精选习题 第五章 线性微分方程组

第五章1,0,0, (,0)1/2,0,0,0.x u uu x x t x x ⎧<⎪∂∂+==⎨∂∂⎪>⎩1. 对初值问题=2试分别用左偏心格式、LW 格式计算其数值解u , k =1,2,3,4, 取/1/h τ=.k 解: 矩形网格剖分区域. 取空间步长h , 时间步长τ的矩形网格剖分区域, 用节点表示坐标点0,1,2,...;j =±±(,)j k (,)(,)j k x t jh k τ=,0,1,2,3,4.k =0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂kjk j x u t u （1）左偏心格式：，在t 上用向前差商，x 上用向后差商，得011=−+−−+hu u u u kj k j k jk j τ中国地质大学(北京)廉海荣编 1，因为2/1/=h τ，整理得到k j k j k ju u u 212111+=−+ 把已知条件离散成，则可以根据下一层求上一层的值得到，=1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k k u k uLW 格式： )2(2)(21122111kj k j k j k j k j k jk ju u u r a u u ar u u−++−−=−+−++ 在本题中,2/1/,1===h r a τ,整理得到：中国地质大学(北京)廉海荣编 2k j k j k j k ju u u u 111814383+−+−+=，同理可根据边值条件，根据下一层求上一层的值得到，k =1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k u k u0, 0,0x<, u(x,0)=(x), 0x<, u(0,t)=(t), 0. u u a t T t x t T ϕψ∂∂⎧+=<≤<∞⎪∂∂⎪≤∞⎨⎪≤≤⎪⎩中国地质大学(北京)廉海荣编32. 试对初边值问题其中建立以下差分格式 0a >111102k k k k j jj j u u u u ahτ++++−−−+=1,（a ）1111111()222k k k k k kj jj j j j u u u u u u a h hτ++++−+−−−−++（b ）0=. 试分析它们的稳定性。

第五章 线性微分方程组5-1 考虑方程组x A x )(t dtd = （1）其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =，1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式)()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）； 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：],[,,)()(0)]()([0011b a t t et W t W tt nn dss a s a ∈=⎰++ 。

证 1）根据行列式的微分公式)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nnnn n nn n n n nn n n n ''++''+''='（3）由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='∑∑∑===nj jk nj nj jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11211211221111)()()()()()()()()()()()()()()()(x ， 所以∑==='nj jk ijikn k i t x t at x 1),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于)()()()()()()()()()()()()()()()()(11122111111122111111t W t a t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t at x t ann n n n nn n n nj jn jn j j j==∑∑==类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22t W t a t W t a nn ，代入（3）得W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）2）方程（2）是关于)(t W 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ⎰++=tt nn dss a s a Cet W 011)]()([)( ，C 为任意常数。

5.6高阶线性微分方程 习题5.61. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ （1）2,x x 解：2xx ≠常数，所以线性无关。

（2）,2x x 解：122x x =为常数，所以线性相关。

（3）22,3xxe e 解：22133x x e e =为常数，所以线性相关。

（4）,xxe e −解：xx e e−≠常数，所以线性无关。

（5）cos 2,sin 2x x 解：cos 2sin 2xx≠常数，所以线性无关。

（6）22,x x e xe 解：22x x e xe≠常数，所以线性无关。

（7）sin 2,cos sin x x x 解：sin 22cos sin xx x=为常数，所以线性相关。

（8）cos 2,sin 2xxe x e x 解：cos 2sin 2x x e x e x≠常数，所以线性无关。

（9）ln ,ln x x x 解：ln ln xx x≠常数，所以线性无关。

（10）(),axbxe ea b ≠解：axbx e e≠常数，所以线性无关。

（11）,xxe xe 解：xx e xe≠常数，所以线性无关。

2. 验证函数与在(上都是二阶线性齐次微分方程xy e =xy e −=)x −,−∞+∞"0y y −=的解。

求它的通解，并求方程"1y y −=−的通解。

解：()，所以函数()"",x x x ee e e −==x y e =与x y e −=在(),−∞+∞上都是二阶线性齐次微分方程的解。

它的通解为"0y y −=12.x y C e C e x −=+可观察出1y =为方程 "1y y −=−的特解，所以它的通解为121.x x y C e C e −=++3. 验证函数在1,sin ,cos y y x y ===x (),−∞+∞上都是三阶线性齐次微分方程"''0y y +=的解。

