第五章线性微分方程组

《微分方程》教学大纲课程编号：121362B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课√专业选修课□学科基础课总学时：32讲课学时：24实验（上机）学时：8学分：2适用对象：金融工程专业先修课程：微积分、线性代数一、教学目标《微分方程》是为金融工程专业本科生而开设的专业选修课。

微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，作为基本数学工具，微分方程在数学及其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理相关学科中，微分方程的理论和方法也有其重要的作用。

现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济学相关问题具有极大帮助。

课程教学以常微分方程为主，学生在学完本课程后，在思想、知识和能力等方面应达到以下目标：目标1：了解常微分方程基本理论及方法目标2：系统理解各类常微分方程求解方法目标3：通过本课程的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法。

目标4：培养学生分析和解决问题的能力，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些线性、非线性问题，初步具备运用微分方程方法解决系列问题的能力，为后续课程打下基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系教学内容讲授上的要求：本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。

对拟实现的教学目标所采取的教学方法、教学手段：本课程以教师讲授为主，采用传统与现代教学方法、手段相结合，辅以课堂讨论及课后学生自主学习等。

重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。

对实践教学环节的要求：要求理论方法密切联系实际，掌握运用微分方程分析和解决实际问题的能力。

第五章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念微分方程的定义：①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数)(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解：用未知函数与其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。

例1 课本294页 例1二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 的任一x ，恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性相关，否则称为线性无关.显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是)()(21x y x y 在区间),(b a 恒为常数. 如果)()(21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 线性无关.独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中,1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关.例2 课本297页 例4第二节 可分离变量的微分方程 一、定义形如)()(d d y g x f xy= 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数.二、求解方法可分离变量的微分方程)()(d d y g x f xy=的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ⎰⎰=x x f y y g d )(d )(.[例1]求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解先合并dx 与dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解.)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下,用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.[例2] 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222yyx x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x第三节 线性微分方程 一、一阶线性微分方程定义 ：形如)()(d d x Q y x P xy=+. 的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 都是x 的已知连续函数，“线性”是指未知函数y 和它的导数y '都是一次的. 求解方法 ：一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解方法,一般有如下两步: 第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+所对应的齐次线性微分方程0)(d d =+y x P xy的通解⎰=-x x P c C y d )(e . 第二步：设⎰=-x x P x C y d )(e )(为一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(x C .第三步: 将)(x C 代入⎰=-xx P x C y d )(e )(中,得所求一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的通解. 注：只要一阶线性微分方程是)()(d d x Q y x P xy=+的标准形式,则将⎰=-x x P x C y d )(e )(代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有)(e )(d )(x Q x C xx P =⎰'-,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程. 一阶线性微分方程)()(d d x Q y x P xy=+的求解公式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )( (其中C 为任意常数). [例1] 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y 的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .[例2] 求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u uln ln ln 1-=-，将x y u =代入原方程，整理得原方程的通解为yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy xy 分离变量，得xy x y2d d =，x x yyd 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y xx P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解.二、二阶常系数齐次线性微分方程定义：形如0=+'+''qy y p y的微分方程（其中q p ,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程. 求解方法：求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步 写出方程0=+'+''qy y p y 的特征方程 02=++q pr r ，第二步 求出特征方程的两个特征根 1r ,2r ，第三步 根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出0=+'+''qy y p y 的通解.[例3] 求微分方程02=+'-''y y a y 的通解.解 原方程对应的特征方程为 0122=+-ar r ，244222,1-±=a a r =12-±a a ，（1）当1>a ，即 1>a 或1-<a 时，特征方程有两个不相等的实根121-+=a a r ，122--=a a r ，故原方程的通解为xa a xa a C C y )1(2)1(122e e ---++=.（2）当1=a ，即1=a 或1-=a 时，特征方程有两个相等的实根 a r r ==21， 故原方程的通解为 axx C C y e )(21+=.（3）当1<a ，即 11<<-a 时，特征方程有两个共轭复根 22,11i a a r -±=，故原方程的通解为)1sin 1cos (e 2221x a C x a C y ax -+-=.三、二阶常系数非齐次线性微分方程定义：形如)(x f qy y p y =+'+''的微分方程（其中q p ,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法：求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如下三步:第一步 先求出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qy y p y 的通解c y ;第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的含待定常数的特解p y ,并将p y 代入非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解p y ;第三步 写出非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的通解p c y y y +=.方程)(x f qy y p y =+'+''的特解p y 的形式表注:①表中的)(x P m 为已知的m 次多项式，)(x Q m 为待定的m 次多项式，如C Bx Ax x Q ++=22)( （C B A ,,为待定常数）.②在设微分方程 xm x P qy y p y λe )(=+'+''的特解时，必须注意把特解p y 设全.如：2)(x x P m =，那么 2120)(b x b x b x Q m ++=，而不能设20)(x b x Q m =.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解p y 一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.[例4] 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解 对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.[例5] 求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解 对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。

