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第五章1,0,0, (,0)1/2,0,0,0.x u uu x x t x x ⎧<⎪∂∂+==⎨∂∂⎪>⎩1. 对初值问题=2试分别用左偏心格式、LW 格式计算其数值解u , k =1,2,3,4, 取/1/h τ=.k 解: 矩形网格剖分区域. 取空间步长h , 时间步长τ的矩形网格剖分区域, 用节点表示坐标点0,1,2,...;j =±±(,)j k (,)(,)j k x t jh k τ=,0,1,2,3,4.k =0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂kjk j x u t u （1）左偏心格式：，在t 上用向前差商，x 上用向后差商，得011=−+−−+hu u u u kj k j k jk j τ中国地质大学(北京)廉海荣编 1，因为2/1/=h τ，整理得到k j k j k ju u u 212111+=−+ 把已知条件离散成，则可以根据下一层求上一层的值得到，=1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k k u k uLW 格式： )2(2)(21122111kj k j k j k j k j k jk ju u u r a u u ar u u−++−−=−+−++ 在本题中,2/1/,1===h r a τ,整理得到：中国地质大学(北京)廉海荣编 2k j k j k j k ju u u u 111814383+−+−+=，同理可根据边值条件，根据下一层求上一层的值得到，k =1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k u k u0, 0,0x<, u(x,0)=(x), 0x<, u(0,t)=(t), 0. u u a t T t x t T ϕψ∂∂⎧+=<≤<∞⎪∂∂⎪≤∞⎨⎪≤≤⎪⎩中国地质大学(北京)廉海荣编32. 试对初边值问题其中建立以下差分格式 0a >111102k k k k j jj j u u u u ahτ++++−−−+=1,（a ）1111111()222k k k k k kj jj j j j u u u u u u a h hτ++++−+−−−−++（b ）0=. 试分析它们的稳定性。
第五章 线性微分方程组5-1 考虑方程组x A x )(t dtd = （1）其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =，1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式)()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）； 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：],[,,)()(0)]()([0011b a t t et W t W tt nn dss a s a ∈=⎰++ 。
证 1）根据行列式的微分公式)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nnnn n nn n n n nn n n n ''++''+''='（3）由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='∑∑∑===nj jk nj nj jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11211211221111)()()()()()()()()()()()()()()()(x ， 所以∑==='nj jk ijikn k i t x t at x 1),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于)()()()()()()()()()()()()()()()()(11122111111122111111t W t a t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t at x t ann n n n nn n n nj jn jn j j j==∑∑==类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22t W t a t W t a nn ，代入（3）得W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）2）方程（2）是关于)(t W 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ⎰++=tt nn dss a s a Cet W 011)]()([)( ，C 为任意常数。