常微分课后答案第五章第五章 线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理习题5.11．给定方程组x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='0110，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ． （*）)a 试验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u sin cos )(，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)0(v 的解；)b 试验证)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)(c c t w 的解，其中21,c c 是任意常数．证明)a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(v 显然．)(0110sin cos 0110cos sin )(t u t t t t t u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='，)(0110cos sin 0110sin cos )(t v t t t t t v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t u sin cos )(，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)0(u ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(v 的解．)b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=2121211001)0()0()0(c c c c v c u c w ，又)(0110)(0110)()()(2121t v c t u c t v c t u c t w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=')(0110))()((011021t w t v c t u c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)(c c t w 的解，其中21,c c 是任意常数．2．将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：)a t e tx x x -=+'+''72，7)1(=x ，2)1(-='x ；)b tte x x =+)4(，1)0(=x ，1)0(-='x ，2)0(=''x ，0)0(='''x ；)c ⎩⎨⎧=-'+-''=+-'+''tx y y y e y x y x t cos 15132,675，1)0(=x ，0)0(='x ，0)0(=y ，1)0(='y ．（提示：令y w y w x w x w '=='==4321,,,）解 )a 设x x x x '==21,，则21x x x ='='，te tx xx x -+--=''='12272，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为⎪⎩⎪⎨⎧-==+--='='-．2)1(,7)1(,27,2121221x x e x tx x x x t)b 设x x x x x x x x'''=''='==4321,,,，则21x x x ='='，32x x x =''='，43x x x ='''='，tte xx +-='14，则得等价的一阶方程组的初值问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='='='='tte x x x x x x x x 14433221,,,，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0211)0()0()0()0()0(4321x x x x x ．)c 令y w y w x w x w'=='==4321,,,，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+='='+--='='tw w w w w w e w w w w w w t cos 13215,,567,431443431221 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001)0()0()0()0()0(4321w w w w w ，为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题． 3．试用逐步逼近法求方程组xx ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='0110，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10)0(x 的第三次近似解．解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)(0t ϕ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰110011010)(01t ds t tϕ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰2210211011010)(t t ds s t tϕ，第三次近似解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰2213610221*********)(t t t ds s s t t ϕ．§5.2 线性微分方程组的一般理论习题5.21．试验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ12)(2t t t t是方程组x t tx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-='22102，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x在任何不包含原点的区间b t a ≤≤上的基解矩阵． 证明 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t 2)(21ϕ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(2t t ϕ，则由于)(22102221022)(12221t t t t t t t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='，)(22101221001)(2222t t t t t t t ϕϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='，所以)(,)(21t t ϕϕ都是方程组的解，因而[])()()(21t t t ϕϕ=Φ是所给方程组的解矩阵．又由于在任何不包含原点的区间],[b a 上，0)(det 2≠-=Φt t （],[b a t ∈），故)(t Φ是所给方程组的基解矩阵． 2．考虑方程组xt A x )(='， （5.15）其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为)(t a ij，n j i ,,2,1, =．)a 如果)(,,)(,)(21t x t x t x n是（5.15）的任意n 个解，那么它们的Wronsky 行列式)](,,)(,)([21t x t x t x W n满足下面的一阶线性微分方程Wt a t a t a W nn )]()()([2211+++=' ．（提示：利用行列式的微分公式，求出W '的表达式）；)b 解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：⎰=+++tt nn dss a s a s a e t W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t∈．证明 )a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nn n nn n nn n n n n '''++'''='+=∑∑∑===)()()()()()()()()()()()(212222111121111t x t x t x t x t x t x t x t at x t at x t ann n n n nk kn knk k knk k k∑∑∑===+nk kn nknk k nknk k nkn n t x t at x t at x t at x t x t x t x t x t x 112112222111211)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(21222211121121222211121111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a nn n n n n nn nn n n n n++=)()]()([11t W t a t a nn ++= ，所以)(t W 是一阶线性微分方程Wt a t a t a W nn )]()()([2211+++=' 的解．)