【典型例题】第五章线性微分方程组
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第五章线性微分方程组
第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。
要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。
熟练掌握常数变易法。
本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。
本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。
本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。
不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。
本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。
二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。
三.方程组的具体解法。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。
但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。
如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。
用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
第五章_第2节 n维线性空间中的微分方程
③ A( x ) [ai j ( x )]nn 在x x0处连续
⑥ A [ai j ]nn 的范数： A
y的范数： y yi
i 1
n
i , j 1
ai j
n
y的范数还有如下等价定义： 2 2 (1) | y | y12 y2 yn ; ( 2) | y | max | y1 | + | y2 | ++ | yn |;
a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y2 a1n ( x ) yn f1 ( x ) y1 a21 ( x ) y1 a22 ( x ) y2 a2n ( x ) yn f2 ( x ) y2 an1 ( x ) y1 an2 ( x ) y2 ann ( x ) yn fn ( x ) yn
n 阶方程 (2.4)
等价
一阶n元方程组 (2.4)
或
n 阶方程 (2.4) 转化 一阶n元方程组 (2.4)
转化
2º n 阶方程 (2.4)
一阶n元方程组 (2.4)
例3 一阶二元微分方程组
d y 1 d x 0
0 y, 1
y1 y y2
y1 y1 即 y2 y2
又
( y1 , y2 , , yn ) ( , , , ( n1) ) (C1 , C 2 , , C n ) (C1 , C 2 , , C n )
( , , , ( n1) ) 若J 0， (C1 , C 2 , , C n ) 则 ( y1 , y2 , , yn ) 0 (C1 , C 2 , , C n )
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
第5章微分方程与差分方程
两边积分，得 故
dy = − p( x) d x ， ( y ≠ 0) ， y y = 0 对应于 ln | y | = − ∫ p ( x) d x + C1 ， C＝ 。 0
y = ±e ⋅ e ∫
C1 − p( x)d x
。
记 C = ± eC1，得一阶齐线性方程 的通解为 y = Ce ∫
− p( x)d x
2d y = d x， 2 y −1
对上式两边积分， 对上式两边积分，得原方程的通解 y −1 ln = x + C1 。 y +1 经初等运算可得到原方程的通解为 隐函数形式
1 + Ce x y= 。 (C = ± eC1 ) 1 − Ce x 你认为做完了没有？ 你认为做完了没有？
代入原方程可知： 令 y 2 − 1 = 0 ，得出 y = ±1，代入原方程可知：
5、初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
dx = t2 dt
d2 y dy +b + cy = sin x 2 dx dx d x − x2 = t3 dt
2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为
F ( x, y′, y′′, L , y ( n ) ) = 0 。
dN = rN (1 例1、 ) dt N ( 0) = N 0
常微分方程--第五章 线性微分方程组(5.1-5.2节)
5.3.1 常系数线性齐次微分方程组 5.3.2 常系数非齐次线性微分方程组
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5.1微分实例及有关概念 多回路的电路问题 考虑多个回路的电路，
E (t )
L
C
R1
R2
E (t ) 是电源电压， L 是电感，C 是电容器电容,
R1 , R2 是电阻， i1 是通过 L 的电流， i2 是通过
T
A (aij ) nn
满足初始条件 x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z (t0 ) z0 的解 x(t ), y (t ), z (t ).
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事实上, 在第4 章中的高阶微分方程
y
( n)
( n 1) f ( x, y, y , y ).
令 y y1 , y y2 , y ( n1) yn1 , 则上式可以化为方程组
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通解及通积分 含有n个任意常数 c1 , cn 的解
x1 1 (t , c1 , cn ) x (t , c , c ) n 1 n n 为方程组的通解 . 这里 c1 , c2 ,, cn 相互独立.
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如果通解满足方程组
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上面方程组第二式两边对t求导得
di1 L R1 (i1 i2 ) E (t ) dt R ( di2 di1 ) R di2 1 i 0 1 2 2 dt dt dt c
解得
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5.1微分实例及有关概念 多回路的电路问题 考虑多个回路的电路，
E (t )
L
C
R1
R2
E (t ) 是电源电压， L 是电感，C 是电容器电容,
R1 , R2 是电阻， i1 是通过 L 的电流， i2 是通过
T
A (aij ) nn
满足初始条件 x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z (t0 ) z0 的解 x(t ), y (t ), z (t ).
