常微分方程 第五章 线性微分方程组(3)

常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。

一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。

它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。

二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。

2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。

3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。

三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。

1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。

常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。

2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。

令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。

由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。

因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。

3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。

根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。

4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。

第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。

3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。

5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。

[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。

2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。

方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。

《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。

通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。

1．学好基础知识。

理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。

能够根据法则、公式正确地进行运算。

能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。

3．培养思维能力。

能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。

能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。

能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

4．提高解决实际问题的能力。

对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。

能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。

三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。

（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。

（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。

第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。

一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。

2012-2013第二学期常微分方程期末复习提纲第一章绪论掌握微分方程的概念, 能正确判断微分方程的阶数以及是否线性方程.第二章一阶微分方程的解法1 掌握变量分离方程的解法.2 掌握恰当方程的判定以及求解方法. 对于非恰当方程, 重点掌握如何求只与x或y有关的积分因子, 并由此求解方程.3 了解一些常见的能够化为变量分离方程的类型以及所用的变换. 例如齐次方程ddy ygx x⎛⎫= ⎪⎝⎭, 111222dda xb y cyx a x b y c++=++, ()ddyf ax by cx=++等类型.重点掌握形如111222d da xb y cyx a x b y c++=++的方程的求解方法.第三章一阶微分方程的解的存在定理1 简要理解解的存在性定理.2 了解利普希兹（Lipschitz）条件与偏导连续的关系.第四章高阶微分方程1 熟悉齐次与非齐次线性方程的解的结构以及性质定理2 掌握Wronsky行列式与线性相关或无关的关系.3 掌握基本解组相关概念.4 重点掌握常系数高阶非齐次线性微分方程的求法.特征根法和比较系数法.5 了解常见的可以降阶的高阶方程的类型, 重点掌握不显含未知函数的高阶方程的降阶求解法.第五章方程组1 熟悉基解矩阵的概念.2 掌握Atexp与基解矩阵的关系.3 重点掌握利用特征值求基解矩阵以及标准基解矩阵Atexp的方法.(只考虑有n个特征值的情形即可)。

《常微分方程》期末复习第一章绪论1、以模型引出常微分方程的基本概念，准确了解与解方程相关各个概念如：方程的阶数；通解中独立的任意常数的个数问题等2、会建立微分方程模型。

习题：(1)二阶微分方程的通解中应含的独立常数的个数（ 2 ）(2)P261.(3)P288(6)(7)（4）函数y=sinx是下列哪个微分方程的解（ A ）A.d 2ydx2+y=0 B.dydx+2y=0 C.d2ydx2+y=sinx D.dydx+y=0第二章一阶微分方程的初等解法1、变量分离方程的解法dydx=f(x)g(y)一般步骤：变量分离，两边积分，整理得通解。

2、可化为变量分离的方程 (1)dydx =f(yx) (2)dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2(1)dydx =f(yx)解法：令u=yx ,则y=ux, dydx=x dudx+u代入原方程整理，成可分离变量。

(2)dydx =a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2分三种情况讨论。

3、一阶线性微分方程dydx=P(x)y+Q(x) (2.28)(2.28)对应的齐次线性微分方程dydx=P(x)y（2.3），可用变量分离法求解。

dydx=P(x)y（2.3）的通解为y=ce∫P(x)dx；采用常数变易法，(2.28)有形如y=c(x)e∫P(x)dx (2.29)的解，将其代入原方程解出c(x)，将c(x)带回(2.29)即得(2.28)的通解。

(2.28)的通解公式：y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e−∫P(x)dx dx+c).4、伯努利微分方程dydx=P(x)y+Q(x)y n (n≠0,1) (2.37)作变量变换令z=y1−n, 则dzdx =(1−n)y−n dydx代入原方程整理成(2.28)的形式再求解。

5、恰当微分方程与积分因子M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(1)恰当微分方程⇔ðMðy =ðNðx. 此时M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)原方程通解为u(x,y)=c .(2)非恰当微分方程，但μM(x,y)dx+μN(x,y)dy=0是恰当微分方程。

第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。

要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。

熟练掌握常数变易法。

本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。

本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。

本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。

不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。

本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。

二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。

三.方程组的具体解法。

§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。

但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。

如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。

用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。