b 由)a 知，Wt a t a t aW nn )]()()([2211+++=' ，分离变量后两边积分求解得⎰=+++tt nn dss a s a s a cet W 02211)]()()([)( ，t t =时就得到)(0t W c =，所以⎰=+++tt nn dss a s a s a et W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t ∈．3．设)(t A 为区间],[b a 上的连续n n ⨯实矩阵，)(t Φ为方程x t A x )(='的基解矩阵，而)(t x ϕ=为其一解．试证：)a 对于方程yt Ay T)(-='的任一解)(t ψ必有=)()(t t Tϕψ常数；)b )(t ψ为方程yt Ay T)(-='的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(．证明)a 由于)(t ϕ是方程x t A x )(='的解，故有)()()(t t A t ϕϕ='，)(t ψ为方程yt A y T )(-='的解，故)()()(t t A t T ψψ-='．所以[][])()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t TTTTTϕψϕψϕψϕψϕψ'+'='+'=')()()()()]()([t t A t t t t A TT T ϕψϕψ+-=)()()()()()(=+-=t t A t t t A t T T ϕψϕψ，所以=)()(t t Tϕψ常数．)b “⇒” )(t Φ是方程x t A x )(='的基解矩阵，因此)()()(t t A t Φ=Φ'，)(t ψ是方程yt Ay T)(-='的基解矩阵，故)()()(t t A t T ψ-=ψ'，且0)(det ≠Φt 和0)(det ≠t ψ．所以[][])()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t TTTTTΦ'ψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'ψ='Φψ)()()()()]()([t t A t t t t A TTTΦψ+Φψ-=)()()()()()(=Φψ+Φψ-=t t A t t t A t T T ， 故)()(t t TΦψ是常数矩阵，设Ct t T=Φψ)()(，则)(det )(det )(det )(det )]()(det[det ≠Φ⋅ψ=Φ⋅ψ=Φψ=t t t t t t C T T ，因此存在非奇异常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(．“⇐”若存在非奇异常数矩阵C ，使Ct t T=Φψ)()(，则有)(det )(det )(det )(det )]()(det[det 0t t t t t t C T T Φ⋅ψ=Φ⋅ψ=Φψ=≠，所以0)(det ≠ψt ，即)(t ψ是非奇异矩阵或说)(t ψ的各列是线性无关的．又[])()()()()]([)()()(])([)()(0t t A t t t t t t t t t T T T t T Φψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'ψ='Φψ=，并注意到)(det ≠Φt ，有)()()]([t A t t T T ψ-=ψ'，即)()()(t t A t T ψ-=ψ'．从而)(t ψ是方程yt Ay T)(-='的基解矩阵．4．设)(t Φ为方程Ax x ='（A 为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即E =Φ)0(），证明)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．证明 由于A 为n n ⨯常数矩阵，故A 在),(∞+-∞有定义、连续，从而它的解也在),(∞+-∞连续可导．由)(t Φ为方程Ax x ='的基解矩阵，故),(∞+-∞∈∀t ，有0)(det ≠Φt ，并且有)()(t A t Φ=Φ'，从而对某个0t ，有)(det 0≠-Φt t ，且)()()()(])([00000t t A t t t t t t t t -Φ=-Φ'='-⋅-Φ'='-Φ，即)(0t t -Φ亦为方程Ax x ='的基解矩阵．由推论2*，存在一个非奇异常数矩阵G ，使得在区间),(∞+-∞上，G t t t )()(0Φ=-Φ．又因为Gt t tE )()()0(000Φ=-Φ=Φ=，所以)(01t G -Φ=．因此)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．5．设)(,)(t f t A 分别为在区间],[b a 上连续的n n ⨯矩阵和n 维列向量．证明方程组)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解． 证明 设方程组xt A x )(='的基解矩阵为)](,,)(,)([)(21t t t t n ϕϕϕ =Φ，而)(~t ϕ是方程组)()(t f x t A x +='的一个特解，则其通解为)(~)(t c t x ϕ+Φ=，其中c 是任意的常数列向量．若)(t f 不恒为0，则)(~t ϕ必与)(,,)(,)(21t t t n ϕϕϕ 线性无关，从而)(~t ϕ，)(~)(1t t ϕϕ+，)(~)(2t t ϕϕ+，)(~)(,2t t ϕϕ+ 线性无关，即方程组)()(t f x t A x +='存在1+n 个线性无关解．又假若)(t x 是方程组)()(t f x t A x +='的任意一个解，则一定有确定的常数列向量c ，使得)(~)()(t c t t x ϕ+Φ=，将其加入)(~t ϕ，)(~)(1t t ϕϕ+，)(~)(2t t ϕϕ+，)(~)(,2t t ϕϕ+ 这一组向量就线性相关，故方程组)()(t f x t A x +='的任何2+n 个解必线性相关．从而方程组)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解．6．试证非齐线性微分方程组的叠加原理：设)(,)(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t fx t A x +='的解，则)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解． 证明 因为)(,)(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t fx t A x +='的解，故)()()()(111t f t x t A t x +='，)()()()(222t f t x t A t x +='，所以有)]()()([)]()()([)()(])()([22112121t f t x t A t f t x t A t x t x t x t x +++='+'='+)()()]()()[(2121t f t f t x t x t A +++=，所以)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解． 7．考虑方程组)(t f Ax x +='，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t f cos sin )(． )a 试验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φt t te te e t 2220)(是Ax x ='的基解矩阵；)b 试求)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解)(t ϕ．证明)a 00)(det 4222≠==Φtt t te ete e t ，),(∞+-∞∈∀t 成立．而)(0201220)12(2)(222222t A e te e e e t e t t t tt t tΦ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Φ'，所以)(t Φ是Ax x ='的基解矩阵．)