第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。

要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。

熟练掌握常数变易法。

本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。

本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。

本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。

不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。

本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。

二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。

三.方程组的具体解法。

§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。

但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。

如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。

用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。

线性微分方程组的解法线性微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的线性方程组成的，可以用矩阵形式来表示。

解这类方程组的方法有很多种，例如矩阵法、特征方程法等。

下面将介绍线性微分方程组的解法。

一、线性微分方程组的矩阵法考虑一个n个未知函数的线性微分方程组：$\frac{d}{dt}\mathbf{y}=A\mathbf{y}$其中$\mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}$，A是一个$n \times n$的矩阵。

解法：1. 将线性微分方程组写成矩阵形式：$\frac{d}{dt}\mathbf{y}=A\mathbf{y}$2. 求出矩阵A的特征值和特征向量。

设特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$\mathbf{v}$。

3. 根据特征值和特征向量，构造矩阵的对角形式：$D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 &\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &\lambda_n \end{pmatrix}$4. 求出初值条件的向量$\mathbf{c}$，使得$\mathbf{y}(t=0) =\mathbf{c}$。

5. 利用变量分离法求出解向量$\mathbf{y}$：$\mathbf{y}=e^{At}\mathbf{c}$其中$e^{At}$表示矩阵的指数函数，它可以通过特征值和特征向量来计算，即：$e^{At}=P e^{Dt}P^{-1}$其中P是一个由特征向量组成的矩阵，$P^{-1}$是P的逆矩阵，$e^{Dt}$是一个由特征值构成的对角矩阵的指数函数：$e^{Dt}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0\\ 0 &e^{\lambda_2 t} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_n t} \end{pmatrix}$6. 将解向量$\mathbf{y}$代入初值条件$\mathbf{y}(t=0) =\mathbf{c}$，求出常数向量$\mathbf{c}$的值。