第五章 线性微分方程组研究对象一阶线性微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++='++++='++++=')()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x n n nn n n nn n n n 1 基本概念1）一阶微分方程组的标准型含有n 个未知函数n x x x ,,,21 及其一阶导数的微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n nnn x x x t f x x x x t f x x x x t f x （5.1） 称为一阶微分方程组的标准型，其中),,2,1)(,,,,(21n i x x x t f n i =是定义在1+n 维空间),,,,(21n x x x t 的某区域D 内已知的连续函数，t 是自变量。
2）初值问题求满足方程组（5.1）及初值条件n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。
表示如下⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n nnn x x x t f x x x x t f x x x x t f x 及n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 。
3）通解方程组（5.1）含有n 个独立的任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n n nn C C C t x C C C t x C C C t x ϕϕϕ称为它的通解。
5.6高阶线性微分方程 习题5.61. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ （1）2,x x 解：2xx ≠常数，所以线性无关。
（2）,2x x 解：122x x =为常数，所以线性相关。
（3）22,3xxe e 解：22133x x e e =为常数，所以线性相关。
（4）,xxe e −解：xx e e−≠常数，所以线性无关。
（5）cos 2,sin 2x x 解：cos 2sin 2xx≠常数，所以线性无关。
（6）22,x x e xe 解：22x x e xe≠常数，所以线性无关。
（7）sin 2,cos sin x x x 解：sin 22cos sin xx x=为常数，所以线性相关。
（8）cos 2,sin 2xxe x e x 解：cos 2sin 2x x e x e x≠常数，所以线性无关。
（9）ln ,ln x x x 解：ln ln xx x≠常数，所以线性无关。
（10）(),axbxe ea b ≠解：axbx e e≠常数，所以线性无关。
（11）,xxe xe 解：xx e xe≠常数，所以线性无关。
2. 验证函数与在(上都是二阶线性齐次微分方程xy e =xy e −=)x −,−∞+∞"0y y −=的解。
求它的通解，并求方程"1y y −=−的通解。
解：()，所以函数()"",x x x ee e e −==x y e =与x y e −=在(),−∞+∞上都是二阶线性齐次微分方程的解。
它的通解为"0y y −=12.x y C e C e x −=+可观察出1y =为方程 "1y y −=−的特解，所以它的通解为121.x x y C e C e −=++3. 验证函数在1,sin ,cos y y x y ===x (),−∞+∞上都是三阶线性齐次微分方程"''0y y +=的解。
微分⽅程数值解第五章答案第五章1,0,0, (,0)1/2,0,0,0.x u uu x x t x x ?>?1. 对初值问题=2试分别⽤左偏⼼格式、LW 格式计算其数值解u , k =1,2,3,4, 取/1/h τ=.k 解: 矩形⽹格剖分区域. 取空间步长h , 时间步长τ的矩形⽹格剖分区域, ⽤节点表⽰坐标点0,1,2,...;j =±±(,)j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,2,3,4.k =0=+???kjk j x u t u （1）左偏⼼格式：，在t 上⽤向前差商，x 上⽤向后差商，得011=?++hu u u u kj k j k jk j τ中国地质⼤学(北京)廉海荣编 1，因为2/1/=h τ，整理得到k j k j k ju u u 212111+=?+ 把已知条件离散成，则可以根据下⼀层求上⼀层的值得到，=1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k k u k uLW 格式： )2(2)(21122111kj k j k j k j k j k jk ju u u r a u u ar u u++=+++ 在本题中,2/1/,1===h r a τ,整理得到：中国地质⼤学(北京)廉海荣编 2k j k j k j k ju u u u 111814383+?+?+=，同理可根据边值条件，根据下⼀层求上⼀层的值得到，k =1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k u k u0, 0,0x<, u(x,0)=(x), 0x<, u(0,t)=(t), 0. u u a t T t x t T ?ψ+=<≤<∞?≤∞??≤≤??中国地质⼤学(北京)廉海荣编32. 试对初边值问题其中建⽴以下差分格式 0a >111102k k k k j jj j u u u u ahτ+++++=1,（a ）1111111()222k k k k k kj jj j j j u u u u u u a h hτ++++?+++（b ）0=. 试分析它们的稳定性。