b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--10101)(222241s e e se e es s s s s s，这样，由定理8，方程组满足初始条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00)0(ψ的解就是⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t s t t ttds s s s e e te e ds s f s t t 0222201cos sin 1010)()()()(ψ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t s t t tds s s s s e e te e 02222cos cos sin 0⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--52)cos 2(sin 51252)cos 2sin 14sin 5cos 10(251022222t t e t t t t t t e e te e t tt tt⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=)cos 2sin 2(51)cos sin 75(252222t t e t t e te t tt ，对应的齐线性方程组满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(h ϕ的解就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t t t t th h e t e E e te e t t 2212221)1(110)0()0()()(ϕϕ，所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+--=+=)cos 2(sin 5153)cos sin 7(252)1527(251)()()(22t t e t t t e t t t t t h ψϕϕ．8．试求)(t f Ax x +='，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21x x x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t t f cos sin )( 满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解)(t ϕ．解 由上题知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t t h e t e t 22)1()(ϕ，且这里⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=--t s s t t ttds e s e e te e ds s f s t t 0222220101010)()()()(ψ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰t t t t t t t t tte e t t t e te e ds s e te e 222222202222121010，所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+=t t h e t e t t t t t 222)1()211()()()(ψϕϕ．9．试求下列方程的通解：)a t x x sec =+''，22ππ<<-t ； )b te x x 28=-'''； )c te x x x =+'-''96．解 )a 易知对应的齐线性方程0=+''x x 的基本解组为t t x cos )(1=，t t x sin )(2=，用公式（5.31）来求方程的一个解．这时1cos sin sin cos )](,)([21=-=tt t t t x t x W ，取0=t，有 ⎰⎰-=-=t t t sdss t s t ds s f s x s x W s x t x s x t x t 0212112sec )sin cos cos (sin )()](,)([)()()()()(0ϕtt t t sds t ds t tt cos ln cos sin tan cos sin 0+=-=⎰⎰所以方程的通解为tt t t t c t c x cos ln cos sin sin cos 21+++=． )b 由于特征方程083=-λ的根是21=λ，i313,2±-=λ，故对应的齐线性方程的基本解组为te t x 21)(=，te t x t 3cos )(2-=，tet x t3sin )(3-=．原方程的一个特解由公式（5.29）有（取0=t），∑⎰==313213210)()](,)(,)([)](,)(,)([)()(k tt k k dss f s x s x s x W s x s x s x W t x t ϕ，其中)](,)(,)([)(321t x t x t x W t W =)3sin 3cos 3(2)3sin 33(cos 24)3sin 3cos 3()3sin 33(cos 23sin 3cos 222t t e t t e e t t e t t e e te te e t t tt t tt t t +----+-=------312=，)](,)(,)([)(3211t x t x t x W t W =)3sin 3cos 3(2)3sin 33(cos 21)3sin 3cos 3()3sin 33(cos 03sin 3cos 0t t e t t e t t e t t e te te t t t t t t +----+-=------te 23-=，)](,)(,)([)(3212t x t x t x W t W =)3cos 33sin 3()3sin 3cos 3(214)3sin 3cos 3(023sin 0222t t e t t e e t t e e te e t t tt tt t -=+--=---，)](,)(,)([)(3213t x t x t x W t W =)3sin 33cos 3(1)3sin 33(cos 240)3sin 33(cos 203cos 222t t e t t e e t t e e te e t t tt tt t +-=--+-=---．所以⎰⎰-+⋅=--ts s tts stdse s s e t e ds e eet 020222312)3cos 33sin 3(3cos 3123)(ϕ⎰+-+-ts s tdse s s e t e 02312)3sin 33cos 3(3sin)3cos 33(sin 324124112122t t e e te t t t ++-=-，故通解tt tte t c t c e ec t x 23221121)3sin 3cos ()(+++=-．)c 特征方程0962=+-λλ，得到特征根32,1=λ，故对应的齐线性方程的基本解组为te t x 31)(=，tte t x 32)(=，tttt tee t ete e t W 63333)31(3)(=+=．取0=t，由（5.31），得特解⎰⎰⋅-=-=t sss t st tt dse e se e e te ds sf s W s x t x s x t x t 06333321120)()()()()()()(ϕtt t ts t e te e ds e s t e 33023412141)(++=-=⎰-，所以得到通解tt e et c ct x 41)()(321++=．10．给定方程)(78t f x x x =+'+''，其中)(t f 在+∞<≤t 0上连续，试利用常数变易公式，证明：)a 若)(t f 在+∞<≤t 0上有界，则上面方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界；)b 若当∞→t 时，0)(→t f ，则上面方程的每一个解)(t ϕ，满足0)(→t ϕ（当∞→t 时）． 证明 对应的特征方程0782=++λλ有特征根7,1--，故对应的齐线性方程的基本解组te t x -=)(1，tet x 72)(-=，ttt t tee e e e t W 87767)(------=--=．由公式（5.31）得原方程的一个特解（0=t）为⎰⎰-------=-=t s st st tt dss f e e e e e ds s f s W s x t x s x t x t 08772112)(6)()()()()()()(~0ϕ⎰⎰---=t s t t s t dss f e e ds s f e e 0770)(61)(61，所以方程的任一解可写为⎰⎰-----++=t st t s t ttdss f e e ds s f e e ec e c t 0770721)(61)(61)(ϕ．)a 由于)(t f 在+∞<≤t 0上有界，故0>∃M ，),0[∞+∈∀t ，有M t f ≤)(．