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事实上, 在第4 章中的高阶微分方程
y
( n)
( n 1) f ( x, y, y , y ).
令 y y1 , y y2 , y ( n1) yn1 , 则上式可以化为方程组
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通解及通积分 含有n个任意常数 c1 , cn 的解
x1 1 (t , c1 , cn ) x (t , c , c ) n 1 n n 为方程组的通解 . 这里 c1 , c2 ,, cn 相互独立.
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如果通解满足方程组
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上面方程组第二式两边对t求导得
di1 L R1 (i1 i2 ) E (t ) dt R ( di2 di1 ) R di2 1 i 0 1 2 2 dt dt dt c
解得
【典型例题】 第五章 线性微分方程组
第五章 线性微分方程组5-1 考虑方程组x A x )(t dtd = （1）其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =，1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式)()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）； 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：],[,,)()(0)]()([0011b a t t et W t W tt nn dss a s a ∈=⎰++ 。
证 1）根据行列式的微分公式)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nnnn n nn n n n nn n n n ''++''+''='（3）由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='∑∑∑===nj jk nj nj jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11211211221111)()()()()()()()()()()()()()()()(x ， 所以∑==='nj jk ijikn k i t x t at x 1),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于)()()()()()()()()()()()()()()()()(11122111111122111111t W t a t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t at x t ann n n n nn n n nj jn jn j j j==∑∑==类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22t W t a t W t a nn ，代入（3）得W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）2）方程（2）是关于)(t W 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ⎰++=tt nn dss a s a Cet W 011)]()([)( ，C 为任意常数。
常微分方程第5章答案
习题1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又 v(0)= =v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.&b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0;c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x ＝x, x = x , 得即又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝ x(1)＝其中 x＝ .b) 令＝x ＝＝＝则得：/且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即 ww(0)= 其中 w＝3. 试用逐步逼近法求方程组】＝ x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：\0241201 杨素玲习题02412—02 02412—031.试验证 =是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。
第五章 线性微分方程组I(修正)
t0
t
命题5
• 设 t 是积分方程（5.8）的定义于 a t b 上的一个连续解，则： t t , a t b 证明：由 t A s t f s ds
t0 t
类似命题3，得到：
MLk k 1 k t t b t0 , k 1!
得证！
推论：
• 第四章的定理1 • 如果 a1 t , a2 t ,, an t , f t 在区间 • a t b 是连续函数，则对区间 a t b 上的任意t0，及任意的 1 ,2 ,,n ，方程
• 类似的可以定义可积的，如果每个元素可 积
定义1：方程的解
• 设 A t 是区间 a t b 上的连续 n n， 矩 阵，f t 是同一区间上的连续的n维向量。 方程组：
x ' t At x t f t
5.4
• 在区间 t 的解就是向量 u t ，他的 导数满足：
进一步
d I1 R 1 1 I1 E 1 I L 1 2 I L 0 dt 2 I t f
例2 验证
et u t t e
j 1
k
• 因为 A t 和 f t 在闭区间 上 连续，所以 A t 和 f t 均在 a t b 有 界，设L，和K是大于零的常数，使得：
A t L, f t K ,
at b
由（5.9）有
• 并取：M L K
1 t 0 t A s 0 s f s ds
t t0
t
命题5
• 设 t 是积分方程（5.8）的定义于 a t b 上的一个连续解，则： t t , a t b 证明：由 t A s t f s ds
t0 t
类似命题3，得到：
MLk k 1 k t t b t0 , k 1!
