第2课时 函数的表示方法-列表法和解析法

第2课时函数关系的表示法——列表法、解析法【知识与技能】了解函数的表示方法：列表法、解析法，领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.【过程与方法】学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题.【情感与态度】培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的建构在实际生活中的应用价值.【教学重点】重点是进一步掌握确定函数关系的方法以及确定自变量的取值范围.【教学难点】难点是确定函数关系.一、提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化，同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容.活动一在计算器上按照下面的程序进行操作.下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）.让学生思考后回答（或小组讨论）【教学说明】学生通过思考问题，为掌握新知识函数的表示方法：列表法做铺垫.活动二用10 cm长的绳子围成矩形，设矩形的长度为x cm，面积为Ｓcm2.怎样用含有x的式子表示Ｓ？【教学说明】引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.二、导入新课上述活动一、活动二反应了两个变量间的函数关系，函数关系式的表示方法主要有三种方法：列表法、解析法、图象法.在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数的表达式有意义.例1求下列函数中自变量x的取值范围；（1）y=2x+4; (2)y=-2x2; (3)1; 3.2y y xx==--【分析】在（1）（2）中，x取任何实数时，2x+4与-2x2都有意义；在（3）中，当x=2时，12x-没有意义；在（4）中，当x＜3时，x-3没有意义.【解】（1）x为全体实数.（2）x为全体实数.（3）x≠2.（4）x≥3.注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义.如函数S=πR2中自变量R可取全体实数，如果指明这个式子是表示圆面积S与圆半径R 的关系，那么自变量R的取值范围是R＞0.例2当x=3时，求下列函数的函数值：（1）y=2x+4; (2)y=-2x2; (3)1; 3.2y y xx==--【解】（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10. （2）当x=3时，y=-2x2=-2×32=-18.（3）当x=3时，y=12x-=1.（4）当x=3时，y=3x-=0.例3一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每时25 m3排出量排水.（1）写出游泳池内剩余水量Q （m3）与排水时间t（h）间的函数关系式；（2）写出自变量t的取值范围；（3）开始排水后的第5 h末，游泳池中还有多少水？（4）当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多少时间？【解】（1）排水后的剩水量Q 是排水时间t的函数，有Q=-25t+300（2）由于池中共有300 m3水，每时排25 m3，全部排完只需300÷25=12（h），故自变量t的取值范围是0≤t≤12.（3）当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3），即第5h末池中还有水175 m3.（4）当Q=150时，由150=-25t+300，得t=6，即已经排水6 h.三、运用新知，深化理解1.（广西来宾中考）函数y=3x-中，自变量x的取值范围是（）A.x≠3B.x≥3C.x＞3D.x≤32.（四川遂宁中考）在函数y=11x-中，自变量x的取值范围是（）A.x＞1B.x＜1C.x≠1D.x=13.函数y=21xx+-中，自变量x的取值范围是.4.如图，根据流程图中的程序，当输出数值y=5时，输入数值x是（）5.水箱内原有水200升，7点30分打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y升.（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；（2）7：55时，水箱内还有多少水？（3）几点几分水箱内的水恰好放完？【参考答案】1.B 2.C 3.x≥-2且x≠1 4.C5.解：（1）∵水箱内存有的水=原有水-放掉的水，∴y=200-2t，∵y≥0，∴200-2t≥0，解得：t≤100，∴0≤t≤100，所以y关于t的函数关系式为：y=200-2t（0≤t≤100）；（2）∵7：55-7：30=25（分钟），∴当t=25时，y=200-2t=200-50=150（升），∴7：55时，水箱内还有水150升；（3）当y=0时，200-2t=0，解得：t=100分钟=1小时40分钟，7：30+1小时40分钟=9点10分，答：故9点10分水箱内的水恰好放完.四、师生互动，课堂小结学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.1.课本第26页练习1、2、3、5.2.完成练习册中相应的作业.通过本节课学习让学生了解函数的表示方法：列表法、解析法，并领会它们的联系和区别，进一步理解掌握确定函数关系式，会确定自变量取值范围.学会用不同方法表示函数，会应用综合的思维、思想分析问题，培养变化与对应的思想方法，体会函数模型的构建在实际生活中的应用价值.。