又由于10≤<-te ，107≤<-te，从而当),0[∞+∈t 时，⎰⎰⋅+⋅++≤--ts t ts t ds e M e ds e M e c c t 0770216161)(ϕ=)1(42)1(67721-+-++--tt t t e e M e e M c c)1(42)1(6721t t e M e M c c ---+-++=M c c 21421++<，即方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界．)b 当∞→t 时，0)(→t f ，故由⎰⎰-----++=ts t ts t t t ds s f e e ds s f e e e c e c t 0770721)(61)(61)(ϕ知，若⎰t sdss f e)(有界，则)(0)(610∞→→⎰-t ds s f e e t st ，若⎰t sdss f e)(无界，由于)(s f 在),0[∞+连续，故⎰t s dss f e 0)(为无穷大量，因此0)(lim 616)(lim 6)(lim )(61lim 00====∞→∞→∞→-∞→⎰⎰t f et f e e ds s f e ds s f e e t t t t t tst t s t t ，即总有)(0)(610∞→→⎰-t ds s f e e t st ．同理)(0)(61077∞→→⎰-t ds s f e e t st ．从而对方程的每一个解)(t ϕ，有)(0)(∞→→t t ϕ．11．给定方程组x t A x )(='，这里)(t A 是区间],[b a 上的连续n n ⨯矩阵．设)(t Φ是它的一个基解矩阵，n 维向量函数),(x t F 在∞<≤≤x b t a ,上连续，],[0b a t∈．试证明初值问题：⎩⎨⎧=+='ηϕ)(,),()(0t x t F x t A x（*）的唯一解)(t ϕ是积分方程组⎰--ΦΦ+ΦΦ=tt dss x s F s t t t t x 0))(,()()()()()(101η （**）的连续解．反之，（**）的连续解也是初值问题（*）的解． 证明)(t ϕ是初值问题（*）的解，故))(,()()()(t t F t t A t ϕϕϕ+='，这说明),(x t F 是t 的向量函数，于是由公式（5.27）得⎰--ΦΦ+ΦΦ=t t ds s s F s t t t t 0))(,()()()()()(101ϕηϕ，即)(t ϕ是积分方程组（**）的连续解．反之，设)(t ϕ是积分方程组（**）的连续解，则有⎰--ΦΦ+ΦΦ=t t ds s s F s t t t t 0))(,()()()()()(101ϕηϕ，两端对t 求导，就有))(,()()())(,()()()()()(11010t t F t t ds s s F s t t t t t t ϕϕηϕ---ΦΦ+ΦΦ'+ΦΦ'='⎰))(,(]))(,()()()[(0101t t F ds s s F s t t tt ϕϕη+Φ+ΦΦ'=⎰-- ))(,(]))(,()()()[()(0101t t F ds s s F s t t t A t t ϕϕη+Φ+ΦΦ=⎰-- ))(,(]))(,()()()()()[(0101t t F ds s s F s t t t t A t t ϕϕη+ΦΦ+ΦΦ=⎰--))(,()()(t t F t t A ϕϕ+=，即)(t ϕ也是初值问题（*）的解．§5.3 常系数线性微分方程组习题5.31．假设A 是n n ⨯矩阵，试证：)a 对任意的常数21,c c 都有A c A c A c A c 2121exp exp )exp(⋅=+；)b 对任意整数k ，都有kAA kexp )(exp =．（当k是负整数时，规定kk A A --=])[(exp )(exp 1．证明 )a 因为))(())((1222121A c A c A c c A c A c ==，所以矩阵Ac 1与A c 2可交换，故Ac A c A c A c 2121exp exp )exp(⋅=+．)b ①先证明N k ∈∀，有kAA kexp )(exp =，这只须对k 施以数学归纳法． 当1=k 时，)1exp(exp )(exp 1A A A ⋅==成立，设当k 时，kAA k exp )(exp =，则当1+k 时，有Ak A kA A A A k k )1exp(exp exp exp )(exp )(exp 1+===+，故对一切自然数k ，kAA kexp )(exp =．②)0exp(0exp )(exp 0A E A ===．③若k 是负整数，则N k ∈-，注意到)exp()(exp 1A A -=-，并由以上证明应用于矩阵A -，就有kAA k A A A k k k exp )](exp[)][exp(])[(exp )(exp 1=--=-==---，由①②③，对一切整数k ，均有kAA kexp )(exp =．2．试证：如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)]([exp )(0t t A t -=．证明 由于 ηηϕ⋅⋅-='-='A t t A t t A t )]([exp ])([exp )(0，)(})]({[exp 0t A t t A A ϕη=-=，又ηηηϕ==⋅=E A t )]0[exp()(0，故ηϕ)]([exp )(0t t A t -=是方程组Axx ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解．由解的唯一性，命题得证．3．试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量．)a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421； )b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---244354332；)c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102111121；)d ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6116100010．解 )a 特征方程0543421)det(2=--=----=-λλλλλA E ，特征值11-=λ，52=λ，对应于特征值11-=λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21u u u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得到0≠∀α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．类似地可求得对应于特征值52=λ的特征向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21βv ，其中0≠β的任意常数．)b 特征方程0)2)(1)(2(244354332)det(=++-=---+---=-λλλλλλλA E ，特征值21-=λ，12-=λ，23=λ．对应于特征值21-=λ的特征向量u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得到≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110αu 是对应于特征值21-=λ的特征向量．类似地，可以求出对应于特征值12-=λ以及23=λ的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011βv （0≠β的任意常数）和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111γw （0≠γ的任意常数）．)c 特征方程0)1)(3(12111121)det(2=+-=---+----=-λλλλλλA E ，特征值12,1-=λ，33=λ．对应于特征值12,1-=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321u u u u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，得0≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212αu 是对应于特征值12,1-=λ的特征向量．类似地，可以求出对应于特征值33=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212βv （0≠β的任意常数）．)d 特征方程0)3)(2)(1(61161001)det(=+++=+--=-λλλλλλλA E ，特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ．由0)(1=+-u E A λ，推出0≠∀α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．同样可求得对应于特征值22-=λ和33-=λ的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=421βv （0≠β的任意常数）和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=931γw （0≠γ的任意常数）．