第2章 第1讲 自动控制系统微分方程及线性化

在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不
计，因而上式可简化为
Tm
dωm (t)
dt
+ ωm (t)
=
K1ua (t)
−
K2Mc
(t)
Tm
=
Ra
Ra J m fm + CmCe
K1
=
Ra
Cm fm + CmCe
K2
=
Ra
Ra fm + CmCe
若电枢电阻Ra和电机转动惯量Jm都很小忽略不计时上式还可进一 步简化为：
电气 电感L 电容C
电阻R 电压u
机械 质量m 弹性系数的倒数1/K 摩擦阻力f 力F
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统去研究复杂系统提供理论依据。 复杂控制系统微分方程建立注意： ¾信号传输的单向性（即前一级的输出为下一级的输入） ¾后一级是否对前一级有影响
例量2，-电6 动列机出转所速图示ωm的(t微)为分输方出程量，，要图求中取R电a、枢La电分压别是ua(电t)枢为电输路入的
电阻和电感，Mc 是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通 为常值。
＋
ua
－
La Ra
ia
－
＋ Ea
ωm Jm fm
SM
负载
MC
图2-6电枢电压控制直流电动机原理图
解：直流电动机的运动方程可由以下三部分组成
A
物料( 能量) － 单位时间流出的物料( 能量)
h
Qo
Qi
− Qo
=
A
dh dt
=
dV dt
………………（1）
（3）消去中间变量Qo ，得到最终的方程
根据托里拆利定理有
Qo = K h
………………（2）
其中：K ：阀的流通能力
Qi
−Qo
=
Adh dt
………………（1）
Qo = K h
………………（2）
Ceωm(t) =Ua(t)
例2-7 如图所示晶闸管供电直流电动机闭环调速系统， 试列写出以为输入ui、转速n为输出的微分方程式。
图2-7 直流调速系统原理图
解：
§结论
自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液 压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。
通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各 种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运 动规律。
Jα = M
几个典型例子的数学模型方程的建立
【例2-1】 电阻和电容的串联网络，其中U为输入电压， Uc为输出，建立两者关系的微分方程。
R
+
U
i
C Uc
步骤：
-
RC网络
(1)确定输入(自变量)、输出变量(因变量)和中间量 输入:U 输出:Uc 中间量:i
(2)根据基本定律列出电路的电压平衡方程式
+
fm
dx(t) dt
+ kx(t)
=
f
(t)
如果忽略系数的物理意义，则RLC电路和机械位移
系统的数学模型具有相同的形式，这种系统叫做相
似系统。
力-电压相似系统
LC
d
2uC (t) dt 2
+
RC
duC (t dt
)
+
uC
(t)
=
ur
(t)
m k
d2y dt 2
+
f k
dy dt
+
y=
1 k
F (t)
y0 = f (x0 ) , x = x0 + Δ x , y = y0 + Δ y
则可将它在该点附近用泰勒级数展开
图2-5 小偏差线性化
y
=
f
(x)
=
f
(
x0
)
+
⎛ ⎜⎝
df (x) dx
⎞ ⎟⎠x0
(x − x0) +
1 ⎛ d2 f (x) ⎞
2!⎜⎝
dx2
⎟ ⎠x0
u1
隔
离
放
C1
大 器
R2
i2 C2
uc
u1 = i2 R 2 + u c
(3)消去中间变量求出描述系统输入—输出关系的微分方程。
R1C1 R 2C 2
d 2uc d t2
+ ( R1C1 +
R2C 2
+
R1C
2
)
d uc dt
+ uc
=
u
§2.1.2 自动控制系统的微分方程
用解析法建立微分方程的步骤是： 第一步：分析系统的工作原理和系统中各变量间 的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输 出量。 第二步：从输入端入手（闭环系统一般从比较环节 入手），依据各元件所遵循的物理，化学等规律， 列写各自方程式，但要注意负载效应。 所谓负载效应(由于负载的变化而引起输出稳定量的 变化的效应)，这时就要考虑后一级对前一级的影响
（3）消去中间变量a：
a
=
d 2 x(t) dt 2
F = ma
mf (td)2−x(ktx)(+t ) dt 2
−f m
fdmxdd(ttxd)(t
t)
+
k=x
(mt )
d 2x
=dtf
(t )
2(t )
LC 这d也d2t是u2一o 个+线R性C定常d二du阶t o微+分方u程o 。= u i
如果建立的微分方程很复杂，根据适当的情况下化简
电枢回路电压平衡方程：
La
dia (t) dt
+
Raia
(t)
+
Ea
(t)
=
ua
(t)
Ea = Ceωm (t )
电枢反电势
电磁转矩方程： Mm = Cmia (t) Mm：电枢电流的电磁转矩
Cm ：电机转矩系数
电动机轴上转矩平衡方程：
Jm
dωm (t)
dt
+
fmωm (t)
=
Mm
−
MC (t)
Jm－转动惯量 fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数
例:如图为两个形式相同的RC电路串联组成的滤波电路，建立 输入电压为u,求电容C2两端电压uc为输出的微分方程。
解： (1)输入量为u，输出量为uc;
(2)根据基尔霍夫定理列写方程
u1
节点方程: i1
= i2
+ c1
du1 dt
R1
i 2 = c2
duc u i 1 dt
回路方程: u = i1 R 1 + u 1
= ui
……（1）
uc
=
1 C
∫
idt
……（2）
(3) 消去中间变量i，得到最终的方程
（2）式求导得： C duc = i, dt
代入（1）式得：
LC
d 2uo dt 2
+
RC
duo dt
+ uo
=
ui
上式为二阶线性微分方程，RLC电路是二阶线性(定常)系统。
【例2-4】 机械系统：质量弹簧阻尼系统。以外力f(t) 为输入量，以质量的位移x(t)为输出量的运 动方程式。
电气系统三元件
电阻
电容
电感
电学：欧姆定理、基尔霍夫定律
§2.1.2 自动控制系统的微分方程
牛顿第二定律
质量：m,力：f ,线加速度：a,速度：v,位移：x
转动惯量：J,力矩：M,角加速度：α,角速度：ω,角度：θ
dx = v dt
dθ = ω
dt
d 2x dt 2
=
a
d 2θ = α
dt 2
ma = f
§2.1.2 自动控制系统的微分方程
建立数学模型的基础知识
微分方程
（连续系统）
y(t),
dy dt
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理
电学：
欧姆定理、基尔霍夫定律
热学：
传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT + T )
数学模型的准 确性和简化
线性与非线性 参数时变性
§2.1.2 自动控制系统的微分方程
§2.1.1 自动控制系统的数学模型概念
定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表
达式即为数学模型。
y = kx + 建立合理的数学模型： b = 2x + 1 1) 反映元件及系统的特性要正确 2) 写出的数学式子要简明 用途：
1) 分析实际系统 2) 预测物理量 3) 设计控制系统
§2.1.1 自动控制系统的数学模型概念
【例2-2】电阻、电容和电感的串联网络，其中U为输入 电压，Uo为输出，建立两者关系的微分方程。
LR
ui i
C uo
步骤：
(1) 确定输入(自变量)、输出变量(因变量)和中间量
输入:Ui
输出:Uo 中间量:i
(2) 根据基尔霍夫定律列出电路的电压平衡方程式
L ui i
R C uo
L di dt
+ Ri + uo
第二章 控制系统的数学模型
第一讲 时域数学 模型-微分方程
杨金显
yangjinxian@
河南理工大学电气工程与自动化学院
主要内容
控制系统的微分方程 传递函数 控制系统的方框图及其简化 信号流程图及梅逊公式
引言
引言
离心力