线性常微分方程组Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n+ a1 x( n 1)λ + a1λ特征根重数n 1+ L + an 1 x′ + an x = 0+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解λtλ (实) λ (实)1kλt αtee ,te , , t Lαt αt αtλtk 1 λteα ± iβ1ke cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α tα ± iβ常系数非齐次线性ODE的待定系数法x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an eigenvalueλt p (t )e , λ ∈ , p realλtq (t )t e , q complex, deg(q) ≤ deg( p), k = multiplicity of λt [ P (t ) cos β t + Q (t ) sin β t ]e , k = multiplicity of λ = α + iβ , P, Q real, deg( P ) ≤ deg( p ), deg(Q ) = deg( p ),kk λtp (t )e cos β t αt or p (t )e sin β t p (t ), α , β realαtαt§6.线性常微分方程组 1.解的叠加原理及存在唯一性定理a11 (t ) a12 (t ) L a1n (t ) a21 (t ) a22 (t ) L a2 n (t ) 可简矩阵函数A(t ) = M M M M a (t ) a (t ) L a (t ) mn m2 m1 记为A(t ) = aij (t ))m×n .分别定义其导数和积分为dA(t ) ′ , A′(t ) ( aij (t ) ) m×n dtt(t a ( s )ds . ∫t0 A(s)ds = ∫t0 ij m×n利用上面的记号,一阶非齐次线性常微分方程组′ x1 (t ) = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x2 + L + a1n (t ) xn + f1 (t ) ′ x2 (t ) = a21 (t ) x1 + a22 (t ) x2 + L + a2n (t ) xn + f 2 (t ) M xn (t ) = a (t ) x + a (t ) x + L + ann (t ) xn + f n (t ) n1 1 n2 2 ′可以记作其中x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),L , xn (t ))T , A(t ) = ( aij (t ) )n×n , x′(t ) = A(t ) x(t ) + f (t ),T(1)f (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ),L , f n (t )) .若f (t ) = 0, 则得到齐次线性方程组x′(t ) = A(t ) x(t ).(2)Thm. (I)若(t ),ψ (t )为齐次线性方程组(2)的解,则α (t ) + βψ (t )也为(2)的解,其中α , β 为任意常数.(II)若(t )为非齐次线性方程组(1)的特解,则(1)的任意一个解x(t )可以表示为x(t ) = (t ) +ψ (t ), 其中ψ (t )为(2)的一个解. Thm. 设矩阵函数A(t )和向量值函数f (t )在区间I 上连续, t0 ∈ I .则ξ = (ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n ) ∈ , 初值问题Tnx′(t ) = A(t ) x + f (t ), x(t0 )= ξ 在区间I 上存在唯一解.2.线性方程组解的结构由解的叠加原理, 齐次线性方程组(2)的解集合是一个线性空间.我们需要知道这个解空间的维数,并求出一组基.为此,需要引入向量值函数线性无关的概念.Def. 称向量值函数1 (t ) = ( 11 (t ), 21 (t ),L , n1 (t ))T , 2 (t ) = ( 12 (t ), 22 (t ),L , n 2 (t ))T , M n (t ) = ( 1n (t ), 2 n (t ),L , nn (t ))T ,在区间I上线性相关, 若存在不全为零的常数c1, c2 ,L, cn , 使得t ∈ I , c (t ) + c (t ) + L + c (t ) ≡ 0.1 1 2 2 n n否则, 称1, 2 ,L , n在I 上线性无关.Def.设区间I 上有向量值函数k (t ) = ( 1k (t ), 2 k (t ),L , nk (t ))T , ( k = 1, 2,L , n.)称以这些向量值函数为列的行列式11 (t ) 12 (t ) L 1n (t ) 21 (t ) 22 (t ) L 2 n (t ) det M M M M (t ) (t ) L (t ) nn n2 n1 为向量值函数1 , 2 ,L , n的Wronsky行列式,记作W (t ) = W [ 1 , 2 ,L , n ](t ).Thm. 