函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。

第2课时函数的表示方法学习目标核心素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点) 4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)1.通过函数表示的图像法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养．3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养．(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500 氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01 问题根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？1．函数的图像(1)定义：将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }．(2)F 是函数y ＝f (x )的图像，必经满足下列两条①图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )； ②满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上． 2．函数的表示法思考1：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？ [提示] 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．3．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．思考2：分段函数是一个函数还是几个函数？ [提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数． [拓展] 分段函数的定义域、值域和图像(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集． (2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示．( ) (2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )(3)分段函数由几个函数构成．( ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )12 3A ．1B ．2C ．3D ．不存在C [∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.]3．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( ) A ．y ＝－14x 2＋1B ．y ＝14x 2－1C ．y ＝4x 2－16D ．y ＝－4x 2＋16B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．]4．(教材P93练习A 第8题改编)下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]函数的三种表示方法【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．[解]①列表法如下：x(台)1234 5y(元) 3 000 6 0009 00012 00015 000 x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000②图像法：如图所示．③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．列表法、图像法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图像法中要注意是否连线．[跟进训练]1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形表示为定义在A上的函数图像的是( )A B C D(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )x 1234 5y 4532 1A.1 B ．2 C ．4 D ．5(1)D (2)B [(1)A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．(2)由题意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f (f (1))＝f (4)＝2，故选B.]函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )的解析式；(3)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式．[思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] (1)法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1). (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8， 所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(3)过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.①当点F 在BG 上，即x ∈[0，2]时，y ＝12x 2；②当点F 在GH 上，即x ∈(2，5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；③当点F 在HC 上，即x ∈(5，7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合①②③，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈（2，5]，－12（x －7）2＋10，x ∈（5，7].求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(2)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(3)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：(1)应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．(2)在实际问题背景下，自变量取值区间不同，对应关系也不同，此时需要用分段函数表示．[跟进训练]2．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x ＋2D ．f (x )＝3x ＋4A [令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1.∴f (x )＝3x －1.] 3．已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________． 23x －1 [由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ，f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.]分段函数的求值问题【例3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤1，－x ＋1，x ＞1，则f (f (－1))＝________；若f (x )＝－1，则x ＝________．[思路点拨] 已知x 0，求f (x 0).求解时首先要分清x 0所在的范围，然后选择相应的解析式代入即可．已知f (x 0)＝t ，求x 0，求解时要先对不同的范围进行分类讨论，分别求出x 0，并验证求得的x 0是否满足要求，最后得出结果．－1 0或2 [由－1≤1，得f (－1)＝(－1)2－1＝0，由0≤1，得f (0)＝－1， 所以f (f (－1))＝f (0)＝－1.因为f (x )＝－1，故⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x 2－1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＋1＝－1，解得x ＝0或x ＝2，满足题意．]分段函数求值问题的求解策略分段函数的求值问题，要根据自变量的范围选择适当的解析式去求函数值．若不确定，则需要分类讨论．如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，但要检验所求得的值是否符合相应分段上自变量的取值范围，也可以先画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值．[跟进训练]4．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜2，2x －4，x ≥2，若f (a )＝f (a ＋2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [若0＜a ＜2，则a ＋2＞2，由f (a )＝f (a ＋2)，得a ＝2(a ＋2)－4， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×4－4＝4. 若a ≥2，由f (a )＝f (a ＋2)，得2a －4＝2(a ＋2)－4，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝4，故选B.]函数的图像及应用【例4】 (1)作出函数y ＝2x，x ∈[2，＋∞)的图像并求出其值域．(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： ①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．[思路点拨] (1)列表→描点→连结；(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出． [解] (1)列表x 2 3 4 5 … y1231225…当x ∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图像可知其值域为(0，1].(2)设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0，20]. 由题意得函数的解析式如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图像如图所示：描点法作函数图像的三个关注点(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．提醒：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． (2)分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[跟进训练]5．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图像；(3)若f (a )＝2，求实数a 的值． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f(x)的图像如图所示．(3)∵f(a)＝2，由函数图像可知a∈(－2，0)，∴1－a＝2，即a＝－1.知识：1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解析式有意义的实数集R或R的子集．2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．3．分段函数是一个函数，而不是几个函数．4．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．方法：求函数的值域是一个比较复杂的问题(因为它和求函数的最值紧密相连)，无论用什么方法求函数的值域都要考虑函数的定义域．(1)当函数的解析式给出时，函数的值域是由函数的定义域及其对应关系确定的．常用的方法有：①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图像的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．②配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域．③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本函数的取值范围求函数的值域．④分离常数法：先将形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数分离常数，变形过程为cx＋dax＋b＝c a （ax ＋b ）＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的取值范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围．(2)当函数是根据实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定．1．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图像的只可能是( )D [选项A ，B 的值域为B ＝{y |0≤y ≤2}，不满足题意；选项C 中，当x ＝0时，对应两个不同的函数值，不是函数．故选D.] 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( ) A ．15B ．3C ．23D ．139 D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.] 3．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2[当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又函数过点(1，2)，故k ＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，若f (x )＝3，则x ＝________． 3 [若x ≤－1，由x ＋2＝3，得x ＝1＞－1(舍去)；若－1＜x ＜2，由x 2＝3，得x ＝±3，由于－3＜－1(舍去)，故x ＝ 3.]5．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2).(1)画出f (x )图像的简图；(2)根据图像写出f (x )的值域．[解] (1)f (x )图像的简图如图所示．(2)观察f (x )的图像可知，f (x )图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f (x )的值域是[－1，3].。

函数的表示法解读函数有三种常用的表示方法解析法意义列表法意义图像法意义相互转化1、解析法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式.优点：①简明、全面地概括了变量间的关系，便于运用解析式研究和应用函数的性质.②通过解析式可求出任意一个自变量的值所对应的函数值.2、列表法即列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.3、图像法即用图像表示相对应的函数值.优点：能直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值的变化趋势，使我们可通过图像来研究函数的某些性质.特别提示以下两类问题值得我们很好地研究：①如何在条件下确定函数：欲确定一个函数，即是要设法得到这个函数的表示，这时要注意从解析式能否确定、是否可以列出相应的表格和是否可以作出函数的图像这三个方面去考虑，通常情况下的优先考虑是设法求出函数的解析式②在给出函数表示方法的根底上研究函数的性质：无论是用哪一种方法表示出函数，都已经确定了函数中两个变量之间的关系，这一关系反映了该函数的各种性质，具体研究时，主要围绕函数的定义域、值域、图像等方面思考，注意数形结合思考问题4.难点疑点突破〔1〕函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果函数解析式的构造时，可用待定系数法；复合函数f［g(x)］表达式时，可用换元法，这时要注意自变量的取值范围；当表达式简单时，也可用配凑法，假设抽象的函数表达式，那么常用解方程组，消参的方法求出f(x).〔2〕函数的图像是函数关系的一种表示形式，它反映了从“图形〞方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质，也可以帮助我们记忆各类函数的根本性质.函数的图像可能是一条光滑的直线，也可能是直线或折线或其中的一局部，还可能是一些间断点.描点法是作函数的图像的根本方法.。