第五章 5.2 5.2.1 第二课时 三角函数值的符号及公式一

第二课时三角函数值的符号及公式一课标要求素养要求1.能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等.通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？问题如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？提示相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等.1.三角函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).2.公式一 函数名称不变(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.(2)式子表示：⎩⎨⎧sin （α＋k ·2π）＝sin α，cos （α＋k ·2π）＝cos α，其中k ∈Z .tan （α＋k ·2π）＝tan α，(3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.拓展深化[微判断]1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√)2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×)提示 sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角. 3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√) 4.sin 3>0，cos 4<0.(√)5.sin α>0，则α为第一、二象限角.(×)提示 α的终边位于第一、二象限或y 轴正半轴. [微训练]1.sin 390°的值为( ) A.32 B.22 C.12D.－12解析 sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝12，故选C.答案 C2.下列4个实数中，最小的数是( ) A.sin 1 B.sin 2 C.sin 3D.sin 4解析 ∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D.答案 D3.(多空题)计算：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝________，cos 19π3＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝sin π6＝12，cos 19π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12.答案 12 12 [微思考]1.三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值.因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.2.根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？提示 不一定，如sin α＝12，则α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π(k ∈Z ).题型一 三角函数值在各象限的符号【例1】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合.由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D. 答案 D(2)判断下列各式的符号：①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4.解①因为191°是第三象限角，所以tan 191°>0，cos 191°<0.所以tan 191°－cos 191°>0.②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.所以sin 2·cos 3·tan 4<0.规律方法三角函数值符号的判断问题：(1)由三角函数的定义可知sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0)，可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. 【训练1】判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin α·cos α2·tanα2(α为三角形的内角).解(1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3，4，5分别是第二、三、四象限角，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.(2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<α2<π2，∴sin α>0，cos α2>0，tanα2>0，∴sin α·cos α2·tanα2>0.题型二 公式一的应用【例2】 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60° ＝1＋1＋12＝52.规律方法 利用公式一化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z .(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.【训练2】 (1)cos 405°的值是( ) A.12 B.－12 C.22D.－22(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π＝________.解析 (1)cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝22.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.答案 (1)C (2)12题型三 三角函数值符号与公式一的综合应用【例3】 确定下列函数值的符号. (1)tan (－672°)；(2)cos 9π4；(3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6；(4)sin 1 480°10′；(5)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－178π.解 (1)tan(－672°)＝tan(－672°＋2×360°)＝tan 48°>0. (2)cos9π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π＝cos π4＝22>0. (3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋2π＝tan π6＝33>0.(4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0. (5)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－2π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8<0. 规律方法 对于绝对值较大的角先利用公式一转化为[0，2π)范围内的角，然后再判断符号.【训练3】 确定下列三角函数值的符号.(1)tan 505°；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－274π；(3)cos 950°；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－60π17.解 (1)tan 505°＝tan (360°＋145°)＝tan 145°<0. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π＋5π4＝tan 5π4>0.(3)cos 950°＝cos (950°－3×360°)＝cos (－130°)<0. (4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－60π17＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋8π17＝sin 8π17>0.一、素养落地1.通过本节课的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.2.把绝对值较大的角写成k ·2π＋α(k ∈Z )的形式，然后利用公式一转化为较小的角，更有利于判断符号或求函数值.3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 二、素养训练 1.sin 256π等于( ) A.12 B.32 C.－12D.－32解析 sin 256π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12.答案 A2.cos 1 110°的值为( ) A.12 B.32 C.－12D.－32 解析 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. 答案 B3.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.解析 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限. 答案 二4.求值：cos 13π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝________.解析 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－5π3＝cos π6＋tan π3＝32＋3＝332.答案 3325.若sin θ·tan θ>0，则θ为第________象限角.解析 ∵sin θ·tan θ>0，∴sin θ与tan θ同号，所以θ为第一或第四象限角. 答案 一或四基础达标一、选择题1.给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)； ③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 ①中，－100°为第三象限角，∴sin(－100°)<0；②cos (－220°)＝cos (－220°＋360°)＝cos 140°<0；③∵－10∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2，－3π，∴－10为第二象限角，∴tan (－10)<0；④中，cos π＝－1<0，故选D. 答案 D2.若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由条件可知sin θ<0，cos θ>0，则θ为第四象限角，故选D. 答案 D3.2cos 37π6－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6的值为( )A.－ 3B.－1C.0D. 3解析 2cos 37π6－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π6－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4π＝2cos π6－3tan π6＝2×32－3×33＝0. 答案 C4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A.1 B.0 C.2D.－2解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2，故选C. 答案 C5.点P (cos 2 020°，sin 2 020°)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 cos 2 020°＝cos (2 020°－6×360°)＝cos (－140°)<0，sin 2 020°＝sin(2 020°－6×360°)＝sin(－140°)<0.故选C. 答案 C 二、填空题6.sin 13π3＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4的值为________.解析 sin 13π3＋cos 13π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4＝sin π3＋cos π3－tan π4＝32＋12－1＝3－12. 答案3－127.已知tan α>0且sin α＋cos α>0，那么α是第________象限角. 解析 ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角.若α为第一象限角，则sin α>0，cos α>0，∴sin α＋cos α>0；若α为第三象限角，则sin α<0，cos α<0，∴sin α＋cos α<0. 答案 一8.已知角A 为第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A 2是第________象限角.解析 ∵A 为第三象限角，∴A2为第二、四象限角. 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，∴sin A 2<0，∴A2为第四象限角. 答案 四 三、解答题 9.求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°＋0°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角.∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0. 能力提升11.如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________.解析 因为cos x ＝|cos x |，所以cos x ≥0，所以角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 12.若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0).(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号.解 (1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a >0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45<0； 当a <0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 则cos (sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45>0. 综上，当a >0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a <0时，cos (sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.创新猜想13.(多选题)有下列说法，其中错误的是( )A.终边相同角的同名三角函数值相等B.同名三角函数值相等的角也相等C.终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等D.不相等的角，同名三角函数值也不相等解析对于A，由诱导公式一可知正确；对于B，sin 30°＝sin 150°＝12，但30°≠150°，所以B错误；对于C，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝32，所以C错误；对于D，由C中的例子可知D错误.答案BCD14.(多选题)角α的终边经过点P(x，4)，且cos α＝x5，则sin α可能等于()A.0B.3 5C.45 D.1解析由题意，得xx2＋16＝x5，解得x＝0或x＝±3.当x＝0时，sin α＝1；当x＝±3时，sin α＝45. 答案CD。