若向量值函数1 (t ), 2 (t ),L , n (t )在区间I 上线性相关, 则Wronsky行列式W [ 1, 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I .Proof: 1 , 2 ,L , n在I 上线性相关,则存在不全为零的常数c1 , c2 ,L , cn , s.t. t ∈ I , c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ) ≡ 0. 于是, t ∈ I , c1 , c2 ,L , cn是下面线性方程组的非零解. c1 11 (t ) + c2 12 (t ) + L + cn 1n (t ) = 0 c1 21 (t ) + c2 22 (t ) + L + cn 2 n (t ) = 0 M c (t ) + c (t ) + L + cn nn (t ) = 0 2 n2 1 n1 故方程组的系数矩阵W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I .Thm. 设齐次线性方程组(2)有n个解k (t ) = ( 1k (t ), 2 k (t ),L , nk (t ))T , (k = 1, 2,L , n.)则以下条件等价: I) 1 , 2 ,L , n在区间I 上线性相关. II) W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≡ 0, t ∈ I . III)存在t0 ∈ I , 使得W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0. Proof: (I) (II)即上一定理, (III)显然. 只要证(II) (III) (I).设存在t0 ∈ I , 使得W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0. 则方程组c1 11 (t0 ) + c2 12 (t0 ) + L + cn 1n (t0 ) = 0 c1 21 (t0 ) + c2 22 (t0 ) + L + cn 2 n (t0 ) = 0 M c (t ) + c (t ) + L + cn nn (t ) = 0 2 n2 0 0 1 n1 0有非零解. 即存在不全为0的c1, c2 ,L , cn , 使得c1 1 (t0 ) + c2 2 (t0 ) + L + cn n (t0 ) = 0. 令x(t ) = c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ), 由解的叠加原理, x(t )为齐次方程组(2)的解, 且满足初值条件x(t0 ) = 0. 由解的存在唯一性定理,x(t ) ≡ 0,即c1 1 (t ) + c2 2 (t ) + L + cn n (t ) ≡ 0(t ∈ I ).Remark: 设1 , 2 ,L , n ∈ C ( I )为n次齐次线性常n微分方程组的n个解, t0 ∈ I .则(1) W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) = 0 W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) = 0, t ∈ I . 1 , 2 ,L , n在I 上线性相关. (2) W [ 1 , 2 ,L , n ](t0 ) ≠ 0 W [ 1 , 2 ,L , n ](t ) ≠ 0, t ∈ I . 1 , 2 ,L , n在I 上线性无关.至此, 不难得出(2)的解空间的结构.Thm. A(t )为区间I 上连续的n × n矩阵函数,则1阶齐次线性常微分方程组x′(t ) = A(t ) x(t ), 的解集合是一个n维线性空间. Proof: 我们要找出(2)的n个线性无关的解, 并证明(2)的任意一个解都可以由这n个解线性表出. dx 设k (t )是初值问题= A(t ) x, x(t0 ) = ek的唯一解.其dt n 中ek 为中列向量,第k 个分量为1,其它分量都为0.则W [ 1, 2 ,L, n ](t0 ) = 1. 由上一定理, 1, 2 ,L, n在区间I 上线性无关. t∈I (2)其次, 设x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ),L , xn (t ))是齐次方程组(2)的一个解.令y (t ) = x1 (t0 ) 1 (t ) + x2 (t0 ) 2 (t ) + L + xn (t0 ) n (t ), 则y (t )是方程组(2)的解,且满足初值条件y (t0 ) = ( x1 (t0 ), x2 (t0 ),L , xn (t0 )). 由解的存在唯一性定理, x(t ) = y (t ) = x1 (t0 ) 1 (t ) + x2 (t0 ) 2 (t ) + L + xn (t0 ) n (t ), 即x(t )可以由1, 2 ,L , n线性表出.Def.