4．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并计算Atexp ，其中A 为：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；)b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421；)c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---244354332；)d ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--115118301．解)a 特征方程032112)det(2=-=--+=-λλλλA E ，得32,1±=λ是特征值．对应的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3211αu ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3212βu ，0,0≠≠βα为任意常数．所以方程组Axx ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Φ--t ttt e e ee t 3333)32()32()(．133331323211)32()32()0()(exp ----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ΦΦ=t ttt e e ee t At⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+----+=----t ttttt tt e eee e ee e 33333333)32()32()32()32(63．)b 由第3题)a 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Φ--t tt te e e e t 552)(． 155121112)0()(exp ----⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=t tt t e e e e t At⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=----t t t t t t tt e e e e e e e e 55552)(2231．)c 由第3题)b 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ----t t t t tt t e e e e ee e t 222220)(．12222211011111100)0()(exp ------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΦΦ=t t tt tt t e e e e ee e t At⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---=--------t tt t t tt tt t t tt t t t te e e e e e e e e e e e e e e e e 2222222222222． )d 特征方程)34)(3(11511831)det(2=--+=+------=-λλλλλλλA E ，特征值为31-=λ，723,2±=λ．对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4731αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=7174532βu ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=7174533γu ，γβα,,均为不等于零的任意常数．故方程组Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=Φ-+--+--+-t tt tt tttt e e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(．由)0()(exp 1-ΦΦ=t At 立即可得[])()()(exp 321t t t At ψψψ=，其中列向量函数⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++--+++--+++=-+--+--+-t t t t t t t t t e e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7514(2)7514(256)71349()49713(98)737(3)737(342841)(ψ， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-+-+-+=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)714(2)714(256)753175()753175(98)757(3)757(3422521)(ψ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++++--+++-+-=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7137()7137(112)98761()98761(196)714(3)714(3841261)(ψ．（该题计算量太大，作为该法的习题不是太好！）5．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并求满足初始条件ηϕ=)0(的解)(t ϕ：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33η；)b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=115118301A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=720η；)c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001η．解 )a 由上题)b 知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112231exp 55t tt te e e e At ，所以所求解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+==--t t t t e e e e At t 5542)(exp )(ηϕ．)b 由上题)d 知)0()(exp 1-ΦΦ=t At ，其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---=Φ-+--+--+-t tt tt tttte e e ee e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(．所以所求解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---+--⋅Φ==720)714(2775)773(3)714(2775)773(33214422521)()(exp )(t At t ηϕ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--+--+-++-+=-+--+--+-t t t tt t t t t e e e e e e ee e )72()72(3)72()72(3)72()72(3)7317(3)78977(728)7160289(3)7374511(1274)7435(9)9172(35461261．)c 由第3题)c 知，矩阵A 的特征值为12,1-=λ，33=λ．对应于特征值33=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212αv （0≠α的任意常数）．又由648324648)(32121=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-u u u u A E λ，得到⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=)24(3331γβγβu （γβ,是任意常数），由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)24(3331212001γβγβαη解出41,21,41-===γβα．