得证！
推论：
• 第四章的定理1 • 如果 a1 t , a2 t ,, an t , f t 在区间 • a t b 是连续函数，则对区间 a t b 上的任意t0，及任意的 1 ,2 ,,n ，方程
• 类似的可以定义可积的，如果每个元素可 积
定义1：方程的解
• 设 A t 是区间 a t b 上的连续 n n， 矩 阵，f t 是同一区间上的连续的n维向量。 方程组：
x ' t At x t f t
5.4
• 在区间 t 的解就是向量 u t ，他的 导数满足：
进一步
d I1 R 1 1 I1 E 1 I L 1 2 I L 0 dt 2 I t f
例2 验证
et u t t e
j 1
k
• 因为 A t 和 f t 在闭区间 上 连续，所以 A t 和 f t 均在 a t b 有 界，设L，和K是大于零的常数，使得：
A t L, f t K ,
at b
由（5.9）有
• 并取：M L K
1 t 0 t A s 0 s f s ds
t t0
常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组共32页
第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
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第五章 线性微分方程组5-1 考虑方程组x A x)(t dtd = （1） 其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =，1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式)()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）；2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：],[,,)()(0)]()([0011b a t t et W t W tt nn dss a s a ∈=⎰++ 。
证 1）根据行列式的微分公式)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nnnn n nn n n n nn n n n ''++''+''='（3）由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='∑∑∑===nj jk nj nj jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11211211221111)()()()()()()()()()()()()()()()(x ， 所以∑==='nj jk ijikn k i t x t at x 1),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于)()()()()()()()()()()()()()()()()(11122111111122111111t W t a t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t at x t ann n n n nn n n nj jn jnj j j==∑∑==类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22t W t a t W t a nn ，代入（3）得W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）2）方程（2）是关于)(t W 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ⎰++=tt nn dss a s a Cet W 011)]()([)( ，C 为任意常数。
若)(,00t W W t t ==，则 )(0t W C =， 于是 ⎰++=tt nn dss a s a et W t W 011)]()([0)()( 。
评注：公式 ⎰++=tt nn dss a s a e t W t W 011)]()([0)()( 称为刘维尔公式，反映了线性齐次方程组的解与系数矩阵)(t A 的关系。
)()()()(22111t a t a t a t ann ni ii+++=∑= 称为矩阵)(t A 的迹，记为)(t tr A ，所以刘维尔公式又可表示为⎰=tt dss tr et W t W 0)(0)()(A 。
从公式中可以看出，线性齐次方程组（1）的n 个解构成的朗斯基行列式)(t W 或者恒为零，或者恒不为零。
5-2 设)(t A 为区间b t a ≤≤上连续的n n ⨯实矩阵，)(t Φ为方程x A x )(t ='的基本解矩阵，而)(t φx =为其一解。
试证：1） 对于方程y A y )(t T-='的任一解)(t ψy =必有=)()(t t T φψ常数；2） )(t Ψ为方程y A y )(t T -='的基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使C ΦΨ=)()(t t T。
证 1） 由于)(t ψy =为方程y A y )(t T-='的解，则)()()(t t t T ψA ψ-='，两边转置，得())()()(t t t T TA ψψ-='，即())()()(t t t TT A ψψ-='。
因为 []())()()()()()(t t t t dtt t d T T T φψφψφψ'+'=()())()()()()()(t t t t t t T T φA ψφA ψ+-=0= ，所以必有=)()(t t T φψ常数。
2） 必要性。