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
第五章线性微分方程组研究对象—•阶线性微分方程组X； = 4 ］⑴州+ 02(°兀2 +…+仇⑴兀"+ f\⑴X；=勺1 (')" + a22 (Z)^2 + …+ a2n⑴兀“ + fl (Z)X；=(0^1 + d”2(0X2+…+a nn (t)x n + f n (/)1基本概念1）一阶微分方程组的标准型含有〃个未知函数旺，勺，…/”及其一阶导数的微分方程组兀=齐（佔，兀2,…,兀”）兀;= ./；（/,兀］,兀2,…,X”）(5. 1)X：=力亿旺,兀2,…，百）称为一阶微分方程组的标准型，其中/；（,旺，兀2,…，兀）（7 = 1,2,…，砒是定义在77 + 1维空间（r,x,,x2,---,x z/）的某区域Q内已知的连续函数，/是白变最。
2）初值问题求满足方程组（5. 1）及初值条件“（5）= 〃1，兀2（，0）= “2,…,X”（/o）= 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。
表示如KX =/|(7,“,兀2，・・・，心) x； =/2(r,x1,x2,---,x…)、X；=九（/,兀］,兀2,…，百）及兀1仏）=〃1，兀2仏）=〃2,…,X”仏）=〃”。
3）通解方程组（5.1）含冇乃个独立的任意常数C|,C2，・・・,C”的解X】=0（'，G，°2，…，c“）兀2 = 02（'，G，°2，八°，C”）兀=©UGG，…,C”)X =• • •1•• •o …1 …• • •• • •• • •X +■■■000 (10)一忑⑴_ a n-\⑴ .............. ⑴./(/)U M«B J < 、X其中x =兀2 z・，x =■X；• ,并R它的解为(p(t)=必)■、x,J K丿“2・，■Jindx ~dt A(t)x + /(/)(5.3)称为它的通解。
4)高阶线性方程与一阶方程组等价斤阶线性微分方程的初值问题J 兀何+6 a)x(i+…+%⑴兀‘+仇(/)% = /(/)1^0)= "|，疋仏)=“2,…，利7(5)= 〃”其中4(0(7 = 1,2,•••,/?),/(f)是区间［a,b］上确定的函数，f()e \a,bl,g fh，…，几是确定的常数,它的解为x =(p(t) o只要令£ =兀，兀2 = x r ,x3 =x",…，兀"=x(w_1),它可以化为下歹ij同时，给定其中一个初值问题的解，就可构造另一个初值问题的解，在这个意义下，称上面两个初值问题是等价的。
5)一阶线性微分方程组若(5.1)小函数.力(/,旺，兀2,…,x”)Q = 1,2,・・・,巾)关于X],X2,•••,%…是线性的，即X； = 41 (/)%)+ a I2(/)x2+ …+ a ln (t)x n + f\(t)兀;=6/2I(/)X,+a22 (/)x2 + ・・• + a ln (t)x n + % (/)< Qb. z；X； =⑴X] + % a)*2 + …+ % (叽 + A ⑴则称(5. 2)为一阶线性微分方程组，简称为线性方程组，其中勺(/),./；(/),，,丿=1,2,…/在区间［a,b］上连续。
6)线性方程组的向量表示方程组(5.2)的向量形式为-阶线性微分方程组的初值问题皿7x(z) = 兀2⑴■ ,/(/) =• ■ ■S (切dx 、 dt dx 2dtdX n(5.4)矩阵记为 X(t) = (x {(t\x 2(t)9-^x n (t)),将其行列式detX （Z ）称为向最函数组的〃个线性无关解，那么称如(/)…仇其中A(t) =a 2、⑴• • • 。
22(，)… • • • • • • %⑴• • •41(0必）…%⑴丿在方程组（5.3）中,若/⑴三则有dx “、—= dt称（5.4）为线性齐次方程组，否则称（5.3）为线性非齐次方程组,7）向量函数组的线性相关和线性无关定义在区间［佔上的〃维向量函数K （/）W ・・g （» 如果存在加个不全为零的 常数C 「C2,…，C 』使得C lXl （t ） + C 2x 2⑴+ ••• + €＞』）三0在区间［⑦创上成立，则 称这个向量函数组在区间［彳切上线性相关，否则称乞⑴,£（/），•「©（/）线性无关。
8）向量函数组的朗斯基行列式设E （f ），2（小…，刃（0是〃个向量函数,以乞⑴作为第「列（?・=12…/）所构成的兀］（/），2（/），•••，£（/）的朗斯基行列式，记为9）基本解组和基本解矩阵若兀a ），2（/），•••，£（/）是线性齐次方程“2（。
…兀21(。
x 22 (/)… • • • • • • 兀2〃（（ X“2(° …W(t) = detX(f)=dx ~d t组（5.4）旳⑴入⑴‘…心卫）是它的一个基本解组，并称矩阵（旳（"兀2⑴,…，七⑴）为方程组討d) X(5)= X() 5 w[d,b]（5.4）的基本解矩阵,简称基本解矩阵。
2基本定理及性质定理5.1如果矩阵函数/（/）及向量函数/（7）在区间上连续，则对［d,b］上任一点/（）以及任意给定的兀（），初值问题在区间［a,b］内存在唯一•的解。
