质中所产生的应力场时，还要考虑到边界条件的影响。

实际上，位于有限大圆柱体中心的螺型位错的应力场应是无限大圆柱体内螺型位错的应力场与为满足边界条件而得到的应力场二者之和，即：)21(22''R r r Gb Z Z T z -=+=πσσσθθθ2. 刃型位错的应力场1）无限大介质中直线刃型位错的应力场在直角坐标系中，0====zy yz zx xz其中)1(2νπ-=GbD在圆柱坐标系中，刃型位错周围的应力场中，同时存在正应力分量和切应力分量。

刃型位错的应力分布具有明显的面对称性。

在滑移面以上部分，即0<θ<π，为受压状态（0<=θθσσrr ）；而在滑移面以下部分，即π<θ<2π，为受拉状态（0>=θθσσrr ）。

当θ=0或θ=π时，0==θθσσrr ，而θσr 达到最大，即最大切应力是在滑移面（y=0）上。

在位错线附近区域，有效水静压力为：2) 位于有限圆柱体中心处的直刃型位错的应力场近似得出在有限大的圆柱体中，由直线刃位错引起的应力场为：)1(sin 3202R r R r r D rr ---=θσ)31(sin 3202r r R r r D ---=θσθθ)1(cos 20r r R r r D r -+=θσθ)(θθσσνσ+=rr zz3. 混合位错的应力场对于一个直线混合型位错可以分别按以上方法求出螺型位错应力场分量和刃型位错的应力场分量，再将两者相加。

虽然其计算比较复杂，但总的特点仍是：r 1∝σ由于曲线混合位错各线段的位错结构不同，所以曲线位错的应力场在分布上是不均匀的。

三、位错的弹性应变能1. 直线位错的弹性应变能位错的能量，又称为位错的自能，是对位错周围的原子离开平衡位置而具有较高势能总和的反映。

一般以单位长度所储存的能量来表征。

一般而言，位错线的总能量由位错中心的能量和其周围区域的弹性应变能两部分组成。

位错中心的能量难于准确加以估算，一般认为，位错中心的能量约占位错总能量的1/5和1/10。

故常忽略不计，而以弹性应变能代表位错的自能。

按弹性理论，已知弹性体变形时，单位体积内的应变能或应变能密度是应力和应变乘积的一半。

（应力，应变→应变能）单位长度螺型位错的应变能为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰022ln 440r R Gb r dr Gb L W Rr S ππ形成单位长度刃型位错线所做的总功为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰022ln )1(4)1(40r R Gb x dx Gb L W R r νπνπ对于直线混合位错，由于两个位错分量的柏氏矢量相互垂直，在这两个分量之间没有弹性交互作用，所以整个位错的应变能就是两个位错分量的自能之和。

如果直线混合位错的柏氏矢量与位错线夹角为θ，则该混合位错的刃型分量强度是bsin θ,螺型分量强度是bcos θ。

故直线混合型位错单位长度的应变能是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛022202222ln )1(4sin )cos 1(ln 4cos )1(4sin r R Gb r R Gb Gb L W m νπθθνπθνπθ其中r 0为位错中心半径，R 为晶体尺寸，位错的弹性应变能与这两个呈对数关系，其敏感性较小。

但当R →0或r 0→0时，W/L 会出现奇异现象，所以很难说位错具有一定的特征能量。

R 和r 0的取值：在晶体中有一个位错的情况下，可取R 约为到表面的最短距离。

当晶体中含有很多混乱分布位错时，位错易于形成彼此的长程应力场相互抵消的组态，使各位错的能量减少，故可取R 约等于位错间平均距离的一半。

通常将r 0取为5b 左右。

在相同的r 0和R 值比较时，刃型位错的应变能约为螺型位错的3/2倍。

一般而言，位错的弹性应变能对位错的性质不十分敏感。

在对R 和r 0的合理取值的条件下，可将位错的应变能写成：式中α≈0.5~1.0。

应变能分布具有不均匀性，离位错中心愈近，应变能密度越高；离位错中心愈远，则应变能密度愈低。

2. 一对异号位错的应变能一个单独位错的应变能随着到位错距离的增大而按对数规律增加。

但一对平行的异号位错在远处两者的应力场大体上彼此抵消，结果使应力场和应变场被局限在位错附近。

可以证明，两个平行的异号位错所构成的应力场与到位错距离的平方成反比。

假如有两根符号相反的螺型位错，都平行于Z 轴，相互间距为d 。

将一根的坐标取为x=d/2，y=0；另一根的坐标取为x=-d/2，y=0。

则沿x 轴距位错较远处的复合切应力便为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=--11222d x d x Gb z πσθ将此式近似简化便得到：22x Gbdz πσθ±=3. 位错环的应变能位错环的应力场随距离下降的趋势要比一对异号平行位错更加剧烈。

距位错环稍远处，其应力场便显著减少，可以忽略不计。

一般而言，位错环的应变能小于直线位错。

位错环在单位长度上的应变能可以近似地表达如下：002ln 4r R Gb L W π±=位错环的应变能对其本身的尺寸不敏感，而主要取决于柏氏矢量。

四、 位错的线张力位错同任何热力学系统一样，有降低自身势能的趋势。

这主要表现在位错线的能量随其长度缩短而减小。

故可将位错线张力定义为：l WT δδ=式中，δl 为位错线长度增量，δW 为由δl 长度增量引起位错线能量的增量。

和液体的表面张力相似，位错的线张力是一种组态的作用力，作用方向是沿着位错线的方向。

弯曲位错的线张力为：02ln 4r K Gb T λπ=K 为与位错性质有关的系数，（1-ν）<K<1，取λ=100r 0时，则位错的线张力近似为：这个数值常作为线张力的粗略估计值。