由于)(t Ψ为方程y A y )(t T-='的基本解矩阵，则 )()()(t t t TΨA Ψ-='， 转置后，得 ())()()(t t t TTA ΨΨ-='。
因为[]())()()()()()(t t t t dtt t d T T T ΦΨΦΨΦΨ'+'= ()())()()()()()(t t t t t t T T ΦA ΨΦA Ψ+-=0= （零矩阵）。
所以 C ΦΨ=)()(t t T（常数矩阵），而)(t Ψ和)(t Φ都是基本解矩阵，因而C 还为非奇异矩阵。
充分性。
由于存在非奇异的常数矩阵C ，使C ΦΨ=)()(t t T ，两边关于t 求导数，有[]())()()()()()(t t t t dtt t d T T T ΦΨΦΨΦΨ'+'=()0=+'=)()()()()(t t t t t T T ΦA ΨΦΨ即 ())()()()()(t t t t t TTΦA ΨΦΨ-='， 而)(t Φ是基本解矩阵，则)(t Φ为非奇异矩阵，故有())()()(t t t T TA ΨΨ-='，即())()()(t t t T TA ΨΨ-='，两边再转置，得)()()(t t t T ΨA Ψ-='，即证明了)(t Ψ为方程y A y )(t T-='的基本解矩阵。
评注：由证明过程可以看出，方程y A y )(t T-='和x A x )(t ='的解曲线之间满足=)()(t t T φψ常数。
5-3 设)(t Φ是n 阶线性方程组Ax x=dtd （A 是n n ⨯的常数矩阵） 的标准基本解矩阵，（即E Φ=)0(）证明)()()(001t t t t -=-ΦΦΦ其中0t 为某一值。
证 因)(t Φ为基本解矩阵，则有)()(t dtt d A ΦΦ=，0)(det ≠t Φ )()()(000t t t t d t t d -=--A ΦΦ，即)()(00t t dtt t d -=-A ΦΦ，所以)(0t t -Φ也是基本解矩阵。
由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以互相线性表示，故C ΦΦ)()(0t t t =-，由条件E Φ=)0(得，E ΦC Φ==)0()(0t ，即得 )(01t -=ΦC ，所以有)()()(001t t t t -=-ΦΦΦ。
评注：这是标准基本解矩阵的一个性质，即)ex p()ex p(])ex p[(00A A A t t t t -=-。
5-4 试求下列方程的通解 1）22,sec πt πt x x <<-=+''， 2）te x x 28=-'''。
解 1）i λλ±==+2,12,01，齐次方程的基本解组为t t x t t x sin )(,cos )(21== 所以1cos sin sin cos )](),([21=-=tt tt t x t x W ，取00=t ，利用常数变易公式ds s f s x s x W s x t x s x t x t φt t )()](),([)]()()()()(~0212112⎰-=可得原方程的特解为t t t t ds ss t s t t t cos ln cos sin cos 1)sin cos cos (sin )(~0⋅+=-=⎰ϕ ， 原方程的通解为t C t C t t t t x sin cos cos ln cos sin 21++⋅+=。
2）083=-λ，i 31,23,21±-==λλ，齐次方程基本解组为t e t x t e t x e t x t t t 3sin )(,3cos )(,)(3221--===。
利用常数变易公式，原方程满足初始条件的特解为：ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t φk tk k )()](),(),([)](),(),([)()(~310321321∑⎰==，其中)](),(),([321s x s x s x W k 是在朗斯基行列式)](),(),([321s x s x s x W 中的第k 列代以()T 1,,0,0 后得到的行列式。
经计算可得),3cos 33sin 3()(),3cos 33sin 3()(,3)(,312)(3221t t e t W t t e t W e t W t W t tt +-=-===-可得原方程的特解为t e t e e te t tt t t 3sin 57633cos 1925241121)(~22---+-=ϕ， 原方程的通解为 tt tte e C et C t C x 22321121)3sin 3cos (+++=-。
评注：此题主要是常数变易公式的应用。
常数变易公式表明线性非齐次方程的特解可以由对应齐次方程的基本解组的朗斯基行列式表示。
当然，此题中的2）用待定系数方法求特解会更简单。
5-5 给定方程)(78t f x x x =+'+''其中)(t f 在∞<≤t 0上连续，试利用常数变易公式，证明：1）如果)(t f 在∞<≤t 0上有界，则上面方程的每一个解在∞<≤t 0上有界；2） 如果当∞→t 时0)(→t f ，则上面方程的每一解)(t φ，满足)(0)(∞→→t t φ当。
证 1）1,7,078212-=-==++λλλλ，齐次方程有基本解组t t e e 7,--ttt t te ee e e t W 87767)(------=--=。
利用常数变易公式：ds s f s x s x W s x t x s x t x t φtt )()](),([)]()()()()(~0212112⎰-=可得原方程的一个特解ds s f e e e e e t φs t s t s t )()(61)(~7780------=⎰ ⎰⎰---=t st t s t ds s f e e ds s f e e 0770)(61)(61 ，所以原方程的任一解为⎰⎰-----++=ts t ts t t t ds s f e e ds s f e e e C e C t 0770721)(61)(61)(ϕ。