定理5. 2 （线性齐次方程组的叠加原理）设》（/）,£（/），…,乞”⑴是线性齐次方程组（5.4）的加个解，则兀⑴=C l x l（/） + C2X2 ⑴+ …+ C m x m（Z）也是（5.4）的解，其中G ,C2，•-,C W是任意常数，即线性齐次方程组的任意有限个解的任意线性组合仍为该方程组的解。
定理5.3如果向量函数组旳（/）,兀2（。
，・・・,乞左）在区间［。
,创上线性相关，则它们的朗斯棊行列式"（/）在区间［c,b］上恒等于零。
推论5.1如果向量函数组y（f）,X2（f）,・・・,x”（f）的朗斯基行列式“⑴在区间［。
,刃上的某一点不等于零，即“仏）工0,则该向量函数组在区间［。
,甸上线性无关。
定理5.4如果方程组（5.4）的n个解在其定义区间［a,b］上线性无关，则它们的朗斯基行列式"⑴在区间［a,b］上处处不为零。
推论5.2方程纽（5.4）的刃个解在其定义区间［d,b］上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式"（0在区间［a,h］上处处不为零。
定理5. 5线性齐次方程组（5.4）存在并且至多存在〃个线性无关的解。
定理5. 6 （刘维尔公式）若旳（/）, £⑴，…,£⑴是线性齐次方程组（5.4）的77个解, 则这n个解的伏朗斯基行列式与方程组（5.4）的系数冇如下关系式0（/） = 0（（0）/如"）+"22（。
+・・+%（/）1〃/定理5. 7 (线性齐次方程组通解结构)如果向量函数组旳(/),x2(Z),…,七(/)是线性齐次方程组(5.4)的〃个线性无关解，则方程组(5.4)的任一解班f)均可表示为兀⑴=CjX,(/) + C2x2(/) + ••• + C n x n(r),这里G, C?,C”是刃个相应的常数。
结论1 (线性齐次方程组通解结构的矩阵表示)线性齐次方程组(5.4)的通解为x(Z) = 0(/)C ,其中0(/)为(5.4)的基本解矩阵，C为任意常向量。
性质5.1如果x*(Z)是线性非齐次方程组(5.3)的解，而x0(Z)是其对应线性齐次方程组(5.4)的解，那么x()(f) + x*(/)是线性非齐次方程组(5.3)的解。
性质5. 2线性非齐次方程组(5.3)的任意两个解的羌是其对应线性齐次方程组(5.4) 的解。
定理5. 8 (非齐次方程组通解结构)线性非齐次方程组(5.3)的通解等于其对应的齐次线性方程组(5.4)的通解与其口身的一个特解Z和，即若兀* (/)是线性非齐次方程组(5. 3)的一个特解, 恥)，2(/)，・・・曲)是线性齐次方程组(5.4)的〃个线性无关的解,则x(/) = C1x1(r) + C2x2(/) + --- + C…x,7(Z) + x*(Z)就是(5.3)的通解。
结论2 (线性非齐次方程组通解结构的矩阵表示)线性非齐次方程组(5.3)的通解为x(/) = 0(/)C + x*(/),其中©⑴为(5.4)的基本解矩阵，C为任意常向量，x*(Z)是非齐次线性方程组(5.3)的一个特解。
结论3 (常数变易公式)如果/(()是线性齐次方程组(5.4)的基本解矩阵，则线性非齐次方程组(5.3)满足初始条件(pg = q的特解x*(/)由下面公式给岀%*(/)= 0(/)0_|(/。
)帀 + 0(/) | 0_| (5) f (s)ds其中表示矩阵0(7)的逆矩阵。
注意：利用常数变易法可求线性非齐次方程组(5.3)的一个特解。
定理5. 9给定常系数线性方程组竺=Ax ,那么dta)如果/的特征值的实部都是负的，则方程组的任一解当fT+oo时都趋于零。
积分得b)如呆力的特征值的实部都是非正的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则方程组的任一解当t T +00时都保持有界。
C)如果力的特征值至少有一个具冇正实部，则方程组至少冇一解当/T+W时趋于无穷。
3基本求解方法1)常数变易法第一步：确定线性非齐次微分方程纽(5.3)对应的线性齐次方程组(5.4)的通解。
若方程组(5.4)的基本解矩阵为0(/),则(5.4)的通解为x(t) = 0(/)C o第二步：设(5.3)有形如x(Z) = 0(/)C(/)的解，C(/)为待定的向量函数。
第三步：确定向量两数C(r)0将x(/) = 0(/)C(/)代入方程(5.3),有心)“)+ ①⑴ C ⑴=/(g⑴ C(f) + f(t),因0(/)为方程组(5.4)基本解矩阵,则有©0) = /(/)©(/),所以上式为©(z)C(/) = f ⑴,心)=小)/⑴，C(r)= f^~\s)f(s)ds其中取C(0) = 0,所以得到方程组(5.3)满足初始条件(p(t{)) = 0的解为X * (/) = 0(z) J (5)f (s)ds。
第四步：求线性非齐次方程组(5.3)的通解。
由结论2,方程组(5.3)的通解口J表示为x⑴=0(r)C + 0(0 J 0 '(s) f (s)ds。
(5.5)第五步：求线性非齐次方程组(5.3)满足初始条件gh 的解。
将初始条件(pdl 代入通解表达式中得，C = @一\(5则,故方程组(5.3)满足初(P ⑴=+① '(s)f(s)ds o2)常系数线性齐次方程组的解法若(5.4)中系数矩阵为常矩阵，则称其为常系数线性齐次方程组，记为dx 」 ——=Axdt山齐次方程组通解结构定理5. 7和结论1,求解常系数线性齐次方程组的关键在于求它 的基本解矩阵。