依公式（5.52），得满足初始条件ηϕ=)0(的解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=--212120212124121241)]([)(33t tt t tt t e e u E A t E e Ev e t t t t t ϕ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=---)(2)(241333t t tt t t e e e e e e6．试求方程组)(t f Ax x +='的解)(t ϕ：)a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(ϕ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1)(t e t f ；)b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000)0(ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6116100010A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-t e t f 00)(；)c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21)0(ηηϕ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1234A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t f cos 2sin )(．解 )a 由第4题)b 知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1112231exp 55t tt te e e e At ，由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--------t s s t s t s t s t t t t tds e e e e e e e e e 0)(5)()(5)(5511112231111112231⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-=--53109235420934355t t t t tt e e e e e e ．)b 由第3题)d 知A 的特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ，对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421βv ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=931γw ，其中γβα,,均是不为零的任意常数．Ax x ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==Φ---------t tt tt tt t ttt te e e e e ee e e w e v e u et 3232329432][)(321λλλ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=Φ--13228615621941321111)0(11，而)0()(exp 1-ΦΦ=t At ．由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---------000132286156943221323232t tt tt t t t te e ee e e e e e⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-------------------t s s t s t s t s t s t s t s t s t s t dse e e e e e e e e e 0)(3)(2)()(3)(2)()(3)(2)(00132286156943221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+---+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=------------------⎰t t t tt t t t t t t s t s t t s t s t t s t s t e e e t e e e t e e e t ds e e e e e e e e e 3232320322322322916)72(38)25(4)32(419834221．)c A的特征方程0)2)(1(1234)det(=--=+--=-λλλλλA E ，求解得特征值11=λ，22=λ，对应的特征向量分别是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11αu ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23βv ，其中βα,是不为零的任意常数．所以方程组Axx ='的一个基解矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Φt tt t tte e e e v eu e t 2223][)(21λλ，从而，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--Φ=ΦΦ=-1132)()0()(exp 1t t At ．由公式（5.61）得⎰-+=t ds s f A s t At t 0)(])exp[()(exp )(ηϕ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----t s t s t s t s t t t t tds s s e ee e e e e e 0)(2)()(2)(2122cos 2sin 113223113223ηη⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=t t e e t t e e e e e e t t t t t t t t cos 2sin 224cos sin 234)(2)23()(3)23(222211222112ηηηηηηηη⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--+--+--=t t e e t t e e t t t t cos 2sin 2)(2)423(cos sin 2)(3)423(2211222112ηηηηηηηη．7．假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mtce Ax x +='有一解形如mte t ρϕ=)(，其中ρ,c 是常数向量．证明 设方程组有形如mte t ρϕ=)(的解，代入方程得m tm t m t ce e A e m +=ρρ，由此得cA m +=ρρ，即cA mE =-ρ)(．因为m 不是矩阵A 的特征值，故0)det(≠-A mE ，即矩阵A mE -可逆，得到c A mE 1)(--=ρ唯一确定．所以方程组有一解m tm t e ce A mE t ρϕ=-=-1)()(8．给定方程组⎩⎨⎧=+'+-'=-'++'-''．02,023221122111x x x x x x x x x)a 试证上面方程组等价于方程组Au u ='，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211321x x x u u u u ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112244010A ；)b 试求)a 中的方程组的基解矩阵；)c 试求原方程组满足初始条件0)0(1=x ，1)0(1='x ，)0(2=x 的解．解 )a 设11x u=，12x u'=，23x u=，则原方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧--='=''-+-=''='='=',2,23,32123331212211u u u x u u u u u x u u x u或⎪⎩⎪⎨⎧--='++-='='32133212212,244,uu u u u u u u u u ，即u u ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='112244010或Au u ='．反之，设11u x =，21u x ='，32u x=，则方程组Au u ='化为⎩⎨⎧-'-='+'+-=''．211221112,244x x x x x x x x即⎩⎨⎧=+'+-'=-'++'-''．02,023221122111x x x x x x x x x)b 由0)2)(1(11224401)det(=--=+----=-λλλλλλλA E ，得矩阵A的特征值01=λ，12=λ，23=λ．