齐次线性常微分方程组(2)的n个线性无关解k (t ) = ( 1k (t ), 2k (t ),L, nk (t ))T , (k = 1, 2,L, n.)称为(2)的一个基本解组. 称矩阵11 (t ) 12 (t ) L 1n (t ) 21 (t ) 22 (t ) L 2n (t ) Φ(t ) = M M M M (t ) (t ) L (t ) nn n2 n1 为齐次方程组(2)的一个基本解矩阵.Remark:已知(2)的一个基本解矩阵Φ(t ), 则(2)的通解可以表示为x(t ) = Φ(t )c.其中c ∈ n为常向量.et tet et + tet tet 例:Φ(t ) = 和Ψ (t ) = 都是方程组t t t e 0 e e dx 1 1 = x的基本解矩阵. 事实上, dt 0 1 d et et 1 1 et d tet tet + et 1 1 tet = = , t = t = t , dt 0 0 0 1 0 dt e e 0 1 e 即Φ(t )的列向量都是方程组的解而Ψ (t )的列向量都是. Φ(t )的列向量的线性组合,因而也都是的解.又det Φ(0) = 1 ≠ 0, det Ψ (0) = 1 ≠0, 故Φ(t )和Ψ (t )的列向量都构成基本解组, 而Φ(t )和Ψ (t ) 都是基本解矩阵.Remark: 齐次方程组x′(t ) = A(t ) x(t )(2)的基本解组和基本解矩阵都不唯一. 这是因为基本解组实际上是(2)的解空间的一组基, 而线性空间有不同的基.事实上, 设Φ(t )是(2)的一个基本解矩阵, T 为任意(2) 一个n × n可逆矩阵, 则Φ(t )T 也是(2)的一个基本解矩阵. 反之,任给(2)的两个基本解矩阵Φ(t ), Ψ (t ), 必存在可逆矩阵(T由Φ, Ψ唯一确定)s.t , Ψ (t ) = Φ(t )T . T ,3.常数变易法设Φ(t )为(2)的基本解矩阵,则(2)的通解为x(t ) = Φ(t )c, 其中c为中任意常向量.常数变易法是这样一种方法: 假设(1)的通解为x(t ) = Φ(t )u (t ), 其中u (t )为n维向量值函数,待定.再将该通解表达式代入方程组x′(t ) = A(t ) x(t ) + f (t ), 进而确定u (t ), 从而得到(1)的通解. (1)n利用常数变易法可得Φ′(t )u (t ) + Φ(t )u′(t ) = A(t )Φ(t )u (t ) + f (t ). 注意到Φ(t )是(2)的基本解矩阵,即Φ′(t ) = A(t )Φ(t ), 有Φ(t )u′(t ) = f (t ), 即u′(t ) = Φ 1 (t ) f (t ), u (t ) = c + ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds,t0 t(3)其中Φ 1 (t )是Φ(t )的逆矩阵.于是,其中c ∈ n为任意常向量.于是有下面的定理:Thm.设Φ(t )是齐次方程组(2)的一个基本解矩阵,则非齐次方程组(1)的通解为x(t ) = Φ(t )c +Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds,t0 t 其中c ∈ n为任意常向量. 且(1)的满足初值条件x(t0 ) = ξ ∈ n的解为x(t ) = Φ(t )Φ (t0 )ξ + Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds. t0 1 t1 1 e t dx 例: 求解初值问题= x + , x(0) = ( 1,1)T . dt 0 1 0 et tet dx 1 1 解: 前面的例子已验证Φ(t ) = 是= x t 0 e dt 0 1 的一个基本解矩阵.由常数变易法得初值问题的解x(t ) = Φ(t )Φ (0)ξ + Φ(t ) ∫ Φ 1 ( s) f ( s)ds0 1 tet = 01 et te + t e 1 0tet + tet et = + t e 0t s 1 s e s te e ds t ∫0 e 0 1 0 tet t e 2 s t t t t ds = ( te (e +e ) 2, e ) . t ∫0 e 0 t4. 以方程组的观点看n阶线性ODE 记y1 = x, y2 = x′,L , yn = x( n 1) , 则n阶线性方程x + a1 (t ) x + L + an 1 (t ) x′ + an (t ) x = 0 x( n) + a1 (t ) x( n 1) + L + an 1 (t ) x′ + an (t ) x = f (t ) 可以化为y′ = A(t ) y y′ = A(t ) y + g (t ).(n) ( n 1)(4) (5)(6) (7)1 0 L 0 0 0 1 L 0 0 M M O M , 其中A(t ) = M 0 0 L 1 0 a (t )a (t ) a (t ) L a (t ) n 1 n 2 1 n T T y = ( y1, y2 ,L , yn ) , g (t ) = (0, 0,L 0, f (t )) .。