对应的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=201αu ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122βv ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021γw ，其中γβα,,均为不等于零的任意常数．由此得Au u ='的一个基解矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Φ0222021][)(22321t t tt t t t t e e e e e w e v e u e t λλλ．)c 求与之等价的方程组Au u ='，满足初始条件η=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010)0(u 的解ηη)0()()(exp )(1-ΦΦ==t At t u⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t tt t t t t t t t e e e e e e e e e e 226434121010012220121022202122122，所以，原方程组满足初始条件0)0(1=x ，1)0(1='x ，0)0(2=x 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=t t t e e e t 2234121)(2ϕ．9．试用Laplace 变换法解第5题和第6题． 解 5．)a 方程组两边取Laplace 变换，有)()(s AX s sX =-η，即η=-)()(s X A sE ，由具体数值代入得方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----33)()(342121s X s X s s ，根据Gramer 法则得 5211)(1-++=s s s X ，5411)(2-++-=s s s X，所以tte et -+=512)(ϕ，tte et --=524)(ϕ，故初值问题5．)a 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--t t t t e e e e t t t 552142)()()(ϕϕϕ．5．)b 对方程组两边施行Laplace 变换，并化简有η=-)()(s X A sE ，用具体数值代入得方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+------720)()()(115118301321s X s X s X s s s ，根据Gramer 法则得)72(427291)72(4272913313)34)(3(1521)(21--+-+---+=--++-=s s s s s s s s X ，)72(1267376511)72(12673765113991)34)(3(14372)(222--+++--++-=--+-+-=s s s s s s s s s X ，)72(12678977)72(126789773952)34)(3(5127)(223----+-+-+-=--+-+-=s s s s s s s s s X ，所以ttt e e e t )72()72(31427291427291313)(-+-+---=ϕ，ttt ee e t )72()72(3212673765111267376511991)(-+-++-+-=ϕ，ttt ee e t )72()72(331267897712678977952)(-+---+--=ϕ，故初值问题5．)b 的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--++-+-+---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+--+--+-t t t t t t t t t e e e e e e ee e t t t t )72()72(3)72()72(3)72()72(3321126789771267897795212673765111267376511991427291427291313)()()()(ϕϕϕϕ．5．)c 对方程组两边施行Laplace 变换，并化简有η=-)()(s X A sE ，用具体数值代入得方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+----001)()()(102111121321s X s X s X s s s ，根据Gramer 法则得31211121)(1-++=s s s X ，31411141)(2--+=s s s X，31211121)(1-++-=s s s X ， 所以)(21)(31t te e t -+=ϕ，)(41)(32t te e t ---=ϕ，)(21)(33t te e t --=ϕ，故初值问题5．)a 的解为。

常微分方程习题4.2 2、解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=t t t te c e c e c e c --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x a x a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-(4)0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t e c t ec xt t 23sin 23cos 212211--+=(5) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atat e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=atat e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t (6) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解形如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (7) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解形如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (8)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解形如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(9) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 221-+因为+-2i 不是特征根取特解形如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=tte c e c 221-+t t 2sin 562cos 52--（10）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（11）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t t te c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++, 当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at at te c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （12）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=t te c ec 521--++te 2211 （13）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=+t e t t --)sin 414cos 415( (14) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+= 对于t x x sin =+'',=1λi,是方程的解， 设)sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得A=21-B=0 故t t x cos 21~-=对于t x x 2cos -=+'' ，设t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+ 15）1442++=+'-''ttee x x x解：0442=+-λλ，22,1=λ，齐次方程的通解为)()(212t C C e t x t +=。